Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 51-53 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12011 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Locally Refinable Spaces Xiaoxia Bian Department of Fundamental Sciences, Yancheng Institute of Technology, Yancheng Email: xiaoxiabian2011@yahoo.cn Received: May 25th, 2011; revised: Jun. 20th, 2011; accepted: Jun. 24th, 2011. Abstract: Three k inds of locally refinable spaces are defined. A sufficient condition on their equivalence is given and their properties are discussed respectively. Some good properties in refinable spaces are ex- tended to locally refinable spaces. The theory of refinable space is expanded again, so covering the- ory is made more abundant. Keywords: Refinable Spaces; Locally Refinable; Locally Compact Spaces 局部 加细空间 卞小霞 盐城工学院基础部,盐城 Email: xiaoxiabian2011@yahoo.cn 收稿日期:2011 年5月25 日;修回日期:2011 年6月20 日;录用日期:2011 年6月24 日 摘 要:在 加细的基础上定义了三种局部 加细性,给出了三者等价的充分条件,分别讨论了它们 的一些性质,结果表明 加细空间某些好的性质在相应的局部 加细空间中仍成立,从而将 加细空 间的理论进行了推广,使覆盖性质理论更加丰富。 关键词: 加细空间;局部 加细;局部紧空间 1. 预备知识 定义 1[1,2]。称 X是i型局部紧空间(i = 1,2,3),是 指它们满足下面的条件(i): (1) X中每一点都有一个紧邻域; (2) X中每一点都有一个紧邻域基; (3) X中每一点 x的任意一个邻域U包含一个开邻 域V,使得VU,且 V是紧的。 定义 2。称 X是i型局部 加细空间(i = 1,2,3), 是指它们满足下面的条件 i: (1) X中每一点都有一个 加细邻域; (2) X中每一点都有一个 加细邻域基; (3) X中每一点 x的任意一个邻域U包含一个开邻 域V,使得VU,且V是 加细的。 由定义 2,显然 加细空间必是 1-型局部 加细 空间,因为 加细空间本身是它的任何一点的 加细 邻域。 在文献[3,4]中有以下一些结论: 结论 1: 加细空间的每一个闭子集都是 加细 子集。 结论 2:连续的闭映射保持 加细性。 结论 3: 加细空间与紧空间的积是 加细空间。 问题:在 i型局部 加细空间(i = 1,2,3)中,是否 有上述类似结论? 本文就此问题进行了探讨,得到了以下的一些结 果。 2. 主要结论及证明 定理 1 (1) 3型局部 加细空间 2型局部 加细空间 1型局部 加细空间; (2) 若X是正则空间,则3型局部 加细空间 2 型局部 加细空间 2型局部 加细空间。 证明:(1)由定义 2,结论显然成立; (2)由(1),只需证1型局部 加细空间 3型局部 加细空间。 卞小霞局部 加细空间 52 | θ 设U是x的任意一个邻域,则存在 x的开邻域 V, 使得 x VU ,由 X是1型局部 加细空间知存在 x 的 加细邻域 D,则 x VD U ,且V是开集, 又X是正则空间,于是存在 x的开邻域 W,使得 ,由结论 1, D WVD VW是 加细的,从 而(3)成立。 定理 2 若X是i型局部 加细空间(i = 1,2,3),则 其闭子空间也是相应的 i型局部 加细空间。 证明:1) 设X是1型局部 加细空间, F X, F为闭集, x F ,有 x X,由X是1型局部 加 细空间知存在 x在X中的 加细邻域 V,令UVF , 则U是x在F中的邻域,且 U是V的闭子集,由结 论1知U是x在F中的 加细邻域,从而 F使1型局 部 加细空间。 2) 设X是2型局部 加细空间, F X,F为闭 集, x F ,对 x在F中的任一邻域 U,存在 x在X 中的邻域 V,使得 ,由 X是2型局部 UVF 加 细空间,则存在 加细邻域 W,使得 ,记 ,则 ,由 结 论1知W WV WWF WWF 是x在 F中的 加细邻域,从而 F使2型局部 加细空间。 3)设 X是3型局部 加细空间, F X,F为 闭集, x F ,对 x在F中的任一邻域 U,存在 x在 X中的邻域 V,使得,由X是3型局部 UVF 加 细空间,则存在 x的开邻域 W,使 得WV,且 W是 x在X中的 加细邻域,令WWF ,则 W 是x在 F中的开邻域,W U,又 WFW FVF WW ,由结论 1知W是x在F中的 加细邻域, 从而 F使3型局部 加细空间。 定理 3 几乎开的且闭的映射保持 i型局部 加细 性(i = 1,2,3)。 证明:设 : f XY是几乎开的且闭的映射, (1) 设 y Y ,由 f是几乎开映射,知存在 1 x fy ,使得对 x的任一邻域 U, y Int fU, 又X是1型局部 加细空间,则存在 x的 加细邻域 D,于是 y Int fD,由结论 2知 f D是 加细的, 即有 f D为y的 加细邻域,从而 Y是1型局部 加 细空间。 (2) 设 y Y 11 ,任取 y的一个邻域 V,则 f yf V ,由 f连续知 1 f V 是x的邻域,由 X是2型局部 加细空间, 1 x fy 存在 x的, 加 细邻域 x D, 1 fV x D又f是几乎开映射,则存 在 , 1 0 x fy , 使得 y 0 x IntfD 0 x f DV, 0 x f D即为满足条件的 加细邻域,故 Y是2型局部 加细空间. (3) 设 y Y ,任取 y的一个邻域 V,则 11 f yf V ,由 X是3型局部 加细空间,知对 任意的 1 x fy ,存在x的开邻域 x D,使得 V 1 x Df,且 x D是 加细的。由 f是几乎开的闭 映射,则存在 1 0 x f y,使得 000 xxx y Intf Df Df DV , 0 x I nt fD即 为满足条件的 y的开的 加细邻域,故 Y是3型局部 加细空间。 注:文献[5]中对于 加细空间所得的结论不能推 广至局部 加细空间。 定理 4 i型局部 加细空间与 i型局部紧空间的积 是 I 型局部 加细空间(i = 1,2,3)。 证:(1) 设X是1型局部 加细空间,Y是1型局 部紧空间, , x yXY ,由条件可得,x在X中存 在 加细邻域 U,y在Y中存在紧邻域 V,由结论 3 知UV 是 , x y在 X Y 中的 加细邻域,故 X Y 是1型局部 加细空间。 (2) 设X是2型局部 加细空间,Y是2型局部紧 空间, , x yXY ,U是 , x y的任一邻域,则x 在X中存在邻域 X V,y在Y中存在邻域 ,使得 y V Xy VV U ,由条件可得 x在X中存在 加细邻域 X x VW,y在Y中存在紧邻域W,则 y y V x y WW 是 , x y在 X Y 中的邻域,且WW , 由结论 3, xy xy VV U x y WW 是 加细的,故 X Y是2型局部 加细空间。 (3) 设X是3型局部 加细空间,Y是3型局部紧 空间, , x yXY ,U是 , x y的任一邻域,则x 在X中存在邻域 X V,y在Y中存在邻域 ,使得 y V Xy VV U ,由条件得,x在X中存在开邻域 x W,使 得 x x VW,且 x W是 加细的,y在Y中存在邻域 , 使得 y W y y W,且Vy W是紧的,则 x y WW是 , x y在 X Y 中的邻域,且 xyxyxy W VV UWWW , 由结论 3, x y WW是 加细的,故 X Y是3型局部 加细空间。 推论:i型局部 加细空间与 i型紧空间的积 i型 局部 加细空间(i = 1,2,3)。 Copyright © 2011 Hanspub PM 卞小霞 | 局部 θ加细空间 Copyright © 2011 Hanspub PM 53 参考文献 (References) [1] M. Eisenberg. Topology. New York: University of Massachu- setts, 1974: 315-316. [2] Engelking. General topology. Poland: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975. [3] 高国士. 拓扑空间论[M]. 北京: 科学出版社, 2000. [4] 朱培勇. 遗传次亚紧空间[J]. 数学进展, 1996, 42(4): 299-304. [5] 葛英. 关于弱 θ加细空间的闭L原象[J]. 数学研究与评论, 1994, 14(3): 426-428. |