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Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 38-46
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2014.41007 Published Online January 2014 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html )
Boundedness of Solutions for a Class of Second-Order
Isochronous Periodic Systems
Chenchen Chu1, Zhe sheng L i 1, Quan Sun1, Shunjun Jiang2
1Overseas Education College, Nanjing University of Technology, Nanjing
2College of Sciences, Nanjing University of Technology, Nanjing
Email: 2274241450@qq.com, jiangshunjun@njut.edu.cn
Received: Dec. 12th, 2013; revised: Dec. 28th, 2013; accepted: Jan. 3rd, 2014
Copyright © 2014 Chenchen Chu et al. This is an open access arti cle d istri b uted un d er the Creativ e Commons Attribution License, whic h
permits unrestricted use, dis tribution, and rep roduction in any medium, pro vided the o riginal work is pro perly cited. In a ccordance o f the
Creative Commons Attribution License all Copyrights © 2 014 are reserved for Hans and the owner of the intellectual property Chenchen
Chu et al. All Copyright © 2014 are guarded by law and by Hans as a guardian.
Abstract: In this paper, we will study the following second-or de r periodic s ystem:
()( )()
,.
x
xVxpt xFxt
α
′′ ′
++ =
Under some assumptions on the
( )
Vx
′
,
( )( )
,, ,
x
p xtFxt
by Ortega’s
small twist theorem, we obtain the existence of quasi-periodic solutions and boundedness of all the solutions.
Keywords: Boundedness of Solutions; Singularity; Small Twist Theorem
一类等时二阶系统解的有界性
储晨晨 1，李哲晟 1，孙 泉1，江舜君 2
1南京工业大学海外教育学院，南京
2南京工业大学理学院，南京
Email: 2274241450@qq.com, jiangshunjun@njut.edu.cn
收稿日期：2013 年12 月12 日；修回日期：2013 年12 月28 日；录用日期：2014年1月3日
摘 要：在本文中，我们将研究下面的二阶周期性系统：
()( )()
,
x
xVxpt xFxt
α
′′ ′
++ =
，通过 Ortega
的小扭转定理，对
( )
Vx
′
，
( )( )
,, ,
x
p xtFxt
做适当假设，我们得到拟周期解的存在性，从而得出所有解
的有界性。
关键词：解的有界性；奇点；小扭转定理。
1. 引言和主要成果
柳[1]研究了下面等时二阶方程的拟周期解的存在性和所有解的有界性：
( )( )()
0xV xgxpt
′′ ′
++ −=
(1.1)
其中
( )
Vx
具有奇点，非线性项
( )
gx
是一个有界扰动，
( )
pt
以2π为周期。文[1]中，以下假设成立：
(1) x
≠
0时，
( )( )
0 00VV
′
= =
，
( )
0VX
′′ >
；
( )()
lim, ,0
xa
Vx a
+
→
= +∞∈−∞
，且 V(x)定义域为
( )
,a+∞
。
(2) 方程
( )( )
( )
:Vx
Wx Vx
=′
OPEN ACCESS
38
储晨晨 等 | 一类等时二阶系统解的有界性
在区间
( )
1,−∞
是光滑的且极限
( )
1
lim
x
Wx
→−
存在。此外，对任意 1 ≤ K ≤ 6有一个恒定的
0
c
有：
( )()( )
[ ]
00
1 ,,1,
K
Wxc xWxcx≤+≤∈− ∞
(3) 函数 V是光滑，有
06k≤≤
()( )( )
0
1
kk
xVxcV x
′
+≤
此时
0
c′
是一个正常数。
(4) 当x > 0，使得
( )( )
2
1
8
x VxxΦ=−
，函数
Φ
满足
( )
lim 0
kk
x
xx
→+∞
Φ=
对任意正整数 k都满足。由[2]的结论，辅助方程
( )
0
x
x Vx
′′ +=
解的周期
2πT=
，这意味着辅助方程是等时的。
(5) 函数 g定义域为
[
)
1,− +∞
，x > 0时
( )
0gx>
。此外，下列不等式成立：
( )( )
d
lim 10
d
k
k
k
x
x gx
x
→+∞
+=
(6) 如果极限
( )
lim
x
gx g
+
→ +∞
=
存在，
( )()
2π
*
0
sin d
2
t
p ptt
θθ

=+ 

∫
，Lazer-Landesman 条件成立：
( )
*
4 max
gp
θ
θ
+
>
柳[1]先将原系统化为规范型，然后应用扭转定理证明的拟周期解的存在性和所有解的有界性。
我们观察到，在[1,2]，扰 动g(x)‒p(t)是光滑的和有界的，我们考虑当扰动无界时，(1.1)所有的解是否都是界？
这也是本文的目的。
由[1-6]的启发，我们讨论如下方程：
()( )()
,
x
xVxpt xFxt
α
′′ ′
++ =
(1.2 )
其中
01
α
<<
，我们假设(1)~(4)成立，此外有
(5′) F(x,t)关于 t是光滑的，
( )
,
lim 0
x
F xt
xx
α
→ +∞
=
，
()()
,2π,F xtF xt+=
，
()()
2πpt pt+=
，p(t)>0。
(6′) 类似的 Lazer-Landesman 条件：
( )
2π
0
0
sin sind0
22
pt
α
θθ θθ
+>
∫
我们的主要结论是下面的定理。
定理 1：若假设(1)~(4 ) 和(5′) (6′) 成立， 那么 (1.2)有无限多的拟周期的解且(1.2)所有的解是有界的。
2. 定理的证明
2.1. 作用角变量
观察到(1.2)等价于下面的哈密顿系统
,
HH
xy
xx
∂∂
′′
== −
∂∂
( 1. 3)
其中哈密顿方程为
()( )( )
( )( )
2
1
,, ,
21
pt
HxytyVxxFxt
α
α
=++−
+
OPEN ACCESS 39
储晨晨 等 | 一类等时二阶系统解的有界性
我们首先考虑辅助方程：
( )
,x yyVx
′ ′′
== −
(1 .4)
这是一个可积哈密顿系统，哈密顿函数为
()( )
2
1
1
,, 2
HxytyV x= +
定义 T(h)为积分曲线
h
Γ
的周期，定义 I为区域
h
Γ
所围成的面积令
1
hh
αβ
−< <
，使得
()( )
hh
V Vh
αβ
−= =
。
由假设(1)，我们有
()
lim1, lim
h
hh
α
→+∞ →+∞
== +∞
不难得出
()( )
( )
2d, 0
h
h
a
IhhVssh
β
−
= −∀>
∫
定义
( )( )
( )
( )( )
( )
0
0
11
d, d
22
h
h
T hsThs
h Vsh Vs
β
α
−+
−
= =
−−
∫∫
通过假设(4)，我们知道，辅助方程的是等时的，其周期为
()() ()
2πThThT h
−+
=+=
，故有
( )
2πIh h=
。类
似的[4]估计，我们有
( )
( )
1,0
k
k
hTh Ck
h
+≤⋅ >
(1. 5)
并且
( )
( )
1, 0.
k
k
hTh Ck
h
−≤⋅ ≥
(1. 6)
下面对作用角变量作标准的约化。我们定义一个生成函数，
()( )
( )
, 2d,
C
S xIhV ss= −
∫
C是闭曲线
h
Γ
的一
部分。
我们定义映射
()()
,,I xy
θ
→
：
( )( )
,, ,,
SS
y xIxI
xx
θ
∂∂
= =
∂∂
这个映射是辛的，因为有下面条件满足：
( )
( )
dddd ddd
d dddddd
xx xIxI
Ix IIIx
x y xSxSI Sx I
I SxSIISx I
θ
∧=∧+=∧
∧=+∧= ∧
从上述讨论，我们可以发现
()( )
( )
( )( )
( )
1d ,if0
2,
1
2πd ,if0
2,
x
h
x
h
sy
hxyV S
sy
hxyV S
α
α
θ
−
−
≥
−

=
−<
−

∫
∫
( )( )()
( )
,2, d
h
h
I xyhxyV ss
β
α
−
= −
∫
OPEN ACCESS
40
储晨晨 等 | 一类等时二阶系统解的有界性
在新的变量
( )
,I
θ
下，系统(1.3)就可以写成
,
HH
I
I
θθ
∂∂
′′
==−
∂∂
( 1. 7)
其中，
( )( )
() ()( )()
( )
,, 2π, ,2π, ,.
1
pt
HItIxIxI FxIt
α
θθθ θ
α
=+−
+
(1.8)
2.2. 新作用和角变量
现在，我们来讨论由(1.8)给出的哈密顿系统的。注意到
( )
d dddIHtHt I
θθ
−=− −
这表示如果可以找出 I关于 H的函数关系(θ、t都是参数)，那么
( )( )
dd
,,, ,,
dd
HItI
tH tH
tH
θθ
θθ
∂∂
=−=−
∂∂
(1 .9 )
也是一个由哈密顿函数所确定的哈密顿系统，并且现在作用量，角变量和时间分别是H、θ和t。
令
( )( )
( )( )
( )
,, 2π2π,,
1
pt
RItxxFxIt
α
θθ
α
= −
+
(1 .10)
为了估计 R，我们需要对函数
( )
,xI
θ
进行估计，因此，我们引入了下列的引理。
引理 1：存在一个常数 C满足
( )
1Cfor06.
k
kk
x
ICx Ik
I
∂≤+ ≤≤≤
∂
由(5)，(1.10)和引理1，我们可以直接得到下面的引理。
引理 2：
( )
1
2
,, for 6.
kl
kl
R ItI kl
It
α
θ
++
∂< +≤
∂∂
由(1.8)，我 们得 到
11, as.
HR I
II
∂∂
=+→→ +∞
∂∂
因此，由隐函数定理可得，存在一个函数
( )
11
,,.RRtH
θ
=
满足
( )
1
,,.IHR tH
θ
= −
(1. 11 )
我们给出了
( )
1,,R tH
θ
的估计，通过直接计算，我们得到
引理 3：
( )
1
12
,, for 6.
kl
kkl
R tH
HH kl
Ht
α
θ
++
∂< +≤
∂∂
设
( )( )( )
( )
21
1
11
0
,,,, ,,.
,, d.
RtHRHtR tH
RHsR tRs
I
θθ θ
θ
= −
∂
=−−
∂
∫
OPEN ACCESS 41
储晨晨 等 | 一类等时二阶系统解的有界性
我们有下面的估计
引理 4：
()
2
,, for 6.
kl
kl
R tHH kl
Ht
α
θ
+
∂≤ +≤
∂∂
现在，哈密顿函数可以表示为下面的形式
() ()
( )
()()( )
( )
( )
12
2
,, ,,
2π,,
1
2π,, .
IHRHtRtH
pt
H xHxH
FxH tR
α
θθ
θθ
α
θ
=−+
= −+
++
系统变为下面形式：
( ) ()()
(
( )
( )
)
( )
( )
() () ( )
( )
( )
( )
2
2
d12π,,
d
, ,,,,
d2π,,
d1
2π,, ,,.
x
t
tI x
HxH pt
HH
R
F xHttH
H
pt
HI xHxH
t
R
F xIttH
t
α
α
θθ
θ
θθ
θθ
θα
θθ
∂∂
== −
∂∂
∂
−+
∂

′
∂
=−=
∂+
∂
−−
∂

(1. 12 )
在公式中引入了一个新的作用力变量
[ ]
1, 2
ρ
∈
和一个参数 ε > 0，这样，当
1H
时，
01
ε
<
，在这种转
换下，系统(1.12)变为
() ( )
( )
(
( )
( )
)
()
( )
()
() ( )
( )
()
()
22
22
2
2 22
2 22
2
d12
π,,
d
,,, ,,
d2π,,
d1
2π,,, ,
x
t
tx x pt
HR
Fxtt
H
pt xx
R
Fx Itt
t
α
α
θε ρθε ρ
θ
θερ ερθ
ρεθε ρθε ρ
θα
εθεερθ
−−
−−
−−
−
∂
=−
∂
∂
−+
∂

′
=
+
∂
−−
∂

(1. 13 )
其函数为：
( )( )
()( )
( )
( )
( )
2 22
2 2 22
2
,,;2π,,
1
2π, ,,,
pt
t xx
R
Fx tt
t
α
ρθερεθε ρθε ρ
α
εθερ εερθ
− −−
− − −−
Γ=−
+
∂
++
∂
显然，当
1
ε

时，在初始点为
( )
[ ]
00
,1,2tR
ρ
∈×
的情况下，(1.13)中的解
( )
( )
00
,,tt
θρ
，
( )
()
00
,,t
ρθ ρ
就被定
义在了区间
[ ]
0,2π
θ
∈
和
( )
00
1
, ,,3
2
t
ρθ ρ

∈

中，这样(1.13)中的 Poincare 映射就被定义在了区域
[ ]
1, 2R×
中。
引理 5：([1]引理 5.1) (1.13)中的 Poincare 映射有自交性。
这个引理的证明和[4]中的相似，为了方便，我们引入符号
( )
1
k
O
和
( )
1
k
o
，我们说一个函数
()( )
,,, 1
k
ft O
ρθε
∈
如果
12
kkk+≤
并且函数在区间
( )
,t
ρ
光滑，有
( )
12
12
,,, ,
kk
kk
ft C
t
ρθε
ρ
+
∂≤
∂∂
OPEN ACCESS
42
储晨晨 等 | 一类等时二阶系统解的有界性
在常数 C > 0，且与
,,,
t
ρθε
无关。
类似的，
()( )
,,, 1
k
ft o
ρθε
∈
，如果
12
kkk+≤
时有下式满足
( )
12
12
0
lim,, ,0
kk
kk
ft
t
ε
ρθε
ρ
+
→
∂=
∂∂
.
2.3. Poincare 映射和扭转定理
假设(1.13)中以
( )( )
( )
( )
00
0, 0,tt
ρρ
=
为初始条件的解的形式如下：
()()
11
0000 00
12
, ,;,, ,;.tt tt
αα
θερθερρερ θε
−−
=++= +
∑∑
然后，(1.13)的Poincare 映射就是：
( )( )
11
1 0001000
12
:2π, ,2π; ,,,2π;Pt ttt
αα
ε ρερρερε
−−
=++ =+
∑∑
(1. 14 )
函数
1
∑
和
2
∑
满足
( )
( )
()
()
( )
( )
()( )
( )
()
()
( )
12 2
10
12
2
0
12 22
20
12
2
0
2π,, ,d
, d,
2π,,, ,d
1
, d,
x
t
xxptF xt
H
R
H
pt
xxFx t
R
t
θα
α
θ
α
α
θ
α
θ
α
εθε ρθε ρθ
εθε ρθ
εθε ρθε ρθερθ
α
εθε ρθ
−−−
−−
+− −−
+−
∂
∑= −
∂
∂
+
∂

′

∑= −

+

∂
−
∂

∫
∫
∫
∫
(1.15)
1
01
tt
α
θε
−
=++∑
，
1
02
α
ρρ ε
−
=+∑
成立。由引理 1和引理 3，我们有
[ ]
12
for 0,2π.C
θ
∑ +∑≤∈
(1.16)
并且，我们可以证明
( )
12 6
, 1.O∑∑∈
(1.17 )
由直接计算，我们有
引理 7：
( )()
( )
( )( )
()
22 22222
060 6
,,1, ,,1.
xx
xxxx OxxO
HH
αααα
αα
θε ρθερεθερθε ρε
−−−−− −
∂∂
−∈− ∈
∂∂
现在我们给出 Poincare映射(1.15)的表达式，所以我们只需估计当
2π
θ
=
且
0
ε
→
时
1
∑
和
2
∑
。
为了估算
1
∑
和
2
∑
，我们引入如下定义和引理。令
( )
I
ϑ
+
为
[ ]
0,2π
的子集，当
( )
I
θϑ
+
∈
，则
( )
,0xI
θ
>
且
( )
I
ϑ
−
满足 θ ∈ Θ(I)，
( )
,0xI
θ
<
。由(1.5)和(1.6)，与[4]的计算相似，又因为当
( )
6
1O
ηε
∈
即
( )
()
( )
0 00
12 ,,;
2π
Th Tt
η ρθε
−−
= =
。根据
ϑ
+
和
ϑ
−
的定义定得
measure2,measure2π2
ϑηϑ η
−+
== −
接下来我们将用以下的引理：
引理 8：([1]引理 4.1)对
( )
I
θϑ
+
∈
，x可表示成下列函数：
( )( )( )
1
,2 sin,
π24π4
Th Th
I
xIX I
θ
θθ
−−
 
=−+ −
 
 
( )( )
1
62
1
1
lim,2 sin0
π24
k
k
k
Ik
Th
I xI
I
θ
θ
−−
→+∞ =



∂− −=





∂


∑
OPEN ACCESS 43
储晨晨 等 | 一类等时二阶系统解的有界性
现在我们给出
1
∑
和
2
∑
的估计值
引理 9
( )
( )
( )
10 0
11
2π
122
0 06
0
, ,2π;
2πsin sind1
22
t
pt o
α
α
α
ρε
θθ
ρ θθ
−
+
=− ++
∑
∫
( )
()
( )
200
11
2π0
222
06
0
, ,2π;
2πsin sind1
22 1
t
pt o
α
α
α
ρε
θ
θθ
ρθ
α
+
+′+
=−+
+
∑
∫
证明。首先我们求 Σ1。由引理 2和7，得
( )
( )( )
( )
( )
( )
)
( )
() ()
( )
( )
( )
)
( )
() ()
( )
( )
( )
)
10 0
2π
1 22
0
2π
2 12
2
0
2π
1 22
00
0
21
06
122
00
20
, ,2π;
2π,,
, ,d, d
2π6, ,
, ,d1
2π,,
, ,d
x
x
x
t
xx pt
H
R
Fx tH
xx pt
H
Fx tO
xx pt
H
Fx t
α
α
α
α
α
α
α
α
ϑ
ρε
εθε ρθε ρ
θε ρθεθε ρθ
εθε ρθε ρθ
θε ρθε
εθερθε ρθ
θε ρθ
+
− −−
− −−
− −−
−−
−−−
−
∂
= −
∂
∂
−+
∂
∂
=−+

∂
−+
∂
=−+

∂
−
−
∑
∫
∫
∫
∫
() ()
( )
( )
( )
)
( )
122
00
21
06
2π,,
, ,d1
x
xx pt
H
Fx tO
α
α
ϑ
α
εθε ρθερθ
θε ρθε
−
−−−
−−
∂+

∂
−+
∫
由引理 1，可知：当
x
ϑ
−
∈
( )
( )
( )
( )
2 22
0606
,1,,1
x
xOO
H
θε ρθε ρε
−−
∂
∈∈
∂
(1.18)
也就是说
( )
( )
( )
(
( )
( )
)
( )
10 0
12
00
21
06
, ,2π;
2π,
, ,d1
x
t
xx pt
H
Fx tO
α
α
ϑ
α
ρε
εθερθ
θε ρθε
+
−−
−−
∂
=−+
∂
−+
∑
∫
由引理 8，有
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
100
11 1
006
0
11
122
0 06
11
2π
122
0 06
0
, ,2π;
2πsin2 sind1
24 π24
π
2πsin sind1
22
2πsin sind1
22
t
pt O
pt o
pt o
α
αα
ϑ
α
αα
α
ϑ
α
αα
α
ρε
ρ
ε θηθη
εε θθε
ρ
θθ
ρ θθ
θθ
ρ θθ
+
+
−− −
−−
+
−−
+
 

 
=−−⋅−×++
 

 

 
 

 
=− ++
=− ++
∑
∫
∫
∫
OPEN ACCESS
44
储晨晨 等 | 一类等时二阶系统解的有界性
现在我们计算 Σ2.
() ()
( )
( )
( )
( )
2π
1 22
20
2π2π
1 212
2
00
2π,, d
1
2π, ,d, d
t
pt
x
R
Fx tt
α
α
αα
εθε ρθε ρθ
α
εθε ρθεθε ρθ
+ −−
+ −+−
′
=+
∂
−−
∂
∑∫
∫∫
由引理 4、7和
( )
1
,
lim 0
x
F xt
x
α
+
→ +∞
=
得
() ()
( )
( )
( )
( )
() ()
()
( )
2π
12 2
20
2π2π
1 212
2
00
12 2
0
00
0
12 2
00 6
2π,,d
1
2π, ,d, d
'( )
2π(,) (,)1
2π,,1
1
t
pt
xx
R
Fx tt
pt
xx
pt
xx o
α
α
αα
α
α
ϑ
α
α
ϑ
εθε ρθε ρθ
α
εθε ρθεθε ρθ
θ
εθε ρθε ρα
θ
εθε ρθερα
−
−− −
+ −+−
+− −
+
+− −
′
=+
∂
−−
∂
+
=+
′+
++
+
∑∫
∫∫
∫
∫
由引理 1、8
()()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
12 2
20 6
11 1
00
06
11
122
0 06
11
2π
122
00
0
2π,, 1
1
2π2 sin2sin
π24 π24
1
1
2πsin sind1
22
2πsin sind
22
pt
xx o
pt o
pt o
pt o
α
α
ϑ
α
α
ϑ
α
αα
α
ϑ
α
αα
α
θ
εθε ρθε ρα
ρρ
θη θη
εε ε
θ
α
θθ
ρ θθ
θθ
ρ θθ
+
+
+
+− −
+− −
−−
+
−−
+
′+
= +
+


=−⋅ −





′+
⋅+
+
=−++
=−++
∑∫
∫
∫
∫
( )
6
1
令
( )( )
1π12π
122
10 000
0
,2πsin sind
22
t pt
α
α
α
θθ
ψ ρρθθ
−−
+
=−+
∫
,
( )( )
1π12π0
222
20 000
,2πsin sind
22 1
pt
t
α
α
α
θ
θθ
ψρ ρθ
α
−+
+
′+
= −+
∫
根据 Poincare 映射得函数(1.16)
1
φ
和
2
φ
，所以
( )
11
101001
P: 2π,tt t
αα
εψρ εφ
−−
=++ +
，
( )
11
1020 02
,t
αα
ρ ρ εψρεφ
−−
=++
其中
( )
12 6
,1o
φφ
∈
。
注意到
( )
0pt >
，我们有
1
10
0, 0
ψ
ψρ
∂
<>
∂
OPEN ACCESS 45
储晨晨 等 | 一类等时二阶系统解的有界性
令
( )
1
2
0
2π
0
0
sin sind
22
L
pt
α
α
ρ
θθ θθ
+
−
=
+
∫
得
( )()
100 200
00
, ,0
LL
tt
t
ψρ ψρ
ρ
∂∂
+=
∂∂
[5]中的 Orgega 定理的另一假设很容易得到验证。所以，有不变曲线 P在圆环域(t0, ρ0) ∈ S1 × [1.2]验证了原
式(1.2)的有界性。因而定理 1得证。
参考文献 (References)
[1] Liu, B. (2009) Quasi-periodic solutions of forced isochronous oscillators at resonance. Journal of Differential Equations, 246, 3471-3495.
[2] Bonheure, D., Fabry, C. and S mets, D. (2002) Periodic solutio ns of forced isochronous oscillators at resonance. Discr ete and Continuous Dy-
namical Systems, 8, 907-930.
[3] Morris, G.R. (1976) A case of boundedness of Littlewo od’s proble m on oscillatory differential equations. Bulletin of th e Australian Math emat-
ical Society, 14, 71-93.
[4] Capietto, W.D. and Liu, B. (2009) On the boundedness of solutions to a nonlinear singularoscillator. Zeitschrift für Angewandte Mathematik
und Physik, 60, 1007-1034.
[5] Ortega, R. (1999) Bou ndedness in a piecewise linear os cillator and a varian t of the s mall twist theore m. Proceedings of the London Mathemat-
ical Society, 79, 381-413.
[6] Kunze, M., Kupper, T. and Liu, B. (2001) Boundedness and unboundedness of solutio ns for reversibl e oscill atorsat resonan ce. Nonlinearity, 14,
1105-1122.
OPEN ACCESS
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