福建师范大学数学与统计学院，福建 福州

收稿日期：2023年11月13日；录用日期：2023年12月7日；发布日期：2023年12月18日

摘要

本文主要研究Delta算子时滞切换系统的非脆弱H_∞控制问题，基于Lyapunov函数，利用线性矩阵不等式(LMI)方法，首先先得到H_∞控制器存在的条件，使得Delta算子时滞切换系统在任意的切换律下都是渐进稳定的，随后给出设计H_∞控制器的设计方法。最后，通过数值算例验证了所给方法的可行性和有效性。

关键词

Delta算子，切换系统，时滞，非脆弱H_∞控制

Non-Fragile H_∞ Control for Delta Operator Time-Delay Switching Systems

Mingjie Lin

School of Mathematics and Statistics, Fujian Normal University, Fuzhou Fujian

Received: Nov. 13^th, 2023; accepted: Dec. 7^th, 2023; published: Dec. 18^th, 2023

ABSTRACT

This paper mainly studies the non-fragile H_∞ control problem of delta-operator time-delay switching systems. Based on Lyapunov function, using linear matrix inequality (LMI) method, the existence conditions of H_∞ controller are obtained. The Delta operator time-delay switching system is asymptotically stable under any switching law, and then the design method of H_∞ controller is given. Finally, a numerical example is given to verify the feasibility and effectiveness of the proposed method.

Keywords:Delta Operator, Switching System, Delay, Non-Fragile H_∞ Control

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

随着科技的发展，特别是在计算机和工业自动化等领域，离散采样控制得到了较好的发展。在现代系统应用中，高速采样的方法越来越重要。但是在高速采样下，用位移算子描述的离散系统经常会出现数值不稳定的现象，这也是众多学者寻求其他描述方法的动力和源泉。20世纪80年代中期Goodwin和Middleton [1] 提出采用Delta算子来描述离散时间系统，并引入对应于Delta算子的Delta变换，恰好避免了位移算子算带来的弊端。鉴于Delta算子的诸多优点，国内外学者对Delta算子系统理论的研究从未间断。2005年，李惠光 [2] 等学者编著了国内首部研究Delta算子系统的专著，详细地介绍了Delta算子系统理论。肖民卿等人研究了Delta算子系统的非脆弱方差控制 [3] 、带故障的鲁棒H_∞控制 [4] 和Delta算子时滞系统的可靠D-稳定 [5] 。Yang [6] 等人提出与了改善执行器饱和的Delta算子系统反馈控制的新方法，并研究了Delta算子系统的鲁棒容错控制问题。

而切换系统主要的研究方向包括系统的稳定性、能控性以及能观性等其他综合性问题，其中切换系统的稳定性是切换系统研究的热点问题之一，也是研究切换系统其他控制问题的前提条件。切换系统的常用研究方法主要分为公共Lyapunov方法 [7] 、多Lyapunov方法 [8] 以及驻留时间方法 [9] 等。

Delta算子切换系统可以看作是每个子系统都是Delta算子系统的切换系统。切换系统是处理复杂系统问题较为优异的模型，Delta算子切换系统的研究得到了控制界学者的关注，并取得了一些进展。向峥嵘等人基于平均驻留方法，给出了不确定Delta算子切换系统指数稳定的充分条件 [10] ，并研究了鲁棒滤波器 [11] 和其他鲁棒控制问题 [12] 。Hu等人基于多Lyapunov方法和凸组合方法，研究了Delta算子切换系统的可靠极点配置 [13] 容错控制 [14] 及非脆弱可靠Ｄ-稳定 [15] 等问题，创新性的引入一阶LMI区域，推动了区域极点配置理论的发展。

本文在第2节中对所研究的Delta算子时滞切换系统的非脆弱H_∞控制问题进行了描述。第3节利用线性矩阵不等式(LMI)方法和Lyapunov稳定性理论，研究了系统渐进稳定和存在 $\gamma$ -次优非脆弱H_∞控制律的条件，并设计了非脆弱H_∞控制控制器，最后进行数值仿真验证了这个结论的可行性。

符号说明： $R$ 代表实数域， $R^n$ 代表n维欧几里得空间， $R^{n\times m}$ 表示维数为 $n\times m$ 的所有实矩阵集合。 $A^{\text{T}}$ 表示矩阵 $A$ 的转置， $A^{-1}$ 表示矩阵 $A$ 的逆。 $I$ 表示适当阶数的单位矩阵， $0$ 表示适当阶数的零矩阵。对称矩阵中的“*”表示矩阵相应的对称分块。 $S>0$ ( $S<0$ )表示矩阵 $S$ 是对称正(负)定矩阵， $S\ge 0$ ( $S\le 0$ )表示矩阵 $S$ 是对称半正(负)定矩阵，对于两个矩阵 $A,B$ ， $A<B$ ( $A\le B$ )表示矩阵 $B-A$ 是正定(半正定)。 $\left|\cdot \right|$ 表示向量的欧几里得范数， $\Vert \cdot \Vert$ 表示矩阵的谱范数。

为了解决下文中的问题，提前给出下面两个引理。

引理1 [16] 对给定矩阵 $S=\left[\begin{array}{cc}{S}_{11}& S_{12}\\ S_{21}& S_{22}\end{array}\right]$ ，其中 $S_{11}$ 是 $r\times r$ 的，以下三个条件等价：

1) $S<0$ ；

2) $S_{11}<0$ ；

3) $S_{22}<0$ ， $S_{22}-S_{21}{S}_{11}^{-1}{S}_{12}<0$ 。

引理2 [16] 给定适当维数的矩阵Y，D和E，其中Y是对称的，则对所有满足 $F^{\text{T}}F\le I$ 的矩阵F， $Y+DFE+E^{\text{T}}{F}^{\text{T}}{D}^{\text{T}}<0$ 成立当且仅当存在一个常数 $\epsilon >0$ ，使得

$Y+\epsilon D{D}^{\text{T}}+{\epsilon }^{-1}{E}^{\text{T}}E<0$

2. 问题描述

Delta算子定义为：

$\delta =\frac{q-1}{T}$

其中q为前向位移算子，即 $qx\left(k\right)=x\left(k+1\right)$ ，h为系统采样周期。

考虑一类由Delta描述的不确定时滞切换系统：

$\{\begin{array}{l}\delta x\left(k\right)=\left(A_{\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{A}_{\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k\right)+\left(A_{1\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{A}_{1\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k-d\right)+\left(B_{\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{B}_{\sigma \left(k\right)}\right)u\left(k\right)+\left(B_{1\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{B}_{1\sigma \left(k\right)}\right)w\left(k\right),\\ z\left(k\right)=\left(C_{\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{C}_{\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k\right)+\left(D_{\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{D}_{\sigma \left(k\right)}\right)w\left(k\right)\end{array}$ (1)

其中： $\sigma \left(k\right):{ℝ}^{+}\to \bar{N}=1,2,\cdots ,N$ 是切换律， $i\in \bar{N}$ ， $x\left(k\right)\in R^n$ 、 $u\left(k\right)\in R^m$ 和 $w\left(k\right)$ 分别为系统的状态、控制输入和外部扰动输入且 $w\left(k\right)\in L_2\left[0,\infty \right]$ ， $z\left(k\right)\in R^q$ 是被调输出，T为采样周期，d是系统的状态滞后时间，假定 $0\le d\le \bar{d}$ ， $A_{\sigma \left(k\right)}$ 、 $A_{1\sigma \left(k\right)}$ 、 $B_{\sigma \left(k\right)}$ 、 $B_{\sigma \left(k\right)}$ 、 $C_{\sigma \left(k\right)}$ 和 $D_{\sigma \left(k\right)}$ 是已知的适当维数的实常数矩阵， $\Delta A_{\sigma \left(k\right)}$ 、 $\Delta A_{1\sigma \left(k\right)}$ 、 $\Delta B_{\sigma \left(k\right)}$ 、 $\Delta B_{1\sigma \left(k\right)}$ 、 $\Delta C_{\sigma \left(k\right)}$ 和 $\Delta D$ 是不确定矩阵，表示系统模型中的不确定参数，且满足：

$\left[\Delta A_{\sigma \left(k\right)},\Delta A_{1\sigma \left(k\right)},\Delta B_{\sigma \left(k\right)},\Delta B_{1\sigma \left(k\right)}\right]=H_{\sigma \left(k\right)}{F}_{1\sigma \left(k\right)}\left[E_{1\sigma \left(k\right)},E_{2\sigma \left(k\right)},E_{3\sigma \left(k\right)},E_{4\sigma \left(k\right)}\right]$ (2)

$\left[\Delta C_{\sigma \left(k\right)},\Delta D_{\sigma \left(k\right)}\right]=M_{\sigma \left(k\right)}{F}_{1\sigma \left(k\right)}\left[E_{5\sigma \left(k\right)},E_{6\sigma \left(k\right)}\right]$ (3)

其中对任意 $\sigma \left(k\right)\in \bar{N}$ ，不确定 $F_{1\sigma \left(k\right)}$ ，满足 $F_{1\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}{F}_{1\sigma \left(k\right)}\le I$ 。 $H_{\sigma \left(k\right)}$ 、 $M_{\sigma \left(k\right)}$ 、 $E_{1\sigma \left(k\right)}$ 、 $E_{2\sigma \left(k\right)}$ 、 $E_{3\sigma \left(k\right)}$ 、 $E_{4\sigma \left(k\right)}$ 、 $E_{5\sigma \left(k\right)}$ 和 $E_{6\sigma \left(k\right)}$ 为组成不确定性结构的适维常数矩阵。

采用状态反馈控制，并假定控制器具有加性增益不确定性，具体如下：

$u_{\sigma \left(k\right)}\left(k\right)=\left(K_{\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{K}_{\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k\right)=\bar{K}x\left(k\right)$ (4)

其中：

$\Delta K_{\sigma \left(k\right)}=G_{\sigma \left(k\right)}{F}_{2\sigma \left(k\right)}{E}_{7\sigma \left(k\right)}$ (5)

$G_{\sigma \left(k\right)}$ 和 $E_{7\sigma \left(k\right)}$ 为已知的适维常数矩阵， $F_{2\sigma \left(k\right)}\in R^{i\times j}$ 是满足 $F_{2\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}{F}_{2\sigma \left(k\right)}\le I$ 的不确定矩阵。得到闭环系统为：

$\{\begin{array}{l}\delta x\left(k\right)=\left(A_{c\sigma \left(k\right)}+B_{c\sigma \left(k\right)}\bar{K}\right)x\left(k\right)+A_{d\sigma \left(k\right)}x\left(k-d\right)+B_{d\sigma \left(k\right)}w\left(k\right),\\ z\left(k\right)=\left(C_{\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{C}_{\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k\right)+\left(D_{\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{D}_{\sigma \left(k\right)}\right)w\left(k\right)\end{array}$ (6)

其中：

$\begin{array}{l}{A}_{c\sigma \left(k\right)}=A_{\sigma \left(k\right)}+\Delta A_{\sigma \left(k\right)},A_{d\sigma \left(k\right)}=A_{1\sigma \left(k\right)}+\Delta A_{1\sigma \left(k\right)}\\ B_{c\sigma \left(k\right)}=B_{\sigma \left(k\right)}+\Delta B_{\sigma \left(k\right)},B_{d\sigma \left(k\right)}=B_{1\sigma \left(k\right)}+\Delta B_{1\sigma \left(k\right)}\\ A_{0\sigma \left(k\right)}=A_{c\sigma \left(k\right)}+B_{c\sigma \left(k\right)}{\bar{K}}_{\sigma (\; k\; )}\end{array}$

定义1 对给定的正数 $\gamma$ ，如果对所有满足(2)、(3)和(5)的不确定参数，闭环系统(6)是渐进稳定的，且在零初始条件下，被调输出 $z\left(k\right)$ 满足 ${\Vert z\Vert }_2\le \gamma {\Vert w\Vert }_2$ ，则状态反馈控制律(4)称为是系统(1)的 $\gamma$ -次优非脆弱H_∞控制律。

3. 主要结论

定理1 对给定正数 $\gamma$ ，任意的 $i\in \bar{N}$ ，系统(1)存在 $\gamma$ -次优非脆弱H_∞控制律(4)的一个充分条件是存在对称正定矩阵P和Q，使得对所有允许的不确定参数，下列矩阵不等式成立：

$\left[\begin{array}{ccccc}{A}_{0i}^{\text{T}}P+P{A}_{0i}+Q& \ast & \ast & \ast & \ast \\ A_{di}^{\text{T}}P& -Q& \ast & \ast & \ast \\ B_{di}^{\text{T}}P& 0& -{\gamma }^{2}I& \ast & \ast \\ A_{0i}& A_{di}& B_{di}& -\frac{P^{-1}}{T}& \ast \\ C_i+\text{Δ}{C}_i& 0& D_i+\text{Δ}{D}_i& 0& -I\end{array}\right]<0$ (7)

证明 考虑Lyapunov函数

$V\left(x\left(k\right)\right)=V_1\left(x\left(k\right)\right)+V_2\left(x\left(k\right)\right)$ (8)

其中， $V_1\left(x\left(k\right)\right)=x^{\text{T}}\left(k\right)Px\left(k\right)$ ， $V_2\left(x\left(k\right)\right)=T{\displaystyle {\sum }_{i=1}^d{x}^{\text{T}}\left(k-i\right)Qx\left(k-i\right)}$ 。

在 $w\left(k\right)=0$ 时，由 $x\left(k+1\right)=T\delta x\left(k\right)+x\left(k\right)$ 可得

$\begin{array}{c}\delta V_1\left(x\left(k\right)\right)=\frac{1}{T}\left(V\left(x\left(k+1\right)\right)-V\left(x\left(k\right)\right)\right)\\ =\frac{1}{T}\left(x^{\text{T}}\left(k+1\right)Px\left(k+1\right)-x^{\text{T}}\left(k\right)Px\left(k\right)\right)\\ =\frac{1}{T}\left({\left(T\delta x\left(k\right)+x\left(k\right)\right)}^{\text{T}}P\left(T\delta x\left(k\right)+x\left(k\right)\right)-x^{\text{T}}\left(k\right)Px\left(k\right)\right)\\ =\frac{1}{T}({\left(T\left(A_{0\sigma \left(k\right)}x\left(k\right)+A_{d\sigma \left(k\right)}x\left(k-d\right)\right)+x\left(k\right)\right)}^{\text{T}}P(T(A_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}x\left(k\right)\\ \stackrel{}{}+A_{d\sigma \left(k\right)}x\left(k-d\right))+x\left(k\right))-x^{\text{T}}\left(k\right)Px(\; k\; ))\end{array}$

$\begin{array}{c}=x^{\text{T}}\left(k\right)\left(A_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P+P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+T{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{0\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k\right)\\ +x^{\text{T}}\left(k-d\right)\left(T{A}_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{d\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k-d\right)\\ +x^{\text{T}}\left(k\right)\left(T{A}_{0\sigma (k)}^{\text{T}}P{A}_{d\sigma \left(k\right)}+P{A}_{d\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k-d\right)\\ +x^{\text{T}}\left(k-d\right)\left(T{A}_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+A_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P\right)x(\; k\; )\end{array}$

$\begin{array}{c}\delta V_2\left(x\left(k\right)\right)=\frac{1}{T}\left(V\left(x\left(k+1\right)\right)-V\left(x\left(k\right)\right)\right)\\ =\frac{1}{T}\left(T{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{d}{\sum }}{x}^{\text{T}}\left(k+1-i\right)Qx\left(k+1-i\right)}-T{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{d}{\sum }}{x}^{\text{T}}\left(k-i\right)Qx\left(k-i\right)}\right)\\ =x^{\text{T}}\left(k\right)Qx\left(k\right)-x^{\text{T}}\left(k-d\right)Qx\left(k-d\right)\end{array}$

将上面两式相加代入(8)中可得

$\begin{array}{c}\delta V\left(x\left(k\right)\right)=\delta V_1\left(x\left(k\right)\right)+\delta V_2\left(x\left(k\right)\right)\\ =x^{\text{T}}\left(k\right)\left(A_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P+A_{0\sigma \left(k\right)}+T{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{0\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k\right)+x^{\text{T}}\left(k-d\right)\left(T{A}_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{d\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k-d\right)\\ +x^{\text{T}}\left(k\right)\left(T{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{d\sigma \left(k\right)}+P{A}_{d\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k-d\right)+x^{\text{T}}\left(k-d\right)\left(T{A}_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+A_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P\right)x\left(k\right)\\ +x^{\text{T}}\left(k\right)Qx\left(k\right)-x^{\text{T}}\left(k-d\right)Qx\left(k-d\right)\\ ={\left[\begin{array}{c}x\left(k\right)\\ x\left(k-d\right)\end{array}\right]}^{\text{T}}\Xi \left[\begin{array}{c}x\left(k\right)\\ x\left(k-d\right)\end{array}\right]\end{array}$

其中， $\Xi =\left[\begin{array}{cc}{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P+P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+T{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+Q& T{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{d\sigma \left(k\right)}+P{A}_{d\sigma \left(k\right)}\\ T{A}_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+A_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P& T{A}_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{d\sigma \left(k\right)}-Q\end{array}\right]$ 。

由引理1可得

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P+P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+T{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+Q& T{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{d\sigma \left(k\right)}+P{A}_{d\sigma \left(k\right)}\\ T{A}_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+A_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P& T{A}_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P{A}_{d\sigma \left(k\right)}-Q\end{array}\right]\\ \iff \left[\begin{array}{c}{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}\\ A_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}\end{array}\right]TP{\left[\begin{array}{c}{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}\\ A_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}\end{array}\right]}^{\text{T}}+\left[\begin{array}{cc}{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P+P{A}_{0\sigma \left(k\right)}+Q& P{A}_{d\sigma \left(k\right)}\\ A_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P& -Q\end{array}\right]\\ \iff \left[\begin{array}{ccc}{A}_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P+P{A}_0+Q& P{A}_{d\sigma \left(k\right)}& A_{0\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}\\ A_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}P& -Q& A_{d\sigma \left(k\right)}^{\text{T}}\\ A_{0\sigma \left(k\right)}& A_{d\sigma \left(k\right)}& -\frac{P^{-1}}{T}\end{array}\right]\end{array}$ (9)

再由引理1的变化后，矩阵不等式(7)成立可知矩阵不等式(9) < 0也成立。

因此， $\delta V\left(x\left(k\right)\right)<0$ ，故闭环系统(6)在任意切换律下是渐进稳定的。

进而，对任意非零的 $w\left(k\right)\in L_2\left[0,\infty \right)$ ，

$\begin{array}{l}\delta V\left(k\right)+z^{\text{T}}\left(k\right)z\left(k\right)-{\gamma }^2{w}^{\text{T}}\left(k\right)w\left(k\right)\\ ={\left[\begin{array}{c}x\left(k\right)\\ x\left(k-d\right)\\ w\left(k\right)\end{array}\right]}^{\text{T}}(\left[\begin{array}{c}{A}_{0i}^{\text{T}}\\ A_{di}^{\text{T}}\\ B_{di}^{\text{T}}\end{array}\right]TP\left[\begin{array}{ccc}{A}_{0i}& A_{di}& B_{di}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{A}_{0i}^{\text{T}}P+P{A}_{0i}+Q& P{A}_{di}& P{B}_{di}\\ A_{di}^{\text{T}}P& -Q& 0\\ B_{di}^{\text{T}}P& 0& -{\gamma }^{2}I\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{c}{\left(C_i+\text{Δ}{C}_i\right)}^{\text{T}}\\ 0\\ {\left(D_i+\text{Δ}{D}_i\right)}^{\text{T}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{C}_i+\text{Δ}{C}_i& 0& D_i+\text{Δ}{D}_i\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}x\left(k\right)\\ x\left(k-d\right)\\ w\left(k\right)\end{array}\right]\end{array}$

利用引理1可得，矩阵不等式(6)成立时有

$\delta V\left(k\right)+z^{\text{T}}\left(k\right)z\left(k\right)-{\gamma }^2{w}^{\text{T}}\left(A\right)x\left(A\right)<0$ ，对 $\forall k>0$

由零初始条件可得，

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}{z}^{\text{T}}\left(k\right)z\left(k\right)}-{\gamma }^2{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}{w}^{\text{T}}\left(k\right)w\left(k\right)}<-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\delta V\left(k\right)}=\frac{-V\left(N+1\right)}{T}\le 0$ ，对 $\forall N>0$

由此可得 ${\Vert z\Vert }_2\le \gamma {\Vert w\Vert }_2$ 。定理得证。

定理2 对给定的正数 $\gamma$ ，任意 $i\in \bar{N}$ ，存在对称正定矩阵P和Q，使得对任意允许的系数参数不确定性和控制器增益不确定性，矩阵不等式(6)成立，当存在大于零的常数 ${\epsilon }_1$ ， ${\epsilon }_2$ ， ${\epsilon }_3$ ，对正定矩阵X，V和W使得如下线性矩阵不等式可行：

$\left[\begin{array}{ccccccccc}{R}_{1i}& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ {\left(A_{1i}X\right)}^{\text{T}}& -V& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ B_{1i}^{\text{T}}& 0& -\rho I& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ R_{2i}& A_{1i}X& B_{1i}& R_{3i}& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ C_{i}X& 0& D_i& 0& R_{4i}& \ast & \ast & \ast & \ast \\ {\epsilon }_1{G}_i^{\text{T}}{B}_i^{\text{T}}& 0& 0& {\epsilon }_1{G}_i^{\text{T}}{B}_i^{\text{T}}& 0& -{\epsilon }_{1}I& \ast & \ast & \ast \\ E_{1i}X+E_{2i}W& E_{2i}W& E_{4i}& 0& 0& {\epsilon }_1{E}_{3i}{G}_i& -{\epsilon }_{2I}& \ast & \ast \\ E_{5i}& 0& E_{6i}& 0& 0& 0& 0& -{\epsilon }_{3}I& \ast \\ E_{7i}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -{\epsilon }_{1}I\end{array}\right]<0$ (10)

其中：

$\begin{array}{l}{R}_{1i}={\left(A_{i}X+B_{i}W\right)}^{\text{T}}+\left(A_{i}X+B_{i}W\right)+V+{\epsilon }_2{H}_i{H}_i^{\text{T}},R_{2i}=\left(A_{i}X+B_{i}W\right)+{\epsilon }_2{H}_i{H}_i^{\text{T}}\\ R_{3i}={\epsilon }_2{H}_i{H}_i^{\text{T}}-\frac{X}{T},R_{4i}={\epsilon }_3{M}_i{M}_i^{\text{T}}-I,\rho ={\gamma }^2\end{array}$

且 $u_{\sigma \left(k\right)}\left(k\right)=\left(K_{\sigma \left(k\right)}+\text{Δ}{K}_{\sigma \left(k\right)}\right)x\left(k\right)$ 是系统(1)的一个 $\gamma$ -次优非脆弱H_∞控制律，其中 $K=W{X}^{-1}$ 。

证明 矩阵不等式(7)可以写成

$M_1+\left[\begin{array}{c}P{B}_{ci}{G}_i\\ 0\\ 0\\ B_{ci}{G}_i\\ 0\end{array}\right]F_{2i}{\left[\begin{array}{c}{E}_{7i}^{\text{T}}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]}^{\text{T}}+{\left(\left[\begin{array}{c}P{B}_{ci}{G}_i\\ 0\\ 0\\ B_{ci}{G}_i\\ 0\end{array}\right]F_{2i}{\left[\begin{array}{c}{E}_{7i}^{\text{T}}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]}^{\text{T}}\right)}^{\text{T}}<0$ (11)

其中：

$M_1=\left[\begin{array}{ccccc}{A}_{fi}^{\text{T}}P+P{A}_{fi}+Q& \ast & \ast & \ast & \ast \\ A_{di}^{\text{T}}P& -Q& \ast & \ast & \ast \\ B_{di}^{\text{T}}P& 0& -{\gamma }^{2}I& \ast & \ast \\ A_{fi}& A_{di}& B_{di}& -\frac{P^{-1}}{T}& \ast \\ C_i+\text{Δ}{C}_i& 0& D_i+\text{Δ}{D}_i& 0& -I\end{array}\right],A_{fi}=A_{ci}+B_{ci}{K}_i$

根据引理2，对所有允许的不确定矩阵 $F_{2i}$ ，(11)式成立的一个充要条件是存在 ${\epsilon }_1>0$ ，使得

$M_{1i}+{\epsilon }_1\left[\begin{array}{c}P{B}_{ci}{G}_i\\ 0\\ 0\\ B_{ci}{G}_i\\ 0\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}P{B}_{ci}{G}_i\\ 0\\ 0\\ B_{ci}{G}_i\\ 0\end{array}\right]}^{\text{T}}+{\epsilon }_1^{-1}\left[\begin{array}{c}{E}_{7i}^{\text{T}}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{E}_{7i}^{\text{T}}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]}^{\text{T}}$ (12)

由引理1及一些等价变化可得(12)式等价于

$\begin{array}{l}{M}_{2i}+\left[\begin{array}{cc}P{H}_i& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ H_i& 0\\ 0& M_i\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{F}_{1i}& 0\\ 0& F_{1i}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{\left(E_{1i}+E_{3i}{K}_i\right)}^{\text{T}}& E_{5i}^{\text{T}}\\ E_{2i}^{\text{T}}& 0\\ E_{4i}^{\text{T}}& E_{6i}^{\text{T}}\\ 0& 0\\ 0& 0\\ {\left({\epsilon }_1{E}_{3i}{G}_i\right)}^{\text{T}}& 0\end{array}\right]}^{\text{T}}\\ +{\left(\left[\begin{array}{cc}P{H}_i& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ H_i& 0\\ 0& M_i\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{F}_{1i}& 0\\ 0& F_{1i}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{\left(E_{1i}+E_{3i}{K}_i\right)}^{\text{T}}& E_{5i}^{\text{T}}\\ E_{2i}^{\text{T}}& 0\\ E_{4i}^{\text{T}}& E_{6i}^{\text{T}}\\ 0& 0\\ 0& 0\\ {\left({\epsilon }_1{E}_{3i}{G}_i\right)}^{\text{T}}& 0\end{array}\right]}^{\text{T}}\right)}^{\text{T}}<0\end{array}$ (13)

其中：

$M_{2i}=\left[\begin{array}{cccccc}{Y}_i& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ A_{1i}^{\text{T}}P& -Q& \ast & \ast & \ast & \ast \\ B_{2i}^{\text{T}}P& 0& -{\gamma }^{2}I& \ast & \ast & \ast \\ A_i+B_i{K}_i& A_{1i}& B_{2i}& -\frac{P^{-1}}{T}& \ast & \ast \\ C_i& 0& D_i& 0& I& \ast \\ {\epsilon }_1{G}_i^{\text{T}}{B}_i^{\text{T}}P& 0& 0& {\epsilon }_1{G}_i^{\text{T}}{B}_i^{\text{T}}& 0& -{\epsilon }_{1}I\end{array}\right]$

$Y_i={\left(A_i+B_i{K}_i\right)}^{\text{T}}P+P\left(A_i+B_i{K}_i\right)+Q+{\epsilon }_1^{-1}{E}_{7i}^{\text{T}}{E}_{7i}$

根据引理2，对所有允许的不确定矩阵 $F_{1i}$ ，(13)式成立的一个充要条件是存在 ， ${\epsilon }_3>0$ ，使得

$\begin{array}{l}{M}_{2i}+\left[\begin{array}{cc}P{H}_i& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ H_i& 0\\ 0& M_i\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\epsilon }_{2}I& 0\\ 0& {\epsilon }_{3}I\end{array}\right]{\left(\left[\begin{array}{cc}P{H}_i& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ H_i& 0\\ 0& M_i\\ 0& 0\end{array}\right]\right)}^{\text{T}}\\ +\left[\begin{array}{cc}{\left(E_{1i}+E_{3i}{K}_i\right)}^{\text{T}}& E_{5i}^{\text{T}}\\ E_{2i}^{\text{T}}& 0\\ E_{4i}^{\text{T}}& E_{6i}^{\text{T}}\\ 0& 0\\ 0& 0\\ {\left({\epsilon }_1{E}_{3i}{G}_i\right)}^{\text{T}}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\epsilon }_2^{-1}I& 0\\ 0& {\epsilon }_3^{-1}I\end{array}\right]{\left(\left[\begin{array}{cc}{\left(E_{1i}+E_{3i}{K}_i\right)}^{\text{T}}& E_{5i}^{\text{T}}\\ E_{2i}^{\text{T}}& 0\\ E_{4i}^{\text{T}}& E_{6i}^{\text{T}}\\ 0& 0\\ 0& 0\\ {\left({\epsilon }_1{E}_{3i}{G}_i\right)}^{\text{T}}& 0\end{array}\right]\right)}^{\text{T}}<0\end{array}$ (14)

由引理1及一些等价变形可得(14)式等价于

$\left[\begin{array}{ccccccccc}{Y}_{1i}& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ A_{1i}P& -Q& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ B_{1i}^{\text{T}}P& 0& -{\gamma }^{2}I& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ Y_{2i}& A_{1i}& B_{1i}& Y_{3i}& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ C_i& 0& D_i& 0& Y_{4i}& \ast & \ast & \ast & \ast \\ {\epsilon }_1{G}_i^{\text{T}}{B}_i^{\text{T}}P& 0& 0& {\epsilon }_1{G}_i^{\text{T}}{B}_i^{\text{T}}& 0& -{\epsilon }_{1}I& \ast & \ast & \ast \\ E_{1i}+E_{2i}{K}_i& E_{2i}& E_{4i}& 0& 0& {\epsilon }_1{E}_{3i}{G}_i& -{\epsilon }_{2}I& \ast & \ast \\ E_{5i}& 0& E_{6i}& 0& 0& 0& 0& -{\epsilon }_{3}I& \ast \\ E_{7i}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -{\epsilon }_{1}I\end{array}\right]<0$ (15)

其中：

$\begin{array}{l}{Y}_{1i}={\left(A_i+B_i{K}_i\right)}^{\text{T}}P+P\left(A_i+B_i{K}_i\right)+Q+{\epsilon }_{2}P{H}_i{H}_i^{\text{T}}P{Y}_{2i}=A_i+B_i{K}_i+{\epsilon }_2{H}_i{H}_i^{\text{T}}P\\ Y_{3i}={\epsilon }_2{H}_i{H}_i^{\text{T}}-\frac{P^{-1}}{T},Y_{4i}={\epsilon }_3{M}_i{M}_i^{\text{T}}-I\end{array}$

将上式两边分别左乘、右乘 $\text{diag}\left\{P^{-1},P^{-1},I,I,I,I,I,I,I\right\}$ ，并记 $P^{-1}=X$ ， $K{P}^{-1}=W$ ， $P^{-1}Q{P}^{-1}=V$ ， ${\gamma }^2=\rho$ ，即可得到(10)式。

4. 数值算例

给定由两个子系统组成的系统(6)，其中

$\begin{array}{l}{A}_1=\left[\begin{array}{cc}-10& 1\\ -1.3& -1\end{array}\right],A_{11}=\left[\begin{array}{cc}2.4& 0\\ 0& 1.3\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}0.3\\ 1\end{array}\right]\\ B_{11}=\left[\begin{array}{c}0.1\\ 1\end{array}\right],C_1=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.7\\ -1.3& 0.3\end{array}\right],D_1=\left[\begin{array}{c}0.31\\ 0.25\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}{A}_2=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ -3& -1\end{array}\right],A_{12}=\left[\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 2.3\end{array}\right],B_2=\left[\begin{array}{c}0.3\\ 1\end{array}\right]\\ B_{12}=\left[\begin{array}{c}0.1\\ 0.3\end{array}\right],C_2=\left[\begin{array}{cc}0.33& 0.9\\ -1.3& 0.2\end{array}\right],D_2=\left[\begin{array}{c}0.5\\ 0.25\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}{H}_1=H_2=\left[\begin{array}{c}0.3\\ 0.6\end{array}\right],M_1=M_2=\left[\begin{array}{c}0.4\\ 0.5\end{array}\right]\\ E_{11}=E_{12}=\left[\begin{array}{cc}0.1& 0.5\end{array}\right],E_{21}=E_{22}=\left[0.2\right]\\ E_{31}=E_{32}=\left[\begin{array}{c}0.6\end{array}\right],E_{41}=E_{42}=\left[\begin{array}{c}0.1\end{array}\right]\\ E_{51}=E_{52}=\left[\begin{array}{cc}0& 0.5\end{array}\right],E_{61}=E_{62}=\left[\begin{array}{c}0.15\end{array}\right]\\ E_{71}=E_{72}=\left[\begin{array}{cc}0.2& 0\\ 0& 0.15\end{array}\right],G_1=G_2=\left[\begin{array}{cc}0.3& 0.6\end{array}\right]\end{array}$

采样周期 $T=0.01$ ，滞后上界 $\bar{d}=3$ 。根据定理2提出的设计方法，对给定的正数 $\rho =2$ ，应用 的LMI工具箱中的求解器feasp求解线性矩阵不等式(10)，得到可行解为：

$\begin{array}{l}{X}_1=\left[\begin{array}{cc}0.0191& 0.0034\\ 0.0034& 0.0275\end{array}\right],W_1=\left[\begin{array}{cc}-0.4041& -1.5535\end{array}\right]\\ V_1=\left[\begin{array}{cc}0.2242& 0.2489\\ 0.2489& 0.9242\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}{X}_2=\left[\begin{array}{cc}0.1272& 0.6168\\ 0.6168& 4.4247\end{array}\right],W_2=\left[\begin{array}{cc}-27.0821& -95.5380\end{array}\right]\\ V_2=\left[\begin{array}{cc}5.1006& 17.9376\\ 17.9376& 66.8946\end{array}\right]\end{array}$

从而可得：

$K_1=\left[\begin{array}{cc}-11.4894& -55.1069\end{array}\right],K_2=\left[\begin{array}{cc}-343.9721& 27.0316\end{array}\right]$

设系统初始状态 $x_0={\left[\begin{array}{cc}-2& 1\end{array}\right]}^{\text{T}}$ ，外部扰动 $w\left(k\right)=0.01\sin \left(k\right)$ ，给定任意一个切换律(如图1所示)，得到闭环系统状态轨迹如图2所示。

图1. 切换律

图2. 闭环系统状态轨迹

5. 总结与展望

本文利用LMI方法及公共Lyapunov稳定性理论对Delta算子时滞切换系统设计了具有非脆弱的 控制器，使得在任意切换律下的Delta算子时滞切换系统都是渐进稳定的。

虽然取得了一些成果，但仍然存在一些问题值得进一步思考。研究的控制约束是线性系统，非线性系统方面还未涉及。运用公共Lyapunov函数和线性矩阵不等式方法，对于是否可以利用多Lyapunov函数和平均驻留时间方法来研究该方面的问题，需要进一步探讨。

文章引用

林铭杰. Delta算子时滞切换系统的非脆弱H_∞控制
Non-Fragile H_∞ Control for Delta Operator Time-Delay Switching Systems[J]. 应用数学进展, 2023, 12(12): 5083-5092. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.1212499

参考文献