 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 54-59 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12012 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM On the Eigenvalue Problem for p-Laplcean Operator with Indefinite Weights Hui Xiong Department of Mathematics, University of Technology of Dongguan, Donguan Email: 375610596@qq.com Received: May 25th, 2011; revised: Jun. 20th, 2011; accepted: Jun. 25th, 2011. Abstract: In this paper we study the eigenvalue problem for the p-Laplcean operator with indefinite weights. The simplicity, isolation of the first eigenvalue is studied here. Furthermore, the existence of a nontrivial curve is shown in the Fučik spectrum. Keywords: p-Laplacean; Eigenvalue Problem; Fučik Spectrum; Indefinite Weight 含变号权的 p-Laplcean 算子的特征值问题 熊 辉 东莞理工学院数学教研室，东莞 Email: 375610596@qq.com 收稿日期：2011 年5月25 日；修回日期：2011年6月20 日；录用日期：2011 年6月25 日 摘 要：本文研究含不定权的 Hardy-Sobolev 算子的特征值问题(不定权表示权函数 可以 变号，并具有非平凡的正部)，讨论了第一特征值的单一性、非第一特征值的特征函数的变号性和特征 值序列的无穷性。并证明了Fučik 谱中非平凡曲线的存在性。 S Vx L 关键词：p-Laplace；特征值问题；Fučik 谱；变号权 1. 引言 本文研究如下p-Laplcean 算子的特征值问题 222 div , 0, ppp uuaxuuVxuu x x u (1.1) 其中1,,pN 是 N 中的有界域，且包含 原点。是关于 Hardy-Sobolev不等式的函数，即 ax 1, 1 1log , p N 权函数 Vx是可以变号，但具有非平凡的正部。 设 1 loc VL ，定义 max, 0Vx Vx ，且拆分 , . x pN ax R x pN x 120VVV ，其中 1 N p VL， 满足 2 V 2 , 2 , lim0, , limln0, , p xyx p p xyx x yVxyp N R x yVxy xy pN (1.2) 定义泛函 2 : pp d J uudxaxu 显然， J u 在空间中是属于C1的。本 文的目的，就是讨论第一特征值的一些主要性质。 1, 0 P W ux  熊辉 含变号权的算子的特征值问题55 | p-Laplcean 1, 10 :inf;d 1 p p JuuWVu x 2. 特征值问题 (1.3) 定理 1.1 设1，都是第一特征值pN ,uv 1 的 特征函数，则线性相关的；若 u是关于特征值但 非第一特征值的特征函数，则u是变号的。 ,vu 定理 1.2 设算子 22 div , pp Luuuax u 则存在 Lu 的特征值序列 n ，使得 lim n n 。 算子 L 的Fučik 谱被定义为 中的集 合，且使得如下问题 2 , 11 ,, 0, . pp L uVuVux u x 具有非平凡解 。 1, 0 p uW 定理 1.3 算子 的Fučik谱 Lu ,p 中存在非平 凡曲线。 本文主要安排如下：在第二部分，证明算子 L 的 第一特征值的单一性和非第一特征值的特征函数的变 号性；在第三部分，证明算子 L 的Fučik 谱中非平凡 曲线的存在性。 有关问题(1.1)，在 0 的情况下，文献[1]已经 得出了以上性质，其中V是有界的。在不同的可积条 件下，文献[2,3]讨论了不定权问题，但没有完全得出 以上性质。在[4]中，Cuesta 假定了一个很强的条件 s VL，其中 N sp 。文[5,6]中假定 0, 1V , 也得到以上性质。 本节讨论特征值的单一性、特征值序列的无穷性 和特征函数的变号性。这先需要以下几个引理。 引理 2.1 ([7]) 设n 是有界域， 1, p n uW弱收敛于u，且在 中满足 D nn Luf g n 其中，在 1, p W 中n f f，n g 是一个 Ladon测 度有界数列，即 ,, nK c gC C , 则存在一个子列，仍记之为 n ，使得 nn ux ux在 内几乎处处成立。 引理 2.2[8] 假定n f f几乎处处成立，且对任意 n和0p 满足 np fC ，则 lim Pp p nn p pp n f ff f 引理 2.3 映射 d p uVu x是弱连续的。 证明 文献[3]中给出了1的证明，在此只 证明 pN pN 的情况。不难看出， 1d p uVux 是弱连 续的。由于 是紧的，则对于 1存在有限个闭 球 ik , ii Bxr可以覆盖 ，ii x xr 时，有 2 ln N N ii R xx Vx xx (2 .1) 和 2 ln, 0. N N ji R xxVx r xx k 定义 1 : k jj , A Bx r ，则根据文献[9]中的不等式 1, 0 1 dd, lo g N N NN N N u N uxx uW NR xx (2 .2) 有 22 d, d NN . N N n AA Vux cVux c (2.3 ) 其中 1 N cN 。根据(2.1)，满足 1 2\VL A 22 \\ d NN n AA VuxVu x d. (2.4 ) 根据(2.3) 和(2.4)，映射 d p uVu x是弱连续 的。 证明定理 1.1 本证明分为三部分。首先证明(1.3) 中的 1 是可达的。定义流形 1, 0 :;d p p MuW Vux 1. 令是 M中的一个序列，使得 n u 1n Ju 。由 于 1, 0 p W 是自反的，则 n u存在一个子列，仍记之 为 n u，使得 1, 0 ,in;, a.e.in. p nn uuWuu 对于 n ，选择 un使得 2 1 inf , nn M JuJun 则根据 Ekeland 变分原理，存在子列 ，使得 n u Copyright © 2011 Hanspub PM  熊辉 含变号权的算子的特征值问题 56 | p-Laplcean 11 ,, , nnnn nn. J vJuuvJvJuvuuM nn 参照[10]，由以上三式直接计算可得 在(2.5)中令 ，则根据极限可得 21 d. p nnnn J vwJvVvvwx Cw n (2.5) 根据引理2.1， n v存在一个子列，仍记之为 n v，使 得 1, 0 ,in;,a.e.in. p nn vv Wvv 由于 2p nn vv 在 N p L中有界，其中 11pp 1，则 22 22 a.e. in in pp nn N ppp nn vvvv vvvvL n 22 10, pp pvavxvv vvD 观察到时有 n dd1 pp pd1.VvxVvxVv x nn 理利用 Fatau引 ，可知0v1 ，即 是可达的。 其次，证明 1 是单一的。设 , 为1 所对应的两 个特征函数，令函数列 ,0 Cn C ，在 1, p W中n ，且 n 在 中几乎处处成立，则 11 dd 0 p pp nn nx VxaxVx (2.6) 考虑函数 lim p a 1 1 1 : p p n wv n ， 显然 。代入(2.6)式可得 1, 10 p W 1 2 11 d. 11 p p p pn np v Vaxxvv vv nn d x 。 (2.7) 根据(2.6)和(2.7 )，可得 2 1 0limdlim, d, d0 1 p ppn nn p n n vvxLvxLvx vn n 。 其中 12 1 ,: 1 pp ppp pp uu Luvupvpu vv vv N rp 由Fatau引理，存在 和 N 中的一个零测 度闭子集S，使得 是连通的，且\S loc \ r VL S。 0因此 1 ,\CS ，即, 线性 。 这也就 相关或成比例 说明了 1 是单一的。 最后，证明特征值但非第一特征值所对应的特征 函数的变号性。设 1,u 分别是 1 和 所对应的特征函 数，则在 D中1,u 分别满足 1 11 p a Vx 1, px 22pp puaxu uVxu u 。 (2.9) 利用反证法，假设u不变号且 0 (0uu 同理 可证)。设 序 列 nc C 使得1 lim n n 。试验 考虑 函数 11 w,21 1 p np w un ，不难验证， 1, 120 ,p wwW 。 将 代入(2代入(2.9)，则 1 w.8)，2 w 1 1 p (2.8 ) x 111 dd0, pp xVaxx (2.10) Copyright © 2011 Hanspub PM  熊辉 含变号权的算子的特征值问题57 | p-Laplcean 1 2 1dd 1 1 p p pp nn p u uux Vxaxx u un n 0。 定义算子 2 1 ,: . p pp p u Ruvuvv v 11, ,\0 p uv CW ，若，则 0, 0uv ,Ruv ,0Luv；当 且 仅 立。由于 。 由文献[2]的Theorem 1.1，对于所有的 当等号才成 ,uv成比例， ,0Ruv，则 1p d( d0 1 pp nn u xVxaxx un 。 (2.11) 用(2.11)减去(2.1 0)，再关于取极限可得 但这与 ； A 其中 A是M的闭子集，且满足 n 11 d0 p Vx x 1 矛盾。因此，非第一特征值对应的特征 函数是变号的。 证明定理 1.2 令 J 是 J 关于流形 M的限制，定义 inf sup, kAnuA J u A A 是 A的Krasnosel’ski 亏格。先证明 J 在水平 k 上满足 (PS)条件。设 n uM，满足 nk Ju ，且 2 ,d p nnnn 1 J uJuuuVxo 。 (2.12) 由于 有界，则 存在一个子列，仍记之为 ， 使得在 n un un u 1, 0 p W 内。鉴于 nuu 0 k ，可以假定 。利用引0 n Ju 理2.3 和(2.12)，可得 22 ,d pp nnnnn n1 J uJuuuJuuuuuuuVxo 但由于 22 d0 pp nn n uuuuuuVx , 根据引理2.1 和引理 2.2，则有 1, 1, 1, 0,0, 0, 1, 1 nn nn p pp ppp uu uu uuuu oo xxx 因此，有 22 1, 1, dd1 pp nnnnnn pp nnn p oJuJuuuJuuuuuuuV uuxaxuuxo Cuu o d 1 x 根据 流形上经典的临界点理论[11] 可知， 1 Ck 是 J 在M临界点。由于上的 0 kk c (k 是算子 0 Lu 的特征值 此)，因 lim n n 。 3. Fučik 谱 本节采用文[6,12]的方法，证明算子 L ,p 的Fučik 谱中非平凡曲线的存在性。考虑泛函 dd pp p su d, J uuxaxuxsV x 不难看出， 11, 0 p s JC W 。设 s J 关于流形 M 的限制为 s J ，研究其临界点。根据 存在 t Lagrange 乘子法， 当且仅当 ，对任意1, 0 P vW，都有 22 1 ddd pp p u uuvxax uuvxsVvxtVuuvx 2 d p (3.1) 成立，则 是vM s J 的临界点。这意味着 Copyright © 2011 Hanspub PM  熊辉 含变号权的算子的特征值问题 58 | p-Laplcean 11 2 0 pp p px uaxuustVxutVxu x u , ,p stt 弱成立，即 。在(3.1) 中取 ，可知 t是 vu s J 的一个 在临界值。因此， ,p 中，穿过 ,0 s 的 对角线的平行线上的 ss 点，正好满足形式 , s JuJu ，且 u是 s J 的临界点。 第一个临界点可通过全局最小得到，实际上，由于 11 dd pp s J uuxsux s 对任意 成立，且 uM1u 时， 1s J us 。由 此可 引理 3.1 函数 得引理3.1。 1 是 s J 的全局极小点，且 1 1 s J s ；,p 中的相关点为 11 , s ，它 位 于通过 11 , 的垂线上。 该引理的证明由以上叙述直接可得。 引理 3.2 令0 01, p n vW 0 n v几乎处满足 处成 立，且测度 00，则 n v d lim . nn p (3.2) d pp nn vaxux Vu x 证明 令, n n wvvVp，采用反证法，假定 n p p nn waxw 具有有界子。根据不等式 (2.2)， 在中有界。因此，在 列 n w 1, 0 p W , p LV dlim d limd 1d1, p p n n pp n n VxwxVwx VwxVw x 0,d 1 p wVXwx 。因此，对于某些0 则有 ， 若0w ，则对于足够大的 n，可推出 22 n w 。但这和假设 00 n v盾。因相矛 (3.2)成立。 此 s J 的点可由第二个临界引理 3.3 得出。 引理 3.3 是 s J 1 的严格局部极小，且满足 11s J 中 强收敛有鉴于 n ww成立。 ；,p 中的相关点为 11 ,s 。 证明 参照文献[12]的Prop 2.3，仍旧采用反证法。 假定存在一个序列 n uM ，且在中满足 1, 0 p W 111 ,lim,. nn n uuJ sn u 由于 n u 10 则在某 0 n u 。如， 邻域内定有 0 n u 在 内几乎处果处成立，则 1 sn n n dd. pp Juux axux 于 但由 nsn uJu 11 相矛 就说明了， 时， n u会变号。 盾。这 当n足够大 令 dd , d pp nn np n ux axux rVu x 则有 1 dd d d dd. pp p p sn nnnnn pp nn n d p J uuxuxaxuxaxuxsVu rs VuxVux x 另一方面， 满足山路几何。详细的论证是个标准过程，恕不赘述， 感兴趣的读者可参阅文献[12]。令0 n 1dd pp sn nn J uVuxVu ，且对于 1, 10 , p uBW x 可得 ，有 结合上述两个不等式， 1n rs 。又由于 中有 n u 在 p L1 ，因此测度 00 n u。根据引 理3.2，n r，这和 1n rs 相矛盾。 证明定理 1.3 类似于定理1.2 的证明，可知 s J u 满足(PS)条件。根据nd 变分原理，不难验证Ekela s J u ,, 110ss J uJ 则对任意 0 uB M (3.3) 0 ，有 ss J 11 1, p M uinf ;Juu (3.4) 令 Copyright © 2011 Hanspub PM  熊辉 含变号权的算子的特征值问题59 | p-Laplcean 1, 1;γ1 1CM 11 γ, 由于满足山路几何，因此存在1, 0 p uW，使得 0, , Ss J uJu c (3.5 ) 如此，对每个 ，可得到 其中 c满足 γ inf sups csJ u 0s,p 中一条非平凡曲线 [1] A. 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