西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州

收稿日期：2021年6月8日；录用日期：2021年7月9日；发布日期：2021年7月21日

摘要

本文考虑带有非线性阻尼的Kirchhoff型Berger方程解的长时间行为，运用收缩函数和渐近先验估计的方法证明了上述问题在空间 $\left(H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)\right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中一致吸引子的存在性。

关键词

Berger方程，Kirchhoff型，非线性阻尼，一致吸引子

Uniform Attractor for Berger Equation of Kirchhoff-Type with Nonlinear Damping

Juanjuan Zhang^*, Ling Xu

College of Mathematics and Statistic, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu

Received: Jun. 8^th, 2021; accepted: Jul. 9^th, 2021; published: Jul. 21^st, 2021

ABSTRACT

In this paper, we consider the long-time behavior of solution for Berger equation of Kirchhoff-type with nonlinear damping, and prove the existence of uniform attractor for the above problem by using the method of contractive function and asymptotic priori estimation in the space $\left(H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)\right)\times L^2\left(\Omega \right)$.

Keywords:Berger Equation, Kirchhoff-Type, Nonlinear Damping, Uniform Attractor

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文考虑带有非线性阻尼的Kirchhoff型非自治Berger方程

$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}+a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)+\left(\beta -\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)\Delta u+{\Delta }^{2}u+\mu u+g\left(u\right)=h\left(x,t\right),x\in \Omega ,(1)\\ {u|}_{\partial \Omega }={\Delta u|}_{\partial \Omega }=0,(2)\\ u\left(x,\tau \right)=u_{\tau }^0\left(x\right),u_t\left(x,\tau \right)=u_{\tau }^1\left(x\right)(\; 3\; )\end{array}$

一致吸引子的存在性，其中 $\Omega \subset {ℝ}^n$ 是一个具有足够光滑边界的有界域，函数 $u\left(x,t\right)$ 代表板的挠度， $\beta$ 是一个常数，它与作用在板上的压力成正比， $h\left(x,t\right)$ 描述板的横向负载，函数 $a\left(x\right)$ 表示环境阻力， $\mu$ 和 $\alpha$ 是大于0的常数。

假设函数 $h\left(x,t\right)$ 、 $\phi \left(s\right)$ 、 $g\left(s\right)$ 和 $a\left(x\right)$ 分别满足如下条件

(W1) 函数 $a\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$，并且存在正常数 ${\alpha }_0$，使得

$a\left(x\right)\ge {\alpha }_0>0,x\in \Omega$. (4)

(W2) 函数 $\phi \in C^1\left(ℝ\right)$，满足以下条件

$\phi \left(0\right)=0,\phi 是严格增的,\lim {\inf }_{\left|s\right|\to \infty }\phi \prime \left(s\right)>0$, (5)

$\left|\phi \left(s\right)\right|\le C\left(1+{\left|s\right|}^q\right)$, (6)

其中当 $n\le 4$ 时， $1\le q<\infty$ ；当 $n>4$ 时， $1\le q\le \frac{n+4}{n-4}$。

(W3) 函数 $g\in C^1\left(ℝ\right)$,$G\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{u}g\left(s\right)\text{d}s}$，满足如下条件

$\left|g^{\prime }\left(s\right)\right|\le C_1\left(1+{\left|s\right|}^p\right)$, (7)

$\lim {\inf }_{\left|s\right|\to \infty }\frac{g\left(s\right)}{s}>-{\lambda }_1$, (8)

其中当 $n\le 4$ 时， $1\le p<\infty$ ；当 $n>4$ 时， $1\le p\le \frac{4}{n-4}$。 ${\lambda }_1$ 是满足Poincáre不等式( ${\Vert \nabla u\Vert }^2\ge \sqrt{{\lambda }_{\text{1}}}{\Vert u\Vert }^2$ )的适当常数。

(W4) 外力项 $h\left(x,t\right)$ 满足条件

$h\left(x,t\right)\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)$, (9)

${\partial }_{t}h\in L_b^r\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right),r>\frac{2n}{n+4}$. (10)

Berger方程起源于飞机在空中飞行的过程中，金属表面遇到气流时的非线性振动现象以及能量耗散，它描述板的非线性振动情况，这类方程较早地可以追溯到Berger的理论中，参见文献 [1] [2]。

当 $\beta =\alpha =0$ 时，即方程(1)不具有Kirchhoff型且 $\phi \left(u_t\right)=u_t$ 时，文献 [3] ( $a\left(x\right)\equiv \xi$ (常数))和文献 [4] 都研究了自治的Berger方程在无界域上全局吸引子的存在性，文献 [5] 研究了方程(1)在空间 $H_0^2\left(\Omega \right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中一致吸引子的存在性；若 $\phi \left(u_t\right)$ 为非线性阻尼时，文献 [6] 研究了自治的Berger方程在空间 $H_0^2\left(\Omega \right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中全局吸引子的存在性。

当 $\beta ,\alpha$ 均不为0时，文献 [7] 研究了方程(1) ( $g\left(u\right)=0,\mu =0,\alpha =1$ )解的长时间动力学行为，并且在空间 $\left(H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)\right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中证明了该方程紧的一致吸引子的存在性。

受此启发，本文试图运用收缩函数和渐近先验估计的方法证明问题(1)~(3)在空间 $\left(H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)\right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中一致吸引子的存在性。特别地，非线性阻尼项和Kirchhoff项的引入给一致有界吸收集的存在性和过程渐近紧性的证明带来了本质性的困难。

本文的结构如下，第二部分，介绍本文相关的预备知识；第三部分，在所给的函数空间中证明问题(1)~(3)所对应过程的一致有界吸收集的存在性；第四部分，首先运用能量不等式进行先验估计，其次根据定理A证明过程的渐近紧性，进而得到问题(1)~(3)在空间 $\left(H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)\right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中一致吸引子的存在性。

在本文中， $C$ 和 $C_i\left(i=0,1,2,\cdots \right)$ 都表示正常数，在不同之处可表示不同的值。

2. 预备工作

为了方便起见，给出如下简写： $L^p=L^p\left(\Omega \right)$，$H^k=H^k\left(\Omega \right)$，$H=L^2$，$V_1=H_0^1$，$V_2=H^2\cap H_0^1$，其中 $p\ge 1$，$k>0$。这里 $H^k$ 是Sobolev空间， $H_0^k$ 是 $C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 在 $H^k$ 中的闭包。

用 $\Vert ,\Vert$ 和 $(,)$ 分别表示空间 $H$ 中的范数和内积， $V_{-2}$ 表示 $V_2$ 的对偶空间， $\langle ,\rangle$ 表示对偶空间之间的对偶积。

定义算子 $A:V_2\to V_{-2}$，

$\langle Au,v\rangle =\langle \Delta u,\Delta v\rangle ,\forall u,v\in V_2$,

$D\left(A\right)=\left\{u\in H|Au\in H\right\}=\left\{u\in H^4|u,\Delta u\in H_0^1\right\}$,

则 $A$ 是空间 $H$ 中的自伴算子，且在空间 $V_2$ 中是严格正的。因此可以定义算子 $A$ 的能量为 $A^s\left(s\in ℝ\right)$，于是空间 $V_s=D\left(A^{\frac{s}{4}}\right)$ 是Hilbert空间，并且具有如下的内积和范数

${\left(u,v\right)}_s=\left(A^{\frac{s}{4}}u,A^{\frac{s}{4}}v\right),{\Vert u\Vert }_{V_s}=\Vert A^{\frac{s}{4}}u\Vert$.

显然， ${\Vert u\Vert }_{V_2}=\Vert A^{\frac{1}{2}}u\Vert =\Vert \Delta u\Vert ,{\Vert u\Vert }_{V_1}=\Vert A^{\frac{1}{4}}u\Vert =\Vert \nabla u\Vert$。

下面介绍一些非自治动态系统的基本概念和定理，至于更详细的理论可参考文献 [8] [9]。

空间 $L_{\text{loc}}^r\left(ℝ;L^k\left(\Omega \right)\right)\left(r,k\ge 1\right)$ 中的平移有界函数空间

$L_b^r\left(ℝ;L^k\left(\Omega \right)\right)=\left\{h\in L_{\text{loc}}^r\left(ℝ;L^k\left(\Omega \right)\right):{\sup }_{t\in ℝ}{{\displaystyle {\int }_t^{t+1}\Vert h\left(x,s\right)\Vert }}_{L^k(\Omega )}^r\text{d}s<\infty \right\}$.

假设X是Banach空间， $\sum$ 是参数集。如果对任意的 $\sigma \in \sum$，$\tau \in ℝ$，

$U_{\sigma }\left(t,s\right)\circ U_{\sigma }\left(s,\tau \right)=U_{\sigma }\left(t,\tau \right),\forall t\ge s\ge \tau$, (11)

$U_{\sigma }\left(\tau ,\tau \right)=\text{Id}\left(恒等算子\right)$, (12)

则称算子 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 为 $X$ 中的带有符号空间 $\sum$ 的过程族。

假设 ${\left\{T\left(s\right)\right\}}_{s\ge 0}$ 是作用于 $\sum$ 的平移半群，如果

$U_{\sigma }\left(t+s,\tau +s\right)=U_{T(s)\sigma }\left(t,\tau \right),\forall \sigma \in \sum ,t\ge \tau ,\tau \in ℝ,s\ge 0$, (13)

$T\left(s\right)\sum =\sum ,\forall s\ge 0$,(14)

则称过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 满足平移恒等式。

用 $\mathcal{B}\left(X\right)$ 表示 $X$ 中所有有界集的集合， ${ℝ}_{\tau }=\left\{t\in ℝ,t\ge \tau \right\}$。

定义1 [8] 设 $B_0\in \mathcal{B}\left(X\right)$，如果对任意的 $\tau \in ℝ$,$B\in \mathcal{B}\left(X\right)$，存在时刻 $T_0=T_0\left(B,\tau \right)\ge \tau$，使得

${\displaystyle {\cup }_{\sigma \in \sum }{U}_{\sigma }\left(t,\tau \right)B}\subset B_0,t\ge T_0$,

则称 $B_0$ 是过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集。

定义2 [8] 设 $\mathcal{A}\subset X$，如果对任意固定的 $\tau \in ℝ$，以及每一个 $B\in \mathcal{B}\left(X\right)$，

${\lim }_{t\to +\infty }\left({\sup }_{\sigma \in \sum }dist\left(U_{\sigma }\left(t,\tau \right)B,\mathcal{A}\right)\right)=0$,

则称 $\mathcal{A}$ 是过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引集，其中 $dist\left(\cdot ,\cdot \right)$ 表示 $X$ 中两个集合的Hausdorff半距离。特别地，如果闭的一致吸引集 ${\mathcal{A}}_{\sum }\subset X$ 包含在任何封闭的一致吸引集中(最小性)，则称 $\mathcal{A}$ 为过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引子。

定义3 [9] 设 $X$ 是Banach空间， $B$ 是 $X$ 的有界子集， $\sum$ 是符号空间，若对任何序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\subset B$ 和每个 $\left\{{\sigma }_n\right\}\subset \sum$，都存在子序列 ${\left\{x_{n_k}\right\}}_{k=1}^{\infty }\subset {\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 和 ${\left\{{\sigma }_{n_k}\right\}}_{k=1}^{\infty }\subset {\left\{{\sigma }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$，使得

${\lim }_{k\to \infty }{\lim }_{l\to \infty }\varphi \left(x_{n_k},x_{n_l};{\sigma }_{n_k},{\sigma }_{n_l}\right)=0$,

则称 $\left(X\times X\right)\times \left(\sum \times \sum \right)$ 上的函数 $\varphi \left(\cdot ,\cdot ;\cdot ,\cdot \right)$ 是定义在 $B\times B$ 上的收缩函数。

$\text{contr}\left(B,\sum \right)$ 表示所有定义在 $B\times B$ 上收缩函数的集合。

定理A [9] 设 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 是Banach空间 $\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 中的一个过程族，满足平移恒等式(13)和(14)，并且有一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集 $B_0\subset X$。进一步，假设对任意的 $\epsilon >0$，存在 $T=T\left(B_0,\epsilon \right)$ 和 ${\varphi }_T\in \text{contr}\left(B,\sum \right)$，使得

$\Vert U_{{\sigma }_1}\left(T,0\right)x-U_{{\sigma }_2}\left(T,0\right)y\Vert \le \epsilon +{\varphi }_T\left(x,y;{\sigma }_1,{\sigma }_2\right),\forall x,y\in B_0,\forall {\sigma }_1,{\sigma }_2\in \sum$,

则称 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 在 $X$ 中是一致(关于 $\sigma \in \sum$ )渐近紧的。

非线性阻尼函数 $\phi$ 满足以下结果

引理1 [10] 设非线性函数 $\phi \left(s\right)$ 满足(W2)，则对任意的 $\delta >0$，存在 $C_{\delta }>0$，使得

${\left|u-v\right|}^2\le \delta +C_{\delta }\left(\phi \left(u\right)-\phi \left(v\right)\right)\left(u-v\right),\forall u,v\in ℝ.$

类似于文献 [7] 中定理3.1，可以得到问题(1)~(3)解的存在性和唯一性结果如下：

定理1 设(W1)~(W4)成立，则对任意的初值 $\left(u_{\tau }^0,u_{\tau }^1\right)\in V_2\times H$，问题(1)~(3)有唯一的解 $u\left(t\right)$ 满足

$\left(u\left(t\right),u_t\left(t\right)\right)\in C\left({ℝ}_{\tau };V_2\times H\right)和{\partial }_{tt}u\left(t\right)\in L_{loc}^2\left({ℝ}_{\tau };H^{-2}\left(\Omega \right)\right)$.

设 $y\left(t\right)=(u\left(t\right),u_t\left(t\right))$，$y_{\tau }=\left(u_{\tau }^0,u_{\tau }^1\right)$，$E_0=V_2\times H$，其范数为

${\Vert y\Vert }_{E_0}={\Vert \Delta u\Vert }^2+{\Vert u_t\Vert }^2$.

系统(1)~(3)等价于如下系统

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t{u}_t=-a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)-\left(\beta -\alpha {\Vert \nabla u\Vert }^{\text{2}}\right)\Delta u-{\Delta }^{2}u-\mu u-g\left(u\right)+h\left(x,t\right),t\ge \tau ,\\ {u|}_{\partial \Omega }=\frac{\partial }{\partial \nu }{u|}_{\partial \Omega }=0,u\left(x,\tau \right)=u_{\tau }^0\left(x\right),u_t\left(x,\tau \right)=u_{\tau }^1\left(x\right),\end{array}$

该系统的算子表示形式如下

${\partial }_{t}y=A_{\sigma (t)}\left(y\right),{y|}_{t=\tau }=y_{\tau }$, (15)

其中 $\sigma \left(t\right)=h\left(x,t\right)$ 是方程(15)的符号。现在定义方程(15)的符号空间，取固定的符号 ${\sigma }_0\left(t\right)=h_0\left(x,t\right)$，$h_0\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$ 和集合

${\sum }_0=\left\{h_0\left(x,t+s\right):s\in ℝ\right\}$, (16)

$符号空间\sum 是{\sum }_0在L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)中的弱*闭包$. (17)

于是有如下性质成立。

命题1 $\sum$ 在空间 $L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)$ 中是有界的，并且对任意的 $\sigma \in \sum$，有以下估计成立

${\Vert \sigma \Vert }_{L^{\infty }(ℝ;L^2(\Omega ))\cap W_b^{1,r}(ℝ;L^r(\Omega ))}\le {\Vert h_0\Vert }_{L^{\infty }(ℝ;L^2(\Omega ))\cap W_b^{1,r}(ℝ;L^r(\Omega ))}$.

因此，由定理1可知，问题(1)~(3)对所有的 $\sigma \in \sum$ 是适定的，并且产生了一个由公式 $U_{\sigma }\left(t,\tau \right)y_{\tau }=y\left(t\right)$ 给出的过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$。 $y\left(t\right)$ 是问题(1)~(3)满足条件(W1)~(W4)的解，并且 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 满足(11)~(12)。同时，由唯一可解性知， $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 满足平移等式(13)~(14)。

用 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 表示由(15)~(17)产生的过程族。

应用文献 [11] 中命题7.1，可以得出如下结果：

命题2 设 $h\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$，则存在常数 $M>0$，使得

${\sup }_{t\in ℝ}{\Vert h\left(x,t+s\right)\Vert }_{L^2(\Omega )}\le M,s\in ℝ$

命题3 设 $s_i\in ℝ\left(i=1,2,\cdots \right)$，$h\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$，$\left\{u_n\left(t\right):t\ge 0,n=1,2,\cdots \right\}$ 在空间 $H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)$ 中有界，并且对每个 $T_1>0$，$\left\{u_{n_t}\left(t\right)|n=1,2,\cdots \right\}$ 在空间 $L^{\infty }\left(0,T_1;L^2\left(\Omega \right)\right)$ 中有界，则对任意的 $T>0$，存在子序列 ${\left\{u_{n_k}\right\}}_{k=1}^{\infty }\subset {\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 和 ${\left\{s_{n_k}\right\}}_{k=1}^{\infty }\subset {\left\{s_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$，使得

${\lim }_{k\to \infty }{\lim }_{l\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h\left(x,\tau +s_{n_k}\right)-h\left(x,\tau +s_{n_l}\right)\right){\left(u_{n_k}-u_{n_l}\right)}_t\left(\tau \right)\text{d}x}}\text{d}\tau }\text{d}s=0$.

3. 一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集的存在性

定理2 假设(W1)~(W4)成立，若 $h_0\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$，且 $\sum$ 是由(17)所定义的，则问题(1)~(3)对应的过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 在空间 $E_0$ 中有一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集。

证明 用方程(1)与 $u_t$ 在空间 $H$ 中作内积，可得

$\frac{\mathrm{d}}{\text{d}t}E\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x=\left(h\left(t\right),u_t\right),$ (18)

其中

$E\left(t\right)=\frac{1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2+\frac{1}{2}{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\mu }{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\frac{\beta }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }G\left(u\right)\text{d}x}.$ (19)

联立(4)和(5)可知，存在 ${\delta }_1>0$ 和 $C_{{\delta }_1}>0$，使得

$\left(a\left(x\right)\phi \left(u_t\right),u_t\right)\ge 2{\delta }_1{\Vert u_t\Vert }^2-C_{{\delta }_1}\text{meas}\left(\Omega \right),$ (20)

$\left(\frac{3}{4}a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)-{\delta }_1{u}_t,u_t\right)\ge \frac{{\delta }_1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2-C_{{\delta }_1}\text{meas}\left(\Omega \right).$ (21)

由(8)式可知，存在 ${\lambda }_1>{\lambda }^{\prime }>0$ 和 $C_0$，使得

$\left(g\left(u\right),u\right)\ge -{\lambda }^{\prime }{\Vert u\Vert }^2-C_0\text{meas}\left(\Omega \right),$ (22)

${\displaystyle {\int }_{\Omega }G\left(u\right)\text{d}x}\ge -\frac{{\lambda }^{\prime }}{2}{\Vert u\Vert }^2-C_0\text{meas}\left(\Omega \right).$ (23)

根据Poincáre不等式和(23)，可以推出

$-\frac{{\beta }^2}{2\alpha }-C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\le \frac{1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2+\frac{m}{2}{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{8}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\frac{{\beta }^2}{2\alpha }-C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\le E\left(t\right),$ (24)

其中 $m\in \left(0,1\right]$ 是一个常数，若 $\mu \ge {\lambda }^{\prime }$，则 $m=1$ ；若 $0<\mu <{\lambda }^{\prime }$，则 $m\le 1-{\lambda }_1^{-1}\left({\lambda }^{\prime }-\mu \right)$。

由(5)和(6)可知

${\left|\phi \left(s\right)\right|}^{\frac{q+1}{q}}\le \{\begin{array}{l}C,\left|s\right|\le 1,\\ 2C\phi \left(s\right)s,\left|s\right|\ge 1.\end{array}$ (25)

运用Hölder不等式和Young不等式，结合(4)，(5)和(25)，可以得到如下估计

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u\text{d}x}\right|\\ \le \left|{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\le 1\right)}a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u\text{d}x}\right|+\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u\text{d}x}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\le 1\right)}Ca\left(x\right)\left|u\right|\text{d}x}+{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}2Ca\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x\right)}^{\frac{q}{q+1}}{\left({{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}a\left(x\right)\left|u\right|}}^{q+1}\text{d}x\right)}^{\frac{1}{q+1}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\le 1\right)}a\left(x\right)\left|u\right|\text{d}x}+q{\left(q+1\right)}^{-\left(1+\frac{1}{q}\right)}{\epsilon }_2^{-\frac{1}{q}}{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}2Ca\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x{\left({{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}a\left(x\right)\left|u\right|}}^{q+1}\text{d}x\right)}^{\frac{q-1}{q\left(q+1\right)}}\\ +{\epsilon }_{\text{2}}{\left({{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}a\left(x\right)\left|u\right|}}^{q+1}\text{d}x\right)}^{\frac{\text{2}}{q+1}}\\ \le \frac{C^2}{4{\epsilon }_{\text{1}}}\text{meas}\left(\Omega \right)+\left({\epsilon }_{\text{1}}{a}_0^2{\lambda }_1^{-1}+{\epsilon }_{\text{2}}{a}_0^{\frac{2}{q+1}}{C}_{\lambda }^{-1}\right){\Vert \Delta u\Vert }^2\\ +\left[2Cq{\left(q+1\right)}^{-\left(1+\frac{1}{q}\right)}{\epsilon }_2^{-\frac{1}{q}}{a}_0^{\frac{q-1}{(q+1)q}}{C}_{\lambda }^{-\frac{q-1}{2q}}\right]{\Vert \Delta u\Vert }^{\frac{q-1}{q}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x\\ =C_{\text{2}}+\eta {\Vert \Delta u\Vert }^2+C_{\eta }{\Vert \Delta u\Vert }^{\frac{q-1}{q}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x,\end{array}$ (26)

其中 $a_0=\sup \left\{a\left(x\right)|x\in \Omega \right\}$，由紧嵌入 $H^2⋐L^{q+1}$ 可知， ${\Vert \Delta u\Vert }^2\ge C_{\lambda }{\Vert u\Vert }_{q+1}^2$ ( $C_{\lambda }$ 为正常数)。

将 $v=u_t+{\delta }_{1}u$ ( ${\delta }_1$ 如(20)所定义)代入方程(1)，可得

$v_t-{\delta }_1{u}_t+a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)+{\Delta }^{2}u+\mu u+\left(\beta -\alpha {\Vert \nabla u\Vert }^2\right)\Delta u+g\left(u\right)=h\left(x,t\right)$. (27)

用 $v$ 与(27)式在空间 $H$ 中作内积，有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{E}_{{\delta }_1}\left(t\right)+K\left(t\right)=0$, (28)

其中

$E_{{\delta }_1}\left(t\right)=\frac{1}{2}{\Vert v\Vert }^2-\frac{1}{2}{\delta }_1^2{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\mu }{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\frac{\beta }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }G\left(u\right)\text{d}x},$ (29)

$\begin{array}{l}K\left(t\right)=\left(\frac{3}{4}a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)-{\delta }_1{u}_t,u_t\right)+\frac{1}{4}\left(a\left(x\right)\phi \left(u_t\right),u_t\right)+{\delta }_1\left(a\left(x\right)\phi \left(u_t\right),u\right)+{\delta }_1\alpha {\Vert \nabla u\Vert }^4\\ -{\delta }_1\beta {\Vert \nabla u\Vert }^2+{\delta }_1{\Vert \Delta u\Vert }^2+\mu {\delta }_1{\Vert u\Vert }^2+{\delta }_1\left(g\left(u\right),u\right)-\left(h\left(t\right),u_t\right)-\left(h\left(t\right),{\delta }_{1}u\right).\end{array}$ (30)

运用Poincáre不等式并结合(23)式，有

$\begin{array}{l}{E}_{{\delta }_1}\left(t\right)\ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }^2+\left(\frac{m}{2}-\frac{{\delta }_1^2}{2{\lambda }_1}\right){\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{8}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\left(\frac{{\beta }^2}{2\alpha }+C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\right)\\ \ge {\text{C}}_3\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4\right)-\left(\frac{{\beta }^2}{2\alpha }+C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\right),\end{array}$ (31)

其中 ${\delta }_1>0$ 足够小，使得 $2^{-1}m-{\left(2{\lambda }_1\right)}^{-1}{\delta }_1^2>0$。

运用Young不等式、Poincáre不等式，再结合(21)~(22)和(26)，能够得出下列估计

$\begin{array}{l}K\left(t\right)\ge \frac{{\delta }_1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2-C_{{\delta }_1}\text{meas}\left(\Omega \right)+\frac{1}{4}\left(a\left(x\right)\phi \left(u_t\right),u_t\right)+{\delta }_1\left(-C_{\text{2}}-\eta {\Vert \Delta u\Vert }^2-C_{\eta }{\Vert \Delta u\Vert }^{\frac{q-1}{q}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x\right)\\ +\frac{{\delta }_1\alpha }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\frac{{\delta }_1{\beta }^2}{2\alpha }+{\delta }_1{\Vert \Delta u\Vert }^2+\mu {\delta }_1{\Vert u\Vert }^2+{\delta }_1\left(-{\lambda }^{\prime }{\Vert u\Vert }^2-C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\right)-\frac{1}{2{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2-\frac{{\epsilon }_3}{2}{\Vert u_t\Vert }^2\\ -\frac{1}{2{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2-\frac{{\epsilon }_3}{2}{\delta }_1^2{\Vert u\Vert }^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\ge \frac{{\delta }_1-{\epsilon }_3}{2}{\Vert u_t\Vert }^2+{\delta }_1\left(1-\eta \right){\Vert \Delta u\Vert }^2+{\delta }_1\left(\mu -{\lambda }^{\prime }-\frac{{\epsilon }_3{\delta }_1}{2}\right){\Vert u\Vert }^2+\left(\frac{1}{4}-{\delta }_1{C}_{E(\tau )}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x\\ +\frac{{\delta }_1\alpha }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\left(C_{{\delta }_1}\text{meas}\left(\Omega \right)+{\delta }_1{C}_{\text{2}}+\frac{{\delta }_1{\beta }^2}{2\alpha }+{\delta }_1{C}_0\text{meas}\left(\Omega \right)+\frac{1}{{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2\right)\\ \ge \frac{{\delta }_1-{\epsilon }_3}{2}{\Vert u_t\Vert }^2+{\delta }_{1}m\prime \left(1-\eta \right){\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{{\delta }_1\alpha }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\left({\text{C}}_5+\frac{1}{{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2\right)\\ \ge C_4\left({\Vert u_t\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4\right)-\left({\text{C}}_5+\frac{1}{{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2\right)\end{array}$ (32)

其中 $C_{E(\tau )}$ 是依赖于 $C_{\eta },E\left(\tau \right)$ 的常数； ${\delta }_1,{\epsilon }_3,\eta >0$ 足够小，使得 $2^{-1}\left({\delta }_1-{\epsilon }_3\right)>0,1-\eta >0,4^{-1}-{\delta }_1{C}_{E(\tau )}>0$ ； $m\prime \in \left(0,1\right]$ 是一个常数，若 $\mu \ge {\lambda }^{\prime }+2^{-1}{\epsilon }_3{\delta }_1$，则 $m\prime =1$ ；若 $0<\mu <{\lambda }^{\prime }+2^{-1}{\epsilon }_3{\delta }_1$，则 $m\prime \le 1-{\lambda }_1^{-1}{\left(1-\eta \right)}^{-1}\times \left({\lambda }^{\prime }+2^{-1}{\epsilon }_3{\delta }_1-\mu \right)$。

${\Vert u_t\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4\le C_6\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4\right),$ (33)

其中 $C_6=\text{max}\left\{2,2{\delta }_1^2{\lambda }_1^{-1}+1\right\}$。

令

$Y\left(t\right)={\Vert u_t\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \Delta u\left(t\right)\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }^4$,

联立(28)~(33)可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}Y\left(t\right)+r_{1}Y\left(t\right)\le r_2+r_3{\Vert h\Vert }^2$,

其中 $r_1=C_4{C}_6{C}_3^{-1},r_2=C_5{C}_6{C}_3^{-1},\text{}\text{}\text{}\text{}{r}_3=C_6{C}_3^{-1}{\epsilon }_3^{-1}$。

运用Gronwall引理可以计算出

$Y\left(t\right)\le Y\left(\tau \right)\exp \left(-r_1\left(t-\tau \right)\right)+r_1^{-1}{r}_2+r_3\left(1+r_1^{-1}\right){\Vert h\Vert }_{L_b^2}^2$.

结合 $\sigma$ 的定义、命题1及命题2可知，对任意的 $\sigma \in \sum$，有 ${\Vert \sigma \Vert }_{L_b^2}^2\le {\Vert h_0\Vert }_{L_b^2}^2$，即 ${\Vert h\Vert }_{L_b^2}^2\le {\Vert h_0\Vert }_{L_b^2}^2$。

因此，就得到了 $E_0$ 中的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集 $B_0$，

$B_0=\left\{\left(u_0,v_0\right)\in E_0|{\Vert \Delta u_0\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert v_0\left(t\right)\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u_0\left(t\right)\Vert }^4\le {\rho }^2\right\}$,

其中 ${\rho }^2=2r_1^{-1}{r}_2+2r_3\left(1+r_1^{-1}\right){\Vert h_0\Vert }_{L_b^2}^2$。即对于 $E_0$ 中的任意有界子集 $B$，存在 $t_0=t_0\left(\tau ,B\right)\ge \tau$，使得

${\cup }_{h\in \sum }{U}_h\left(t,\tau \right)B\subset B_0,\forall t\ge t_0.$

4. 一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引子的存在性

在本节中，首先运用能量不等式进行先验估计，其次根据定理A证明空间 $E_0$ 中过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )渐近紧性，最后给出问题(1)~(3)所对应的过程族一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引子存在的结论。

用 $B_0$ 表示空间 $E_0$ 中过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集，并且设

$E_w\left(t\right)=\frac{1}{2}{\Vert \Delta w\left(t\right)\Vert }^{\text{2}}+\frac{1}{2}{\Vert w_t\left(t\right)\Vert }^{\text{2}}.$

4.1. 先验估计

对任意的 $\left(u_0^i,v_0^i\right)\in B_0$，设 $\left(u_i\left(t\right),u_{i_t}\left(t\right)\right)$ 是对应于时间符号 ${\sigma }_i$ 且依赖于初值 $\left(u_0^i,v_0^i\right)$ 的解， $i=1,2$，即 $\left(u_i\left(t\right),u_{i_t}\left(t\right)\right)$ 是如下方程的解

$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}+a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)+\left(\beta -\alpha {\Vert \nabla u\Vert }^2\right)\Delta u+{\Delta }^{2}u+\mu u+g\left(u\right)={\sigma }_i\left(x,t\right),(34)\\ {u|}_{\partial \Omega }=\frac{\partial }{\partial v}{u|}_{\partial \Omega }=0,(35)\\ \left(u\left(0\right),u_t\left(0\right)\right)=\left(u_0^i,v_0^i\right).(\; 36\; )\end{array}$