﻿ 铺砌(3.6.3.6)中直线上的D-点数 On the Number of D-Points on a Line in the Tiling (3.6.3.6)

Vol.06 No.07(2017), Article ID:22554,12 pages
10.12677/AAM.2017.67109

On the Number of D-Points on a Line in the Tiling (3.6.3.6)

Lin Peng, Liping Yuan

College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang Hebei

Received: Oct. 8th, 2017; accepted: Oct. 24th, 2017; published: Oct. 31st, 2017

ABSTRACT

A vertex of the Archimedean tiling (3.6.3.6) is called a D-point. In this paper, we first investigate the number of D-points lying on any given line in the plane, and prove that all the lines can be classified into three categories according to the numbers of D-points lying on them, namely, no D-point, one and only one D-point and an infinitely many D-points. We also give the whole characterizations of those three types of lines by some necessary and sufficient conditions. Furthermore, we consider the broadest paths that contain no D-points in their interiors in any given direction $\theta \in \left[0,\pi \right)$ .

Keywords:Archimedean Tiling, Lattice, Line, D-Point, Broadest Path

1. 引言

2. 预备知识

${D}_{0}$ 为由向量 $u=\left(2,0\right)$ 与向量 $v=\left(1,\sqrt{3}\right)$ 生成的一般格，则有

${D}_{0}=\left\{pu+qv:p,q\in ℤ\right\}=\left\{\left(\frac{4p+2q}{2},\frac{2q\sqrt{3}}{2}\right):p,q\in ℤ\right\}.$

${D}_{0}$ 分别沿向量 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 平移得到

Figure 1. Archimedean tilings

Figure 2. Coordinate system

${D}_{1}=\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+pu+qv:p,q\in ℤ\right\}=\left\{\left(\frac{4p+2q+1}{2},\frac{\left(2q+1\right)\sqrt{3}}{2}\right):p,q\in ℤ\right\},$

${D}_{2}=\left\{\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+pu+qv:p,q\in ℤ\right\}=\left\{\left(\frac{4p+2q+3}{2},\frac{\left(2q+1\right)\sqrt{3}}{2}\right):p,q\in ℤ\right\}.$

$C=\left\{\left(1,0\right)+pu+qv:p,q\in ℤ\right\}=\left\{\left(\frac{4p+2q+2}{2},\frac{2q\sqrt{3}}{2}\right):p,q\in ℤ\right\}.$

${D}_{0}=\left\{\left(\frac{m}{2},\frac{n\sqrt{3}}{2}\right):m,n\in ℤ,\text{}m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{4}\right),\text{}n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{2}\right)\right\},$

${D}_{1}=\left\{\left(\frac{m}{2},\frac{n\sqrt{3}}{2}\right):m,n\in ℤ,\text{}m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{4}\right),\text{}n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{2}\right)\right\},$

${D}_{2}=\left\{\left(\frac{m}{2},\frac{n\sqrt{3}}{2}\right):m,n\in ℤ,\text{}m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{4}\right),\text{}n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{2}\right)\right\},$

$C=\left\{\left(\frac{m}{2},\frac{n\sqrt{3}}{2}\right):m,n\in ℤ,\text{}m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{4}\right),\text{}n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{2}\right)\right\}.$

$T=\left\{p\left(1,0\right)+q\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right):p,q\in ℤ\right\}=\left\{\left(\frac{2p+q}{2},\frac{q\sqrt{3}}{2}\right):p,q\in ℤ\right\},$

$T=\left\{\left(\frac{m}{2},\frac{n\sqrt{3}}{2}\right):m,n\in ℤ,\text{}m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{2}\right)\right\}.$

(a) 若点 $P\in {D}_{1}$ ，则 $\alpha P\in {D}_{1},\beta P\in {D}_{0}$

(b) 若点 $P\in {D}_{2}$ ，则 $\alpha P\in {D}_{2}\text{,}\beta P\in {D}_{0}$

(c) 若点 $P\in C$ ，则 $\alpha P\in C,\beta P\in {D}_{0}$

(a) 若 $Q\in {D}_{0}$ ，则 ${D}_{i}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ ${D}_{i}$ -点 $\left(i=0,1,2\right)$ ，C-点 $\stackrel{Q}{\to }$ C-点。

(b) 若 $Q\in {D}_{1}$ ，则 ${D}_{0}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ ${D}_{1}$ -点， ${D}_{1}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ ${D}_{0}$ -点， ${D}_{2}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ C-点，C-点 $\stackrel{Q}{\to }$${D}_{2}$ -点。

(c) 若 $Q\in {D}_{2}$ ，则 ${D}_{0}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ ${D}_{2}$ -点， ${D}_{2}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ ${D}_{0}$ -点， ${D}_{1}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ C-点，C-点 $\stackrel{Q}{\to }$ ${D}_{1}$ -点。

(d) 若 $Q\in C$ ，则 ${D}_{0}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ C-点，C-点 $\stackrel{Q}{\to }$ ${D}_{0}$ -点， ${D}_{1}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ ${D}_{2}$ -点， ${D}_{2}$ -点 $\stackrel{Q}{\to }$ ${D}_{1}$ -点。

(e) 若点 $P\notin T$ ，则点 $P+Q\notin T$

(a) 若 $Q\in {D}_{0}$ ，则 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$$n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$ 。于是 ${n}_{i}+n\equiv {n}_{i}\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$${m}_{i}+m+{n}_{i}+n\equiv {m}_{i}+{n}_{i}\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ，故点 ${P}_{i}{}^{\prime }$ 与点 ${P}_{i}$ 属于同一类型。因此，平移OQ后， ${D}_{i}$ -点变为 ${D}_{i}$ -点，C-点变为C-点。

(b) 若 $Q\in {D}_{1}$ ，则 $m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$$n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$ 。由于 ${n}_{0}+n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$${m}_{0}+m+{n}_{0}+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ，则点 ${{P}^{\prime }}_{0}\in {D}_{1}$ ；由于 ${n}_{1}+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$${m}_{1}+m+{n}_{1}+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ，则点 ${{P}^{\prime }}_{1}\in {D}_{0}$ ；由于 ${n}_{2}+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$${m}_{2}+m+{n}_{2}+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ，则点 ${{P}^{\prime }}_{2}\in C$ ；由于 ${n}_{3}+n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$${m}_{3}+m+{n}_{3}+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ，则点 ${P}_{3}{}^{\prime }\in {D}_{2}$ 。故平移OQ后， ${D}_{0}$ -点变为 ${D}_{1}$ -点， ${D}_{1}$ -点变为 ${D}_{0}$ -点， ${D}_{2}$ -点变为C-点，C-点变为 ${D}_{2}$ -点。

(e) 记点 ${P}^{\prime }=P+Q$ ，则点 $P={P}^{\prime }+\left(-Q\right)$ 。根据引理2.3，由点 $Q\in T$ 可得点 $-Q\in T$ ，于是综合(a)~(d)可得，若点 ${P}^{\prime }\in T$ ，则 ${P}^{\prime }+\left(-Q\right)\in T$ ，即点 $P\in T$ ，与条件点 $P\notin T$ 矛盾，故 $P+Q\notin T$

3. 平面内任意直线上的D-点数及其分布

$l$ 为平面内任意一条直线，若直线l的斜率k不存在，可设其方程为 $x=a\text{}\left(a\in ℝ\right)$ ，则显然有下述定理：

(a) ${N}_{l}\left(D\right)=\infty$ 当且仅当 $a=\frac{m}{2}$ ，其中 $m\in ℤ$

(b) ${N}_{l}\left(D\right)=0$ 当且仅当 $a\ne \frac{m}{2}$ ，其中 $m\in ℤ$

(a) ${N}_{l}\left(D\right)=\infty$ 当且仅当 $k\in \left\{\lambda \sqrt{3}:\lambda \in ℚ\right\}$

(b) ${N}_{l}\left(D\right)=1$ 当且仅当 $k\notin \left\{\lambda \sqrt{3}:\lambda \in ℚ\right\}$

(a) 必要性：由于 ${N}_{l}\left(D\right)=\infty$ ，则直线l上必含不同于点P的D-点 $Q$ 。令点 ${Q}^{\prime }=Q-P$ ，显然有点 ${Q}^{\prime }\in {l}^{\prime }$ ，根据引理2.3可得点 $-P\in D$ ，从而由引理2.4可得点 ${Q}^{\prime }\in T$ 。因为 $Q\ne P$ ，所以 ${Q}^{\prime }\ne O$ 。于是由定理3.2可得 ${N}_{{l}^{\prime }}\left(D\right)=\infty$ ，进而根据定理3.4可得直线 ${l}^{\prime }$ 的斜率即直线l的斜率 $k\in \left\{\lambda \sqrt{3}:\lambda \in ℚ\right\}$

(b) 必要性：假设直线l的斜率 $k\in \left\{\lambda \sqrt{3}:\lambda \in ℚ\right\}$ ，由(a)可得此时 ${N}_{l}\left(D\right)=\infty$ ，与已知条件 ${N}_{l}\left(D\right)=1$ 矛盾，因此 $k\notin \left\{\lambda \sqrt{3}:\lambda \in ℚ\right\}$

(1) 直线l具有性质 ${D}_{b}$

(2) $k\in \left\{\lambda \sqrt{3}:\lambda \in ℚ\right\}$

(1) 直线l具有性质 ${D}_{b}$

(2) $k\notin \left\{\lambda \sqrt{3}:\lambda \in ℚ\right\}$

(a) 直线l上仅含无穷多个 ${D}_{0}$ -点当且仅当 $m+n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$ ；特别地，此时 ${N}_{l}\left(C\right)=\infty$

(b) ${N}_{l}\left({D}_{0}\right)={N}_{l}\left({D}_{1}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{2}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ；特别地，此时 ${N}_{l}\left(C\right)=0$

(c) ${N}_{l}\left({D}_{0}\right)={N}_{l}\left({D}_{2}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{1}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ；特别地，此时 ${N}_{l}\left(C\right)=0$

(a) 必要性：令点 $P=\left(\frac{m}{2},\frac{n\sqrt{3}}{2}\right)$ ，则点P在直线l上。若 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$ ，则 $n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$ ，于是当 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ 时点 $P\in {D}_{2}$ ；当 $m+n\equiv 2\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ 时点 $P\in {D}_{1}$ 。从而直线l上必含 ${D}_{1}$ -点或 ${D}_{2}$ -点，与条件直线l上仅含 ${D}_{0}$ -点矛盾，因此 $m+n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$

(b) 必要性：由于 ${N}_{l}\left({D}_{0}\right)={N}_{l}\left({D}_{1}\right)=\infty$ ，即直线l上不仅含 ${D}_{0}$ -点，则由(a)可得 $m+n\equiv /1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{2}\right)$ 。于是有 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$ ，此时 $m\equiv n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$ ，从而有 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$$m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ 。易验证点 $P=\left(\frac{m}{2},\frac{n\sqrt{3}}{2}\right)$ 在直线l上，若 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ，则点 $P\in {D}_{2}$ ，与已知条件 ${N}_{l}\left({D}_{2}\right)=0$ 矛盾，因此 $m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$

(a) 直线l上仅含无穷多个 ${D}_{0}$ -点当且仅当 $m+n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$

(b) ${N}_{l}\left({D}_{0}\right)={N}_{l}\left({D}_{1}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{2}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$

(c) ${N}_{l}\left({D}_{0}\right)={N}_{l}\left({D}_{2}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{1}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$

(a) 直线l上仅含无穷多个 ${D}_{1}$ -点当且仅当 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$

(b) ${N}_{l}\left({D}_{1}\right)={N}_{l}\left({D}_{0}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{2}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$

(c) ${N}_{l}\left({D}_{1}\right)={N}_{l}\left({D}_{2}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{0}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$

(a) 由定理3.13可知 ${N}_{{l}^{\prime }}\left({D}_{0}\right)={N}_{{l}^{\prime }}\left({D}_{2}\right)=\infty$${N}_{{l}^{\prime }}\left({D}_{1}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ，且此时 ${N}_{{l}^{\prime }}\left(C\right)=0$ ，即 ${l}^{\prime }$ 上除了 ${D}_{0}$ -点及 ${D}_{2}$ -点以外，其它点均为非T-点。由引理2.4可得，将直线 ${l}^{\prime }$ 平移至直线l后， ${l}^{\prime }$ 上的 ${D}_{0}$ -点与 ${D}_{2}$ -点分别变为l上的 ${D}_{1}$ -点与C-点，而 ${l}^{\prime }$ 上的其它点均变为l上的非T-点，亦为非D-点，于是直线l上仅含无穷多个 ${D}_{1}$ -点。因此，直线l上仅含无穷多个 ${D}_{1}$ -点当且仅当 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$

(b) 由定理3.13可知 ${N}_{{l}^{\prime }}\left({D}_{0}\right)={N}_{{l}^{\prime }}\left({D}_{1}\right)=\infty$${N}_{{l}^{\prime }}\left({D}_{2}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$ ，且此时 ${N}_{{l}^{\prime }}\left(C\right)=0$ ，即 ${l}^{\prime }$ 上除了 ${D}_{0}$ -点及 ${D}_{1}$ -点以外，其它点均为非T-点。由引理2.4可得，将 ${l}^{\prime }$ 平移至l后， ${l}^{\prime }$ 上的 ${D}_{0}$ -点与 ${D}_{1}$ -点分别变为l上的 ${D}_{1}$ -点与 ${D}_{0}$ -点，而 ${l}^{\prime }$ 上的其它点均变为l上的非T-点，亦为非D-点，于是 ${N}_{l}\left({D}_{1}\right)={N}_{l}\left({D}_{0}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{2}\right)=0$ 。因此 ${N}_{l}\left({D}_{1}\right)={N}_{l}\left({D}_{0}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{2}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$

(c) 由定理3.13可知直线 ${l}^{\prime }$ 上仅含无穷多个 ${D}_{0}$ -点当且仅当 $m+n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$ ，且此时 ${N}_{{l}^{\prime }}\left(C\right)=\infty$ ，即 ${l}^{\prime }$ 上除了 ${D}_{0}$ -点及C-点以外，其它点均为非T-点。由引理2.4可得，将 ${l}^{\prime }$ 平移至l后， ${l}^{\prime }$ 上的 ${D}_{0}$ -点与C-点分别变为l上的 ${D}_{1}$ -点与 ${D}_{2}$ -点，而 ${l}^{\prime }$ 上的其它点均变为l上的非T-点，亦为非D-点，于是 ${N}_{l}\left({D}_{1}\right)={N}_{l}\left({D}_{2}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{0}\right)=0$ 。因此 ${N}_{l}\left({D}_{1}\right)={N}_{l}\left({D}_{2}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{0}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$

(a) 直线l上仅含无穷多个 ${D}_{2}$ -点当且仅当 $m+n\equiv 2\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$

(b) ${N}_{l}\left({D}_{2}\right)={N}_{l}\left({D}_{0}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{1}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 0\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}4\right)$

(c) ${N}_{l}\left({D}_{2}\right)={N}_{l}\left({D}_{1}\right)=\infty$${N}_{l}\left({D}_{0}\right)=0$ 当且仅当 $m+n\equiv 1\text{}\left(\mathrm{mod}\text{}2\right)$

4. $\theta \in \left[0,\pi \right)$ 方向上内部无D-点的最宽路径

$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 时，按 $\mathrm{tan}\theta$ 是否具有形式 $\lambda \sqrt{3}\left(\lambda \in ℚ\right)$ 可以分为两种情形讨论。首先考虑 $\mathrm{tan}\theta \ne \lambda \sqrt{3}\left(\lambda \in ℚ\right)$ 的情形，对于直线 $l:y=kx+b$ ，其中 $k\notin \left\{\lambda \sqrt{3}:\lambda \in ℚ\right\}$ ，其至多含一个D-点，下面考虑l附近的D-点分布情况。

$r<{p}_{1}\alpha -{q}_{1} (1)

$r-\epsilon <{p}_{2}\alpha -{q}_{2} (2)

$0<{m}_{0}\frac{\sqrt{3}}{k}-{n}_{0}-\frac{b}{2k}<\frac{{\epsilon }_{1}}{2k},$

$0<2{m}_{0}\sqrt{3}-\left(k\cdot 2{n}_{0}+b\right)<{\epsilon }_{1}.$

Figure 3. Constructing D-point

Figure 4. The broadest paths containing no D-points in their interiors

${d}_{\theta }=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3{n}^{2}+{m}^{2}}},& 若m,n\text{}均为奇数\\ \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3{n}^{2}+{m}^{2}}},& 若m,n\text{}有一个为偶数\end{array}$ .

On the Number of D-Points on a Line in the Tiling (3.6.3.6)[J]. 应用数学进展, 2017, 06(07): 905-916. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.67109

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