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Pure Mathematics
Vol.07 No.04(2017), Article ID:21382,4 pages
10.12677/PM.2017.74039

On the Finite p-Group with a Small Central Quotient

Xing Wu, Yulong Ma, Hailin Liu*

School of Mathematics and Statistics, Yunnan University, Kunming Yunnan

Received: Jun. 23rd, 2017; accepted: Jul. 8th, 2017; published: Jul. 17th, 2017

ABSTRACT

Let G be a finite noncyclic p-group of order greater than. If divides, then G is called a LA-group. The purpose of this paper was to consider the class of p-group such that with the prime. We showed that such group G is LA-group.

Keywords:Finite p-Group, LA-Group, Automorphism Group

具有小中心商的有限p-群

伍星，马玉龙，刘海林*

云南大学数学与统计学院，云南 昆明

收稿日期：2017年6月23日；录用日期：2017年7月8日；发布日期：2017年7月17日

摘 要

假设G是一个有限非交换p-群，并且G的阶大于，如果整除，那么称G为LA-群。本文考虑了二元生成的有限p-群，并且满足，其中素数。我们证明了这样的有限p-群是LA-群。

关键词 :有限p-群，LA-群，自同构群

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

设是一个，是的正规子群。在本文中我们用，，和分别表示群的导群，自同构群，中心和商群。用表示群的阶。

假设群是一个有限非循环p-群，并且的阶大于，如果整除，那么我们称这个p-群为LA-群。对LA-群的研究有很久的历史。下面我们列出一些关于LA-群的一些结果：假设是一个阶的有限非循环p-群，并且。如果满足下列条件之一，那么是LA-群。

1)是一个PN-群和一个交换群的直积，并且整除(见 [1] )；

2)是p-交换p-群(见 [2] )；

3)，并且是亚循环的(见 [3] )；

4) (见 [4] [5] )；

5) (见 [6] )；

6)，并且是有限的模p-群(见 [7] )；

7) Frattini子群循环(见 [8] )；

8)是一个指数为的循环子群(见 [9] )；

9)是一个极大类p-群(见 [1] )；

10) 对任意的， (见 [10] )；

11) (见 [11] )；

12)是余类为2的p-群(见 [12] )。

此外，在文献 [13] 中，作者刻画了满足的极大类p-群，其中表示的Sylow-p子群的阶。再者满足的p-群在文献 [14] 中被分类。

本文我们将LA-群推广到一类p-群上：满足，，其中为素数。现在我们陈述本文的主要结果。

定理1.1. 假设是一个阶大于等于的有限非循环p-群，为素数，并且满足，则整除，即为LA-群。

注1.1. 由引理2.1，我们可以假设群的幂零类大于2。进一步，由文献 和 ，我们可以假设不是p-交换的，并且。

2. 预备引理

在本小节，我们将给出一些必要的预备结果。

首先，我们给出两个关于LA-群的结果，见文献 [15] [16] 。

引理2.1. ( [16] , THEOREM])假设是一个有限非交换p-群，幂零类，则的阶整除于的阶。

引理2.2. ( [15] , THEOREM])假设是一个有限p-群，并且满足是一个非平凡的亚循环，则整除。

接下来的引理给出了有限亚循环p-群的判别准则。

引理2.3. ( [17] , K.III, S.11.4])假设是一个有限p-群，则是亚循环的当且仅当，其中。

最后我们给出有限p-群正则的判别准则。

引理2.4. 假设是一个有限p-群，

1) 如果，那么正则；

2) 如果，那么正则；

3) 如果，并且循环，那么正则；

4) 如果，那么正则。

3. 定理证明

首先，我们考虑正则的情形：是一个正则p-群，其中素数p没有限制。

引理3.1. 假设是一有限非循环p-群，满足，则整除。

证明：假设是一个正则p-群。注意到正则2-群是交换的，因此。因为不是p-交换的，所以我们有。又因为正则，所以，。因此并且。接下来我们有：和的交非平凡。事实，如果假设，那么存在满足，因此，与前面的事实矛盾。若假设，则很容易可得并且。进一步，由前面的事实可得，所以。从而由引理2.3，我们可得是亚循环的。因此由引理2.2，定理得证。

即使是一个非正则p-群，也是亚循环的。

命题3.2. 假设是一个阶大于等于的有限非循环p-群，并且满足

，，则是亚交换的。

证明：由前面的讨论我们可知具有下面的子群链：。因此我们有或者。如果是p阶的循环群，那么交换，所以是亚交换的；接下来，假设其中。如果，由文献( [17] , K.III, H.2.11, b])，那么我们可以在中选择和满足在中，如果，那么可以在中选择，在中选择满足属于；最后，如果，你们可以在中选择，在中选择满足属于。因为，所以是交换的，因此是亚交换的。

定理1.1的证明。注意到的幂零类或者5。由于，所以是正则的。因此由引理3.1可得定理1.1对所以的素数均成立。

定理1. 的证明已完成，接下来我们给出一个推论。

推论3.3. 假设是一个有限非循环p-群，满足并且，则整除。

证明：注意到，所以。由定理1.1和文献 ，推论得证。

本文中，我们仅仅只考虑了这种情形：，其中。但是由引理3.1，我们可知定理1.1对这种情况也是成立的：是正则的p-群，其中对素数p没有限制。因此，自然地我们有下面可以考虑的问题。

问题：定理1.1对这种情形是否成立：是一个非正则的2-群，非正则3-群或者非正则5-群。对于这个问题我们也在进一步研究。我们可以预见到这种情形的复杂性。这将是一个巨大的工作。

基金项目

国家自然科学基金(11301468)、云南省自然科学基金(2013FB001)和云南大学第八届研究生科研创新项目资助(ynuy201688)。

文章引用

伍 星,马玉龙,刘海林. 具有小中心商的有限p-群
On the Finite p-Group with a Small Central Quotient[J]. 理论数学, 2017, 07(04): 297-300. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.74039

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    18. NOTES

    *通讯作者。

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