ABSTRACT

In this paper, we prove an analogue Picard’s little theorem for a special class of holomorphic matrix functions in, and also study the relation between asymptotic values and Picard omitting value for holomorphic matrix functions. Moreover, we discuss the properties of complex dynamic system in.

Keywords:Picard’s Little Theorem, Holomorphic Matrix Functions, Asymptotic Values, Complex Dynamic System

一类全纯矩阵函数的解析性质

付超，宋宁芳

北京邮电大学理学院，北京

收稿日期：2016年5月7日；录用日期：2016年5月23日；发布日期：2016年5月26日

摘 要

本文把Picard定理推广到了一类的全纯矩阵函数中，同时探讨了渐近值与Picard例外值之间的关系，最后在中讨论了一些复动力系统的性质。

关键词 :Picard定理，全纯矩阵函数，渐近值，复动力系统

1. 引言和主要结果

整函数是在整个复平面上全纯的函数。众所周知，整函数的皮卡定理是全纯函数的一个重要性质，它告诉我们：整函数在中取到每个有穷复值，最多只有一个例外 [1] 。全纯函数的例外值、临界值、完全歧义值、渐近值等的性态一直是复变函数领域中引起人们兴趣的研究内容，在这些方面也有许多丰富的结果 [2] - [4] 。对高维的全纯函数考虑类似的问题是很有意义的，也是很复杂的 [5] [6] 。

本文中我们将整函数的Picard定理推广到一类全纯矩阵函数上，并考虑其例外值的相关性质。为后面叙述方便，下面先介绍一些所需的概念和符号 [2] - [7] ：

表示所有的3阶复矩阵构成的集合；

设，若在中矩阵与一个对角矩阵相似，则称是可对角化矩阵，否则称为不可对角化矩阵，矩阵的相似类指的是所有与相似的矩阵构成的集合；

为的子集，表示的9维复勒贝格测度；

设为整函数，表示在上的自由延拓；

若，则称为的例外值，记为，且记；

若存在，使得并且，则称点为在上的临界值；

若的每一个原像至少是2重的，则称为在上的完全歧义值；

若存在一条趋于无穷的曲线，使得成立，则称是的渐近值；

若存在一条趋于无穷的曲线，使得成立，则称是的渐近值；

运用复分析的知识和矩阵分析的技巧，我们研究了上全纯矩阵函数的解析性质，得到下面的结果。

定理1：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，则。

定理2：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果并且

，则。

定理3：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果并且

不存在完全歧义值，则。

更进一步，我们发现上述定理中的条件亦是成立的必要条件。

定理4：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果，则，或不存在完全歧义值。

渐近值理论是复分析中重要的理论，我们知道整函数的Picard例外值是渐近值。考虑自由延拓的渐近性，我们有类似的结论。

定理5：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果，则在中的每一个例外值都是一个渐近值。

另一方面，我们进一步讨论了上自由延拓的整函数$F$的动力学性质。令

，

及，，称为Fatou集，称为Julia集。

Misiurewicz [8] 证明了的Julia集为复平面。我们受Misiurewicz的启发得到了下面两个结论。

定理6：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果，则

。

定理7：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果，则。

2. 引理

为了证明定理，我们需要下面的引理。

引理1：如果，则。

证明：因为集合在中是有限个低维复子流形的并集，并且每一个复子流形最多是在8维的复空间中，所以我们可以得到。

引理2：如果是中所有可对角化矩阵构成的集合，则，其中是所有3阶非奇异复矩阵构成的集合。

证明：设是中所有不可对角化矩阵构成的集合，表示集合中的每一个矩阵至少有两个相同的特征值，我们可以得到。因为在中是有限个低维复子流形的并集，并且每一个复子流形最多是在8维的复空间中。从而可以得到，故。

下面引理3是关于矩阵谱的连续性结果。

引理3： [9] :设，为的谱集，为的谱集，两个谱集之间的距离定义为，其中是3元置换群，则上的距离函数是连续的。

除此之外，我们还需要复动力系统中的几个重要结论。

引理4： [10] [11] : 设为整函数，则为斥性周期点的闭包。

引理5： [10] [11] : 设为整函数，则的任一连通分支为以下类型之一：吸引周期分支、超吸引周期分支、抛物周期分支、Siegel盘、Baker分支、预周期分支、游荡分支。

3. 定理1的证明

证明：设，且可以对角化，则存在非奇异矩阵及，其中，使得

。

如果的每一个像都有原像，则对于中的，我们有，其中。从而对于中的所有可对角化矩阵，存在矩阵

，

使得成立。

如果中有一个像没有原像，不妨设，，则对于中的一类可对角化矩阵

不存在使得。

因为在所有可对角化矩阵构成的集合中是零测的，所以在所有可对角化矩阵构成的集合中稠密。由引理1和引理2可得所有可对角化矩阵构成的集合在稠密，则在中稠密，所以。

4. 定理2和定理3的证明

定理2的证明 (1) 如果是可以对角化的矩阵, 则存在非奇异矩阵及，其中，使得

。

由于，所以存在，，使得。令

，

把代入中可得

。

(2) 否则，与一个Jordan标准型相似, 即存在非奇异矩阵及，使得

(1)

或

(2)

对于(1)式，因为，所以存在使得。由，可得。现在考虑矩阵

，

它的线性无关的特征向量只有一个即，所以上述矩阵不可对角化，从而存在非奇异矩阵使得

。

令

可得。

对于(2)式，因为，所以存在使得，又由可知。由于矩阵

它的线性无关的特征向量只有两个即，，所以上述矩阵不可对角化。从而存在非奇异矩阵使得

。

令

，

可得。

定理3的证明 (1) 对于中可对角化矩阵的证明与定理2的证明相同。

(2) 否则，与一个Jordan标准型相似，即存在非奇异矩阵及，使得(1)或(2)成立。对于(1)式，因为，所以的原像为，，又因为不存在完全歧义值，所以存在使得。令

，

把代入中可得

。

对于(2)式，因为，所以的原像为，，的原像为又因为不存在完全歧义值，所以存在使得。令

，

把代入中可得

。

5. 定理4的证明

证明：(1) 首先，假设，则存在，使得。等式在中没有解，与相矛盾，故。

(2) 其次，假设且存在，使得是的一个完全歧义值。如果可以对角化，因为，则存在矩阵使得。否则，与一个Jordan标准型相似，即存在非奇异矩阵及，使得(1)或(2)成立。

对于(1)式，如果存在非奇异矩阵及，使得，则

。

因为是的一个完全歧义值, 则。把代入到中得

，

整理得

。

从而

，

可知上述等式矛盾。

对于(2)式，如果存在非奇异矩阵及，使得，则

。

因为是的一个完全歧义值，则。进一步得

，

整理得

。

从而

，

可知上述等式也是矛盾的。

当不可对角化时，，所以假设不成立，故或不存在完全歧义值。

6. 定理5的证明

证明：(1) 假定，设，由定理4的证明可知中的矩阵都不可对角化，所以不可对角化。则存在非奇异矩阵及使得(1)或(2)成立。

因为，则存在使得，又因为，则。

对于(1)式，我们考虑充分大的，并且定义曲线即

。

把代入到中可得

，

进一步取极限得

。

利用上述的证明方法，类似地可以证明(2)式也是满足的。

(2) 假定，其中。设，根据一维单复变函数中的渐近值

理论可知对于充分大的存在曲线使得。下面分4种情形讨论。

情形1：如果是可对角化矩阵且不是矩阵的谱，则。

情形2：如果是可对角化矩阵且是矩阵的谱，则存在非奇异矩阵及，使得

，

且，。因为，则存在使得，。我们考虑充分大的，并且定义曲线即

。

把代入到中可得

，

进一步取极限得

。

对于其它类型的

和

证明与上述证明类似。

情形3：如果不可对角化且不是矩阵的谱，则此情形的证明与(1)相同。

情形4：如果不可对角化且是矩阵的谱，则存在非奇异矩阵使得

。

通过对渐近曲线做细微的改变使得上没有临界点。我们考虑充分大的，并且定义曲线即

。

把代入到中可得

，

进一步取极限得

。

对于另一种类型的

，

证明是类似的。

7. 定理6和定理7的证明

定理6的证明 设。由引理1和引理2，我们只需要证明在中稠密即可。设，则存在非奇异矩阵使得

。

由引理4可知是的所有斥性周期点的闭包, 则对任意的，存在周期为的周期点，其中，使得。进行迭代得

令

，

则

。

定理7的证明 假设，则。如果是周期Fatou分支里的吸性域，由引理1和引理2我们只考虑可对角化情形。令

其中，，，。由可知，在的邻域内存在周期为的周期矩阵。由的矩阵结构可得的谱是互不相同的且是可对角化矩阵，则存在非奇异矩阵使得

根据引理3矩阵谱的连续性结果可得。又由吸性域的性质可知不是周期矩阵，矛盾。对于其它类型的Fatou周期分支和游荡分支的证明类似。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11571049)。

文章引用

付 超,宋宁芳. 一类全纯矩阵函数的解析性质
The Analyticity Properties of a Class of Holomorphic Matrix Functions[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 227-237. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63036

参考文献 (References)