一类二阶周期系统的Lagrangian稳定性 Lagrangian Stability of a Class of Second-Order Periodic Systems

doi:10.12677/PM.2013.36060

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 394-398

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.36060 Published Online November 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

Lagrangian Stability of a Class of Second-Order

Periodic Systems

Shunjun Jiang

College of Sciences, Nanjing University of Technology, Nanjing

Email: jiangshunjun@njut.edu.cn

Received: Oct. 9th, 2013; revised: Oct. 18th, 2013; accepted: Oct. 24th, 2013

mits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: By the iteration of KAM, the following second-order differential equation:

 

,,, 0xfxxtaxbx xext





 

 is studied. Under some assumptions on the parities of





xxt



and , by a small twist theorem of reversible mapping, the existence of quasi-periodic solutions and

boundedness of all the solutions are obtained.



,ext



Keywords: Reversible System; KAM Theorem; Boundedness of Solutions

一类二阶周期系统的 Lagrangian 稳定性

江舜君

南京工业大学理学院，南京

Email: jiangshunjun@njut.edu.cn

收稿日期：2013 年10月9日；修回日期：2013年10 月18 日；录用日期：2013 年10月24 日

摘要：用KAM 迭代方法研究了下列二阶微分方程：

 

,,,0xfxxtaxbx xext





 



 。当





xxt

与





,ext的导数满足一定条件时，利用关于可逆映射的小扭转定理得到拟周期解的存在性与

所有解的有界性。

关键词：可逆系统；KAM定理；解的有界性

1. 引言

在文献[1]中，作者研究下面的二阶方程：













,xfxtxnx xpxt



 

,0

(1)

其中





有界，并且

 









,,1,,,fxtfxtpxt pxt 1。

假设









以及满足恰当的假设，使方程(1)具有可逆结构。通过将原方程化为一个可积系统

的小扰动，运用KAM 定理，[1]证明了方程的所有解的有界性。



受到文献[2-5]的启发，本文讨论下面的二阶方程

 

,,,0xfxxtaxbx xext





 



(2)

Open Access

394

江舜君  一类二阶周期系统的 Lagrangian稳定性

其中



fxyt







 ，





ext







 ， (3)





，，可以看出非线性扰动项是无界的，这也是本文与[5]不同的地方。 0,0, ,6xksm 

2. 主要结论

定理 1. 假设，关于 t都是周期

，

满足(3)且有

,eCf C

62π

















,,,,, ,,,

,,,,,,, .



xytFxytext ext

xytF xytextext

 

 (4)

那么所有(2)的解都是有界的。

3. 定理 1的证明

3.1. 作用角变量与坐标变换

通过坐标变换，方程(2)可变换成下面的系统，



yfaxbxextx











 





(5)

由条件(4)，我们很容易看出，(5)关于对合









:, ,Gxyxy具有可逆结构。

令





为方程的解，显然满足初始条件0xaxbx



 









01,01xx





并且令





为其导数。下面做

变换：







xrc

yrs















在变换下,系统(5)变为：



,,rx

















 

111

222

,,,, ,,

1,, 1,,,,

rftrNtrPtr

ft rNt rPt r



 

 



 







(6)

其中













1,,Nt rarcs









，













1,,Pt rafses

























11 1

2,,Nt rarc





 

，













2,,Pt rarfces



















容易验证



,, ,,



tr ftr



 ，









,, ,,

trftr



 



，因此，系统(6)关于对合







:, ,Gr r





。

是可逆的。

为了估计



,,,,,



trftr



，我们需要下面的引理。

引理 1 令

 





















,,,,,,,,f trftrcrseretrcrs



 



，如果







和满足(3)，那么

有



,,et r





 

,, ,,

ks ks

ft ret r

rcrr

rtrt cr













  (7)

对, 6Rks



 成立。

Open Access 395

江舜君  一类二阶周期系统的 Lagrangian稳定性

证明. 由直接计算，引理 1可以直接验证，因此我们省去细节。

为了下面讨论方便起见，我们引入函数空间







的概念。

定义 1. 令。我们称



,nnn N





fM

，如果对 12

0,0jn sn



，存在，使得

00r0c











,,, , ,

jjs

rt o

rDDftrcrr rtSS





 。

由函数空间的定义，易得



M

















5,5 5,5

,,, ,,ftrMrftr Mr











(8)

因此对于足够大的，我们有r21fr



。当，系统(6)等价于下面的系统： 1r

 



d,, 1,,

d1,,

rft rft r

tftr



















(9)

容易验证



,, ,,



tr ftr



 ，







,, ,,

trftr



 



。因此系统(9)关于对合是可逆

的。我们将系统(9)写成下面的形式：

 

:. ,Grtrt

 



 



111 11

222 22

d,, ,,,,,, ,,

d1,,,, 1,,,,,,

rftrhtr NtrPtrhtr

trhtrNtr Ptrhtr

 



 



 





 





(10)

其中



,, 1

ht r



 ，



,, 1

ht r



 并且有















1122

,,,,,,,,,ht rhtrhtrhtr



  



，

因此(10)关于对合







,,Grtr t也是可逆的。由直接计算，易得

















21 22

5,5 5,5

,,, ,,htr Mrhtr Mr













(11)

现在系统(10)有如下形式



d,, ,,

d1,, ,,

Nt rgt r

tNt rgt r















 





(12)

其中







111

,,,,,,

tr Ptrhtr







，











222

,,,, ,,

tr Ptrhtr



 



。由(11)，易得















21122

5,5

,,max,, ,,max,gt rMrrgtrrr

 











(13)

下面，我们将对系统(12)进一步做变换。

引理 2. 存在变换



, ,tt rSr





，使得系统(12)变为





d,,

d1,, ,,

gt r

tNt rgt r















 







 (14)

其中



15,5

,,gt rMr











，







25,5

,,gt rMr











。并且系统(14)关于对合





,Gt t,



 是可逆的。

证明. 令

Open Access

396

江舜君  一类二阶周期系统的 Lagrangian稳定性

 

,,,d 1

SrNtrar



















那么有



,,2πp

Sr Sr



，







,Sr Sr,



 。容易验证











5,5

,SrM r







。因此







,rt,





关于



,rSr





 微分同胚。那么，存在函数





,LL





使得





,rL





 ，其中







,2π,

LLr





 ，



,,LL









,Lr 且。



5,5







通过上面的变换，(12)变成(14)其中























1122 22

,,,, , ,,,,,,,,

tgtLgtNtNtLgt

 

 L



 ，

由(13)以及直接计算，我们有















211 22

5,5 5,5

,,max,, ,,max,gtrM rrgtrM rr

 











。

既然



,LL











，系统(14)关于对合









:, ,Gtt



 是可逆的。引理 2证明完毕。

下面我们将对方程(14)中第二个式子进行变换，主要是把





2,,Nt r



中的平均项分离出来。

Lemma 3. 存在变换



, ,tS





 





使得系统(14)变为







d,,

d1,

tNH

















 





(15)

其中

















，2π11

1ad

2πc













，









,, ,,,HH



 

满足













21122

5,5 5,5

Hmax,, max,MrrHMrr

 









(16)

并且系统(15)关于对合



:, ,G









是可逆的。

证明. 定理证明类似引理 2。

3.2. Poincare映射与不变环面

令









。当



时，

















，故 0





 。

定义变换











，那么系统(15)有如下形式



d,,,

d1,,



















 







(17)

其中













1122

,,,,,,,,,,,,,

gHgH



  







引理 4扰动项 1

，2

满足下面估计：

, ,

ks ks

gc gc





 







 

 







(18)

其中 0max,1 0















。

Open Access 397

江舜君  一类二阶周期系统的 Lagrangian稳定性

Open Access

398

证明. 当时，估计(18)易由(16)得出。引理 4得证。

1ks

由引理 2、3以及(18)，我有















1122

,,,,,,, ,,,,,,gggg





  。

系统(17)关于对合



:, ,G











是可逆的。令为(17)的Poincare 映射，则关于P P







:, ,G









也

是可逆的并且有以下形式：







2π2π,,





 

 













 (19)

其中，









1, 2



。



,, ,,,gg





 



满足

ks ks

ggc





 









  (20)

至此，我们验证了映射(19 )满足[6] 中针对可逆映射的扭转定理的所有条件。这意味着当



足够小，存在

Poincare 映射的不变环面，保证了系统(5)解的有界性，因此(2)的所有解都是有界的。这样定理 1的证明完毕。

4. 致谢

本文由国家自然基金青年基金资助，基金号11301263。

参考文献 (References)

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