ABSTRACT

This paper generalizes the notion of dual affine quermassintegrals in the classical Brunn-Minkowski theory and its inequalities to Orlicz space. Concept of dual Orlicz mixed affine quermassintegrals is introduced in this paper, and the Orlicz-Minkowski inequality and the Orlicz-Brunn-Minkowski inequality are established for this new dual Orlicz mixed affine quermassintegrals.

Keywords:Star Bodies, Orlicz Space, Dual Orlicz Mixed Affine Quermassintegrals, Orlicz-Minkowski Inequality, Orlicz-Brunn-Minkowski Inequality

对偶Orlicz混合仿射均质积分的不等式

邓国军，缑艳

兰州市第九中学，甘肃 兰州

收稿日期：2019年11月23日；录用日期：2019年12月11日；发布日期：2019年12月18日

摘 要

本文将经典Brunn-Minkowski理论中对偶仿射均质积分的概念及相关不等式推广到Orlicz空间，提出了对偶Orlicz混合仿射均质积分的概念，建立了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。

关键词 :星体，Orlicz空间，对偶Orlicz混合仿射均质积分，Orlicz-Minkowski不等式，Orlicz-Brunn-Minkowski不等式

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1. 引言和主要结果

早在19世纪末20世纪初，Brunn-Minkowski理论开始逐渐进入人们的视野。从1962年开始，Brunn-Minkowski理论逐渐进入 $L_p$ Brunn-Minkowski理论阶段(见 [1] )，在经过Lutwak (见 [2] [3] )等的基础性工作之后， $L_p$ Brunn-Minkowski理论得到迅速的发展(见 [4] - [10] )。最近，在Lutwak Yang和Zhang等人的开创性研究(见 [11] [12] )和近期的一系列探究性工作(见 [13] [14] [15] )的推动下，凸体的经典Brunn-Minkowski理论(见 [16] [17] [18] [19] ) (包括 $L_p$ Brunn-Minkowski理论(见 [20] ))已被推广到Orlicz-Brunn-Minkowski理论之中。

设 $S^{n-1}$ 和B分别表示n维欧式空间 ${ℝ}^n$ 中的单位球面和标准单位球，用 ${\kappa }^n$ 表示 ${ℝ}^n$ 中所有凸体(非空内点的紧凸集)构成的集合， ${\kappa }_o^n$，${\kappa }_s^n$ 分别表示 ${\kappa }^n$ 中以原点为内点和关于原点对称的所有凸体构成的集合。 $vo{l}_k(\cdot )$ 表示k维体积，且记 $vo{l}_n\left(B\right)={\omega }_n$。在 ${ℝ}^n$ 中，一个紧的星形(关于原点) K的径向函数 ${\rho }_K=\rho \left(K,\cdot \right)$ 被定义为：对 $x\in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\}$，${\rho }_K\left(x\right)=\rho \left(K,x\right)=\max \left\{\lambda \ge 0:\lambda x\in K\right\}$。当 ${\rho }_K$ 是一个正的连续函数时，称K是一个星体(关于原点)。设 $S^n$ 为 $T\in GL(n)$ 中所有星体(支撑上有连续径向函数的关于原点的星形集)构成的集合，用 $S_o^n$ 表示 $S_{}^n$ 中以原点为内点的所有星体构成的集合。如果 $K,L\in S_o^n$ 且 ${\rho }_K\left(u\right)/{\rho }_L\left(u\right)$ 与 $u\in S^{n-1}$ 无关，则称K和L互为膨胀。显然，当 $K,L\in S_o^n$ 时，

$K\subseteq L$ 当且仅当 ${\rho }_K\le {\rho }_L.$ (1.1)

若 $c>0$，就有

${\rho }_{cK}\left(x\right)=c{\rho }_K\left(x\right),x\in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\}.$ (1.2)

一般地，根据径向函数的定义可得：若 $T\in GL\left(n\right)$，则K的象 $TK=\left\{Ty:y\in K\right\}$ 的径向函数为(见 [16] [21] )

${\rho }_{TK}\left(x\right)={\rho }_K\left(T^{-1}x\right),x\in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\},$ (1.3)

其中 $GL\left(n\right)$ 表示一般的非奇异线性变换群， $T^{-1}$ 为T的逆变换。

关于凸体仿射均质积分的概念，Lutwak (见 [22] )已给出了明确的定义：如果 $K\in {\kappa }_o^n$，${\tilde{\Phi }}_0\left(K\right)=V\left(K\right)$，${\tilde{\Phi }}_n\left(K\right)={\omega }_n$，那么当 $0<i<n$ 时，凸体K的仿射均质积分被定义为

${\Phi }_{n-i}\left(K\right)={\omega }_n{\left({{\displaystyle {\int }_{G\left(n,i\right)}\left[\frac{vo{l}_i\left(K|\xi \right)}{{\omega }_i}\right]}}^{-n}\text{d}{\mu }_i\left(\xi \right)\right)}^{-\frac{1}{n}},$

其中 $G\left(n,i\right),{\mu }_i$ 和 $vo{l}_i\left(K|\xi \right)$ 分别表示 ${ℝ}^n$ 中i维线性子空间的Grassman流形(且 $\mu \left(G\left(n,i\right)\right)=1$ )， $G\left(n,i\right)$ 上规范Haar测度和K在i维子空间 $\xi \subset {ℝ}^n$ 上正交投影的i维体积。

在文献 [23] 中，Lutwak进一步给出对偶仿射均质积分的定义：如果 $K\in S_o^n$，${\tilde{\Phi }}_0\left(K\right)=V\left(K\right)$，${\tilde{\Phi }}_n\left(K\right)={\omega }_n$，那么对于 $0<i<n$，星体K的对偶仿射均质积分被定义为

${\tilde{\Phi }}_{n-i}\left(K\right)={\omega }_n{\left({{\displaystyle {\int }_{G\left(n,i\right)}\left[\frac{vo{l}_i\left(K\cap \xi \right)}{{\omega }_i}\right]}}^n\text{d}{\mu }_i\left(\xi \right)\right)}^{\frac{1}{n}},$ (1.4)

其中 $vo{l}_i\left(K\cap \xi \right)$ 表示K与i维子空间 $\xi \subset {ℝ}^n$ 交的i维体积。

随后，袁俊(见 [9] )给出混合p次对偶仿射均质积分的概念：如果 $K,L\in S_o^n$，$\xi \in G\left(n,i\right)$，那么对于 $0\le p\le i$，混合p次对偶仿射均质积分被定义为

${\tilde{\Phi }}_{p,n-i}\left(K,L\right)={\omega }_n{\left({{\displaystyle {\int }_{G\left(n,i\right)}\left[\frac{{\tilde{V}}_{p,i}\left(K,L;\xi \right)}{{\omega }_i}\right]}}^n\text{d}{\mu }_i\left(\xi \right)\right)}^{\frac{1}{n}},$ (1.5)

其中 ${\tilde{V}}_{p,i}\left(K,L;\xi \right)=\tilde{V}\left(K\cap \xi ,i-p;L\cap \xi ,p\right)$。当 $p=1$ 时， ${\tilde{\Phi }}_{1,i}\left(K,L\right)$ 可记为对偶混合仿射均质积分 ${\tilde{\Phi }}_i\left(K,L\right)$。当 $0\le p\le n-i$ 时，就有 ${\tilde{\Phi }}_{p,i}\left(K,K\right)={\tilde{\Phi }}_i\left(K\right)$，${\tilde{\Phi }}_{n-i,i}\left(K,L\right)={\tilde{\Phi }}_i\left(L\right)$。

在此基础上，袁俊(见 [9] )给出了如下两个重要的不等式：

定理A：如果 $K,L\in S_o^n$，且 $0\le i\le n-1$，那么当 $0\le P\le i$ 时，

${\tilde{\Phi }}_{p,i}{\left(K,L\right)}^{n-i}\le {\tilde{\Phi }}_i{\left(K\right)}^{n-i-p}{\tilde{\Phi }}_i{\left(L\right)}^p,$ (1.6)

等号成立当且仅当K是L的膨胀。

定理B：如果 $K,L\in S_o^n$，且 $0\le i\le n-1$，那么

${\tilde{\Phi }}_i{\left(K\widetilde{+}L\right)}^{\frac{1}{n-i}}\le {\tilde{\Phi }}_i{\left(K\right)}^{\frac{1}{n-i}}+{\tilde{\Phi }}_i{\left(L\right)}^{\frac{1}{n-i}},$ (1.7)

等号成立当且仅当K是L的膨胀。

设 $\Psi$ 是所有严格增的凹函数 $\varphi :\left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ 所构成的集合，且使得 $\varphi \left(0\right)=0,\varphi \left(1\right)=1$ 和 ${\lim }_{t\to \infty }\varphi \left(t\right)=\infty$。

文献 [14] 和 [15] 各自独立地给出了如下的对偶Orlicz混合体积 ${\tilde{V}}_{\varphi }\left(K,L\right)$ 的公式：对于 $\varphi \in \Psi$，$K,L\in S^n$，对偶Orlicz混合体积 ${\tilde{V}}_{\varphi }\left(K,L\right)$ 为

${\tilde{V}}_{\varphi }\left(K,L\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\varphi \left(\frac{{\rho }_L\left(u\right)}{{\rho }_K\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}.$ (1.8)

其中S是 $S^{n-1}$ 上的Lebesgue测度。当 $\varphi \left(t\right)=t^p,0<p\le 1$ 时，对于 $K,L\in S_o^n$，对偶Orlic混合体积 ${\tilde{V}}_{\varphi }\left(K,L\right)$ 变为p次对偶混合体积，即

${\tilde{V}}_p\left(K,L\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}{\rho }_K^{n-p}\left(u\right){\rho }_L^p\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}.$

本文提出了如下对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义，从而推广了混合p次对偶仿射均质积分的概念。在此基础上，讨论了对偶Orlicz混合仿射均质积分的一些性质，建立了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。

首先，提出对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义。

定义1.1：设 $K,L\in S_o^n$，$\xi \in G\left(n,i\right)$。如果 $\varphi \in \Psi$，那么对每一个 $i=0,1,\cdots ,n-1$，对偶Orlicz混合仿射均质积分被定义为

${\tilde{\Phi }}_{\varphi ,n-i}\left(K,L\right)=\frac{{\omega }_n}{{\omega }_i}{\left({{\displaystyle {\int }_{G\left(n,i\right)}\left[{\tilde{V}}_{\varphi }^{\left(i\right)}\left(K\cap \xi ,L\cap \xi \right)\right]}}^n\text{d}{\mu }_i\left(\xi \right)\right)}^{\frac{1}{n}},$ (1.9)

其中 ${\tilde{V}}_{\varphi }^{\left(i\right)}\left(K\cap \xi ,L\cap \xi \right)$ 表示 $K\cap \xi$ 和 $L\cap \xi$ 的i维对偶Orlicz混合体积。

当 $\varphi \left(t\right)=t^p,0<p\le 1$ 时，对偶Orlicz混合仿射均质积分(1.9)变为袁俊(见 [9] )的混合p次偶仿射均质积分(1.5)。

其次，获得了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式。

定理1.2：如果 $K,L\in S_o^n$，$\varphi \in \Psi$，那么对每一个 $i=0,1,\cdots ,n-1$，

${\tilde{\Phi }}_{\varphi ,i}\left(K,L\right)\le {\tilde{\Phi }}_i\left(K\right)\varphi \left({\left(\frac{{\tilde{\Phi }}_i\left(L\right)}{{\tilde{\Phi }}_i\left(K\right)}\right)}^{\frac{1}{n-i}}\right),$ (1.10)

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。

最后，利用定理1.2，建立了可推出对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。

定理1.3：如果 $K,L\in S_o^n$，$\varphi \in \Psi$ 且 $\alpha ,\beta >0$。那么对每一个 $i=0,1,\cdots ,n-1$，

$\alpha \varphi \left({\left(\frac{{\tilde{\Phi }}_i\left(K\right)}{{\tilde{\Phi }}_i\left(\alpha \ast K{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L\right)}\right)}^{\frac{1}{n-i}}\right)+\beta \varphi \left({\left(\frac{{\tilde{\Phi }}_i\left(K\right)}{{\tilde{\Phi }}_i\left(\alpha \ast K{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L\right)}\right)}^{\frac{1}{n-i}}\right)\ge 1,$ (1.11)

等号成立当且仅当K和L互为膨胀(径向Orlicz线性组合 $\alpha \ast K{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L$ 的定义请见第二节(2.2))。

2. 预备知识及引理

如果 $K_1,\cdots ,K_r\in S_o^n$，${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r\in ℝ$，那么径向Minkowski线性组合， ${\lambda }_1{K}_1\widetilde{+}\cdots \widetilde{+}{\lambda }_r{K}_r$，被定义为

${\lambda }_1{K}_1\widetilde{+}\cdots \widetilde{+}{\lambda }_r{K}_r=\left\{{\lambda }_1{x}_1\widetilde{+}\cdots \widetilde{+}{\lambda }_r{x}_r:x_i\in K_i\right\}.$

当 $K,L\in S_o^n$，$\alpha ,\gamma \ge 0$ 时，

$\alpha \left(K\widetilde{+}L\right)=\alpha K\widetilde{+}\alpha L,\left(\alpha \widetilde{+}\gamma \right)K=\alpha K\widetilde{+}\gamma K.$

由此，易得

${\rho }_{\alpha K\widetilde{+}\gamma L}(\cdot )=\alpha {\rho }_K(\cdot )+\gamma {\rho }_L(\cdot ).$

对于 $K,L\in S_o^n$，在 $S_o^n$ 上定义径向Hausdorff度量为

$\tilde{\delta }\left(K,L\right)=\underset{u\in S^{n-1}}{\max }\left|{\rho }_K\left(u\right)-{\rho }_L\left(u\right)\right|=:{\Vert \rho \left(K,\cdot \right)-\rho \left(L,\cdot \right)\Vert }_{\infty }.$

若当 $i\to \infty$，$\tilde{\delta }\left(K_i,K\right)\to 0$。则星体列 $\left\{K_i\right\}$ 收敛于K。这意味着当且仅当 ${\rho }_{K_i}(\cdot )$ 一致收敛于 ${\rho }_K(\cdot )$ 时，序列 $\left\{K_i\right\}$ 收敛于K。

一个紧的星形K的n维体积的极坐标公式是

$V\left(K\right)=vo{l}_n\left(K\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{{}^{S^{n-1}}}{\rho }_K{\left(u\right)}^n\text{d}S\left(u\right)}.$ (2.1)

最近，Gardner(见 [14] )等人给出了径向Orlicz线性组合 $\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L$ 的定义：设 $K,L\in S^n$，如果 $\alpha ,\beta >0$，$\varphi \in \Psi$，那么对任意 $x\in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\}$，径向Orlicz线性组合 $\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L$ 被定义为

${\rho }_{\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L}\left(x\right)=\inf \left\{\lambda >0:\alpha \varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(x\right)}{\lambda }\right)+\beta \varphi \left(\frac{{\rho }_L\left(x\right)}{\lambda }\right)\le 1\right\},$ (2.2)

并有 $\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L\in S^n$，由(2.2)可以知道， ${\rho }_{\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L}$ 在 $S^{n-1}$ 上是Borel可测的。

等价地，设 $K,L\in S^n$，如果 $\varphi \in \Psi$，${\rho }_K\left(u\right)+{\rho }_L\left(u\right)>0$，那么对于任意 $u\in S^{n-1}$，径向Orlicz线性组合 $\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L$ 亦可定义为

$\alpha \varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\rho }_{\alpha \ast K}{}_{{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L}\left(u\right)}\right)+\alpha \varphi \left(\frac{{\rho }_L\left(u\right)}{{\rho }_{\alpha \ast K}{}_{{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L}\left(u\right)}\right)=1.$ (2.3)

那么，当 $K,L\in S_o^n$ 时， $\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L\in S_o^n$。

引理2.1：设 $K,L\in S_o^n$，$\alpha ,\beta >0$，如果 $\varphi \in \Psi$，那么对于 $T\in GL\left(n\right)$，

$T\left(\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L\right)=\alpha \ast TK\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast TL.$

证明：对于任意 $x\in {ℝ}^{n-1}\backslash \left\{0\right\}$，由等式(1.3)和径向Orlicz线性组合的定义(2.2)，得

$\begin{array}{c}\rho \left(\alpha \ast TK\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast TL,x\right)=\inf \left\{\lambda >0:\alpha \varphi \left(\frac{{\rho }_{TK}\left(x\right)}{\lambda }\right)+\beta \varphi \left(\frac{{\rho }_{TL}\left(x\right)}{\lambda }\right)\le 1\right\}\\ =\inf \left\{\lambda >0:\alpha \varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(T^{-1}x\right)}{\lambda }\right)+\beta \varphi \left(\frac{{\rho }_L\left(T^{-1}x\right)}{\lambda }\right)\le 1\right\}\\ =\rho \left(\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L,T^{-1}x\right)\\ =\rho \left(T\left(\alpha \ast K\widetilde{+}{}_{\varphi }\beta \ast L\right),x\right).\end{array}$

引理2.2：设 $K,L\in S_o^n$，$\alpha ,\beta >0$，且 $i=0,1,\cdots ,n-1$，如果 $\varphi \in \Psi$，那么对于 $\xi \in G\left(n,i\right)$，

$\left(\alpha \ast K{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L\right)\cap \xi =\alpha \ast \left(K\cap \xi \right){\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast \left(L\cap \xi \right).$

证明：设 $\xi \in G\left(n,i\right)$ 是任意固定的，记 $S^{i-1}=S^{n-1}\cap \xi$。对于 $u\in S^{i-1}$ 和 $Q\in S_o^n$，有 ${\rho }_Q\left(u\right)={\rho }_{Q\cap \xi }\left(u\right)$。由此，利用 $\alpha \ast K{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L$ 的定义，对 $u\in S^{i-1}$，可得

$\alpha \varphi \left(\frac{{\rho }_{K\cap \xi }\left(u\right)}{{\rho }_{\left(\alpha \ast K{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L\right)\cap \xi }\left(u\right)}\right)+\beta \varphi \left(\frac{{\rho }_{L\cap \xi }\left(u\right)}{{\rho }_{\left(\alpha \ast K{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L\right)\cap \xi }\left(u\right)}\right)=1.$

另一个方面，利用 $\xi$ 上 $\alpha \ast \left(K\cap \xi \right){\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast \left(L\cap \xi \right)$ 的定义，可得

$\alpha \varphi \left(\frac{{\rho }_{K\cap \xi }\left(u\right)}{{\rho }_{\alpha \ast \left(K\cap \xi \right){\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast \left(L\cap \xi \right)}\left(u\right)}\right)+\beta \varphi \left(\frac{{\rho }_{L\cap \xi }\left(u\right)}{{\rho }_{\alpha \ast \left(K\cap \xi \right){\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast \left(L\cap \xi \right)}\left(u\right)}\right)=1.$

因此，在 $\xi$ 中， $\left(\alpha \ast K{\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast L\right)\cap \xi$ 和 $\alpha \ast \left(K\cap \xi \right){\widetilde{+}}_{\varphi }\beta \ast \left(L\cap \xi \right)$ 是同一个星体。

Gardner (见 [14] )等证明了如下对偶Orlicz混合体积的对偶Orlicz-Minkowski不等式。

引理2.3：如果 $K,L\in S_o^n$，$\varphi \in \Psi$，那么

${\tilde{V}}_{\varphi }\left(K,L\right)\le V\left(K\right)\varphi \left({\left(\frac{V\left(L\right)}{V\left(K\right)}\right)}^{\frac{1}{n}}\right),$

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。

3. 主要结果的证明

首先获得了对偶Orlicz混合仿射均质积分的一些基本性质。

性质3.1：如果 $K,L,L_1,L_2\in S_o^n$，$\varphi \in \Psi$，那么

1) ${\tilde{\Phi }}_{\varphi ,i}\left(K,K\right)=\varphi \left(1\right){\tilde{\Phi }}_i\left(K\right)={\tilde{\Phi }}_i\left(K\right)$。

2) ${\tilde{\Phi }}_{\varphi ,0}\left(K,L\right)={\tilde{V}}_{\varphi }\left(K,L\right)$。

3) 如果 $L_1\subseteq L_2$，那么 ${\tilde{\Phi }}_{\varphi ,i}\left(K,L_1\right)\le {\tilde{\Phi }}_{\varphi ,i}\left(K,L_2\right)$。

4) 当 $T\in SL\left(n\right)$ 时， ${\tilde{\Phi }}_{\varphi ,i}\left(TK,TL\right)={\tilde{\Phi }}_{\varphi ,i}\left(K,L\right)$。

我们只给出性质(4)的证明。

证明：设 $\xi \in G\left(n,n-i\right)$，记 $S^{n-i-1}=S^{n-1}\cap \xi$。如果 $T\in SL\left(n\right)=\left\{T\in GL\left(n\right):\left|T\right|=1\right\}$，则对于 $u\in S^{n-i-1}$，$Q\in S_o^n$，有。当时，记，利用对偶Orlicz混合体积(1.8)和等式(1.3)，使得当，时，可得

由此，当时，根据对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义，可得

设，规范化的仿射均质积分的对偶conical测度可被定义为

(3.1)

其中，是上的Haar测度。显然，规范化的仿射均质积分的对偶conical测度是上的一个概率测度。

定理1.2的证明：利用对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9)，对偶仿射均质积分的定义(1.4)，引理2.3，Jensen不等式(见 [14] )，Höld不等式以及严格增的凹函数，可得

则所需不等式成立。

若上述不等式的等号成立，由于是严格增的函数，则对偶Minkowski不等式的等号成立。因此存在使得，从而对任意，有。

反之，当时，利用对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9)，可得

当时，对偶Orlicz混合仿射均质积分的对偶Orlicz-Minkowski不等式(1.10)变为袁俊(见 [9] )的混合p次对偶仿射均质积分的Minkowski不等式(1.6)。

推论3.2：设，，且。如果

(3.2)

或者

(3.3)

则。

证明：若(3.2)成立，令，根据，对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9)，以及对偶仿射均质积分的定义(1.4)，得到

由此，利用定理1.2，可得

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因为在上是严格增的，则

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。如果取，类似地，可得，等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因此，。由于K和L具有相同的对偶仿射均质积分，则。

若(3.3)成立，如果令，根据，对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9)，以及对偶仿射均质积分的定义(1.4)，得到

根据定理1.2，就有

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因为在上是严格增的，则

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。如果取，类似地，可得，等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因此，。由于K和L具有相同的对偶仿射均质积分，则。

为了证明定理1.3，我们还需以下引理：

引理3.3：设，。

1) 如果K和L互为膨胀，那么对于，K和互为膨胀。

2) 设，如果K和互为膨胀，则K和L互为膨胀。

证明：为了证明(1)，假设存在常数，使得。令。径向Orlicz线性组合的定义表明函数为

的唯一解。

另一方面，存在使得

这意味着

因此，。

为证明(2)，假设存在常数使得。于是对任意，有

这表明，对于，

是一个常数。由的性质可知和L互为膨胀。

定理1.3的证明：为方便起见，令

于是，当时，利用引理2.2，可得

对于，的定义表明

(3.4)

因此，利用，对偶仿射均质积分的定义(1.4)，(3.4)式，Minkowski不等式以及定理1.2，可得

从而所需不等式得证。根据定理1.2和引理3.3，定理1.3等号成立的条件可立即得出。

当时，对偶Orlicz混合仿射均质积分的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式(1.11)变为袁俊(见 [9] )的对偶仿射均质积分的Brunn-Minkowski不等式(1.7)。

文章引用

邓国军,缑 艳. 对偶Orlicz混合仿射均质积分的不等式
Inequalities for Dual Orlicz Mixed Affine Quermassintegrals[J]. 应用数学进展, 2019, 08(12): 2035-2044. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.812234

参考文献