 Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 141-146 http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.24018 Published Online November 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html) A Computational Analysis for First Mean Exit Time under Symmetrical Levy Multiplicative Noise Huiqin Chen School of Mathematics and Computer Science and Technology, Jianghan University, Wuhan Email: chenhuiqin111@aliyun.com Received: Jul. 24th, 2013; revised: Aug. 29th, 2013; accepted: Sep. 10th, 2013 Copyright © 2013 Huiqin Chen. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which per- mits unrestricted use, distr i but ion, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: Complex dynamical systems are often subject to non-Gaussian random fluctuations. The exit phe- nomenon, i.e., escaping from a bounded domain in state space, has a great impact on the stocha stic evolution of such dynamical systems. In the present paper, the author analyzes mean exit time for arbitrary noise inten- sity under multiplicative noise, via numerical investigation. A numerical approach for solving this non-local problem is proposed. A computational analysis is conducted to investigate the relative importance of jump measure coefficient and the effect of value on first exit time. Keywords: Stochastic Dynamical Systems; Non-Gaussian Levy Motion; Levy Jump Measure; First Exit Time 对称 Levy 乘性噪声下平均首次逃逸时问题的计算分析 陈慧琴 江汉大学数学与计算机科学与技术学院，武汉 Email: chenhuiqin111@aliyun.com 收稿日期：2013 年7月24 日；修回日期：2013 年8月29 日；录用日期：2013 年9月10 日 摘 要：复杂的动力系统常常受到非高斯的随机扰动。首次逃离现象，即从一个状态空间的有界区域 中逃逸出来，对动力系统的随机演化有很大的影响。在本文中，我通过计算分析了在乘性Levy 噪声下 的首次逃离时问题。一个数值的方法去求解这个非局部的问题，计算分析出不同的跳测度系数和 值 对系统的首次逃离时间的影响。 关键词：随机动力系统；非高斯Levy 运动；跳测度；首次逃离时 1. 引言 考虑一个标量下的确定性常微分方程 0 , tt YfYYxab ,U, t 为光滑的位势函数。满足： t f YUY ，在这里 是一个渐近稳定的平衡点。即对从区间0 ,ab 中的任意点 x 出发，当时间 时， 的任一轨道趋于 。在文本中，在 处有一个最小值。在文献[1]中，我们考虑加性噪声驱动随机动力系统 的平均首次逃逸时问题。在本章中，我们计算分析在乘性Levy 噪声驱动的方程中的平均首次逃逸时。现在我 们考虑这个确定性常微分方程受到非高斯噪声 Levy 噪声扰动的情况，即考虑一个随机常微分程： t t Y 0 .U0 0 ddd, tt tt, X fXtXL Xxab (1) 其中， 是定义在一个概率空间 下的 Levy 标量过程。方程(1)的扩散项是 t L ,,F d tt X L 。逃逸现象，即逃 Open Access 141  陈慧琴 对称 Levy乘性噪声下平均首次逃逸时问题的计算分析 逸出一个状态空间的有界域，是一些动力系统演化中的一个随机冲击，研究扩散行为的许多性质的重要方法 是建立在平均首次逃逸时的基础上的。 定义 为逃逸出一个空间域 ,inf0, ,, ab tXt ab ,Dab的首次逃逸时间。在乘性 Levy 噪声 驱动的一个动力系统的平均逃逸时由一个非局部的奇异积分—微分方程来描绘的。本文仍用数值分析的方法 来求解这个非局部的问题，在文中，算法的设计与文献[1]中会有所不同。计算分析仍然是在 稳定下研究这 个跳测度，扩散系数对平均逃逸时有多大的相对影响。这章的内容组织如下：先回顾 Levy 过程的生成元和考 虑由对称 稳定 Levy 过程驱动的随机常微分方程(SDEs)；接着，数值离散化的方法处理带奇异项的积分–微 分方程；数值计算结果在最后被呈现。 2. Levy过程的生成元和平均逃逸时 从文献[2](第182 页)中查到方程， dd tt t d t X fX tgX L ， 0, X xab ，在某些适宜的条件下，推 出 0 , A xfxDxAx 。 这里 01 0,d y R A xxgxyxIDxgxy y 其中 A 被定义为 0 lim t t A t ，其中 tx L t ， 是定义在算子 A 域上的任意函数， s I 是定义在 s 上的示性函数： 。的算子 1, ; 0, . s ys Iy ys 当 当t L A 的定义见文献[3,4]。 集合 注1：在文献[2]中考虑的是一种特殊的 Levy 过程，没有示性函数，而在这里，补上了。 因此方程(1)中的随机过程 t X 的生成元是 1 0d y R A fxxx xyxIyxyxy 。 在这一节，我们关注的是从一个有界区间 上的任一点 D x 出发的轨道的平均逃逸时 。对马氏过 程的 Dynkin 公式[3,5,6]满足下列积分—微分方程方程： 0ux 1, 0, c A uxD uxx D 其中生成元 A 是： 1 0d y R A ufxu xuxxyuxIyxyuxy 。 c D D是的补集。在这篇文章里，研究的是在 稳定下 Levy 过程[7-9]，因此跳测度 1 d dd y yy ，其中 。把它写成下面的形式：对任意的 0,2 x D 有： 1 1 0d y R u xxyuxIy xyux fxux y y 1 0 (2) 当。方程中的积分是 Riemann 意义下的积分，对 , c xDux 0,2 。 3. 数值方法的设计 3.1. 逐项分析 因为这个积分—微分方程的准 确解是未知的 ，仍然依靠数 值方法来求近 似解。方 程(2)中的第一项，数值 近似是使用中心差分公式： 2uxuxhuxhh ，其中 是离散化的空间步长。我们主要的工作是 近似处理方程中的奇异积分项。 h 对任意的 ，由于被积函数的对称性，积分项 1 0h1 11 1 1 ,d y Rhh I yyy y Open Access 142  陈慧琴 对称 Levy乘性噪声下平均首次逃逸时问题的计算分析 的值等于 。我们把积分项分成三部分： 0 11 11 1 1 0 11 d dd y R hh hh uxxyuxIyxyu xy y u xxyu xu xxyu xxyuxu xxyu x yy yy 1 d y y (3) 对 ， 0,2 , x ab取较小的常数，使用Taylor 展式去计算下列这个不适定的积分，从下的分析知 当时，它是收敛的。 1 h 0,2 1 1 1 1 0 23 4 41 1 0 23 23 4 41 0 23 23 4 4 4 11 1 1 d 2624 d lim 1 lim 2263 244 1 2263 244 h h h u xxyu xxyuxy y xy xyxy uxuxu y y xu xxux yy y xu xu xxux hh h xu 4 2 当01 时，,1ab 11 ,, 1 x xxh xxh ， 11 ,, 1 x xxhxxh 。 类似有： 1 23 234 04 4 111 2 1 1 d2263 244 h uxxyuxxyuxxuxx ux hh h yxu y 其中 21 , x hx 。 合并后有： 1 1 2 211 12 h h u xxyu xxyuxh x ux R y 局部误差： 4444 4444 44 1111 11212 1 11 111 244 244244 244124 hhhh Rxuxuu uM 4 1 h 其中 4 1max xD M ux ，1 M 的上限没有超过文献[1]中对应的误差值。 下一步，考虑方程(3)右边第一项和第三项的积分，它们的形式是 1 1 1 1 11 11 1 dd 2 dd h h h h ux xyuxux xyux yy yy ux xyux xy yy h yy ux 在上， 0x 1 1 1 1 1 1 11 11 11 11 dd dd dd h h xxh xxh xxh b axxh ux xyuxxy yy yy xuy xuy yy xy xxy x uy uy x yx y yx yx Open Access 143  陈慧琴 对称 Levy乘性噪声下平均首次逃逸时问题的计算分析 方程(3)中的积分是非奇异且光滑的，使用 复合梯形公式 对这项进行数 值积分，有二 阶截断误差， 具体的 过程见下节。 3.2. 方程的离散化 现在，让 ， ,Dab02ab 取步长 ，划分数值解的网格 hba Nh ，且定义节点 ,0,1,2,, k x akhk N 。记节点数 11a N h ，11 N x 。 在 , x ab上，令 1 11 kk h x xhakakh h h ，1 11 kk h x xhakakh h h 。 令1 11 int h Lkakh h ，1 21 int h Lkak h h ，l yalh ， int x 为取整函数。 2 2uxuxhuxhhR ， 局部截断误差： 2 2max 2xD h Ru x 。 23 2uxuxhuxhuxhR ， 局部截断误差： 3 3max 3xD h Ru x 。 下面是应用复合梯形求积公式来处理方程(3)中的积分项，方程(3)中的积分是非奇异且光滑的，使用复合 梯形公式对这项进行数值积分[10]有二阶截断误差。其具体的过程如下： 1 1 112 212 11 11 4 111 11 1 dd 2 xxh b k axxh LNLL ll llL ll LL uy uy xyx y yx yx uy uy uyuy h hx hxxR yxyx yx yx 1 局部截断误差： 12 22 411 11 12 12 hh Rxxhabxxh xx ， 由于 , x ab，化简后得 2 41 3 1 12max, 6 h Ra h bh 。 将方程(2)的左边离散化，并令 1 f xx 得： 11 11 1 1 11 2 21 11 1 2 21 2 1d 2 1d d 2 22 122 hh hh h h u xxyu xu xxyu xxyuxu xxyu x 1 d x ux yy yyy u xxyu xxy h xuxyxuxy ux h yy ux hux hux hux huxh xx hhh 112 212 1 11 1111 11 1 2 LNLL ll kk k llL ll LL ux uy uy uyuy h hx hxxR yxyx yxyx Open Access 144  陈慧琴 对称 Levy乘性噪声下平均首次逃逸时问题的计算分析 全局误差： 2 1 123 12 h RRxRxR R 4 。 3.3. 全局误差分析 从上节的全局误差中看到，我们应该看到 和都应该足够小，才能使前三个误差项小。为让后一项 误差项足够小， h和的比值应该足够小，如果取 Rh h 1 h 1 h10.2 ，则按上面分析空间步长 ，因为 32 10.00032hh 上节中的 2 4 3 1 12max, 6 h R h 1 abh。在实际的计算中，当 10.2h 时， 即可，此时计算出 的数据已经很稳定了。 0.01h 把带入到方程(2)，记,0,1,2,, k xakhk N 1 k ux u k ，得代数方程： 1 12 212 2 2 1111 1 21 1 1 11 111 11 22 122 2 1 L kkkk kl kk kk llk NLL l kk lL lk Lk Lk uuuu uu h xx uhx hhh yx uu uh hx x yx yx yx (4) 由于 j u的有界性，当， , j uab j u的值为 0。方程(4)的确定项 1 f xx 在上有一个稳定平衡点， 方程(4)对应一个线性方程组，求解后的结果见下节。 1x 4. 结果分析 作为对应的确定性系统 ， 1 ,0, 0, tt xxab 1是它唯一的吸引点(一个稳定 平衡点)即几乎所有的解 轨道随时间的增加，最终都会被吸引到这一点 1。然而当这个确定性系统被非高斯 稳定 Levy 过程驱动时， 解轨道可能逃逸出在吸引点 1附近区域 0.5,1.D5。 现在计算这些解轨道的平均逃逸时(或平均首次逃逸时)。 图1和图 2是分别在乘性噪声和加性噪声下计算平均逃逸时间的例子。 Figure 1. The mean exit time for the domain (0.5, 1.5 ): fo r fixed ux 1 , the graphs from top to bottom correspond to respectively. The solid curve is the numerical solution under the multiplicative noises and the dashed curve is the numerical solution under the additive noises 0.5 1.5 , 图1. 平均逃逸时 的曲线：实线和虚线分别是乘性噪声下和加性噪声下的逃逸出区间 ux ,0.5 1.5的平均时间，其中跳测度系数 1 ， 上图在 0.5 下，下图在 .5 下 Open Access 145  陈慧琴 对称 Levy乘性噪声下平均首次逃逸时问题的计算分析 Open Access 146 ux Figure 2. The mean exit time for the domain (0.5, 1.5 ): fo r fixed 0.2 , the red solid graph, the red dashed graph and the blue dashed graph correspond to 1.5 respectively 图 0.5, 1 .0, 测度系数 2. 乘性噪声下的逃逸出区间 5的平均时间 ux的曲线：其中跳 0.2,0.5 1. ，红色实线在 0.5 下，红色虚线在 1.0 下 蓝色虚线在 ， .5 下 井函数注记 2：在文章中，主要讨论的不再是双 3 f xxx ，而是有一个稳定平衡点在 处的函数1x 1 f xx 选用平衡点在 的函数如0x 3 f xx 声下是不可能跳出包含平衡点 0 x 方程 x 在乘性噪 的区 参考文献 (References) (2011) A computational analysis for mean exit time under non-Gaussian Levy noises. 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