具有相关理赔的二元负风险和模型的破产概率 Ruin Probabilities for a Double Type-insurance Risk Model with Negative Risk Sums

doi:10.12677/fin.2011.12006

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Finance 金融, 2011, 1, 33-37

http://dx.doi.org/10.12677/fin.2011.12006 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/fin/)

Ruin Probabilities for a Double Type-Insurance Risk

Model with Negative Risk Sums*

Wei Zou, Jiehua Xie

Department of Science, Nanchang Institute of Technology, Nanchang

Email: jhxie@nit.edu.cn

Received: Mar. 28th, 2011; revised: May 9th, 2011; accepted: Jun. 14th, 2011.

Abstract: In this paper, we consider a double type-insurance risk model with negative risk sums. Correlation

may exist among the two “claims” number process. We derive the integro-differential equation and the ex-

plicit expression fo r th e ruin prob ab ilities. We also co mpare the ru in probab ilities o f th is risk mode l with clas-

sical negative risk sums model and give the numerical illustration . The results obtained generalize the classi-

cal negative risk sums model.

Keywords: Correlated Aggregate Claims; Negative Risk Sums; Ruin Probability

具有相关理赔的二元负风险和模型的破产概率*

邹娓，谢杰华

南昌工程学院理学系，南昌

Email: jhxie@nit.edu.cn

收稿日期：2011 年3月28 日；修回日期：2011 年5月9日；录用日期：2011 年6月14 日

摘要：本文研究了一类“理赔”计数过程相关的二元负风险和模型，给出了此模型破产概率所满足

的积分–微分方程及其解析表达式，并将此模型的破产概率和经典负风险模型的破产概率进行了比较，

对具体实例给出了数值比较结果。本文所得结果推广了经典负风险和模型的相应结果。

关键词：相关；负风险和；破产概率

1. 引言与模型

风险经营的稳定性分析在风险理论中占有重要的

地位，而破产理论则直接应用于风险经营稳定性分析，

因此破产概率一直是风险理论中十分重要的研究课

题。根据理赔方式，保险业的险种主要分为正风险和

与负风险和两大类。负风险和模型最典型的应用实例

是寿险年金保险和养老保险，在这种风险模型中，保

险公司以常值年金率付给被保险人年金，在被保险人

死亡(即“理赔”发生)时，保险公司从被保险人那里

收到一笔与“期望抚恤金”相当的酬金。设





,,p



uctSt



 

00

为

一完备概率空间，以下所遇随机变量均为该空间上的

随机变量。经典负风险和模型的盈余过程定义为[1]



Ut uctY 



, (1.1)

其中 u，c均为常数， u，c；u表示保险公司

的初始资金；



表示保险公司付给被保险人的年金

率；





,1,2,

Yi

为非正独立同分布的随机变量序列，

其共同分布记为

，均为 Y



，且；Y表示

第i次“理赔额”(负值理赔额)；是参数为



Fi





的

齐次 Poisson 过程，它表示在





0t，内“理赔额”发生

的次数；





Ut表示在时刻t保险公司的盈余。在(1.1)

式中，









;0Nt t与





,1,2,

Yi假定是相互独立

的。

近年来，国内外有很多学者研究了具有相依关系

的二元风险模型的破产概率问题，如 Ambagaspitiya

[2,3]，Partrat[4]，Yuen、Guo 和Wu[5]，谢和邹[6-10]等。

上述工作对于破产概率的研究都集中在正风险和模

型，由于风险险种的多样性，对具有相依关系的负风

险和模型的研究也同样重要。本文考虑了“理赔”计

数过程具有相依关系二元负风险和模型，该模型的盈

余过程定义为

*基金项目：江西省教育厅科技项目(GJJ10267)。

具有相关理赔的二元负风险和模型的破产概率



uctSt 





1;Ntt



 

Nt Nt

Ut uctYZ



 

 , (1.2)

其中；服从参数为

0c0



的齐次

poisson 过程，



是一个这样的计数过程：

它的点发生时刻形成的点过程



为

的一个稀疏，而在各个点发生时刻

发生的点数是有相同分布



的独立随机

变量，即。

与是两个相互独立的非

正随机变量序列，其分布函数分别为



;Ntt



;0mt t





2,



1,2,n



pn



Wn





;0Ntt



,1,2,

0

,1,



,2,



Zi

和

，均值

为Y



、



，且。



FF0

风险模型(1.2)在实际问题中有其应用背景。如考

虑有两个不同类型的负风险和模型，第一个类可表示

某一地区一定年龄段的女性寿险年金保险，第二类表

示该地区一定年龄段的男性寿险年金保险。这两个类

一般并不独立，在理赔中，每次第一类理赔以qp1





p



的概率不会引起第二类理赔的发生，而以概率 P引起

第二类理赔的发生，并且在第二类保险理赔的每个点

发生时刻，要求理赔的人数可能不止一个，它可能服

从某一离散型分布，即第二类理赔的点发生时刻形成

的计数过程为第一类理赔的一个稀疏.

本文给出了“理赔”计数过程具有相依关系的二

元负风险和模型(1.2)的破产概率所满足的积分–微分

方程及解析表达式，并将此风险模型的破产概率和经

典负风险模型(1.1)的破产概率进行了比较。当“理赔

额”为负指数变量时，对具体实例给出了数值比较。

本文所得结果推广了经典负风险和模型的相应结果。

2. 模型转换



在(1.2) 式的定义中，令



St Y







，







St Z



，则





St和分别表示两个险

种到 t时刻为止的负值理赔总额。对于





2;0Ntt





，

首先有





Nt W







 



1112 11

11 21

mt k

mt mt

ZjWWWWWWW WW

StZZZZ ZZZZ





 





 

 

 



11k

kWW WW

XZ Z



 







，类似于文献[11] 的讨论，可

得风险过程

Z Z

令

，





kmt

00



且令W。因此，

St X





。 (2.2)

表示的每个点发生时刻 Z的负值理赔总

额。



根据文献[11]的分析，知





,2,

,1,2,Xk

Xk



为非正独

立且同分布的随机变量序列，且



的分

布函数为



xFxp







， (2.2)

其中



为

y的n重卷积，并且

。



F





;0mt t由于为







1;0Nttp

的一个



稀

疏，故可以分解为两个相互独立的点过

程



和



的，即对于每一





1;0Ntt



;0mt t





1;0mtt







0t

 

,,,Ntwmtw mtw



 



 

111 11

Ntmtmtm t

ikii i

ik ii

StYXX YY

 

 



 



和，有，则

，

其中Y与Y为独立同分布的随机变量。这样两个

相依的负值理赔总额化为了两个相互独立的负值理赔

总额，计数过程分别为





;0mt t



1;0mtt和



，

每次的负值理赔额的分布函数分别为







(*)

YZn



Fp x









和



 

111

mtmt

ii i

UtuctX YY



 

。此时风险模型(1.2)

变成了



。 (2.3)









1;0Nt t为参数又因为



的齐次 Poisson 过

程，所以









;0mt t



和





1;0mttp分别是参数



和





1qqp



的齐次Poisson 过程。又







,1,2,

XYi与



*,1,2

Yi相互独立，易知

(2.3)可化为一个经典的负风险和模型



Ut uctL



 

， (2.4)









,0Nt t是参数其中



的齐次 Poisson 过程，

的分布函数为

具有相关理赔的二元负风险和模型的破产概率



 



ii i

LXY YZ

 

ypFyqFypFFp



























yqFy















0; 0Ut

。 (2.5)





1ru





3. 负风险和模型的破产概率

破产时间定义为

Tinf



，若

上集为空，则令。二元负风险和模型(1.2)的破

产概率定义为

T







1Pr u

uT 



。为了使保险公司

保持长期稳定，本文始终假设



 



u

。

由于保险人以常值年金率连续支付给被保险人年

金，“理赔”实为收入，所以盈余在相继的两次“理

赔”间连续递减，在“理赔”发生时有向上的跳跃，

因而，破产只可能发生在相继的“理赔”之间，且满

足UT .由轨道性质知





101





0r

。

引理 1 令，则存在常数，使得 0u

。 (3.1)

证明由文献[1]知，经典负风险和模型的破产概

率





u满足









uxux 



0，





且







。根据第二部分的讨论知，具有相依关系的

二元负风险和模型(1.2)可以转化为经典负风险和模型

(2.4) ，因此





1u

 

满足





111

,uxux









。由于



1u0r单调下降，故存在常数使

得





1ru



，引理 1得证。





101注1 因



0

0



1u



，引理 1的结论对 u也成立。

定理 1 令u，则满足如下积分–微分

方程：

  



11 11

YnYZ

uuuyFy puyFFy

cc c

 



 





 



 。 (3.2)

证明由文献[1]知，经典负风险和模型的破产概

率满足积分–微分方程



u

  





uu Fy











,



。 (3.3)

而由第二部分的讨论知，具有相依关系的二元负

风险和模型(1.2)可以转化为负值理赔额为

，计数过程为的经典负风险和模

型，其中



Li,2





Nt为参数为



的Poisson 过程。因此，将

此模型中负值理赔额的分布函数(2.5)式代入(3 .3)式，

可得定理 1的结论。

由文献[1]中的公式(15)：





crM r





. (3.4)





其中 r,1,2,

Yi

 



nY ZY

crppM rMrqM r

 





表示“理赔额”



的矩母

函数。

类似于方程(3.4)，由(3.1)式和(3.2)式知引理 1中

的r满足如下方程





，(3.5)



引理 2 若c







，则方程(3.5)有唯一

正根。

证明令

 



nY ZY

rcrppMrMrqMr

 





 

，

则。易验证



00,g



lim

ngr

 

 



 









nZZ YnZYY

rc pnpMrMrMrpMrMrqMr











 





nYYY Z

p qcp





，

且



1nZ

gcpnp







 

，





所以 r0r0r

 



在右侧附近大于零。又当时





 



 



nZZYZ Z Y

rpnpMr nMrMrMrMrMr







 

 



 



Y Y

Mr qMr



 









，



为凸函数，故 r



0,

在上有唯一正根。引理 2得证。

所以

具有相关理赔的二元负风险和模型的破产概率









01

RR



。

由引理 1，定理 1和引理 2可得

定理 2 当，则0u







，其中是方

程(3.5)的唯一正根，并且称为调节系数。

注2 由引理 2和定理 2知，当





 



11u时，有，。 u0

下面将“理赔”计数过程相关的二元负风险和模

型的破产概率和经典负风险和模型的破产概率进行比

较。由文献[1]知，方程(3.4)也存在唯一正根，不妨设

此正根为 R。且



定理 3 当u，则，



uu





nY ZY

frppMrM rqM r

 。

证明令













，









frM r



1



rcr



。显然，是方程



的唯

一正根，R是方程的唯一正根。又()frcr









1000ff



0r

 



 



1 1

n n

ZYYYn Z

n n

frM rqMrMrMrppMrq





 











，当时，



fr



ppMr



1。

所以





在



RR

 

uu

之前与直线相遇。因此

，从而有。定理 3得证。

ycr

4. 数值分析

本节讨论当“理赔额”分布为负指数分布时破产

概率的明确表达式。由定理 2，此时仅需给出

方程 3.5)的唯一正根的明确表达式即可。



1u

(

例 “理赔额”为负指数分布的情形。









,,0,,0

Fx eFx ex





 ，且此时









1, 0

Fx Fxx



。那么， 1







，







i

。并且假设W为{1,2}上的两点分布，且









112

PW 212

i，PW 。对于其它情形可类

似的计算。取 12







1，



，c，由(3.5)式以及

定理 2可推出是如下方程的正根：

1

11 0

cr pq

rr rr

 

 

 



 



 



 

 

 





10.691488R

。 (4.1)

求解(4.1) 式得，此方程只有唯一正根

。同理可知，R是如下方程的正根：

经负风的破与具有相的二

5. 结论

本文将经典的负风险和模型推广为具有相依关系

的二

参考文献 (References)

ry. New York : Springer-Verlag,

0cr r









 







0.5R

。 (4.2)

求解(4.2)式，得此方程只有唯一正根



。

可知，这样也验证了定理的结论。

RR



u1()u

不同初始资金下两种破产概率的数值比较见表 1。

从表 1的最后一列可以看出，如果初始资金相同，

具有相依关系的二元负风险和模型的破产概率小于经

典负风险和破产概率。同时，随着初始资金的增大，

Table 1. The comparable numerical results of two classes

of ruin probabilities

表1. 不同初始资金下两种破产概率的数值比较结果

() ()uu

0 1 1 1

1 0.606531 0.500830 1.21005

3 0.223130 0.125624 1.77618

5 0.082085 0.031511 2.60502

7 0.030197 0.007904 3.82063

8 0.018316 0.003958 4.62697

9 0.011109 0.001983 5.60350

10 0.006737 0.000993 6.78612

15 0.00

典的险和模型产概率依关系

元负风险和模型的破产概率的比值呈递增趋势。这在

一定程度上表明随着初始资金的增大，保险类之间的

相关性对破产概率的影响也越来越显著。

元负风险和模型，给出了此模型破产概率所满足

的积分–微分方程及解析表达式，并将此模型的破产

概率和经典负风险和模型的破产概率进行了比较。当

“理赔额”为负指数变量时，对具体事例给出了数值

比较。本文所得结果推广了经典负风险和模型的相应

结果。当然，对于此模型以及更一般的负风险和模型，

还有待于研究人员做更深一步的探讨和研究。

[1] J. Grandell. Aspects of Risk Theo

1991.

[2] R. S. Ambagaspitiya. On the distribution of a sum of correlated

aggregate claims. Insurance: Mathematics and Economics, 1998,

23(1): 15-19.

[3] R. S. Ambagaspitiya. On the distribution of two classes of corre-

0553 0.000031 17.6780

具有相关理赔的二元负风险和模型的破产概率 37

model for two dependent for kinds of

, J. Y. Guo, and X. Y. Wu. On a correlated aggregate

lated aggregate claims. Insurance: Mathematics and Economics,

1999, 24(3): 301-308.

[4] C. Partrat. Compound

[8]

claims. Insurance: Mathematics and Economics, 1994, 15(2-3):

219- 231.

[5] K. C. Yuen

claims model with Poisson and Erlang risk processes. Insurance:

Mathematics and Economics, 2002, 31( 2): 205-214.

[6] 谢杰华, 邹娓. 一类具有时间相依索赔风险模型的破产概率

[J]. 中国科学院研究生院学报, 2008, 25(3): 313-319.

[7] 谢杰华, 邹娓. 具有相关索赔风险模型的破产概率[J] 应用[

数学学报, 2009, 32(3): 546-554.

J. H. Xie, W. Zou. Expected present value of total dividends in a

delayed claims risk model under stochastic interest rates. Insur-

ance: Mathematics and Economics, 2010, 46(2): 415-422.

[9] W. Zou, J. H. Xie. On the ruin problem in an Erlang (2) risk

model with delayed claims. Communications in Computer and

Informat i o n S c i e nc e , 2010, 105(2): 54-61.

[10] J. H. Xie, W. Zou. On the expected discounted penalty function

for the compound Poisson risk model with delayed claims. Jour-

nal of Computational and Applied Mathematics, 2011, 235(8):

2392-2404.

11] 戚懿. 广义复合 Poisson 模型下的破产概率[J]. 应用概率统计,

1999, 15(2): 141-146.