桂林信息科技学院数学教研部，广西 桂林

收稿日期：2023年5月11日；录用日期：2023年6月13日；发布日期：2023年6月21日

摘要

本文研究了一类具有变号势的Schrödinger-Maxwell方程无穷多能高能解的存在性问题 $\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u+\alpha \varphi f\left(u\right)=g\left(x,u\right),\hfill & x\in R^3,\hfill \\ -\Delta \varphi =2\alpha F\left(u\right),\hfill & x\in R^3.\hfill \end{array}$ 其中 $\alpha >0$ ， $V\left(x\right)\in C\left(R^3,R\right)$ ， $\underset{x\in R^3}{inf}V\left(x\right)>-\infty$ 。在 $f,g$ 满足一定的假设条件下，且 $p\in \left(2,6\right)$ 时，运用变分法和临界点理论，得到了无穷多高能解的存在性。

关键词

Schrödinger-Maxwell方程，高能解，临界点理论，变分法，变号势

The Existence of Infinitely Many High Energy Solutions for a Kind of Schrödinger-Maxwell Equation with Sign Changing Potentials

Minqing Wang, Xiaojuan Lu

Mathematics Teaching and Research Department, Guilin Institute of Information Technology, Guilin Guangxi

Received: May 11^th, 2023; accepted: Jun. 13^th, 2023; published: Jun. 21^st, 2023

ABSTRACT

In this paper, we consider the existence of infinitely many high energy solutions for a kind of Schrödinger-Maxwell equation with sign changing potentials $\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u+\alpha \varphi f\left(u\right)=g\left(x,u\right),\hfill & x\in R^3,\hfill \\ -\Delta \varphi =2\alpha F\left(u\right),\hfill & x\in R^3.\hfill \end{array}$ where $\alpha >0$ , $V\left(x\right)\in C\left(R^3,R\right)$ , $\underset{x\in R^3}{inf}V\left(x\right)>-\infty$ . Under certain assumptions on $f,g$ and $p\in \left(2,6\right)$ , we obtain the existence of infinitely many high energy solutions by using variational methods and critical point theory.

Keywords:Schrödinger-Maxwell Equations, High Energy Solution, Critical Point Theory, Variational Methods, Sign Changing Potential

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

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1. 引言

研究以下具有变号势的Schrödinger-Maxwell方程无穷多高能解的存在性。

$\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u+\alpha \varphi f\left(u\right)=g\left(x,u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3,\hfill \\ -\Delta \varphi =2\alpha F\left(u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3.\hfill \end{array}$ (1)

这样的方程又被称为Schrödinger-Maxwell方程。对于系统(1)，国内外的许多学者已经进行了广泛的研究并且得到了许多很好的结果。比如文献 [1] 讨论了 $f\left(x,u\right)=u^p,p\in \left(1,5\right)$ 的情形，利用Pohozaev和Lagrange数乘法得到解的存在性、不存在性和多重。

文献 [2] 讨论了 $f\left(x,u\right)=\lambda b\left(x\right){\left|u\right|}^{p-1}t+\mu {\left|u\right|}^{p-1}u,p\in \left(0,1\right),q\in \left(3,5\right)$ 的情形运用了喷泉定理和对偶的喷泉定理得到了类似于系统(1)的正解和负解的存在性。在文献 [3] 的工作中，运用对称的山路定理证明了当 $f\left(x,u\right)$ 满足某些增长条件时，系统(1)的径向对称解的存在性。文献 [4] 中作者运用喷泉定理和Pohozaev恒等式证明了当 $f\left(x,u\right)$ 是次线性增长和超线性增长时解的多重性的存在性。文献 [5] 考虑了当 $V\left(x\right)$ 为一个正常数时，系统(1)的多个正解的存在性问题。受文献 [2] 和 [5] 的启发，本文通过弱化了位势函数 $V\left(x\right)$ 的条件，不再要求 $V\left(x\right)$ 满足取值恒为正的情况，考虑系统(1)，利用变分法和喷泉定理，得到了系统(1)无穷多高能解得存在性。

G(1) $V\left(x\right)\in C\left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ ， $\underset{x\in {\text{R}}^3}{\inf }V\left(x\right)>-\infty$ ，对 $\forall M>0$ ， $\text{meas}\left\{x\in {\text{R}}^3\text{,}V\left(x\right)\le M\right\}<\infty$ ，其中这里的测度空间 ${\text{R}}^3$ 空间里的Lebesgue测度。

G(2) $f\in C^1\left(\text{R},{\text{R}}^{+}\right)$ ，存在常数 $c>0$ ， $u\in \text{R}$ ，使得 $f\left(u\right)\le c\left(1+\left|u\right|\right)$ 。

G(3)对任意的 $u\in \text{R}$ ，有 $F\left(u\right)-\frac{1}{2}f\left(u\right)u\ge 0$ 。

G(4) $g\in C\left({\text{R}}^3\times \text{R},\text{R}\right)$ ， $p\in \left(2,6\right)$ ，存在 $c_1,c_2>0$ ，使得：

$\left|g\left(x,u\right)\right|\le c_1\left|u\right|+c_2{\left|u\right|}^{p-1}$

对 $\left(x,u\right)\in \left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ 几乎处处成立。

G(5) 存在常数 $\mu >4$ 和 $r_0>0$ ，当 $\left|u\right|\ge r_0$ 时，有：

$F\left(x,u\right):=\frac{1}{\mu }g\left(x,u\right)u-G\left(x,u\right)\ge 0,x\in {\text{R}}^3.$

且当 $u\ge 0$ 时，有 $g\left(x,u\right)u\ge 0$ 。

G(6) 对 $\left(x,u\right)\in \left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ ，有 $g\left(x,-u\right)=-g\left(x,u\right)$ 。

对于系统(1)，主要的结果如下：

定理1.1 若G(1)~G(6)条件成立，则系统(1)存在无穷多个高能解。

2. 预备工作及相关引理

记 $H^1\left({\text{R}}^3\right)=u\in L^2\left({\text{R}}^3\right):\nabla u\in L^2\left({\text{R}}^3\right)$ ，其相应的内积和范数分别为

${\langle u,v\rangle }_1={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\nabla u\cdot \nabla v+uv\right)\text{d}x}.$

和

${\Vert u\Vert }_1={\langle u,v\rangle }_1^{\frac{1}{2}}.$

定义 $D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)=\left\{u\in L^{2^{\ast }}\left({\text{R}}^3\right):\left|\nabla u\right|\in L^2\left({\text{R}}^3\right)\right\}$ 相应的范数为

${\Vert u\Vert }_{D^{1,2}}={\left({\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\text{d}x.$

定义

$E=\left\{u\in H^1\left({\text{R}}^3\right):{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\left|\nabla u\right|+V\left(x\right){\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}<\infty \right\},$

则E是一个Hilbert空间，定义相应的内积和范数分别为

$\langle u,v\rangle ={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\nabla u\cdot \nabla v+V\left(x\right)uv\right)\text{d}x},$

和

$\Vert u\Vert ={\langle u,v\rangle }^{\frac{1}{2}}.$

记 $|\cdot |$ 为 $L^s\left({\text{R}}^3\right)$ 的范数， $s\in \left(2,6\right)$ ，再记

$S=\underset{u\in D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right),{\left|u\right|}_6=1}{\inf }{\left|\nabla u\right|}_2,{\gamma }_s=\underset{u\in H^1\left({\text{R}}^3\right),\Vert u\Vert =1}{\sup }{\left|u\right|}_{{}_s}.$

显然地，嵌入 $E\to L^P\left({\text{R}}^3\right)\left(\forall p\in \left[2,2^{\ast }\right]\right)$ 是连续的。

在定理1.1的假设条件下，我们有 $G\left(x,u\right)\ge 0,\left(x,u\right)\in \left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ 。由G(4)可得：

$G\left(x,u\right)\le \frac{c_1}{2}{\left|u\right|}^2+\frac{c_2}{p}{\left|u\right|}^p,\left(x,u\right)\in \left({\text{R}}^3,\text{R}\right),$ (2)

故存在常数 $a_0=a\left(r_0\right)>0$ ，使得：

$\left|F\left(x,u\right)\right|\le a_0{\left|u\right|}^2,$ (3)

其中 $\left(x,u\right)\in \left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ ， $\left|u\right|\le r_0$ 。更准确地说，对所有的 $\left(x,u\right)\in \left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ 当 $\left|u\right|\le r_0$ 时，由式(2)，G(5)可得：

$\begin{array}{c}\left|F\left(x,u\right)\right|\le \left|\frac{1}{\mu }g\left(x,u\right)u\right|+\left|G\left(x,u\right)\right|\\ \le \frac{1}{\mu }\left(u^2+{\left|u\right|}^p\right)+\frac{c_1}{2}{\left|u\right|}^2+\frac{c_2}{p}{\left|u\right|}^p\\ \le \frac{2+\mu c_1}{2\mu }{u}^2+\frac{p+\mu c_2}{p\mu }{u}^p\\ \le \left(\frac{2+\mu c_1}{2\mu }+\frac{p+\mu c_2}{p\mu }{r}_0^{p-2}\right)u^2.\end{array}$

令 $a_0=\frac{2+\mu c_1}{2\mu }+\frac{p+\mu c_2}{p\mu }{r}_0^{p-2}$ ，则式(3)式成立。

在本文中，我们将用下列假设条件代替G(1)：

G(1') $V\left(x\right)\in C\left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ ， $\underset{x\in {\text{R}}^3}{\inf }V\left(x\right)\ge a_0+1$ ，这里的常数 $a_0$ 与式(3)中的 $a_0$ 相同，且对每一个 $M>0$ ， $\text{meas}\left\{x\in {\text{R}}^3\text{,}V\left(x\right)\le M\right\}<\infty$ 。

由文献 [6] 知，当G(1')条件满足时，嵌入 $E\to L^P\left({\text{R}}^3\right)\left(\forall p\in \left[2,2^{\ast }\right)\right)$ 是紧的。

根据Euler-Lagrange方程，系统(1)对应的泛函 $I:E\times D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)\to \text{R}$ 定义如下：

$I\left(u,\varphi \right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\left|\nabla \varphi \right|}^2\text{d}x}+\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}F\left(u\right)\varphi \text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u\right)\text{d}x}.$

其中 $F\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{u}f\left(x\right)\text{d}x}$ ， $G\left(x,u\right)={\displaystyle {\int }_0^{u}g\left(x,s\right)\text{d}s}$ 。

根据Lax-Milgram定理(详见文献 [7] )， $\forall u\in E$ ，存在唯一的 ${\varphi }_u\in D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)$ ，使得

$-\Delta {\varphi }_u=2\alpha F\left(u\right).$

易知， ${\varphi }_u$ 是 $-\Delta {\varphi }_u=2\alpha F\left(u\right)$ 的一个弱解。特别地， ${\varphi }_u$ 的积分形式如下

${\varphi }_u=\frac{1}{4\pi }{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\frac{F\left(u\left(x\right)\right)}{\left|x-y\right|}\text{d}y}.$

易知， ${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\left|\nabla {\varphi }_u\right|}^2\text{d}x}=2\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}$ ，故泛函 ${\Phi }_u:E\to \text{R}$

$\Phi \left(u\right)=I\left(u,\varphi \right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\alpha }{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u\right)\text{d}x}$

是定义良好的，且 ${\Phi }_u\in \left(E,\text{R}\right)$ ，其导数如下：

$\langle \Phi \left(u\right),v\rangle =\langle u,v\rangle +\frac{\alpha }{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}f\left(u\right){\varphi }_{u}v\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}g\left(x,u\right)v\text{d}x}.$

引理2.1 [8] 由条件G(2)，对任给的 $u\in H^1\left({\text{R}}^3\right)$ ，存在唯一的 ${\varphi }_u\in D^{1,2}$ ，使得

$-\Delta {\varphi }_u=2\alpha F\left(u\right),$

并且有：

(i) ${\Vert {\varphi }_u\Vert }_{D^{1,21}}^2=2\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}$ 。

(ii) ${\varphi }_u\ge 0$ 。

(iii) ${\Vert {\varphi }_u\Vert }_{D^{1,21}}\le \alpha c\left(\Vert u\Vert +{\Vert u\Vert }^2\right)$ 。

(iv) ${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}\le \alpha \bar{c}\left({\Vert u\Vert }^2+{\Vert u\Vert }^4\right)$ 。

其中 $\bar{c}$ 仅与 $C,S,{\gamma }_{\frac{12}{5}}$ 有关。

(v) 如果v是径向的，则 ${\varphi }_u$ 也是径向的。

根据引理2.1，容易得到 $\left(u,\varphi \right)\in H^1\left({\text{R}}^3\right)\times D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)$ 是系统(1)的弱解，仅当 $u\in H^1\left({\text{R}}^3\right)$ 是泛函 $\Phi$ 的临界点，其中

$\Phi \left(u\right)=I\left(u,\varphi \right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\alpha }{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u\right)\text{d}x}.$

定理2.2 [9] 设 $\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 为Hilbert空间， $e_j$ 为其一组标准正交基。令 $X_j=span\left\{e_j\right\}$ ， $Y_k={\oplus }_{j-0}^k{X}_j$ ， $Z_k=\stackrel{---------------}{{\oplus }_{j-0}^k{X}_j}$ 。设泛函 $\Phi \in C^1\left(X,\text{R}\right)$ 满足 $\Phi \left(-u\right)=\Phi \left(u\right)$ ， $u\in X$ 。如果存在 $k_0\in N$ ，使得对每一个 $k>k_0$ ，存在 ${\rho }_k>r_k>0$ 满足：

(Φ1) $a_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\max }\Phi \left(u\right)\le 0$ ；

(Φ2) $b_k:=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }\Phi \left(u\right)\to \infty ,k\to \infty$ ；

(Φ3)对任意的 $c>0$ ， $\Phi$ 满足 ${\left(PS\right)}_c$ 条件。

引理2.3 [10] 对任意的 $2\le p<2^{\ast }$ ，我们有：

${\beta }_k:=\underset{u\in Z_k,{\Vert u\Vert }_E=1}{\sup }{\Vert u\Vert }_{L^p}\to 0,k\to \infty .$

引理2.4 [1] 设X是一个Banach空间， $\Phi \in C^1\left(X,\text{R}\right)$ 满足 ${\left(PS\right)}_c$ 条件，如果任一 $\left\{u_n\right\}\in X$ ，

$\Phi \left(u_n\right)\to c,{\Phi }^{\prime }\left(u_n\right)\to 0,$

则 $\Phi$ 有一收敛子列。

引理2.5 [11] 在定理2.2的假设下，若 $\Phi$ 满足 ${\left(PS\right)}_c$ 条件，则c是 $\Phi$ 的一个临界值。

3. 定理1.1的证明

我们先证明 $\Phi \left(u\right)$ 在E中满足 ${\left(PS\right)}_c$ 条件，再证明 $\Phi \left(u\right)$ 满足喷泉定理其他条件，最后运用定理2.2即可。在通篇文章中，常数c和 $c_{\lambda }$ 代表不同的常数，其中 $\lambda$ 为正整数。

引理3.1 若G(1')，G(2)~G(6)条件成立，则 $\Phi \left(u\right)$ 满足 ${\left(PS\right)}_c$ 条件。

证明：设任一序列 $\left\{u_n\right\}\in E$ ，满足：

$n\to \infty ,u_n\in Y_n,\Phi \left(u_n\right)\to c,{\Phi }^{\prime }\left(u_n\right)\to 0,$

当n充分大时，由G(3)，G(5)得：

$\begin{array}{c}c+1+\Vert u_n\Vert \ge \Phi \left(u_n\right)-\frac{1}{\mu }\langle {\Phi }^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle \\ =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\mu }\right){\Vert u_n\Vert }^2+\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\frac{1}{2}F\left(u_n\right){\varphi }_{u_n}-\frac{1}{\mu }f\left(u_n\right){\varphi }_{u_n}{u}_n\right)\text{d}x}\\ +{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\frac{1}{\mu }g\left(x,u_n\right){\varphi }_{u_n}-G\left(x,u_n\right)\right)\text{d}x}\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\mu }\right){\Vert u_n\Vert }^2+\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\frac{1}{2}F\left(u_n\right){\varphi }_{u_n}-\frac{1}{\mu }f\left(u_n\right){\varphi }_{u_n}{u}_n\right)\text{d}x}\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\mu }\right){\Vert u_n\Vert }^2+\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{\mu }\right)F\left(u_n\right){\varphi }_{u_n}\text{d}x}\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\mu }\right){\Vert u_n\Vert }^2.\end{array}$

故 $\left\{u_n\right\}$ 在E中有界。因为 $\left\{u_n\right\}$ 有界，不妨假定在E中 $u_n$ 弱收敛于u，则在 $L^s\left({\text{R}}^3\right)\left(s\in \left[2,6\right)\right)$ 中，我们有 $u_n\to u$ ，且：

$\begin{array}{c}{\Vert u_n-u\Vert }^2=\langle {\Phi }^{\prime }\left(u_n\right)-{\Phi }^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle +\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(f\left(u\right){\varphi }_u-f\left(u_n\right){\varphi }_{u_n}\right)}\left(u_n-u\right)\text{d}x\\ +{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(g\left(x,u_n\right)-g\left(x,u\right)\right)}\left(u_n-u\right)\text{d}x.\end{array}$

显然： $\langle {\Phi }^{\prime }\left(u_n\right)-{\Phi }^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle \to 0$ 。又因为

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(f\left(u\right){\varphi }_u-f\left(u_n\right){\varphi }_{u_n}\right)}\left(u_n-u\right)\text{d}x\right|\le \left({\Vert {\varphi }_u\Vert }_6{\Vert f\left(u\right)\Vert }_2+{\Vert {\varphi }_{u_n}\Vert }_6{\Vert f\left(u_n\right)\Vert }_2\right){\Vert u_n-u\Vert }_3,\\ \left|{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(g\left(x,u_n\right){\varphi }_u-g\left(x,u\right)\right)}\left(u_n-u\right)\text{d}x\right|\le \left({\Vert g\left(x,u_n\right)\Vert }_2+{\Vert g\left(x,u_n\right)\Vert }_2\right){\Vert u_n-u\Vert }_2.\end{array}$

因此 ${\Vert u_n-u\Vert }^2\to 0$ ， $n\to \infty$ 。

引理3.2 若G(1')，G(2)~G(6)条件成立，则：

$a_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\max }\Phi \left(u\right)\le 0.$

证明：由G(4)可知，存在 $\delta >0$ ，当 $x\in {\text{R}}^3,0<\left|t\right|\le \delta$ 时，我们有：

$\left|\frac{g\left(x,t\right)t}{t^2}\right|=\left|\frac{g\left(x,t\right)}{t}\right|\le 1,$ (4)

故存在 $M_1>0$ ，满足

$\left|\frac{g\left(x,t\right)t}{t^2}\right|\le \frac{c\left(1+{\left|t\right|}^{p-1}\right)\left|t\right|}{t^2}\le M_1,$ (5)

因此，当 $0\le \left|t\right|\le r_0$ 时，由式(4)和式(5)得：

$g\left(x,t\right)t\ge -\left(M_1+1\right){\left|t\right|}^2,x\in {\text{R}}^3.$

利用等式 $G\left(x,t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(x,rt\right)t\text{d}r}$ ，我们有：

$G\left(x,t\right)\ge -\frac{1}{2}\left(M_1+1\right){\left|t\right|}^2.$ (6)

令 $c_4=\frac{1}{2}\left(M_1+1\right)+c_3$ ，则由G(5)，式(6)得：

$G\left(x,t\right)\ge c_3{\left|t\right|}^{\mu }-c_4{\left|t\right|}^2,$

所以有：

$\Phi \left(u\right)\le \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{{\alpha }^{2}c}{2}{\Vert u\Vert }^4-c_3{\Vert u\Vert }_{L^{\mu }}^{\mu }+c_4{\Vert u\Vert }_{L^2}^2.$

因为在有限维空间中所有范数等价， $\mu >4$ ，所以对于 $u\in Y_k$ ， ${\rho }_k>0$ 足够大时，有：

$a_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\max }\Phi \left(u\right)\le 0.$

引理3.3 若G(1')，G(2)~G(6)条件成立，则：

$b_k:=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }\Phi \left(u\right)\to \infty ,k\to \infty .$

证明：由G(4)可知，对任意的 $u\in Z_K$ ， $\epsilon >0$ 足够小时，有：

$\begin{array}{c}\Phi \left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\alpha }{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{c}{2}{\Vert u\Vert }_{{}^2}^2-\frac{c}{p}{\Vert u\Vert }_p^p\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\epsilon c\right){\Vert u\Vert }^2-\frac{c}{p}{\beta }_k^p{\Vert u\Vert }^p.\end{array}$

由引理2.3可知 ${\beta }_k:=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\sup }{\Vert u\Vert }_p\to 0$ ， $k\to \infty$ 。

选定 $r_k={\left[\frac{p}{2c{\beta }_k^p}\left(\frac{1}{2}-\epsilon c\right)\right]}^{\frac{1}{2-p}}$ ，则：

$\begin{array}{c}{b}_k=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }\Phi \left(u\right)\\ \ge \underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }\left(\frac{1}{2}-\epsilon c\right){\Vert u\Vert }^2-\frac{c}{p}{\beta }_k^p{\Vert u\Vert }^p\\ \ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\epsilon c\right)r_k^2.\end{array}$

由 ${\beta }_k:=\underset{u\in Z_k,{\Vert u\Vert }_{}=r_k}{\sup }{\Vert u\Vert }_p\to 0$ ， $k\to \infty$ ， $p>2$ ，有： $b_k\to \infty$ ， $k\to \infty$ ，故

$b_k:=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }\Phi \left(u\right)\to \infty ,k\to \infty .$

由G(1)可得，存在一个常数 $V_0>0$ ，使得 $\bar{V}\left(x\right):=V\left(x\right)+V_0\ge a_0+1$ ，这里的 $a_0$ 与式(5)中的 $a_0$ 相同。令 $\bar{g}\left(x,u\right)=g\left(x,u\right)+V_{0}u$ ，则容易验证下列引理成立。

引理3.4 问题(1)与下列问题等价。

$\{\begin{array}{ll}-\Delta u+\bar{V}\left(x\right)u+\alpha \varphi f\left(u\right)=\bar{g}\left(x,u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3,\hfill \\ -\Delta \varphi =2\alpha F\left(u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3.\hfill \end{array}$ (7)

定理1.1的证明 由引理3.1、引理3.2和引理3.3可知，式(7)的泛函满足定理2.2的所有条件。再由引理3.4可知，系统(1)有无穷多个高能解，故定理1.1成立，证毕。

基金项目

本论文得到了2022年广西区教育厅高校中青年科研基础能力提升项目(2022KY1623)；桂林信息科技学院2020年科研启动基金项目(XJ202080)资助。

文章引用

汪敏庆,陆晓娟. 一类具有变号势的Schr?dinger-Maxwell方程无穷多高能解的存在性
The Existence of Infinitely Many High Energy Solutions for a Kind of Schr?dinger-Maxwell Equation with Sign Changing Potentials[J]. 理论数学, 2023, 13(06): 1660-1667. https://doi.org/10.12677/PM.2023.136169

参考文献