ABSTRACT

Several sufficient conditions ensuring that the subdirect sum of MB-matrices is in the class of MB-matrices are given by using the matrix splitting. And the conclusion is illustrated by a numerical example.

Keywords:MB-Matrix, Subdirect Sum, Z-Matrix, M-Matrix, Matrix Splitting

MB-矩阵的子直和

骆毅，李耀堂^*

云南大学数学与统计学院，云南 昆明

收稿日期：2017年5月6日；录用日期：2017年5月21日；发布日期：2017年5月27日

摘 要

采用矩阵分裂的方法对MB-矩阵的子直和进行了研究，给出了MB-矩阵子直和仍为MB-矩阵的一些充分条件，最后用数值例子对所给结论进行了验证。

关键词 :MB-矩阵，子直和，Z-矩阵，M-矩阵，矩阵分裂

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1. 引言

科学、工程技术和金融管理等领域中的许多数据可以用矩阵的形式表示和存储，因此对这些数据的研究与处理往往可以转化为对矩阵的研究与处理。矩阵子直和的概念正是为适应诸如线性补问题，区域分解法中的重叠子域和有限元法中的总刚度矩阵研究的需求而提出和研究的 [1] [2] [3] [4] 。在这些研究中，“某特定矩阵类的子直和是否仍属于该类矩阵”成为研究的重要问题之一。文献 [5] [6] [7] 分别对P-矩阵，Nekrasov矩阵和S-严格对角占优矩阵的子直和进行了研究。本文将对一类重要的特殊矩阵——MB-矩阵的子直和问题进行研究，期望获得MB-矩阵的子直和仍为MB-矩阵的一些充分条件。

2. 预备知识

本节给出一些基本概念、定理与符号，以备后用。

定义2.1 [8] 设，如果对于所有的，都有，则称为Z-矩阵。如果是Z-矩阵且，则称为M-矩阵。

定义2.2 [5] 设，记

, (1)

其中。显然，是Z-矩阵，是秩1非负矩阵。若为M-矩阵，则称为MB-矩阵。

定义2.3 [1] 设，是整数且，，分块如下：

, , (2)

其中，是阶方阵。定义矩阵

,(3)

为和的阶k-子直和，记为。

设，和按定义2.2中的(1)式分别分裂为：

,

, ,

.

记，，其中，，。于是有由定义2.3知

,. (4)

其中

, ,;

.

显然，和都是非负的。

设，其中

,.(5)

定义2.4 [9] 设。对任意的，记

,.

若

, ,

则称为(按行)对角(严格对角)占优矩阵；若

, ,

则称为(按列)对角(严格对角)占优矩阵。

定义2.5 [10] 设，若满足

,

则称为严格双对角占优。

定义2.6 [9] 设，若存在正数，使

,

成立，则称为广义严格对角占优矩阵。

定义2.7 [9] 设满足

1) 对角占优，即，；

2)非空；

3) 对每一个，存在非零元素序列使得(称之为连接和的非零元素链)。

则称为具有非零元素链的对角占优矩阵。

定理2.1 [9] 若为具有非零元素链的对角占优矩阵，则为广义严格对角占优矩阵。

定义2.8 [9] 设满足

1)；

2)。

则称为下半强对角占优矩阵。如果存在置换矩阵使得矩阵为下半强对角占优矩阵，则称为半强对角占优矩阵。

定理2.2 [9] 为半强对角占优矩阵的充分必要条件是为具有非零元素链的对角占优矩阵。

推论2.1 [9] 设为非奇异M-矩阵，为Z-矩阵且，则为非奇异M-矩阵。

定义2.9 [9] 若为主对角元为正的Z-矩阵，则称为L-矩阵。

定理2.3 [9] 设为L-矩阵且为广义的严格对角占优矩阵，则为非奇异M-矩阵。

定理2.4 [5] 设，若为主对角线元为正的严格双对角占优矩阵，则为非奇异M-矩阵。

定理2.5 [9] 设矩阵满足

, , ,

并且(其中为的转置矩阵)为严格对角占优，则为非奇异M-矩阵。

定理2.6 [11] 设，则为非奇异M-矩阵的充要条件是为Z-矩阵且的每一个实特征值为正数。

定理2.7 [11] 设，为的谱，则

,

其中。

3. MB-矩阵的k-子直和

首先我们看一个例子。

例3.1 设矩阵及其按定义2.2的分裂为

.

容易验证上述矩阵为MB-矩阵，由定义2.3得与的2-子直和为：

计算得

.

故不是M-矩阵.由定义2.1及定义2.2知不是MB-矩阵。

例3.1表明MB-矩阵的子直和不一定是MB-矩阵。下面我们讨论MB-矩阵的子直和仍为MB-矩阵的条件。为此，我们先给出如下引理。

引理3.1设为MB-矩阵，且满足

,;, , ,

则为L-矩阵。

证明：因为，，即，。由定义2.1知的主对角元为正，再由(5)式和定义2.9知为L-矩阵。

定理3.1设为MB-矩阵，若

1)，；，，；

2)，；

3)，；

4)，。

则的k-子直和为MB-矩阵。

证明：由条件(1)和引理3.1知为L-矩阵，由条件(2)-(4)知为严格对角占优矩阵，再由定理2.3得为M-矩阵。由(4)和(5)式知且为Z-矩阵，再由推论2.1知为M-矩阵。从而由定义2.2得为MB-矩阵。

引理3.2 设，若

1)，

2)。

则为MB-矩阵。

证明：由条件(1)知矩阵是主对角线元为正的Z-阵，由条件(2)知矩阵为严格双对角占优矩阵.于是由定理2.4知为M-矩阵，再由定义2.2知为MB-矩阵。

定理3.2 设为MB-矩阵，满足引理3.1的条件且为严格双对角占优矩阵，则的k-子直和为MB-矩阵。

证明：由引理3.1知矩阵是主对角线元为正的Z-阵，由为严格双对角占优矩阵知

再由(4)式和(5)式知与的元素在部分的元素是相同的，则当时也满足

下面证明当时，有成立.由于当时

,

,

,

其中，故

, ,

即

从而可以得出

.

类似可得，及的情况同样成立.综上可得为主对角元为正的严格双对角占优矩阵，于是由定理2.4知为M-矩阵，再由定义2.2知为MB-矩阵。

定理3.3设为MB-矩阵，若

1)，；，，；

2)，；

3)，；

4)，；

则的k-子直和为MB-矩阵。

证明：由条件(1-4)及定义2.5知为严格对角占优矩阵，由引理3.1及定理2.5知为M-矩阵。再由(4)和(5)式知且为Z-矩阵。于是由推论2.1知为M-矩阵。从而由定义2.2得为MB-矩阵。

定理3.4设为MB-矩阵，若

1)，；，，；

2)，；

3)，；

4)，。

则的k-子直和为MB-矩阵。

证明：由条件(1)知为L-矩阵，故的主对角元为正。设为的实特征值，由定理2.7知，存在，使得

,

即

.

于是由条件(2)知，当时，

.

由条件(3)知，当时，

.

由条件(4)知，当时，

.

综上知的实特征值为正，由定理2.6得为M-矩阵。由(4)和(5)式知，又由推论2.1得为M-矩阵，再由定义2.2得的k-子直和为MB-矩阵。

定理3.5 设为MB-矩阵，若

1)，；，，；

2)，，；

3)，，

；

则为MB-矩阵。

证明：由满足条件(1-3)及与间元素的关系可得满足：

当时，

,;

当时，

,

;

当时，

,

.

故为下半强对角占优矩阵.由引理3.1及推论 3.4知为非奇异M-矩阵.由(4)和(5)式及推论2.1得为M-矩阵，再由定义2.2知为MB-矩阵。

下面我们用例子对所获理论结果进行说明。

例3.2设

,.

容易验证均为MB-矩阵。取，由得，；，，。考虑的2-子直和

.

计算可得，当时

, ,

, ,

,

, ,

,

,

;

,

;

当时

, , ,

, , ,

, ,

, , ,

,

,

;

,

.

故矩阵满足定理3.5的条件(1)-(3)，于是由定理3.5知的2-子直和为MB-矩阵。

文章引用

骆毅,李耀堂. MB-矩阵的子直和
Subdirect Sums of MB-Matrices[J]. 应用数学进展, 2017, 06(03): 338-347. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.63039

参考文献 (References)