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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2014, 3, 17-21
http://dx.doi.org/10.12677/aam.2014.31003 Published Online February 2014 (http://www.hanspub.org/journal/aam.html)
An Entanglement Criterion for States in
N⊗+∞
System
Yinzhu Wang1,2
1The School of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan
2Departm ent of Mathematics, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan
Email: 2006wang.yinzhu@163.com
Received: Dec. 1st, 2013; revised: Dec. 28th, 2013; accepted: Jan. 10th, 2014
Copyright © 2014 Yinzhu Wang. This is an open access article distributed under the Creative Co mmons Attribution Licens e, which per-
mits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. In accordance of the
Creative Commons Attribution License all Copyrights © 2014 are reserved for Hans and the owner of the intellectual property Yinzhu
Wang. All Copyright © 2014 are guarded by law and by Hans as a guardian.
Abstract: In this paper, according to the generators of special unitary group
( )
SU N
, the separability of
quantum states in infinite dimensional bipartite quantum systems is studied, and we obtain some necessary
entanglement criteria for states in the cases of
N⊗ +∞
(
2N≤< +∞
).
Keywords: Infinite Dimensional Quantum Systems; The Generators of
( )
SU N
; Entanglement Criterion
一个
N⊗+∞
系统量子态的纠缠判据
王银珠 1,2
1太原理工大学数学学院，太原
2太原科技大学数学系，太原
Email: 2006wang.yinzhu@163.com
收稿日期：2013 年12 月1日；修回日期：2013年12 月28 日；录用日期：2014年1月10 日
摘 要：本文借助特殊酉群
()
SU N
的生成元，研究了无限维两体量子态的可分性问题，得到了一些
N⊗ +∞
情形量子态可分的必要性判据(其中
2N≤< +∞
)。
关键词：无限维量子系统；
()
SU N
生成元；纠缠判据
1. 引言
在迅猛发展的量子信息与量子计算理论中，量子纠缠态扮演着重要而奇特的角色[1]。量子纠缠态已经作为
一种必要的资源应用于量子计算的各个方面，例如量子通信、量子密钥分配、量子并行计算、量子隐形传态[1]
等。在 20 世纪 80 年代以来，人们提出了量子计算机的理论模型。这以后，有关量子计算与量子通讯的理论和
实验迅速发展起来，而纠缠态在其中起着不可缺少的重要作用。如何探测和度量复合系统中量子态的纠缠性是
一个重要而极富挑战性的问题，也是许多物理学家、数学家等研究者高度关注的问题。目前对于有限维两体量
子态的纠缠识别已有很多判据，比如 PPT 判据、重排判据、约化判据和控制判据等[2-5]。然而无限维量子系统在
量子世界中也是非常重要的，但是对于无限维量子系统量子态的纠缠性研究已有结果甚少。最近，基于特殊酉
OPEN ACCESS 17
王银珠 | 一个
N⊗ +∞
系统量子态的纠缠判据
群
( )
SU N
的生成元所表示的量子态，Zhao Hui [6]和Li Ming[7]等作者分别提出了一个两体或三体量子态可分的必
要性判据。本文我们考虑两体量子系统，其中子系统有且只有一个是无限维的情况。我们得到了一个
N⊗ +∞
情
形量子态可分的必要性判据(其中
2N≤< +∞
)。
首先，我们固定一些常用的记号。令
,
AB
HH
是可分复 Hilbert 空间，在
AB
HH⊗
中的全体量子态集合标记为
()
AB
SH H⊗
。在
AB
HH⊗
中的全体迹类算子所组成的集合标记为
()
AB
HHΓ⊗
。在
AB
HH⊗
中的全体有界算子
所组成的集合标记为
()
AB
BH H⊗
。设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
，如果
2
ρρ
=
，则称
ρ
为纯态，否则称
ρ
为混合态。全
文使用 Dirac记号，用符号
|⋅⋅
表示给定 Hilbert 空间的两元素的内积。设
AB
HH H= ⊗
，记
()
SP
SH
−
表示
H
上
的可分纯态组成的集合，对于无限维复合两体系统的可分量子态
ρ
来说，文献[8]指出可分态
ρ
蕴含一种 Bochner
积分形式：
() ( )
d,
SP
AB AB
S
ρ ϕρρµρρ
−
=⊗⊗
∫
(1)
其中
µ
是
()
SP
SH
−
上的 Borel 概率测度，
( )
ABAB
SH H
ρρ
⊗∈ ⊗
，
( )( )
:
SP SP
SHSH
ϕ
−−
→
是一个可测函数。进
一步存在阶梯函数序列
n
ϕ
使得：
( ) ( )
lim ,
AB AB
n
n
ϕρρ ϕρρ
→∞
⊗= ⊗
(2)
这里的极限按迹范数拓扑收敛，其中：
() ()
1
,
n
i
k
AB ABAB
nE ii
i
ϕρρχρρρρ
=
⊗=⊗ ⊗
∑
(3)
这里
( )
i
E
χ
⋅
是
i
E
上的特征函数，
{ }
1
n
k
ii
E=
是可分纯态
( )
SP
SH
−
上的一个分划，记
E
表示所有的分划，我们有：
{ }
( )
lim ,
i
AB
ii i
EE
i
E
ρµ ρρ
∈
= ⊗
∑
(4 )
相对于迹范数拓扑，也相对于 Hilbert Schmidt范数，
A AA
i ii
ρ ψψ
=
,
B BB
i ii
ρ φφ
=
分别是
,
AB
HH
上的纯态。
进一步，由文[9]可知，N维Hilbert 空间上的任意自伴算子都能被特殊的酉群
( )
SU N
的生成元所表示。
( )
SU N
的生成元可如下给出：设
{ }
1
N
i
i
=
是
N
维Hilbert 空间
H
的标准正交基，定义转移投影算子
jk
P jk=
，
设
( )
( )
( )
11221, 1
2,,
1
llll ljkjkkjjkjkkj
PPPlPuPPviPP
ll
χ
++
=−+++ −=+=−
+
(5)
其中
11lN≤≤ −
，
1jkN≤<≤
。设
{ }
121 12131,12 131,
,,,,, ,,,,,,
NNN NN
uu uvv v
χχ χ
−− −
∆=  
(6)
易见
i
α
∀ ∈∆
，我们有
( )
0,
i
Tr
α
=
( )
2
i jij
Tr
αα δ
=
。
∆
集合中的
2
1N−
个自伴算子即为
( )
SU N
的生成元。为
了给出本文的主要结果，我们首先给出如下引理。
引理 1[6] 令
H
是可分复 Hilbert 空间且
()
dim 2
HN N=≤< +∞
，
()
SH
ρ
∈
。如果
ρ
是纯态，则
ρ
可表示为：
2
1
1
12
2
N
N jj
j
Ia
N
ρλ
−
=

= +



∑
(7)
其中
( )
2
1, 2,,1
j
jN
λ
= −
是群
( )
SU N
的生成元，
( )
jj
a Tr
ρλ
=
且
2
12
1
1
21
N
j
j
aN
−
=

= −


∑
，
N
I
是
NN×
单位矩阵。引
理1的证明可参见文[6]，此处我们略去了证明。
2. 主要结果
下面我们给出本文的主要结果。
OPEN ACCESS
18
王银珠 | 一个
N⊗ +∞
系统量子态的纠缠判据
引理 2 设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
，
dim
A
HN=
( )
2N≤< +∞
，
dim
B
H= +∞
。如果
ρ
是一个可分态，则存在
B
H
中的纯态
B BB
i ii
ρ φφ
=
，使得
ρ
能被表示为以下形式：
{ }
( )
2
1
1
12
lim
2i
NAAB B
iNij ijii
EE
ij
EI a
N
ρµλ φφ
−
∈=

= +⊗



∑∑
(8)
这里极限按迹范数拓扑收敛。
µ
是
( )
SP
SH
−
上的 Borel 概率测度，
{ }
1
n
k
ii
E=
是可分纯态
( )
SP
SH
−
上的一个分划，
E
表示所有的分划，
()
A AA
iji ij
a Tr
ρλ
=
，这里
A AA
i ii
ρ ψψ
=
是
A
H
上的纯态，且
( )
2
12
1
1
21
NA
ij
j
aN
−
=

= −


∑
，
( )
2
1, 2,,1
A
ij
jN
λ
= −
是群
( )
SU N
的生成元。进一步
ρ
可被表示为：
2
1
01
.
NA
Nij j
j
IM M
ρλ
−
=
=⊗+ ⊗
∑
(9)
其中
{ }
( )
0
1lim ,
i
BB
ii i
EE
i
ME
N
µ φφ
∈
=∑
(10 )
{ }
()
1lim .
2
i
AB B
jiij ii
EE
i
M Ea
µ φφ
∈
=∑
(11)
证明：这可由(4)(7)式直接推得。
引理 3 设
()
H
Γ
是Hilbert 空间
H
上的迹类算子所组成的集合。
( )
,
n
TT H∈Γ
。如果
lim
n
n
TT
→ +∞
=
按迹范数收
敛，则
22
lim
n
n
TT
→ +∞
=
按迹范数收敛。
证明：注意到，对
( )
TH∈Γ
，我们有
Tr
TT≤ <∞
。由于
( )()
,
n
TTH BH
∈Γ ⊆
且
0
nTr
TT−→
，故存在正
数
M
，使得
{ }
sup
nTr
TM=< +∞
。进而
22 22
nnn nnn
Tr Tr
Tr Tr
T TT TTTTTMTTTTT−= − +−≤−+⋅−
所以
( )
22 0
nTr
TT n−→→ +∞
。
定理 4：设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
，
dim
A
HN=
( )
2N≤< +∞
，
dim B
H= +∞
。如果
ρ
是一个可分态，则以下两
式成立：
①
2
1
01
32 0
4
N
jj
j
NM lM
−
=
−−≥
∑
，其中
( )
2
12 1
,, ,
N
ll l
−
=l
满足
1≤l
；
②
( )
2
1
22
1
10
2
N
oj
j
NN
TrM M
−
=

−−≥



∑
，其中
0,j
MM
定义如上。
证明：由于
ρ
是一个可分态，根据引理 1和引理 2，以及(10)(11)式，我们有
{}
( )
{ }
( )
{ }
() ()
( )
()
{ }
()
2
2
2
1
01
1
1
122
1
32
4
1 321
lim lim
42
123 21
lim
24 2
1 23232
lim
24 2
ii
i
i
N
jj
j
N
BB ABB
iii ijijii
EE EE
i ji
NA BB
iiijji i
EE i ji
BB
i ii
EE i
NM lM
NEE la
N
NEEa l
N
NN
E
NN
µ φφµφφ
µ µφφ
µ φφ
−
=
−
∈∈
=
−
∈=
∈
−−
−

= −




−

≥ −+






−−

≥−


∑
∑ ∑∑
∑ ∑∑
∑
0.



=
OPEN ACCESS 19
王银珠 | 一个
N⊗ +∞
系统量子态的纠缠判据
另一方面，根据引理 1~3，以及(10)(11)式，有
( )
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }{}
() ()
( )
{ }{}
( )
2
2
2
1
22
1
22
1
1
12
1
1
2
111
lim lim
24
21
1lim lim
4
1lim lim
4
ii
ik
ik
N
oj
j
N
BB ABB
iii iijii
EE EE
i ji
NAABB
ikij kjii
EEEEik j
i
E EEE
NN
TrM M
NN
TrEE a
N
N
E Eaa
N
E
µ φφµφφ
µ µφϕ
µµ
−
=
−
∈∈
=
−
∈∈ =
∈∈

−−




− 

= −

 
 



−
= −



≥
∑
∑ ∑∑
∑∑ ∑
( )
( )
( )( )
()
2
122
1
21
1
2
0.
NA ABB
kijkji i
ik j
N
E aa
N
φϕ
−
=

−−+



=
∑∑ ∑
证毕。
进一步，设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
，
dim
A
HN=
()
2N≤< +∞
，
dim
B
H= +∞
。如果
ρ
可分，则
ρ
可表示为
2
1
01
NA
Nij j
j
IM M
ρλ
−
=
=⊗+ ⊗
∑
，其中
{ }
( )
0
1lim
i
BB
ii i
EE
i
ME
N
µ φφ
∈
=
∑
，
j
M=
{ }
( )
1lim
2i
AB B
jiij ii
EE
i
M Ea
µ φφ
∈
=
∑
，对任
意的
( )( )
22
11
NN−× −
实矩阵
R
，满足
( )
T
2
10
1I RR
N−≥
−
，定义
( )
22
11
011
,,
NN
A
RNijjjjk k
jk
IMM MRM
γρ λ
−−
= =
′′
=⊗+ ⊗=
∑∑
(12)
( )
2
1, 2,,1
A
ij
jN
λ
= −
是群
( )
SU N
的生成元。我们有
定理 5 设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
，
dim
A
HN=
()
2N≤< +∞
，
dim
B
H= +∞
。如果
ρ
可分，则
( )
0
R
γρ
≥
。
证明：如果
ρ
可分，则
ρ
可表示为
2
1
01
NA
Nij j
j
IM M
ρλ
−
=
=⊗+ ⊗
∑
，这里
0
,
j
MM
如(10)(11)定义。注意到
{ }
( )
( )
1lim .
2
i
A BB
ji ijii
EE
i
M Ea
µ φφ
∈
′
′=∑
(13)
注意到
( )
R
γρ
也可表示为
( )
{ }
( )
lim
i
BB
Ri ii
EE
i
EA
γρµφ φ
∈

= ⊗

∑
，这里
( )
2
1
1
12
2
NAA
Nij ij
j
AIa
N
λ
−
=

′
= +



∑
， (14)
记
( )()()
( )
2
2
1
12 1
, ,,
A AAAN
i iiiN
aa a
−
−

′

′ ′′

= ∈ℜ




a
为Block 向 量 ，记
()
2
1N
B
−
ℜ
表示由组成密度矩阵的所有的Block
向量组成的集合，也称 Block 球或 Block 向量空间。由文献[10] ，
()()( )
22 2
11 1
DD
NN N
lL
B
−− −
ℜ⊆ℜ⊆ℜ
，其中
() ()
22
11
D ,D
NN
lL
−−
ℜℜ
分别是
2
1N−
ℜ
空间中的半径为
( )
2
1
lNN
=−
以及
1
21LN

= −


的球，注意到矩阵
A
是自
伴的且迹为 1的，但是不一定是正的，为了保证正性，根据文献[7,10]，需要满足
( )()
( )
( )
2
2
22
12 1
2.
1
AA A
ii iN
aaa NN
−

′
 
′′

+ ++≤

 
−

 

(15)
OPEN ACCESS
20
王银珠 | 一个
N⊗ +∞
系统量子态的纠缠判据
事实上，由于
() ()
()( )
22
TT
1 212
11
,,,, ,,
A AAAAA
i iii
iN iN
aaaRaaa
−−

′
 
′′

=
 

 


，注意到
( )()
( )( )( )
2 22
2
22 T
T
1 21212
1 11
, ,,, ,,.
AAAAA AAAA
i iiiii
iNiN iN
aaaaa aRRaaa
− −−

′
  
′′

+ ++=

  

  
 
从而根据
( )
T
2
10
1I RR
N−≥
−
，由引理 1，我们有
( )
212
1
1
21
NA
ij
j
aN
−
=

= −


∑
，故
( )()
( )
( )
( )()
( )
( )
22
2
22 2
22
1 212
2
11
12
.
1
1
A AAAAA
i iii
iN iN
a aaaaaNN
N
−−

′
   
′′

+++≤+ ++=

 
   −
 
  −



(16)
所以
( )
R
γρ
仍然是一个密度算子，即
()
0
R
γρ
≥
。证明完成。
项目基金
国家自然科学基金资助(11172194)，山西省青年科学基金资助(2011021002-2)和(201001100 8)。
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