 Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 159-164 http://dx.doi.org/10.12677/aam.2013.24021 Published Online November 2013 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html) Integrable Discretization of the Coupled AKNS Equation Jia Wang, Lihua Zhang, Desheng Li School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Sheny ang Email: 2456953692@qq.com Received: Sep. 13th, 2013; revised: Oct. 8th, 2013; accepted: Oct. 16th, 2013 Copyright © 2013 Jia Wang et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which per- mits unrestricted use, distribution , and reproduction in any medium, provided the orig i na l wo r k i s p roperly cited. Abstract: This paper mainly stud ied th e integ r ab le discretization of the second order coupled AKNS equation. First of all, some new N soliton solutions of the semi-discrete double linear derivative equation of the second order coupled AKNS equation are got by using the Hirota method and Maple. Then, the full discrete bilinear derivative equation is obtained through the method of discrete time of the semi-discrete double linear d eriva- tive equation and its N soliton solutions are found out. Finally, the difference-difference AKNS equation is obtained by an app r op ri at e tra nsf ormation. Keywords: AKNS Equation; The Hirota Method; Interable Discretization; Soliton Solution 藕合的 AKNS 方程的可积离散化 王 佳，张丽华，李德生 沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳 Email: 2456953692@qq.com 收稿日期：2013 年9月13 日；修回日期：2013 年10 月8日；录用日期：2013 年10 月16 日 摘 要：本文主要研究了藕合的二阶 AKNS 方程的可积离散化。首先对藕合的二阶 AKNS 方程的半离 散双线性导数方程运用 Hirota 方法和 Maple 求出了其新的 N-孤子解；然后通过对半离散的双线性导数 方程中的时间变量进行离散化，得到全离散的双线性导数方程并对其进行了求解；最后通过适当的变 换得出差分–差分 AKNS 方程。 关键词：AKNS 方程；Hirota 方法；可积离散化；孤子解 1. 引言 在孤子理论中， A KNS 方程主要用来描述非一致媒质波，因此具有重要的物理背景，它的解也可以描述一 类耗散波，因此对于 A KNS 方程的研究具有重要的实际意 义[1]。到目前 为止人 们对连 续的 A KNS 方程已经有了 诸多研究[2-4]，对于离散的 A KNS 方程，陈守婷等人给出了半离散 A KNS 系统的对称与代数结构[5]，丁大军曾在 文献[6]给出这类 A KNS 方程的半离散形式及其孤子解。本文在这些工作的基础上首先用 Hirota 方法求出了 A KNS 方程的半离散形式的其它 N-孤子解，接着将该 A KNS 方程的半离散形式进行全离散化并求出了其孤子解， 最后通过适当的变换得到差分–差分的 A KNS 方程。因这类方程在流体力学，非线性光学和等离子体物理中有 大量的实践和理论应用[7]，因此对其进行研究具有重要的理论和现实意义。 Open Access 159  王 佳 等 藕合的 AKNS 方程的可积离散化 2. A KNS方程的离散化 考虑一般的一阶向量谱问题： A KNS 谱问题 1 2 ,, x q MM r ， 与本征函数随 的时间发展式 t , t RS NN TR ， 其中 是一对光滑的位势函数， ,, ,qqtx rrtx 是谱参数，而和 T是关于变量 ,RS ,tx以及 和谱参数,qr 的待定函数。将矩阵 , M N带入相容性条件，即零曲率方程 ,0,, tx M NMN MNMNNM 。 通过复杂的幂级数展开，可以得到等谱的 A KNS 微分方程族： ,1,2,3, n t qq Ln rr 110 2,,, 01 T Lqrrq ， 令 ，可以得到非平凡的方程 2n 2 2 2 2 xx xx t qqqr rrqr 。 A KNS 方程，对其进行有理变换 , g h qr ff 以及双线性算子运算得到了该二阶 A 称上述方程为二阶的 KNS 方程的双线性形式： 22 2 tx x g DDgfDff gf f (1) 22 2 tx x h DDhfDff gf f (2) 由此可以得到下列连续的双线性导数方程： 20 tx DDgf (3) 20 tx DDhf (4) 22 x Df fgf0 (5) 对方程(3)~(5)进行离散化，令： 22cosh 1 x DD n ，方程(3)~(5)可改写成如下的形式[6](也就是方程(3)~(5) 的半离散双线性形式)： 2cosh 20 tnnn DDgf (6) 2cosh 20 tnnn DDhf (7) 2cosh 220 nnnnn Dffgf (8) 即： ,,1111 2 ntnn ntnnnnn n gf gfgfgfgf 0 (9) Open Access 160  王 佳 等 藕合的 AKNS 方程的可积离散化 ,,1111 2 ntnn ntnnnnn n hf hfhfhfhf 0 (10) 11 0 nn nnnnnn ff fgggff (11) 这里 f n与 g n是关于离散变量 的函数，定义微分算子nen D ，即 en Dfn gnfngn (12) 其逆算子 en D 作用在积 f ngn时，有 en Dfngnfngn (13) 之后运用 Hirota 方法以及Maple 可求出方程(9)~(11)的N-孤子解，限于篇幅这里仅列出 2-孤子解： 12 11221 ee 1,1,2e2,1,2e n gaa 2 (14) 12 12112 ee1, 2,1e1, 2, 2e n haa 2 (15) 11 2112221212 11,1e(2,1)e1,2 e2,2 e1,2,1,2 e n fa a aaa e i (16) 其中： 0 e i nn t i P (17) 0 e i nn t i Me i (18) 2 1 i ii P P (19) 2 1 i ii M M (20) 2 2 11 2 2 11 12 1,1,211 MPP aMP MP 2 (21) 2 2 21 2 2 21 22 2,1,2 11 MPP aMP MP 2 (22) 2 2 11 2 2 11 12 1, 2,111 PM M aPM PM 2 (23) 2 2 212 2 22 21 1, 2, 211 PM M aPM PM 2 (24) 112 11 1,1 1 PM aPM (25) 122 12 2,1 1 PM aPM (26) 212 21 1, 21 PM aPM (27) 22 2 22 2,2 1 PM aPM (28) Open Access 161  王 佳 等 藕合的 AKNS 方程的可积离散化 22 121 21212 222 1121122 2 1, 2,1 , 2111 PPM MMMPP aMPMP MPMP 2 1 (29) 注意到方程(3)~(5)在下列变换下是保持不变的： e x t ff (30) e x t gg (31) e x t hh (32) 这里 , 是常数，而方程(6)~(8)在下列变换下也是不变的： ent nn ff (33) ent nn gg (34) ent nn hh (35) 因此假设关于时间离散的双线性方程在下列变换下也是不变的： e mmn nn ff m (36) e mmn nn gg m (37) e mmn nn hh m (38) 这里 tm ， 是整数。 m 定义两个算子： dd dd tn n g f Dg ffg tt ，dd dd tn nhf Dh ffh tt ，并用下面的差分算子代替它们中的微分算 子[8]： 11 d d mm nn f f f t (39) 11 d d mm nn g g g t (40) 11 d d mm nn hhh t (41) 由此得到关于时间差分的双线性算子： 11 1mmmm tn nnnnn Dg fgfgf (42) 11 1mmmm tn nnnnn Dh fhfhf (43) 对方程(6)~(7)使用(42)和(43)可得到如下全离散的双线性方程： 11 11 11 2 mm mmmmmmmm nnnnnn nnnn gfgfgfgfgf 0 0 0 1 0 0 (44) 11 11 11 2 mm mmmmmmmm nnnnn nn nnn hfhfh fh fhf (45) 由于方程(44)~(45)在变换(36)~(38)下是改变的，所以下面考虑方程(44)~(45)的耦合方程(46)~(49)： 11111 1111 2 mmmmmm mmmm nnnnnn nnnn gfgfgf gfgf (46) 111 1 11 11 2 mm mmmmmmmm nnnnnnn nnn gfgfgfgfgf (47) 11111 111 1 2 mmmmmmmmmm nnnnnn nnnn hfhfhfhfhf (48) Open Access 162  王 佳 等 藕合的 AKNS 方程的可积离散化 111 1 11 11 2 mm mmmmmmmm nnnnnnn nnn hfhfhfh fhf 1 0 0 0 (49) 方程(46)~(49)在方程变换(36) ~(38 ) 下是不变的，且方程(46)和方程(47)、方程(48) 和方程(49)通过适当的坐标 变换可以互相转化，在文献[8]中已引用过相同的结论，又方程(8)在变换(36) ~(38)下也是保持不变的,由此我们得 到(6)~(8)的全离散的双线性形式如下： 11111 1111 2 mmmmmm mmmm nnnnnn nnnn gfgfgf gfgf (50) 11111 111 1 2 mmmmmmmmmm nnnnnn nnnn hfhfhfhfhf (51) 11 0 mm mmmm nnnn nn ff ffgh (52) 运用 Hirota 方法求出方程(50)~(52)的N-孤子解，这里给出 2-孤子解： 12 11221 ee 1,1,2e2,1,2e n gaa 2 (53) 12 12112 ee1, 2,1e1, 2, 2e n haa 2 (54) 1121122 21212 11,1e2,1e1,2 e2,2 e1,2,1,2 e n faaaa a (55) 其中： 0 ei nn im i P (56) 0 ei nn im i M (57) 2 1 mii iii PP PP (58) 2 1 mi iii i M M MM (59) 其系数与前面半离散双线性导数方程(6)~(8)的2孤子解的相应系数相同。 现在通过下面的变换把全离散双线性方程(50)~(52)转化成非线性差分–差分方程，为此令： mm nnn m g vf (60) mm nnn huf m (61) 把变换(60)~(61)带入到变换(50)~(52)中，有： 1 11 1111 12 mm mmmm m nn nnnn n mm nn ff vvvv v ff 1 0 (62) 1 11 1111 12 mm mmmmm nn nnnn n mm nn ff uuuuu ff 1 0 (63) 11 1 mm mm nn nn mm nn ff vu ff (64) 令： 1 11 11 1 1 11 mm nn mm mm mnn nn nmmm m nnnn mm nn ff ff ff 1 f fff ff (65) Open Access 163  王 佳 等 藕合的 AKNS 方程的可积离散化 Open Access 164 11 20 11 20 由此方程(62)~(63)可变成如下形式： 1 11 1 mm mmmmmm nn nnnnnn vvvuvvv (66) 1 11 1 mm mmmmmm nn nnnnnn uuvu vvv (67) 令与 相比将得到： 1 m n m n 1 11 11 11 1 11 1 1 mm nn mmm mm nnn nn mmm mm nnn nn mm nn ff ff vu ffvu ff 1 (68) 由此得到差分–差分 A KNS 方程： 1 11 1 mm mmmmmm nn nnnnnn vvvu vvv 11 20 11 20 (69) 1 11 1 mm mmmmmm nn nnnnnn uuvu vvv (70) 1 11 11 11 1 11 1 1 mm nn mmm mm nnn nn mmm mm nnn nn mm nn ff ff vu ffvu ff 1 (71) 3. 小结 本文主要做了下列工作：1) 对藕合的二阶 AKNS方程的半离散双线性形式用 Hirota 方法进行求解，得到了 它的新的 N孤子解；2) 对藕合的二阶 AKNS方程的半离散双线性形式进行了全离散化，并用 Hirota 方法求得了 全离散双线性方程的 N孤子解；3) 通过适当的变换求出差分–差分 AKNS方程，但未对其进行求解。由于这类 方程有很强的实际背景，因此对其进行研究很有意义，所以我们将在另文中对最后得到差分–差分 AKNS 方程 可积性质进行研究。 参考文献 (References) [1] Bi, J.-B., Sun, Y.-P. and Chen, D.-Y. 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