ABSTRACT

Firstly, the concepts of Right-semi topology (i.e., R-semi-topological) are introduced by means of generalized topological spaces. Then, under the definition of Right-semi topology, nature that has been hereditary is explored, and nature that cannot be inherited is also illustrated combing with examples.

Keywords:Generalized Topological Space, R-Semi Topology, R-Neighbourhood, R-Net

关于R-半拓扑空间上的一些结果

钟健，陈道富，朱培勇

电子科技大学数学科学学院, 四川 成都

Email: 1027150421@qq.com, 744163393@qq.com, zpy6940@uestc.edu.cn

收稿日期：2016年5月6日；录用日期：2016年5月18日；发布日期：2016年5月26日

摘 要

类比A. Csaszar等人给出的广义拓扑空间关于一些性质的研究，引入R-半拓扑空间，在R-半拓扑的定义下，遗传了一般拓扑中的哪些性质，并且结合例子说明哪些性质不能被遗传。

关键词 :广义拓扑空间，R-半拓扑，R-领域，R-网

1. 引言与预备

广义拓扑空间概念是有匈牙利数学家A. Csaszar于2002年在文献 [1] 中提出，并且对广义拓扑空间的性质进行了研究，得出了一些很好的结果(参见文献 [1] - [6] )。由于广义拓扑实际上是一个半拓扑，最近文献 [7] 把广义拓扑空间重新命名为上半拓扑空间。进而，引入下半拓扑与下半拓扑空间的概念，并且获得了关于下半拓扑的一系列结果；文献 [8] 类比的将拓扑空间剖分成左半拓扑与右半拓扑，并得到了关于左半拓扑的一系列结果。在此，一个自然的问题是：能否类比文献 [8] ，在右半拓扑上也得到一些类似的结果呢？本文就这个问题进行了部分研究。

2. R-半拓扑空间

首先给出R-半拓扑空间的定义以及相关概念。

定义1.1 设是一个非空集合，是的一些子集构成的集族，如果下列两个条件满足：

(1)；

(2) 若，则。

则称为集合上的一个R-半拓扑，并且称有序偶为一个R-半拓扑空间，集族中的每一个集合都称为R-半拓扑空间的R-开集。我们把R-半拓扑空间中只含一个元素的集合称为单元集。

定义2.1 设为R-半拓扑空间，，如果，使得，则称为点的一个R-领域。点的领域全体称为点的R-领域系，记作，并称为由拓扑导出的的R-领域系。

定理2.1 设为R-半拓扑空间，为由拓扑导出的的R-领域系，则满足下列条件：

(N1) 若则；

(N2) 若，则；

(N3) 若，则；

(N4) 若，则，使得并且对于，有。

证明 由R-领域的定义，(N1)和(N2)成立时显然的。又设，则，使得且。令，则，并且。故。因此(N3)真。

现在验证(N4)。设，则，使令故并且。另外，对于因为，使得。再由R-领域的定义，。从而(N4)真。

定义2.2 设为R-半拓扑空间，若，则称为的R-闭集。

由R-半拓扑空间的定义和公式可以直接得到：

定理2.2 设为R-半拓扑空间，F为的R-闭集的全体，则满足条件：

(F1)；

(F2) 若，。

定义2.3 设为R-半拓扑空间，，若 (即使得)，则称点为点集的R-内点。点集的R-内点的全体称为的R-内部，记为或。

定义2.4 设为R-半拓扑空间，，如果，有或，则称为的R-聚点。点集的R-聚点的全体称为的R-导集，记为。

根据R-内点和R-聚点的定义，显然有的R-内点不一定是的R-聚点，下面给出例子。

例1 设，显然有，即点是的R-内点，并且易知点不是的R-聚点。

其实，我们从R-聚点的定义也可以看出，点是不是集合的R-聚点，与本身并无直接联系，只需看R-半拓扑空间中有没有包含点的单元集.就如上面的例子，把改成，虽然点不在中，但点仍是的R-聚点。

由定义2.4可以直接得出：

设为R-半拓扑空间，，若，则，点是的聚点。

定义2.5 设为R-半拓扑空间，，记，则称为的R-闭包。

定理2.3 设为R-半拓扑空间，。

(1)

(2)

证明：(1) 若，则。故，使得。又因为，故。这与已知矛盾，因此。

(2) 设，则或者。若，则；若，则，由R-聚点的定义，并且，则对。从而也有。

但是，下面给出例子：

例2 设，则，，但，有。

定理2.4 设为R-半拓扑空间，则的任意子集与其R-闭包满足下列条件：

(C1)；

(C2)；

(C3)。

证明 (C1)；

(C2) 设，不妨设，若，则；若，即。从而。

反过来，设，若，则；若，如果，则，使得，并且。所以，有。这与矛盾，即，从而。

从而。

(C3) 只要证即可。事实上，，若，则；若，则由定理2.3，，有因为是的R-领域，则存在R=开集，使得，又因，则。取，则再由定理2.3，。从而。于是。故。

推论2.2 与一般拓扑空间比较，R-半拓扑空间并不一定为空集。

例3 设，点是的R-聚点，即。

定理2.5为R-闭集。

证明 设为R-闭集，则为R-开集.为证，我们只需证。事实上，若，则，即，使得。这与矛盾。所以，故。

例4 设。显然。但不是R-闭集.即。为R-闭集。

3. R-可分拓扑空间的相关概念与简单性质

定义3.1 设为R-半拓扑空间，若则称为的稠密子集。如果中存在一个可列集，使得，则称为R-可分拓扑空间。

定义3.2 设，若，使得则称为集合的R-孤立点。

推论3.1 设为R-半拓扑空间，，，点是R-孤立点或R-聚点。

(由R-聚点和R-孤立点的定义可以直接得到)

设为R-半拓扑空间，是中的任意非空子集，记则不难验证，为上的一个R-半拓扑。

定义3.3 R-半拓扑称为上R-半拓扑的一个R-子拓扑。R-半拓扑空间称为是的R-半拓扑子空间.为了方便，常常简称为的子空间。

定理3.1 设为的子空间，为的子空间，则为的子空间。

证明 设是上拓扑并且，我们只需证。事实上，，使得。又对于，使得。从而。所以。

反过来，使得，即，使得，即。从而。因此，即是的子空间。

定理3.2 设并且是R-半拓扑空间的一个子空间，则

(1) 如果分别记和为与上的全体R-闭集构成的集族，则；

(2) 如果分别记和为与上点的领域系，则。

证明 设上的R-半拓扑为，则子空间上的R-半拓扑为。

(1)，因，则，使得，故。又因。因此。

反过来，，，使得。故。

因此。从而成立。

(2) 若，显然，若，对于，令，则。接着证。因为，则，使得。又，使得，故。这是必有。这是因为对于，若，则；若，则。因此。故。

反过来，若，显然，若，使得。故有。所以，即。于是。

在一般拓扑空间中有：

设是拓扑空间的子空间，，则

(1)；

(2)，和分别表示点集在子空间中导集和闭包。

这两条性质在一般拓扑空间中成立，但在R-半拓扑空间并不成立。下面举例说明：

(注意：下面的符号表示采用的是拓扑空间中的符号表示)

(1) 设，。则。显然。

(2) 依然采用(1)中例子，这时。显然。

4. R-网与其收敛

定义4.1 设为半序集，若，使得且，则称为一个定向集。

定义4.2 设为一个R-半拓扑空间，为一个定向集，则映射称为是上的一个R-网（或者R-定向点列），记为或记为，其中。为书写方便，在不发生混淆时，通常把简写成。

定义4.3 设是R-半拓扑空间中点的一个R-网，。

(1) 称R-网终在内，如果，使得恒有；

(2) 称R-网收敛于或称以为极限。记为或，如果R-网终在点的每一个领域内。

例4.1 设为一个R-半拓扑空间，为中点的领域系，为一个定向集(证明略)。，取，则是一个网，其中的取法是任意的。

例4.2 上面的网收敛于。

证明，使得，当时，有。故。

定理4.1 设为一个R-半拓扑空间，，则

(1)，当且仅当存在网，使得；

(2)，当且仅当存在中网，使得；

(3)位R-开集当且仅当不存在中网收敛中的点。

证明 (1) 设，则，又。取定，故是中的一个网，并且。

反过来，设网，使得。则，使得，当时，有。故。因此。

(2)，若，且，又(1)的必要性，网，使得。若，取常值网，则为中网并且。

反过来，设并且。则，当时，有，故。由定理2.3，有。

(3) 设为中R-开集。如果存在网，使得，则，当时，。这与矛盾。

反过来，若不为中开集，则，使得，有。即。取，则是中网，并且。则与中不存在网收敛于中的点矛盾。

5. 小结

本文类比文献 [7] 引入上、下半拓扑空间的方法，根据文献 [8] 定义的左半拓扑(L-半拓扑)与右半拓扑(R-半拓扑)的概念。类比L-半拓扑空间，在R-半拓扑空间上建立了点集的基本概念与理论，得到其开集、闭集、导集、网与网收敛的一些基本结果。从而，使得拓扑空间的相应结论得到推广。在此基础上，通过一些反例来说明在R-半拓扑空间中一些拓扑性质的不成立。

致 谢

感谢电子科技大学科研实训创新项目基金的经费资助。

文章引用

钟 健,陈道富,朱培勇. 关于R-半拓扑空间上的一些结果
Some Notes on R-Semi Topological Space[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 217-222. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63034

参考文献 (References)