一个三角不等式的衍生不等式 A New Inequality Derivates from a Classical Triangle Inequality

doi:10.12677/PM.2014.41004

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Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 21-23

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2014.41004 Published Online January 2014 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html )

A New Inequality Derivates from a Classical Triangle

Inequality

Xia o wei Xu

Ningbo Binhai School, Ningbo

Email: lampminket@263.net

Received: Dec. 20th, 2013; revised: Jan. 4th, 2014; accepted: Jan. 9th, 2014

mits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. In accordance of the

Abstract: In pres ent paper, we derived two new inequalities from a classical triangle fractional in equality “if

αβ

<<<

, then

sin tan

ββ β

αα α

”, by use of the fundamental inequality and mathematical analysis

techniques.

Keywords: Fractional Inequality; Triangle Inequality

一个三角不等式的衍生不等式

徐小伟

宁波滨海学校，宁波

Email: lampminket@263.net

收稿日期：2013 年12 月20 日；修回日期：2014年1月4日；录用日期：2014 年1月9日

摘要：本文通过对经典三角分式不等式“若

αβ

<<<

，则有

sin tan

ββ β

αα α

”的代数推广，得

到了两组较新的不等式，在证明的过程中充分用到了基本不等式和数学分析的技巧。

关键词：分式不等式；三角不等式

1. 引言

文[1-3]给出了一个三角不等式，若

αβ

<<<

，则有

sin tan

ββ β

αα α

(1)

的几种证明，并对它进行了适当的派生。本文试图从(1)的另一个角度得到两个衍生不等式，当作不等式(1)的“ 姊

妹”不等式。

命题 1：若

αβ

<<<

，则有

sin tan

β ββ

αα

⋅>

(2)

OPEN ACCESS 21

徐小伟 | 一个三角不等式的衍生不等式

sin tan2

sin tan

β ββ

α αα

(3)

说明：上面的不等式(3)可由不等式(2)直接得到，这里只要注意到

sintansin tan2

sintansin tan

βββ ββ

ααα αα

+≥ ⋅>

即可。

下面主要证明不等式(2)。

不等式(2)的证明：

构造函数

( )

sin π

cos

gx x



= <<





，下面证明

( )

为增函数。

事实上由

()

sin

tan x

gxxx

= ⋅

，则

()

() ( )

()

2 222223

32 32

1 sinsinsinsincos2sinsin

cos cos

sin sin

cos2sin cossinsin cos2sin cos

cos cos

sin1cos

sin 1 cos2cos0,

cos cos

x x xxxxx

gx xx

xxxxxxx

xx xxxxx xxx

xx xx

xxx

xx xx

′

 

′=⋅+⋅=+−⋅

 

 

=+−>+ −

−

=+−=≥

上面第一个不等式用到

Jordan

不等式

sin 02

x xx



> <<





，从而证得

( )

y gx=

为增函数。

于是由命题的条件

αβ

<<<

有

( )()

αβ

整理得命题 1。

自然地，我们有下面的命题2是成立。

命题 2：对于

αβ

<<<

，对

0, 3

a

∈



，都有

sin tan

β ββ

α αα

−

 

⋅>

 

 

(4)

( )

sin tan

β ββ

α αα

⋅ +−>

(5)

说明：若令

，则上面的不等式就成为命题1的不等式，从而可看作命题1的推广。

对于

2,1

a

∈



时，则上面的不等式一般不成立。

证明：构造函数

( )

sin π

cos

−



= <<





，则易得

( )

cos cossin cos1sin

cos

xxxx xaxx

−

′=− +−

，不妨令

( )

′≥

恒成立，则有

( )

sin coscos

1sin

x xxx

−

−≥ =

恒成立，

OPEN ACCESS

徐小伟 | 一个三角不等式的衍生不等式

这里说明

( )

是

0, 2

x

∈



上的减函数，从而

( )

1 lim

→

−≥

，两次运用洛必达法则易得

()

lim 3

→

，从而

−≥

即

a<≤

。从而

( )

yx x



= <<





当

0, 3

a

∈



时为增函数。因此

()( )

ϕβ ϕα

整理即得不等式(4)。

不等式(5)可由加权平均值不等式

“若

( )

, 0,0,1xy a>∈

，则

( )

axayx y

−

+− ≥

”结合不等式(4)直接得到。

下面证明

( )

是减函数。

这里需要用到两个引理。

引理 1：当

x<<

时，有

tan sinx xx>

证明：构造函数

( )

sin cosfxxxx

−

=⋅−

，则

( )

00f=

由

( )

cossin cos1

fxxxx

−

′=+−

，又

( )

4sin cos0

fxx x

−

′′ = >

，从而

( )

′

在

0, 2

x

∈



上是增函数，

故

()( )

00fx f

′′

，从而

( )

在

0, 2

x

∈



上是增函数，所以

()( )

00fx f>=

即

sin cos0x xx

−

⋅ −>

整理即得

引理 1。

引理 2：当

x<<

时，有

tan sin2

证明：由

22 2

tan sintan sintansintan 2sin

112 111

tansinsin3tan sin3

11 12

xxxxxxxx

x xxxx

xx x

xxxxxx

x xx

+= ++−≥ +×−= +−

++⋅

=−≥−> −=

其中上面倒数第二个不等式用到引理 1。

()

yx x



= <<





单调性的证明：

由

( )

1cot cotx xx

=⋅−

，

则

( )

2223 2

11 11cossintan

cot 2cot20

sinsin sin

x xx

xx x

xxx xx



′=−−−−=−− <



 

，

最后一个不等式用到引理2。

参考文献 (References)

[1] 秦庆雄, 范花妹 (2010) 一个优美不等式的直观证明.

数学通讯

, 11, 40.

[2] 张赟 (2011) 谈一个优美不等式的“姊妹”式.

数学通讯

, 5, 39-40.

[3] 胡佳荣, 陈国刚 (2012) 四论一个优美不等式.

数学通讯

, 8, 41-42.

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