上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2022年10月15日；录用日期：2022年11月15日；发布日期：2022年11月24日

摘要

本文研究如下带有Hardy势和Sobolev临界指数的p-双调和方程 ${\Delta }_p^{2}u-\mu \frac{{\left|u\right|}^{p-2}u}{{\left|x\right|}^{2p}}=\lambda {\left|u\right|}^{q-2}u+{\left|u\right|}^{p^{\ast }-2}u,x\in \Omega ,u=\frac{\partial u}{\partial n}=0,x\in \partial \Omega$，其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个包含原点的开的有界集， $N>2p$，$p^{\ast }=\frac{Np}{N-2p}$，$p>1$，$\frac{\partial }{\partial n}$ 为外法向量导数。通过变分法证明了当 $\lambda >0$ 时方程的多解性。

关键词

p-双调和方程，多解性，Hardy势，Sobolev临界指数

Multiplicity of Solutions for p-Biharmonic Equations with Hardy Potential and Sobolev Critical Exponents

Mengmeng Hou^*, Gongming Wei^#

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Oct. 15^th, 2022; accepted: Nov. 15^th, 2022; published: Nov. 24^th, 2022

ABSTRACT

In this paper, we study the following p-biharmonic equations with Hardy potential and Sobolev critical exponents ${\Delta }_p^{2}u-\mu \frac{{\left|u\right|}^{p-2}u}{{\left|x\right|}^{2p}}=\lambda {\left|u\right|}^{q-2}u+{\left|u\right|}^{p^{\ast }-2}u,in\Omega ,u=\frac{\partial u}{\partial n}=0,\text{}\text{}on\partial \Omega$, where $\Omega \in {ℝ}^N$ is a bounded open set containing the origin, $N>2p$,$p^{\ast }=\frac{Np}{N-2p}$,$p>1$,$\frac{\partial }{\partial n}$ is the outward normal derivative. When $\lambda >0$, the multiplicity of solutions to above equation is established by using the variational methods.

Keywords:p-Biharmonic Equations, Multiple Solutions, Hardy Potential, Sobolev Critical Exponents

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言及主要结果

在本文，我们考虑如下带有Hardy势和Sobolev临界指数的p-双调和方程

$\{\begin{array}{l}{\Delta }_p^{2}u-\mu \frac{{\left|u\right|}^{p-2}u}{{\left|x\right|}^{2p}}=\lambda {\left|u\right|}^{q-2}u+{\left|u\right|}^{p^{\ast }-2}u,x\in \Omega ,\\ u=\frac{\partial u}{\partial n}=0,\text{}\text{}x\in \partial \Omega .\end{array}$ (1.1)

其中 ${\Delta }_p^{2}u=\Delta \left({\left|\Delta u\right|}^{p-2}\Delta u\right)$，$\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个包含原点的有界开集， $\frac{\partial }{\partial n}$ 为外法向量导数。 $N>2p$，$p>1$，$1<q<p$，$p^{\ast }=\frac{Np}{N-2p}$，$\lambda$ 是一个实数， $0\le \mu <\bar{\mu }={\left(\frac{N\left(p-1\right)\left(N-2p\right)}{p^2}\right)}^p$。

近来，带有奇异点的非线性椭圆型方程成为人们关注的热点。它来源于物理建模，如非牛顿流体、粘性流体、弹性力学、边界层等见 [1]。同时具有奇异势的p-双调和方程基态解、正解和变符号解的存在性和多重性得到了广泛的研究见 [2] - [12]。

在 [3] 中Dhifli-Alsaedi研究了下列p-双调和方程

$\{\begin{array}{l}{\Delta }_p^{2}u-\mu \frac{{\left|u\right|}^{p-2}u}{{\left|x\right|}^{2p}}-{\Delta }_{p}u=g\left(x\right)u^{m-1}+\lambda f\left(x\right)u^{q-1},x\in {ℝ}^N,\\ u\left(x\right)>0,\text{}\text{}x\in {ℝ}^N.\end{array}$ (1.2)

其中， $0<m<1<p<q<p_{\ast }$，$N>2p$，$\lambda >0$。当 $f,g$ 满足适当的条件，作者运用纤维映射和Nehari流行证明了方程(1.2)至少有两个正解。本文与(1.2)不同之处在于研究的空间区域不同，并且方程(1.1)是一个临界问题。

在 [13] 中Xie和Wang研究了下列含有Hardy势的p-双调和方程

$\{\begin{array}{l}{\Delta }_p^{2}u-\lambda \frac{{\left|u\right|}^{p-2}u}{{\left|x\right|}^{2p}}=f\left(x,u\right),x\in \Omega ,\\ u=\frac{\partial u}{\partial n}=0,\text{}\text{}x\in \partial \Omega .\end{array}$ (1.3)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个边界光滑的包含原点的有界开集。 $1<p<\frac{N}{2}$，$0\le \lambda <\bar{\lambda }={\left(\frac{N\left(p-1\right)\left(N-2p\right)}{p^2}\right)}^p$，$\lambda >0$，$\frac{\partial }{\partial n}$ 为外法向量导数。非线性 $f\left(x,u\right)$ 满足下列条件：

(f₁) $f\left(x,u\right)$ 在 $\Omega \times ℝ$ 是连续的，且满足对 $x\in \Omega$，$\underset{u\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x,u\right)}{{\left|u\right|}^{p^{\ast }-1}}=0$，$p^{\ast }=\frac{Np}{N-2p}$。

(f₂) 对任意的 $x\in \Omega$，$f\left(x,u\right)$ 满足 $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{f\left(x,u\right)u}{{\left|u\right|}^p}=0$ 和 $\underset{u\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x,u\right)u}{{\left|u\right|}^p}=+\infty$。

(f₃) 记 $G\left(x,t\right)=f\left(x,u\right)t-p{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x,s\right)\text{d}s}$，对所有的 $x\in \Omega$，存在一个常数 $M\ge 0$ 使得对任意的 $M\le \left|t_1\right|\le \left|t_2\right|$ 有 $G\left(x,t_1\right)\le G\left(x,t_2\right)$。

(f₄) $f\left(x,u\right)$ 关于u是奇的。

作者运用对称山路引理的方法证明了(1.3)有无穷个弱解且相应的临界值是正的。本文与(1.3)不同之处在于方程中(1.1)的条件与方程(1.3)中 $f\left(x,u\right)$ 条件不同，且(1.1)中研究的是有无穷个弱解且相应的临界值是负的。

在 [14] 中，作者考虑了一个p-双调和的Kirchhoff方程，主要运用Nehari流行和纤维映射得到解的多重性。特别的，当p = 2这类问题的研究可见 [15] [16] [17]。本文主要运用Ljusternik-Schnirelmann的方法证明方程存在无穷个解。运用此方法的文章有 [18] 中的非自治椭圆半线性方程， [19] 中的非线性边界数据的椭圆问题， [20] 中Kirchhoff类型问题。

本文主要的结果如下：

定理1.1存在 ${\lambda }_0>0$，使得当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_0\right)$，$\mu \in \left[0,\bar{\mu }\right)$，方程(1.1)有无穷个解。

本文相关的定义如下：

定义1.1 $u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 是方程(1.1)的解，是指

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^{p-2}\Delta u\Delta v\text{d}x}-\mu {\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^{p-2}uv}{{\left|x\right|}^{2p}}\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{q-2}uv\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }-2}uv\text{d}x}=0,\forall v\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right),$

它等价于u是泛函 $J\left(u\right)$ 的临界点，这里

$J\left(u\right)=\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x}-\frac{\mu }{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^p}{{\left|x\right|}^{2p}}\text{d}x}-\frac{\lambda }{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\text{d}x}-\frac{1}{p^{\ast }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}.$ (1.4)

空间 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 是 $C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 在范数 $\Vert u\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}$ 下的完备化空间。

由Rellich不等式见 [21] [22]，可知

$\bar{\mu }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\frac{{\left|u\right|}^p}{{\left|x\right|}^{2p}}\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x,}\forall u\in C_0^{\infty }\left({ℝ}^N\right).$

注记：由文献 [21]，当 $\Omega$ 是一个光滑区域，Rellich不等式对每个 $u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 都成立，但是最佳常数 $\bar{\mu }={\left(\frac{N\left(p-1\right)\left(N-2p\right)}{p^2}\right)}^p$ 不能取到。

本文结构如下，第二节运用集中紧性证明一个局部PS条件；通过以上结果，我们在第三节给出定理1.1的证明。

2. 运用集中紧性证Palais-Smale条件

考虑(1.1)的能量泛函

$J\left(u\right)=\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x}-\frac{\mu }{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^p}{{\left|x\right|}^{2p}}\text{d}x}-\frac{\lambda }{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\text{d}x}-\frac{1}{p^{\ast }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}.$ (2.1)

则 $J\in C^1\left(W_0^{2,P}\left(\Omega \right),ℝ\right)$ 且对任意的 $\phi \in W_0^{2,P}\left(\Omega \right)$，满足

$\langle J^{\prime }\left(u\right),\phi \rangle ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^{p-2}\Delta u\Delta \phi \text{d}x}-\mu {\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^{p-2}u}{{\left|x\right|}^{2p}}\phi \text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{q-2}u\phi \text{d}x-}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }-2}u\phi \text{d}x}.$ (2.2)

记 $S\left(\mu \right)=\underset{u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\}}{\inf }\frac{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x}-\mu {\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^p}{{\left|x\right|}^{2p}}\text{d}x}}{{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}\right)}^{\frac{p}{p^{\ast }}}}$，$S\left(0\right)$ 为 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 嵌入到 $L^{P^{\ast }}\left(\Omega \right)$ 的最佳常数。因此通过定义有 ${\Vert u\Vert }_{p^{\ast }}\le S{\left(0\right)}^{-\frac{1}{p}}\Vert u\Vert$。

下面运用集中紧性原理 [23] [24] 去证明 $J\left(u\right)$ 在某个常数c下，满足PS条件。记 $\beta =\frac{p^{\ast }}{p^{\ast }-q}$。

定理3.1存在一个正常数D，使得对泛函 $J\left(u\right)$ 的任意(PS)_c序列 $\left\{u_n\right\}\subset W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$，当 $c<\frac{2}{N}S{\left(0\right)}^{\frac{N}{2p}}+\frac{2}{N}S{\left(\mu \right)}^{\frac{N}{2p}}-D{\lambda }^{\beta }$ 时，有一个强收敛的子列在 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 中。

证明 假设 $\left\{u_n\right\}$ 在 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 中有界。事实上，由于 $\left\{u_n\right\}$ 是(PS)_c序列，满足

$J\left(u_n\right)=c+o\left(1\right).$ (2.3)

$J^{\prime }\left(u_n\right)u_n=o\left(1\right)\Vert u_n\Vert .$ (2.4)

结合(2.1)~(2.4)得，

$o\left(1\right)\left(1+\Vert u_n\Vert \right)+c\ge J\left(u_n\right)-\frac{1}{p^{\ast }}{J}^{\prime }\left(u_n\right)u_n\ge \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{\ast }}\right){\Vert u_n\Vert }^p-C{\Vert u_n\Vert }^q.$

又 $1<q<p<p^{\ast }$，若 $\Vert u_n\Vert \to \infty$，则 $\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{\ast }}\right){\Vert u_n\Vert }^p-C{\Vert u_n\Vert }^q\to \infty$，与c是一个常数矛盾。

故可得 $\left\{u_n\right\}$ 在 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 中有界。因此存在一个子序列，仍记为 $\left\{u_n\right\}$，满足在 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 中 $u_n\rightharpoonup u$。由文献 [23] [24] 可得在测度意义下，

$\{\begin{array}{l}{\left|\Delta u_n\right|}^p\rightharpoonup \eta \ge {\left|\Delta u\right|}^p+{\displaystyle \underset{k\in I}{\sum }{\eta }_k{\delta }_{x_k}+{\eta }_0{\delta }_0},\\ {\left|u_n\right|}^{p^{\ast }}\rightharpoonup \nu ={\left|u\right|}^{p^{\ast }}+{\displaystyle \underset{k\in I}{\sum }{\nu }_k{\delta }_{x_k}}+{\nu }_0{\delta }_0,\\ \mu \frac{{\left|u_n\right|}^{p-2}{u}_n}{{\left|x\right|}^{2p}}\rightharpoonup \gamma =\mu \frac{{\left|u\right|}^{p-2}u}{{\left|x\right|}^{2p}}+{\gamma }_0{\delta }_0.\end{array}$ (2.5)

其中 $\eta ,\nu ,\gamma$ 为有界非负测度， ${\delta }_x$ 是在x处的Dirac测度，I是一个可列集且 ${\left\{x_k\right\}}_{k\in I}\subset \bar{\Omega }\backslash \left\{0\right\}$ 为一列不同点集，由Rellich不等式得， ${\eta }_0-\mu {\gamma }_0\ge S\left(\mu \right){\nu }_k^{\frac{p}{p^{\ast }}}$ 和 ${\eta }_k\ge S\left(0\right){\nu }_k^{\frac{p}{p^{\ast }}}$。

断言1 I是有限的，对任意的 $k\in I$，要么 ${\nu }_k=0$，要么 ${\nu }_k\ge S{\left(0\right)}^{\frac{N}{2p}}$。

事实上，对任意足够小的 $\epsilon >0$，使得 $0\notin B_{2\epsilon }\left(x_k\right)$ 且对任意的 $i,j\in I,i\ne j$，$B_{2\epsilon }\left(x_i\right)\cap B_{2\epsilon }\left(x_j\right)=\varnothing$。

定义 ${\psi }_{\epsilon }\in C_0^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$ 使得在 $B_{\epsilon }\left(x_k\right)$ 中， ${\psi }_{\epsilon }=1$ ；在 $B_{2\epsilon }\left(x_k\right)$ 外面， ${\psi }_{\epsilon }=0$。并且满足

$\left|\nabla {\psi }_{\epsilon }\right|\le \frac{2}{\epsilon },\left|\Delta {\psi }_{\epsilon }\right|\le \frac{2}{{\epsilon }^2}.$ (2.6)

现在考虑 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 中的有界序列 $\left\{{\varphi }_{\epsilon }{u}_n\right\}$，记 ${\varphi }_{\epsilon }\left(x\right)={\psi }_{\epsilon }\left(x\right){\chi }_{\Omega }\left(x\right)$，满足

$\underset{n\to \infty }{lim}\langle J^{\prime }\left(u_n\right),{\varphi }_{\epsilon }{u}_n\rangle =0.$

因此，

$\underset{n\to \infty }{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^{p-2}\Delta u_n\Delta \left({\varphi }_{\epsilon }{u}_n\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{\epsilon }\text{d}\gamma }+\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q{\varphi }_{\epsilon }\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{\epsilon }\text{d}\nu }.$ (2.7)

又

$\{\begin{array}{l}\underset{\epsilon \to 0}{lim}\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{\epsilon }\text{d}\gamma }\right|=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\mu \frac{{\left|u\right|}^{p-2}u}{{\left|x\right|}^{2p}}{\varphi }_{\epsilon }\text{d}x}\right|\le \underset{\epsilon \to 0}{lim}{\displaystyle {\int }_{B_{\epsilon }\left(x_k\right)}\frac{{\left|u\right|}^p}{{\left(\left|x_k\right|-\epsilon \right)}^{2p}}\left|{\varphi }_{\epsilon }\right|\text{d}x}=0,\\ \underset{\epsilon \to 0}{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{\epsilon }\text{d}\nu }=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}{\varphi }_{\epsilon }\text{d}x+{\nu }_k}\right)={\nu }_k,\\ \underset{\epsilon \to 0}{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q{\varphi }_{\epsilon }\text{d}x}=0.\end{array}$ (2.8)

另一方面，由(2.5)弱收敛可得到，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^{p-2}\Delta u_n\Delta \left({\varphi }_{\epsilon }{u}_n\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{\epsilon }\text{d}\eta }+\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^{p-2}\Delta u_n}\left(2\langle \nabla {\varphi }_{\epsilon },\nabla u_n\rangle +u_n\Delta {\varphi }_{\epsilon }\right).$ (2.9)

由(2.5)，

$\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{\epsilon }\text{d}\eta }\ge {\eta }_k.$ (2.10)

下面证明

$\underset{\epsilon \to 0}{lim}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^{p-2}\Delta u_n\left(2\langle \nabla {\varphi }_{\epsilon },\nabla u_n\rangle +u_n\Delta {\varphi }_{\epsilon }\right)\text{d}x}\right)=0.$

事实上，由Cauchy-Schwarz和Hölder不等式，可得

$0\le \underset{n\to \infty }{\lim }\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^{p-2}\Delta u_n\langle \nabla {\varphi }_{\epsilon },\nabla u_n\rangle \text{d}x}\right|\le \underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{p-1}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\varphi }_{\epsilon }\right|}^p{\left|\nabla u_n\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}.$

根据 $\left\{u_n\right\}$ 的弱收敛，Hölder不等式和(2.6)可推出

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{p-1}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\varphi }_{\epsilon }\right|}^p{\left|\nabla u_n\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{B\left(x_k,2\epsilon \right)\cap \Omega }{\left|\nabla {\varphi }_{\epsilon }\right|}^p{\left|\nabla u_n\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \le C{\left[{\left({\displaystyle {\int }_{B\left(x_k,2\epsilon \right)\cap \Omega }{\left|\nabla {\varphi }_{\epsilon }\right|}^N\text{d}x}\right)}^{\frac{p}{N}}\times {\left({\displaystyle {\int }_{B\left(x_k,2\epsilon \right)\cap \Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^{\frac{Np}{N-p}}\text{d}x}\right)}^{\frac{N-p}{N}}\right]}^{\frac{1}{p}}\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{B\left(x_k,2\epsilon \right)\cap \Omega }{\left|\nabla u_n\right|}^{\frac{Np}{N-p}}\text{d}x}\right)}^{\frac{N-p}{Np}}\to 0,\left(当\epsilon \to 0\right).\end{array}$ (2.11)

然而，我们也有

$\begin{array}{c}0\le \underset{n\to \infty }{\lim }\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^{p-2}\left(\Delta u_n\right)u_n\Delta {\varphi }_{\epsilon }\text{d}x}\right|\le \underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^{p-1}\left|u_n\Delta {\varphi }_{\epsilon }\right|\text{d}x}\\ \le \underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{p-1}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta {\varphi }_{\epsilon }\right|}^p{\left|u_n\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}\le C{\left({\displaystyle {\int }_{B\left(x_k,2\epsilon \right)\cap \Omega }{\left|\Delta {\varphi }_{\epsilon }\right|}^p{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \le C{\left[{\left({\displaystyle {\int }_{B\left(x_k,2\epsilon \right)\cap \Omega }{\left|\Delta {\varphi }_{\epsilon }\right|}^{\frac{N}{2}}\text{d}x}\right)}^{\frac{2p}{N}}{\left({\displaystyle {\int }_{B\left(x_k,2\epsilon \right)\cap \Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}\right)}^{\frac{p}{p^{\ast }}}\right]}^{\frac{1}{p}}\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{B\left(x_k,2\epsilon \right)\cap \Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p^{\ast }}}\to 0,\left(当\epsilon \to 0\right).\end{array}$ (2.12)

因此，由(2.7)~(2.12)可得

${\eta }_k\le {\nu }_k.$

运用Sobolev不等式， $S\left(0\right){\nu }_k^{\frac{p}{p^{\ast }}}\le {\eta }_k$，可以推出

${\nu }_k=0$ 或者 ${\nu }_k\ge S{\left(0\right)}^{\frac{N}{2p}},$

因此I是有限的。

断言2 ${\nu }_0=0$ 或 ${\nu }_0\ge S{\left(\mu \right)}^{\frac{N}{2p}}$。

下面考虑集中点在原点。取足够小的 $\epsilon >0$ 使得对所有的 $k\in I,x_k\notin B_{\epsilon }\left(0\right)$。记 ${\varphi }_{0\epsilon }\in C_0^{\infty }\left(R^N\right)$ 使得在 $B_{\epsilon }\left(x_k\right)$ 中， ${\psi }_{0\epsilon }=1$ ；在 $B_{2\epsilon }\left(x_k\right)$ 外面， ${\psi }_{0\epsilon }=0$。并且满足 $\left|\nabla {\psi }_{0\epsilon }\right|\le \frac{2}{\epsilon }$，$\left|\Delta {\psi }_{0\epsilon }\right|\le \frac{2}{{\epsilon }^2}$。

由(2.5)和断言1，得到

$\begin{array}{l}\underset{\epsilon \to 0}{lim}\underset{n\to \infty }{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^p{\varphi }_{0\epsilon }}=\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{0\epsilon }\text{d}\eta }\ge \underset{\epsilon \to 0}{lim}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u_n\right|}^p{\varphi }_{0\epsilon }+{\eta }_0}\right)={\eta }_0,\\ \underset{\epsilon \to 0}{lim}\underset{n\to \infty }{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\mu \frac{{\left|u_n\right|}^p}{{\left|x\right|}^{2p}}{\varphi }_{0\epsilon }}=\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{0\epsilon }\text{d}\gamma }=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\mu \frac{{\left|u\right|}^p}{{\left|x\right|}^{2p}}{\varphi }_{0\epsilon }}+{\gamma }_0\right)={\gamma }_0,\\ \underset{\epsilon \to 0}{lim}\underset{n\to \infty }{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^{p^{\ast }}}{\varphi }_{0\epsilon }=\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\varphi }_{0\epsilon }\text{d}\nu }=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}{\varphi }_{0\epsilon }+{\nu }_0}\right)={\nu }_0.\end{array}$

因此有

$0=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\underset{n\to \infty }{lim}\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n{\varphi }_{0\epsilon }\rangle \ge {\eta }_0-{\gamma }_0-{\nu }_0.$

由Rellich不等式，得到

$S\left(\mu \right)v_0^{\frac{p}{p^{\ast }}}\le v_0.$

因此有

${\nu }_0=0$ 或 ${\nu }_0\ge S{\left(\mu \right)}^{\frac{N}{2p}}.$

若 $v_0\ge S{\left(\mu \right)}^{\frac{N}{2P}}$，则

$\begin{array}{c}c=\underset{n\to \infty }{\lim }J\left(u_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{J\left(u_n\right)-\frac{1}{p}\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle \right\}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\lambda \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^q\text{d}x}+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{\ast }}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}\end{array}$

$\begin{array}{c}=\lambda \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\text{d}x}+\frac{2}{N}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}+{\displaystyle \underset{k\in I}{\sum }{\nu }_k+{\nu }_0}\right)\\ \ge \lambda \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\text{d}x}+\frac{2}{N}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}+\frac{2}{N}S{\left(0\right)}^{\frac{N}{2p}}+\frac{2}{N}S{\left(\mu \right)}^{\frac{N}{2p}}.\end{array}$ (2.13)

因为 $1<q<p$，对(2.13)运用不等式，得到

$c\ge \frac{2}{N}S{\left(0\right)}^{\frac{N}{2p}}+\frac{2}{N}S{\left(\mu \right)}^{\frac{N}{2p}}+\frac{2}{N}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}-\lambda \left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right){\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{\beta }}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}\right)}^{\frac{q}{p^{\ast }}}.$

现在考虑函数 $g\left(x\right)=k_1{x}^{p^{\ast }}-\lambda k_2{x}^q$，其中 $k_1=\frac{2}{N},k_2=\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right){\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{\beta }}$。

当 $x>0$，$g\left(x\right)$ 在 $x_0={\left(\frac{\lambda k_{2}q}{p^{\ast }{k}_1}\right)}^{\frac{1}{p^{\ast }-q}}$ 获得极大值，因此

$\begin{array}{c}g\left(x\right)\ge g\left(x_0\right)=k_1{\left(\frac{\lambda k_{2}q}{p^{\ast }{k}_1}\right)}^{\frac{p^{\ast }}{p^{\ast }-q}}-\lambda k_2{\left(\frac{\lambda k_{2}q}{p^{\ast }{k}_1}\right)}^{\frac{q}{p^{\ast }-q}}\\ ={\lambda }^{\frac{p^{\ast }}{p^{\ast }-q}}{k}_1{\left(\frac{k_{2}q}{p^{\ast }{k}_1}\right)}^{\frac{p^{\ast }}{p^{\ast }-q}}-{\lambda }^{1+\frac{q}{p^{\ast }-q}}{k}_2{\left(\frac{k_{2}q}{p^{\ast }{k}_1}\right)}^{\frac{q}{p^{\ast }-q}}\\ =-D{\lambda }^{\frac{p^{\ast }}{p^{\ast }-q}}.\end{array}$

其中 $D=k_2{\left(\frac{k_{2}q}{p^{\ast }{k}_1}\right)}^{\frac{q}{p^{\ast }-q}}-k_1{\left(\frac{k_{2}q}{p^{\ast }{k}_1}\right)}^{\frac{p^{\ast }}{p^{\ast }-q}}$。下面检验 $D>0$。

记 ${\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{\beta }}=C\left(C>0\right)$，$\frac{k_{2}q}{p^{\ast }{k}_1}=\frac{C\left(p-q\right)\left(N-2p\right)}{2p^2}$，

则

$\begin{array}{c}D=C\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right){\left(\frac{C\left(p-q\right)\left(N-2p\right)}{2p^2}\right)}^{\frac{q}{p^{\ast }-q}}-\frac{2}{N}{\left(\frac{C\left(p-q\right)\left(N-2p\right)}{2p^2}\right)}^{\frac{p^{\ast }}{p^{\ast }-q}}\\ ={\left(\frac{C\left(p-q\right)\left(N-2p\right)}{2p^2}\right)}^{\frac{q}{p^{\ast }-q}}\left\{C\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)-\frac{2}{N}{\left(\frac{C\left(p-q\right)\left(N-2p\right)}{2p^2}\right)}^{\frac{p^{\ast }-q}{p^{\ast }-q}}\right\}\\ =C{\left(\frac{C\left(p-q\right)\left(N-2p\right)}{2p^2}\right)}^{\frac{q}{p^{\ast }-q}}\frac{\left(p-q\right)\left[N\left(p-q\right)+2pq\right]}{N{p}^{2}q}.\end{array}$

由于 $1<q<p$，$N>2p$ 得 $D>0$。

因此，得出 $c\ge \frac{2}{N}S{\left(0\right)}^{\frac{N}{2p}}+\frac{2}{N}S{\left(\mu \right)}^{\frac{N}{2p}}-D{\lambda }^{\beta }$，这与定理条件矛盾，因此 ${\nu }_k=0$，${\nu }_0=0$。由(2.5)推出

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}\to {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}当n\to \infty .$

运用文献 [25] 中Brezis-Lieb引理，可得到 $u_n\to u$ 在 $L^{p\ast }\left(\Omega \right)$。

若 $F_n=J^{\prime }\left(u_n\right)+\mu \frac{{\left|u_n\right|}^{p-2}{u}_n}{{\left|x\right|}^{2p}}+\lambda {\left|u_n\right|}^{q-2}{u}_n+{\left|u_n\right|}^{p^{\ast }-2}{u}_n$，通过计算可得 $\left\{F_n\right\}$ 是一个柯西列，因此

$\Vert u_n-u_m\Vert \le \alpha \{\begin{array}{l}{\Vert F_n-F_m\Vert }_{W_0^{2,p}\left(\Omega \right)}^{\frac{1}{p-1}},p\ge 2,\\ M^{2-p}{\Vert F_n-F_m\Vert }_{W_0^{2,p}\left(\Omega \right)},1<p<2,\end{array}$

其中 $\alpha =\alpha \left(p\right)$，$M=\max \left\{\Vert u_n\Vert ,\Vert u_m\Vert \right\}$，得到 $\left\{u_{nk}\right\}$ 在 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 中强收敛。

3. 定理1.2的证明

设 $1<q<p$，

$J\left(u\right)=\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x}-\frac{\mu }{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^p}{{\left|x\right|}^{2p}}\text{d}x}-\frac{\lambda }{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\text{d}x}-\frac{1}{p^{\ast }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\text{d}x}.$

运用Hölder不等式、Sobolev不等式和Rellich不等式可得到

$J\left(u\right)\ge \frac{C}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x}-\frac{\lambda }{q}{\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{\beta }}{S}^{-\frac{q}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{q}{p}}-\frac{1}{p^{\ast }}{S}^{-\frac{p^{\ast }}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{p^{\ast }}{p}},$

其中， $\beta =\frac{p^{\ast }}{p^{\ast }-q}$。

因此 $J\left(u\right)\ge h\left(\Vert u\Vert \right)$，其中 $h\left(x\right)=\frac{C}{p}{x}^p-\frac{\lambda }{q}{\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{\beta }}{S}^{-\frac{q}{p}}{x}^q-\frac{1}{p^{\ast }}{S}^{-\frac{p^{\ast }}{p}}{x}^{p^{\ast }}$。

故存在一个 ${\lambda }_1>0$，使得如果 $0<\lambda <{\lambda }_1$，那么h有一个局部极小值和一个局部极大值。

令 $r<R_0<R<R_1$，其中R是h获得极大值点横坐标，r是h获得极小值横坐标， $h\left(R_1\right)>h\left(r\right)$。

下面对J做一个截断，令

$\tau :R^{+}\to \left[0,1\right],$ 使得 $\{\begin{array}{l}\tau \left(x\right)=1,x\le R_0-1,\\ \tau \left(x\right)=0,x\ge R_0,\end{array}$

令 $\phi \left(u\right)=\tau \left(\Vert u\Vert \right)$，考虑截断泛函

$\tilde{J}\left(u\right)=\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\Delta u\right|}^p\text{d}x}-\frac{\mu }{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^p}{{\left|x\right|}^{2p}}\text{d}x}-\frac{\lambda }{q}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\text{d}x}-\frac{1}{p^{\ast }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p^{\ast }}\phi \left(u\right)\text{d}x}.$

因此， $\tilde{J}\left(u\right)\ge \bar{h}\left(\Vert u\Vert \right)$，其中 $\bar{h}\left(x\right)=\frac{C}{p}{x}^p-\frac{\lambda }{q}{\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{\beta }}{S}^{-\frac{q}{p}}{x}^q-\frac{1}{p^{\ast }}{S}^{-\frac{p^{\ast }}{p}}{x}^{p^{\ast }}\tau \left(x\right)$.

观察到，当 $x\le R_0$，$h=\bar{h}$ ；当 $x\ge R_0$，$\bar{h}\left(x\right)=\frac{C}{p}{x}^p-\frac{\lambda }{q}{\left|\Omega \right|}^{\frac{1}{\beta }}{S}^{-\frac{q}{p}}{x}^q$。

$\tilde{J}$ 的主要性质如下：

引理3.1

(i) $\tilde{J}\in C^1\left(W_0^{2,p}\left(\Omega \right),ℝ\right)$ 且下有界。

(ii) 如果 $\tilde{J}\left(u\right)\le 0$，那么 $\Vert u\Vert <R_0$ 且 $J\left(v\right)=\tilde{J}\left(v\right)$ 对所有 $v\in B_{R_0}=\left\{u\in W_0^{2,p}\left(\Omega \right):\Vert u\Vert <R_0\right\}$。

(iii) 存在一个 ${\lambda }_2>0$，使得 $0<\lambda <{\lambda }_2$，$\tilde{J}$ 对任意的 $c<0$ 满足PS条件。

证明 (i)和(ii)是显然的。

为证明(iii)，令 $\left\{u_n\right\}\subset W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 是 $\tilde{J}$ 的一个PS序列： $\tilde{J}\left(u_n\right)\to c$，${\tilde{J}}^{\prime }\left(u_n\right)\to 0$。

因为 $c<0$，因此当n足够大时， $J\left(u_n\right)\le 0$。

由(ii)， $\left\{u_n\right\}\subset B_{R_0}$。令 ${\lambda }_2>0$ 使得，对于 $0<\lambda <{\lambda }_2$，$\frac{2}{N}{S}^{\frac{N}{2p}}-K{\lambda }^{\beta }\ge 0$。

由定义，在 $B_{R_0}$ 中， $J=\tilde{J}$，因此 $\left\{u_n\right\}$ 满足 $J\left(u_n\right)\to c<0\le \frac{2}{N}{S}^{\frac{N}{2p}}-D{\lambda }^{\beta }$ 且 $J^{\prime }\left(u_n\right)\to 0$。

因此由定理3.1，序列 $\left\{u_n\right\}$ 在 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)$ 中有一个强收敛的子列。 □

注记：若找到 $\tilde{J}$ 的一些负临界值，通过(ii)，我们可以得到J的负临界值。

令 $\Sigma$ 是 $W_0^{2,p}\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\}$ 的一类闭的，关于原点对称的子集。对于 $A\in \Sigma$，定义亏格

$\gamma \left(A\right)=\min \left\{k\in N:存在\varphi \in C\left(A,R^k\backslash \left\{0\right\}\right),\varphi \left(x\right)=-\varphi \left(-x\right)\right\}.$

如果极小值不能取到，定义 $\gamma \left(A\right)=+\infty$，亏格主要的性质如下，具体看文献 [26]。

命题3.2取 $A,B\in \Sigma$，则

(i) 若存在一个奇函数 $f\in C\left(A,B\right)$，则 $\gamma \left(A\right)\le \gamma \left(B\right)$。