 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 51-53 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12011 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Locally Refinable Spaces Xiaoxia Bian Department of Fundamental Sciences, Yancheng Institute of Technology, Yancheng Email: xiaoxiabian2011@yahoo.cn Received: May 25th, 2011; revised: Jun. 20th, 2011; accepted: Jun. 24th, 2011. Abstract: Three k inds of locally refinable spaces are defined. A sufficient condition on their equivalence is given and their properties are discussed respectively. Some good properties in refinable spaces are ex- tended to locally refinable spaces. The theory of refinable space is expanded again, so covering the- ory is made more abundant. Keywords: Refinable Spaces; Locally Refinable; Locally Compact Spaces 局部 加细空间 卞小霞 盐城工学院基础部，盐城 Email: xiaoxiabian2011@yahoo.cn 收稿日期：2011 年5月25 日；修回日期：2011 年6月20 日；录用日期：2011 年6月24 日 摘 要：在 加细的基础上定义了三种局部 加细性，给出了三者等价的充分条件，分别讨论了它们 的一些性质，结果表明 加细空间某些好的性质在相应的局部 加细空间中仍成立，从而将 加细空 间的理论进行了推广，使覆盖性质理论更加丰富。 关键词： 加细空间；局部 加细；局部紧空间 1. 预备知识 定义 1[1,2]。称 X是i型局部紧空间(i = 1,2,3)，是 指它们满足下面的条件(i)： (1) X中每一点都有一个紧邻域； (2) X中每一点都有一个紧邻域基； (3) X中每一点 x的任意一个邻域U包含一个开邻 域V，使得VU，且 V是紧的。 定义 2。称 X是i型局部 加细空间(i = 1,2,3)， 是指它们满足下面的条件 i： (1) X中每一点都有一个 加细邻域； (2) X中每一点都有一个 加细邻域基； (3) X中每一点 x的任意一个邻域U包含一个开邻 域V，使得VU，且V是 加细的。 由定义 2，显然 加细空间必是 1-型局部 加细 空间，因为 加细空间本身是它的任何一点的 加细 邻域。 在文献[3,4]中有以下一些结论： 结论 1： 加细空间的每一个闭子集都是 加细 子集。 结论 2：连续的闭映射保持 加细性。 结论 3： 加细空间与紧空间的积是 加细空间。 问题：在 i型局部 加细空间(i = 1,2,3)中，是否 有上述类似结论？ 本文就此问题进行了探讨，得到了以下的一些结 果。 2. 主要结论及证明 定理 1 (1) 3型局部 加细空间 2型局部 加细空间 1型局部 加细空间； (2) 若X是正则空间，则3型局部 加细空间 2 型局部 加细空间 2型局部 加细空间。 证明：(1)由定义 2，结论显然成立； (2)由(1)，只需证1型局部 加细空间 3型局部 加细空间。  卞小霞局部 加细空间 52 | θ 设U是x的任意一个邻域，则存在 x的开邻域 V， 使得 x VU ，由 X是1型局部 加细空间知存在 x 的 加细邻域 D，则 x VD U ，且V是开集， 又X是正则空间，于是存在 x的开邻域 W，使得 ，由结论 1， D WVD VW是 加细的，从 而(3)成立。 定理 2 若X是i型局部 加细空间(i = 1,2,3)，则 其闭子空间也是相应的 i型局部 加细空间。 证明：1) 设X是1型局部 加细空间， F X， F为闭集， x F ，有 x X，由X是1型局部 加 细空间知存在 x在X中的 加细邻域 V，令UVF ， 则U是x在F中的邻域，且 U是V的闭子集，由结 论1知U是x在F中的 加细邻域，从而 F使1型局 部 加细空间。 2) 设X是2型局部 加细空间， F X，F为闭 集， x F ，对 x在F中的任一邻域 U，存在 x在X 中的邻域 V，使得 ，由 X是2型局部 UVF 加 细空间，则存在 加细邻域 W，使得 ，记 ，则 ，由 结 论1知W WV WWF WWF 是x在 F中的 加细邻域，从而 F使2型局部 加细空间。 3）设 X是3型局部 加细空间， F X，F为 闭集， x F ，对 x在F中的任一邻域 U，存在 x在 X中的邻域 V，使得，由X是3型局部 UVF 加 细空间，则存在 x的开邻域 W，使 得WV，且 W是 x在X中的 加细邻域，令WWF ，则 W 是x在 F中的开邻域，W U，又 WFW FVF WW ，由结论 1知W是x在F中的 加细邻域， 从而 F使3型局部 加细空间。 定理 3 几乎开的且闭的映射保持 i型局部 加细 性(i = 1,2,3)。 证明：设 : f XY是几乎开的且闭的映射， (1) 设 y Y ，由 f是几乎开映射，知存在 1 x fy ，使得对 x的任一邻域 U， y Int fU， 又X是1型局部 加细空间，则存在 x的 加细邻域 D，于是 y Int fD，由结论 2知 f D是 加细的， 即有 f D为y的 加细邻域，从而 Y是1型局部 加 细空间。 (2) 设 y Y 11 ，任取 y的一个邻域 V，则 f yf V ，由 f连续知 1 f V 是x的邻域，由 X是2型局部 加细空间， 1 x fy 存在 x的， 加 细邻域 x D， 1 fV x D又f是几乎开映射，则存 在 ， 1 0 x fy ， 使得 y 0 x IntfD 0 x f DV， 0 x f D即为满足条件的 加细邻域，故 Y是2型局部 加细空间. (3) 设 y Y ，任取 y的一个邻域 V，则 11 f yf V ，由 X是3型局部 加细空间，知对 任意的 1 x fy ，存在x的开邻域 x D，使得 V 1 x Df，且 x D是 加细的。由 f是几乎开的闭 映射，则存在 1 0 x f y，使得 000 xxx y Intf Df Df DV ， 0 x I nt fD即 为满足条件的 y的开的 加细邻域，故 Y是3型局部 加细空间。 注：文献[5]中对于 加细空间所得的结论不能推 广至局部 加细空间。 定理 4 i型局部 加细空间与 i型局部紧空间的积 是 I 型局部 加细空间(i = 1,2,3)。 证：(1) 设X是1型局部 加细空间，Y是1型局 部紧空间， , x yXY ，由条件可得，x在X中存 在 加细邻域 U，y在Y中存在紧邻域 V，由结论 3 知UV 是 , x y在 X Y 中的 加细邻域，故 X Y 是1型局部 加细空间。 (2) 设X是2型局部 加细空间，Y是2型局部紧 空间， , x yXY ，U是 , x y的任一邻域，则x 在X中存在邻域 X V，y在Y中存在邻域 ，使得 y V Xy VV U ，由条件可得 x在X中存在 加细邻域 X x VW，y在Y中存在紧邻域W，则 y y V x y WW 是 , x y在 X Y 中的邻域，且WW ， 由结论 3， xy xy VV U x y WW 是 加细的，故 X Y是2型局部 加细空间。 (3) 设X是3型局部 加细空间，Y是3型局部紧 空间， , x yXY ，U是 , x y的任一邻域，则x 在X中存在邻域 X V，y在Y中存在邻域 ，使得 y V Xy VV U ，由条件得，x在X中存在开邻域 x W，使 得 x x VW，且 x W是 加细的，y在Y中存在邻域 ， 使得 y W y y W，且Vy W是紧的，则 x y WW是 , x y在 X Y 中的邻域，且 xyxyxy W VV UWWW ， 由结论 3， x y WW是 加细的，故 X Y是3型局部 加细空间。 推论：i型局部 加细空间与 i型紧空间的积 i型 局部 加细空间(i = 1,2,3)。 Copyright © 2011 Hanspub PM  卞小霞 | 局部 θ加细空间 Copyright © 2011 Hanspub PM 53 参考文献 (References) [1] M. Eisenberg. Topology. New York: University of Massachu- setts, 1974: 315-316. [2] Engelking. General topology. Poland: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975. [3] 高国士. 拓扑空间论[M]. 北京: 科学出版社, 2000. [4] 朱培勇. 遗传次亚紧空间[J]. 数学进展, 1996, 42(4): 299-304. [5] 葛英. 关于弱 θ加细空间的闭L原象[J]. 数学研究与评论, 1994, 14(3): 426-428. |