360阶单群同构于A6的初等群论证明 An Elementary Proof That a Simple Group of Order 360 Is Isomorphism to A6

doi:10.12677/PM.2014.41006

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Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 31-37

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2014.41006 Published Online January 2014 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html )

An Elementary Proof That a Simple Group of Order 360

Is Isomorphism to A6

Feng Zhou, Xi ngzhon g Xu, Jun Liao, Heguo Liu*

Department of Mathematics, Hubei University, Wuhan

Email: thoufeng@163.com, *ghliu@hubu.edu.cn

Received: Dec. 1st, 2013; revised: Dec. 15th, 2013; accepted: Dec. 18th, 2013

permits unrestricted use, dis tribution, and rep roduction in any medium, pro vided the o riginal work is pro perly cited. In a ccordance of th e

Abstract: Only by using Sylow’s theorem and basic permutation computation, we prove that a simple group

of order 360 is isomorphi c to

Keywords: Sylow’s Theorem; Simple Group;

360 阶单群同构于 A6的初等群论证明

周峰，徐行忠，廖军，刘合国*

湖北大学数学系，武汉

Email: thoufeng@163.com, *ghliu@hubu.edu.cn

收稿日期：2013 年12 月1日；修回日期：2013 年12 月15 日；录用日期：2013 年12 月18 日

摘要：仅用 Sylow 定理和最基本的置换计算证明了360 阶单群一定同构于

。

关键词：Sylow 定理；单群；

1. 引言

本文采用的符号和术语都是标准的，见文献[1]。另外，我们进行置换计算时，按照从左至右的顺序进行。

我们知道，对 n阶的非交换单群，当

1000n≤

时，n只能是 60、168、360、504、660，并且阶不超过 1000

的非交换单群只有 5个：60 阶单群

、168 阶单群

( )

2,7PSL

、360 阶单群

、504 阶单群

( )

2,8PSL

和660 阶

单群

()

2,11PSL

。运用 Sylow 定理不难证明 60 阶单群同构于

，见文献[2]和[3]。在文献[2]和[3]中，Huppert

和Smith 分别用不同的初等群论方法证明了 168 阶单群同构于

( )

2,7PSL

，[4]利用文献[2]的方法证明了660 阶单

群同构于

( )

2,11PSL

。

在文献[5]中，Isaacs 用特征标的理论证明了 360 阶单群同构于

，这是有限群论里的一个有名结论。在现

有的群论书籍里，不论是在正文还是在练习中，都没有关于这个结论的完整无误的初等群论证明。例如，在文

献[6]第八章的练习 8.12 中，Rotman 希望运用初等群论方法证明 360 阶单群同构于

，但是他给出的提示“360

阶单群只有 6个Sylow 5-子群”明显是错误的，因为

的Sylow 5-子群的个数一定等于 36。本文后一作者曾经

*通讯作者。

OPEN ACCESS 31

周峰等 | 360阶单群同构于 A6的初等群论证明

与施武杰教授、张继平教授、李才恒教授、靳平教授等学者谈到这个现象。找到本文这个证明后，后一作者又

与王杰教授、于浩然同志进行了深入的交流。王杰教授运用Burnside 转移定理，在其讲义里给出了上述结论的

纯粹群论证明。于浩然同志避开[5]里的特征标技术，继承[5]里关于这个结论论证的群论断言，证明了360 阶单

群同构于

()

2,9PSL

，由此推出 360 阶单群必然同构于

。这个证明也用到了 Burnside 转移定理，并且涉及到

有限域里的相关技巧，这些也都是有意义的工作。最近，于浩然同志经过搜索考证，找到了F.N.Cole 的文章[7]。

Cole 运用置换群的技术证明了上述结论，相比较而言，本文的证明也许比[7]更初等些，本文仅用 Sylow 定理和

最基本的置换计算证明了结论。除了Sylow 定理和最基本的群论知识外，本文是完全自包含的，这个证明对初

学者来说是容易理解的，作者希望它对群论教学具有借鉴和启发作用。

2. 关于 A6

为了达到我们的目的，我们当然要从

的元素和 Sylow 子群入手。

任取

的元素

，容易验证

只能表示成形如

()() () ()() ()() ()

1, 1234, 123 , 123456, 123456, 12345

的轮换形式，这样

的元素的阶只能等于1、2、3、4、5。接下来我们要逐步分析这些元的共轭类大小和计算

的Sylow 子群的个数，并确定其Sylow 子群的结构。

的2阶元只能表示成轮换

()( )

ab cd

的形式，这样

的2阶元一共有

145

2CC×=

个。取

∈

使

()

1,a

()

2,b

( )

3,c

()

，则有

( )()

( )

( )()

12 34ab cd

ππ

−

。当

是奇置换时，令

( )

ππ

，此

时就有

( )()

( )

( )()

12 34ab cd

ππ

−

，这表明

( )( )

ab cd

在

中共轭于

()( )

12 34

，从而这45 个元素构成一个完整的

共轭类。

的4阶元只能表示为轮换

( )( )

abcd ef

的形式，这样

的4阶元一共有

3! 90

C×=

个。随之，

45 90135+=

个2-元。取

()( )

123456 ,

()( )

12 34y=

，则有

−

，从而

为8阶二面体群

，它是

的

Sylow 2-子群。注意到在

里，它的两个 4阶元是共轭的，于是根据 Sylow 定理知，

的4阶元是相互共轭的，

即

()( )

1234 56

所在的共轭类含有90 个元素。

的3阶元具有两种轮换形式：

()()()

,abcabc def

。

形如

( )

abc

的元素共有

2 40C×=

个。取

∈

使

( )

1,a

( )

2,b

( )

，则

()( )

1123abc

σσ

−=

。当

是奇置换时，令

( )

1 16

56 ,A

σσ σ

= ∈

，此时

()( )

123abc

σσ

−

，这表明这种3阶元构成一个完整的共轭类。

形如

( )( )

abc def

的元素共有

2 40C×=

个。记

( )()

123 ,456uv= =

，明显地，

和

生成一个 9阶初等Abel 3-

群，它是

的Sylow 3-子群，注意到

()() () () ()() ()() ()() ()()

{ }

,1, 123,132,456,465, 123456,123465,132456, 132465uv =

其中

( )( )

( )

( )()

( )

( )( )

( )

( )()

23 56123 45623 56132465

−

( )( )

( )

( )()

( )

( )( )

( )

( )()

23 56123 4652356132456

−

()( )

( )

( )()

( )

()( )

( )

( )()

1436 251234561436 25132 456

−

这样在

,uv

里，形如

( )()

abc def

的4个元素在

里是相互共轭的，根据 Sylow 定理，

的形为

( )()

abc def

的元素形成一个完整的共轭类。

的5阶元只能是5-轮换

( )

abcde

，这种轮换共有

4! 144C×=

个。因为 144 不能整除 360，所以这 144

个元素在

里不能构成一个完整的共轭类。又

有

144 436÷=

个Sylow 5-子群，注意到

( )

12345

生成

的一

OPEN ACCESS

周峰等 | 360阶单群同构于 A6的初等群论证明

个Sylow 5-子群，以及

( )( )

( )

() ()()

( )

() ()

25 341234525 341543212345

−−

= =

可得

( )

12345

所在的共轭类长为

36 272×=

，从而

的144 个5阶元分为两个共轭类，其共轭类长均为72。

综合 1)、2)、3)，我们得到

的元素的如下信息(表1)：

Table 1. The classes of A6

表1. A6的共轭类

阶 1 2 3 3 4 5 5

代表元 1 (12)(34) (123) (123)( 45 6) ( 1 23 4) (5 6) (12345) (13524)

共轭类长 1 45 40 40 90 72 72

现在，我们能够很快证明

是一个单群。事实上，任取

的正规子群

，

的阶整除360，且

1212

1 45904072Nxx yy

=++++

，其中

或1，

0,1

或2。不难验证

1N=

或360，即

1N=

或

，

是

单群。

4) 对2)里的

( )

123u=

和

()

456

，

P uv=

是

的一个 Sylow 3-子群，注意到

()( )

()

()( )

( )

1436 251436 25

−=

()( )

( )

()( )

( )

1436 251436 25vu

−−

可得

()( )()

1436 25

NP∈

，从而

()

被36 整除，这样

的Sylow 3-子群的个数

( )

nAN P=

整除 10。

又

共含有 40 + 40 = 80个3阶元，

至少含有

80 810÷=

个Sylow 3-子群，由此

包含 10 个Sylow 3-子群，

并且任意两个不同的Sylow 3-子群的交是平凡的。

5) 对1)里的元

( )( )

1234 56x=

和

( )()

12 34y=

，

,Qxy

是

的Sylow 2-子群。根据 Sylow 定理，

的

Sylow 2-子群的个数

( )

( )( )

26 6

:1mod 2

nAAN Q=≡

并且

( )

整除 45。注意到

是单群，可得

( )

6nA≥

，这样

()

9,15nA=

或45。因

共有 135 个2-元。

的Sylow 2-子群的个数

( )

135 19

nA 

≥=





个，故

( )

45nA=

，从而

( )

NQQ=

。

综上所述，我们得到了

的Sylow 子群

的如下信息(表2)：

Table 2. On the Sylow subgroups of A6

表2. 关于A6的Sylow 子群

素数 |P| P的结构

( )

Syl A

( )

2 8 二面体群 45 8

3 9 初等 Abel 群 10 36

5 5 循环群 36 10

这些信息有助于我们弄清360 阶单群的Sylow 子群及其正规化子的结构。

3. 结论的初等证明

本文的主要目的是要用完全初等的群论技巧重新证明下面的

定理：360 阶单群同构于

OPEN ACCESS 33

周峰等 | 360阶单群同构于 A6的初等群论证明

证明：设

是360 阶单群，此时

360 235G= =××

。令

( )

SSyl G∈

，由 Sylow 定理知

()()

1 mod5nG=

和

()( )

nGGNS=

，因此

()

1, 6

nG=

或36。注意到

为单群，

( )

6nG=

或36。若

( )

6nG=

，则

( )

NS=

，

( )

为

的指数为 6的子群，这时容易验证

GA≅

。我们已知，

有36 个Sylow 5-子群，这是不可能的。

所以只能有

( )

36nG=

，

有

( )

5 136144−× =

个5阶元。

选取不同的

( )

,ABSylG∈

，使

DAB=

的阶最大。若

1D>

，则

3D=

且

( )

AB N D≤

，显然

,AB

都

( )

是的 Sylow 3-子群，

( )

的Sylow 3-子群个数

( )

nN D>

且9整除

()

。又

AB AB

= =



，

( )

N DAB≥=

。考虑到

的真子群指数至少为6，不难验证

( )

ND=

或45。若

( )

ND=

，

( )

只有唯一的 Sylow 3-子群，这是不可能的。若

()

，

( )

N DD

是12 阶群，

( )

N DD

的Sylow 3-子群

肯定不是正规的，由Sylow 定理知，

( )

N DD

包含 4个Sylow 3-子群，它包含 8个3阶元，故

( )

N DD

的Sylow

2-子群是正规的。设

是

( )

N DD

的Sylow 2-子群，

( )

TND



，取

的Sylow 2-子群

，

是4阶群，

T DX=

。从

()( )

X CDAut GZ≤=

知，

()( )

C DZT<≤

，

( )

是

的中心。当

( )

CD=

时，

( )

是

( )

的Sylow 2-子群，故

( )( )

CD ND



，

( )( )

N DC D

是18 阶群，它有正规的Sylow 3-子群，这将导致

()

含有正规的 Sylow 3-子群，矛盾，因此只能有

( )

CD X=

。当

( )

CD X=

时，

是12 阶Abel 群，

是

的特征子群，

()

X ND



。又取

的包含

的Sylow 2-子群

，当然



，从而

()

ABCNX≤

，

( )

能被

AC⋅=

整除，

( )

GNX =

或5，这是不可能的，因此

1D=

，这表明

的任意两个不同的 Sylow 3-

子群有平凡的交。

取

( )

PSyl G∈

，由 Sylow 定理

( )

1, 4,10nG=

或40。注意到

是单群，所以

( )

10nG=

或40。若

( )

40nG=

，

考虑到

的任意两个不同的 Sylow 3-子群的交平凡，

将包含

( )

409 1320× −=

个3-元，又

含有 144 个5-元，

从

320 144360G+>=

知这是不可能的，于是只能有

( )

10nG

，

( )

NP=

，

含有

()

9 11080−× =

个3-元。

我们断言

不含 6阶元。考虑

在

()

Syl G

上的共轭作用，

同构于

的一个子群。把

看作

的子群，

若

为

里的 6阶元，则

可分解为如下三种形式：

()( )( )

123 45 67

()( )

123456 78

()()( )()

123 456 78 9,10

从而

至少固定两个点。不妨设

( )

12 3

,,P PSylG∈

,PP≠

( )

21G

g NP∈

且

( )

22G

g NP∈

。因为

为3阶的，所以

212

g PP∈

。这与

的任意两个不同的 Sylow 3-子群只有平凡的交矛盾，因此

没有 6阶元。

取

( )

HSyl NP

∈

，由于

( )

PNP

，因而

( )

N PPH=

为半直积。对

的非单位元

和

的非单位元

，

若

xh hx=

，从

是3-元和

是2-元知，

的阶

xhx h

是6的倍数。记

6xh k=

，则

( )

是个 6阶元，这是

不可能的，因此必有

h xhx

−

≠

，进而

( )

CP=

，

忠实作用在

上，

( )

HAutP≤

。若

为循环群，则

( )( )

96Aut P

= =

，这是不可能的，从而

为初等 Abel 3-群。进一步地，

( )

2,HAut PGLZ≤=

，设

是

的一个 2阶元，

nI=

，

的特征值等于

，

的最小多项式整除

−

，

在

上可以对角化。因对

的任

意非单位元

，

yy≠

，故 1不是

的特征值，

的特征值只能等于

1−

，于是

nI= −

，这表示

只含有一个

2阶元，

是4阶循环群。现设

,Hh=

1,h=

的极小多项式为

，在

上

相似于

−







，由此存

在

,ab P∈

，使

Pababba

−

=×==

。

取

()

RSyl G∈

，由 Sylow定理并考虑到

是单群，

()

9,15nG=

或45。若

( )

9nG=

，则

()

405 2

NR== ×

。

取

( )

()

SSyl NR∈

，由 Sylow 定理知

( )

SNR

()( )

NR NS≤

，这与

( )

NS=

矛盾。若

( )

15nG=

，则

( )

243 2

NR==×

。由Sylow定理得

( )

nN R=

或4，

( )

最多含有

( )

4 318×−=

个3阶元，但

( )

RNR

，

OPEN ACCESS

周峰等 | 360阶单群同构于 A6的初等群论证明

( )

含有 7个2-元，

87 124++<

，这表明

( )

一定包含 6阶元，矛盾。所以只能有

( )

45nG=

，容易得

出

( )

NR=

且

( )

NR R=

。

我们断言

没有 15 阶和 10 阶元。若

是

的15 阶元，则

( )

gSylG∈

且

( )

Ng≥

，这与

( )

310

Ng=

矛盾。若

是

的10 阶元，则

( )

,gSyl G∈

( )

是一个 10 阶循环群，可以验证

含有

( )

1036436144

×=×=

个10 阶元，而

含有 144 个5阶元和 80 个3阶元，

144 14480368360G+ +=>=

，矛

盾，这样

的元素的阶只能等于1、2、3、4、5。

我们断言

不是 Abel 群。假设

是Abel 群，因

没有 6阶和10 阶元，任取

1,xR≠∈

( )

Cx R=

所在的

共轭类

( )

Cl x

的长

( )( )

: 45

Cl xG Cx= =

。如果

的两个互异元

和

在

里是共轭的，即存在

gG∈

，使

xy=

，那么

( )

GG G

RCx CyCyR=== =

( )

gNR R∈=

xy y= =

，矛盾。这就是说

的任意两个不

同的元在

里不共轭，所以

包含

( )

458 1315×−=

个2-元，但

包含 144 个5阶元，

315 144360G+>=

，矛

盾。所以

不是 Abel 群。

既然

是8阶非 Abel 群，

同构于

或

。因为

含有 144 个5阶元和 80 个3阶元，所以

含有

360 14480 1135−− −=

个2-元。但

( )

45nG=

，故存在不同的

( )

12 2

R RSylG∈

，使

1RR>

，否则

将含有

( )

458 1315×−=

个2-元。若

同构于

，则

RR

只有一个 2阶元

，并且

是

的中心元，即

()

Ct R≥

且

( )

Ct R≥

，再考虑到

的任意元素的阶为素数方幂，我们有

()

12G

R CtR= =

。这与

RR≠

矛盾，所以必有

同构于

。

现在考虑

在

( )

{ }

31 210

,,,SylGP PP=

上的共轭作用，

同构于 10

的一个子群，为了方便，将

{ }

1 210

,,,PP P

简写成

{ }

1, 2,,10

，用

代表

( )

1 10

≤≤

。取

P ab= ×

，适当调整

( )

Pi≤≤

的脚标使

( )( )( )

123 456 789a=

若

,xyP∈

将1映到同一点，则

( )

xyNP

−

∈

xy P

−

∈

，而

110

xy P

−

∈

且

1 10

1PP=

，所以

1,xy

−

xy=

。

因为

将1映到 2，

将1映到 3，

a bab

≠≠

，我们取

，则

()( )

( )

4,2 ,3

aab b==

，这表明

()( )

25, 36bb==

。于是得到

( )()( )

1,4,2,5,3,6,bi jk

，显然

{}

, ,7,8,9

i jk

∈

，由此得到

的3种取法：

( )()()

1147258369

( )()( )

148 259 367

( )()()

149 257 368b=

容易验证对应的三个子群满足

( )( )

798

789

1 23

, ,,abab ab

= =

，它们彼此共轭。如果取

{ }

1 5,6,7,8,9

∈

，同样可以

得到

的15 种取法。直接计算可以验证它们与

生成的 9阶初等阿贝尔子群都是共轭的。因此不妨取

( )()()

147258 369b=

实际上，根据前面的讨论，

的8个非单位元中，任意两个不同的元将同一个点映到不同的点，因此

在

{ }

1,2,, 9

上的共轭作用是传递的，进一步地，

( )

10G

NNP=

在

{ }

1,2,, 9

上的共轭作用传递。考虑

( )

Pi≤≤

在

( )

10G

N NP=

中的稳定化子

，因为

( )

10 4

N= =

，所以

( )

()

2 10iG

NSyl NP

∈

且

为4阶循环群，于是得

到

( )

10 10Gi

N PPN=

。由前面的讨论，不妨设

( )

1010 1

N PPN=

Nc=

且

c acb

−

。

现证

在

{ }

2,3, ,9

上没有不动点。设

是

在

( )

10G

中的稳定子群，由于存在

1xP≠∈

使

PP=

，故

NN=

。不妨设 2是

的不动点，则

NN=

，故

NN=

。而

是一个 4阶循环群且

( )

Aut N

是2阶的，

为

3阶的，这将导致

含有 6阶元，矛盾。

由于

固定 1和10，

为偶置换且变动了

{}

2,3, ,9

的每个元，

为4阶元，因而

必为两个不相交4-轮换

的乘积。考虑到

c acb

−

及

( )()()

123 456 789a=

，

( )()()

147258 369b=

，故有

OPEN ACCESS 35

周峰等 | 360阶单群同构于 A6的初等群论证明

( )()()

( )

()() ()

( )

()() ()

( )

( )()()

1,2, 34, 5, 67,8, 9147258369cccccc ccc=

由于

不可能将

{ }

1,2,, 9

中不同的点映到同一点，因而上式左端为不相交的3个3-轮换的乘积，而

()

11c=

，

因此

() () ()

( )

1 ,2,3147cc c=

且有

()( )

24,37cc

= =

。

若

()() ()

( )

4 ,5 ,6258ccc =

，当

( )

42c=

时，有

( )

55c=

，矛盾。当

( )

45c=

时，

()

5 8,c=

( )

62c=

，此时

将

包含

( )

62458

，这与

为4阶元矛盾。当

( )

48c=

时，

( )

5 2,c=

( )

65c=

，

将包含

( )

65248

，这与

为4阶

元矛盾。所以只能有

()() ()

( )

4 ,5 ,6369ccc =

。

当

( )

49c=

时，将有

( )

，矛盾。当

( )

46c=

时，

( )

5 9,c=

( )

63c=

，此时

将包含

( )

24637

，这与

为

4阶元矛盾。所以只能有

( )

4 3,c=

( )

5 6,c=

( )

69c=

。

最后，

()() ()

( )

7,8 ,9258ccc =

，当

( )

75c=

时，

( )

88c=

，矛盾，当

( )

78c=

时，

将包含

( )

24378

，矛

盾。所以只能有

( )

7 2,c=

( )

8 5,c=

( )

。

综合上面的结论可以得到

()( )

2437 5698

显然

,,cc c

均固定 2个点。又对

的任意 2阶元

，

是

里的偶置换，

至少固定 2个点，从而

属

于某个 Sylow 3-子群的正规化子，进而

的任意 2阶元固定 2个点。

取

( )

TSyl G∈

且

NT⊆

，

为二面体群，则有 2阶元

dT N

∈−

使

,T cd=

。由于

()

dNP

∉

，因而

不

固定 1，考虑到

是2阶元，所以

形如

( )()()

1,, ,

k⋅⋅ ⋅⋅

，其中

{ }

2,3, ,10k∈

。若

k≠

，考虑

c dcd=

，

将

1映到

( )

19kk≤≤

，

将

映到

k′

，其中

′≠

且

29k′

≤≤

，但

不能将

k′

映到 1，所以

不固定 1。另一方面，

因为

是二面体群，

−

固定 1，矛盾，所以必有

10k=

，这表明

包含轮换

()

1,10

。考虑到

为偶置换，

则必有

()( )

1,10 ,d= ⋅⋅

或

()( )()()

1,10,,,d=⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

，再根据上一段的讨论，

dG∈

固定 2个点，所以

()( )( )()

1,10,,,d=⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

。

因为

为二面体群且

d cdc

−−

，所以

( )( )()( )

( )

()()()( )

( )

( )( )

2 ,4 ,3,75 ,6 ,9 ,842736589dddddddd=

由于

不可能将

{ }

2,3, ,9

中不同的点映到同一点，则上式左端为不相交的2个4-轮换的乘积，比较两端，

若

( )( )()( )

( )

2 ,4 ,3,76589dddd=

，则

将

{}

2,4,3,7

映到

{ }

6,5,8,9

，这将有

()()()( )()

1,10,,,,d=⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

，根据上

一段的讨论，这将与

的轮换形式矛盾，所以

()()()( )

()

( )

2 ,4 ,3,74273dddd=

这将导致

包含的对换的形式可能为如下情形

( )( )

24 37

ii)

( )

，2和3为不动点

iii)

()( )

27 34

iv)

( )

，4和7为不动点

同样的讨论运用到

() () () ()

( )

5 ,6 ,9 ,86589dd d d=

，可得

包含的对换的形式可能为如下情形

( )( )

56 98

( )

，5和9为不动点

( )( )

58 96

( )

，6和8为不动点

综合上面的结果并考虑到

()( )( )()

1,10,,,d=⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

，可能出现如下8种情形:

1) i)和b)同时出现，此时

()()()( )

1,10 2437 68

2) i)和d)同时出现，此时

()( )()()

1,1024 37 59d=

OPEN ACCESS

周峰等 | 360阶单群同构于 A6的初等群论证明

3) ii)和a)同时出现，此时

()()( )( )

1,1047 56 98d=

4) ii)和c)同时出现，此时

()()( )( )

1,1047 58 96d=

5) iii)和b)同时出现，此时

()()( )( )

1,1027 34 68d=

6) iii)和d)同时出现，此时

()()( )( )

1,1027 34 59d=

7) iv)和a)同时出现，此时

()( )( )()

1,1023 56 98

8) iv)和c)同时出现，此时

()( )( )()

1,1023 58 96

,cd

为二面体群。

A) 在情形 i)中，将

()()( )( )

1,10 2437 68d=

代入

,,cdcdcd

直接计算，可得到3个2阶元，它们正好是情形

4)，6)，7)中的 2阶元。此时直接计算可得

为21 阶元，21不能整除

360G=

，故

()()( )( )

1,10 2437 68dG= ∉

，

所以只能有下面的

B) 在情形 ii)中，将

()()()( )

1,1024 37 59d=

代入

,,cdcdcd

直接计算，可得到 3个2阶元，它们正好是情

形3)，5)，8)中的2阶元。

不妨设

()()( )( )

1,1024 37 59d=

子群

, ,,abcd

至少为

3 3 4272××× =

阶的，考虑到

为单群，于是必有

, ,,G abcd≅

。我们知道，

为

360 阶单群，故

, ,,A abcd

≅

，即

GA≅

。

因

( )

2,9PSL

也是 360 阶单群，故从上述定理立即得到下面的

推论：

( )

2,9PSL A≅

。

项目基金

国家自然科学基金(11371124)、湖北省高层次人才工程基金(070-016533)。

参考文献 (References)

[1] Isaacs, I.M. (2008) Finite group theory. American Mathematical Society, Providence.

[2] Huppert, B. (1967) Endliche gr uppen. Springer -Verlag, Berlin-Heidelberg-New York.

[3] Smith, G. and Tabachnikova, O. (2000) Topics in group theory. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York.

[4] 周峰, 徐涛, 刘合国 (2013) 660 阶单群同构于 PSL(2,11)的初等群论证明.

理论数学

, 4, 241-243.

[5] Isaacs, I.M. (1976) Character theory of finite groups. Academic Press, New York.

[6] Rotman, J. (1994) An introduction to the theory of groups. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York.

[7] Cole, F.N. (1893) Simple groups as far as order 660. American Journal of Mathematics, 15, 303-315.

OPEN ACCESS 37