 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 68-72 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12015 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Some Conditions for the Inverse Limit Induced by a Continuous Self-Map on a Circle to be Expansive Risong Li*, Zengxiong Cheng School of science, Guangdong Ocean University, Zhanjiang Email: gdoulrs@163.com Received Jun. 20th, 2011; revised Jul. 3rd, 2011; accepted Jul. 8th 2011. Abstract: Let be the set of all continuous maps of the unit circle. Let 01 CS f and deg f be the non-wandering set and th e degree of f, respectiv ely. Let 01 f CS. In this paper, it was proved that : 1) If f is a strictly monotone fun ction then it is topolog ically conjugate to g and 1k f S for any , where 1k , m1 g zzzS and ；2) The inverse limit system degmf 1, f f S which is generated by f is ex- pansive if and only if f is positively expansive；3) For any integer , f is positively expansive if and only if 0n n f is positively expansive. Also, some equivalent conditions on a continuous selfmap with expansive in- verse limit on a circle are given, and some important properties of these maps were obtained. Some corre- sponding results in the literatures are improved and extended. Keywords: Topologically Ergodic; Topologically Transitive; Covering Projection; Inverse Limit System; Lifting System 圆周上连续自映射的逆极限是可扩的一些条件 黎日松*，陈增雄 广东海洋大学理学院，湛江 Email: gdoulrs@163. com 收稿日期：2011 年6月20 日；修回日期: 7月3日；录用日期：7月8日 摘 要：设为单位圆 上连续自映射的集合， 01 CS 1 S f 为f的非游荡点集， deg f 为f的度。设 0 1 f CS，本文证明了：1) 若f是严格单调的，则 f与g拓扑共轭,其中 deg 1 ,, m g zm fzzS , 且对任一正整数 k, k1 f S ；2) f的逆极限 1, f f S 是可扩的当且仅当 f是正向可扩的；3) 对任一 整数 ， f是正向可扩的当且仅当0nn f 是正向可扩的。并给出了 上逆极限可扩的连续自映射的一些 等价刻划，也得到了这类映射的一些重要性质，改进与推广了已有文献的相应结果。 1 S 关键词：拓扑遍历；拓扑可迁；覆叠投射；逆极限系统；提升系统 1. 引言 可扩性在结构稳定与拓扑稳定的研究中起着极其 重要的作用。对离散动力系统而言，因自映射的不可 逆性给研究带来了本质性的困难，故人们试图通过对 其逆极限的研究来揭示该自映射的动力行为，有关这 方面的工作见文[1-3]。文 [3]给出了连续映射的正向可 扩性与其逆极限的可扩性间的关系并指出了：紧致度 量空间上正向可扩的连续满射，其逆极限是可扩的， 且其逆极限的可扩性是映射在拓扑共轭下的不变性。 文[4]研究了圆周上一类自映射的正向可扩性与其逆极 限的可扩性间的联系，得到了圆周上连续满射的逆极 限可扩等价于该自映射拓扑共轭于扩张映射。文[5]介 绍了圆周上连续自映射的动力性质的一些研究工作并 补充了一些结果。有关动力系统中的传递属性的分类 见文[6,7]。拓扑遍历性不同于拓扑可迁性与拓扑混合 性且它严格介于这两个属性之间[8]。文[9]对拓扑遍历  黎日松 等圆周上连续自映射的逆极限是可扩的一些条件69 | 与双重拓扑遍历作较系统的研究。马蹄与拓扑熵是研 究圆周上连续自映射的动力性质的重要的工具[5]。本文 将利用映射度、提升和拓扑遍历映射与双重拓扑遍历 映射以及严格单调函数的特点，在文[4,5]基础上，进 一步研究逆极限可扩的圆周上连续自映射，给出了这 类映射的许多新的刻划，也给出了这类映射的一些性 质。这些结果进一步改进与推广了文[4,5]的相应结果。 同时利用我们的方法可简化文[4]一些结果的证明。 以 ，，， 0 CX 0 TT CX 0 TOT CX 0 TE CX， ， 和 0 TOE CX 0 TDE C X X 0 TWM C分别表示空间 X上连 续自映射之集、拓扑传递的连续自映射之集、完全传 递的连续自映射之集、拓扑遍历的连续自映射之集、 全遍历的连续自映射之集、拓扑双重遍历的连续自映 射之集和拓扑弱混合的连续自映射之集。符号“ ” 总表示“当且仅当”。以 表示 上严格单调 的自映射之集。并分别以和表示 X 上连续可扩的自映射之集和 X上连续正向可扩的自映 射之集。为方便计，本文所涉及的概念和记号均参考 文[3-5,10-13]。 01 S X0 SM C 0 EXP C 1 S PEXP C X 2. 结果及其证明 引理 1设 01 f CS是严格单调的，则 。其证明可直接从定义得到，故从略。 deg 0f 引理 2设，则1m 1 , m g zzzS不含有马 蹄。其证明容易，故从略。 推论 1设 ，则1m 1 , m g zzzS不是扩展型 的。由文[5]的定理 1。1容易证得此推论。 引理 3设2m，则 1 , m g zzzS 是扩展型的。 由文[5]的命题 1。1易知此引理成立。 推论 2设2m，则 1 , m g zzzS含有马蹄。 其证明容易，故从略。 引理 4设 01 , f gCS且f与g拓扑共轭，则 f 含有马蹄当且仅当 g含有马蹄。其证明可直接从定义 得到，故从略。 引理 5[14]设 01 , n f gCS ，且 f与g拓扑共轭， 则 deg deg f g。 我们注意到平移是等距映射，利用定义和引理 5 容易得到以下引理 6。 引理 6设 01 , f gCS且f与g拓扑共轭，则f是 扩展型的当且仅当 g是扩展型的。 引理 7设1m ，则 1 , m g zzzS不是扩张映 射。其证明直接由定义得到，故从略。 引理 8[8]设X是紧致度量空间。若 0TT f CX且 f的拟弱几乎周期点集是稠密的，则 f是拓扑遍历的。 定理 1设 01 SM f CS，则 f与g拓扑共轭，其中 , m1 g zzzS degm，，并且对任一正整数k， 均有 f k1 f S 。 证明 设 01 f CS是严格单调递增的。由定义可 知 deg f1。先证明：若 ，则有严格 单调的保向同胚 deg 1mf 1 CS 0 满足 g f 。记 :VRR 是 的提升且 ， deg 1 是严格 单调递增的 。度量 D定义为： max x R D ， x x ，,V 。由于 1 x x ， 故易证 D为V上的度量。以下证明：设 1 iiV 且 lim i i ，则 V 。由 D的定义知 1 ii x 一致收 敛于 x 。又圆周上连续自映射的提升是一致连续 的，故 i x 是一致连续的且 x 连续。由 11 i ixx 知 11, x xx R 1, x R ，且对 , x yR ，若 x y，则 ii x y 。 故 yx 。由于 1 i 也是严格单调递增的， 1, 2,i ，故可不妨设 1 lim i i 。因 1 ii x 一致 收敛于 x ，故对 0 ，有，使当 时， 0NiN 11 iii xx 对 x R 均成立，即当 时， iN 1 ixx 对 x R 均成立。故 ii 一致收敛于 R id ，从而 R id ，因而 是 个同胚映射，从而 是严格单调递增的。因此 V ， 即 ,VD是完备度量空间。 设: F RR，分别是 f和g的提升，则:GR R 1 , F G 均为同胚映射。定义算子 0 :TVC R为 1 TGF ，V 。由文[1]命题 1的证明知 对V ， T 为圆周上映射度等于 1的某连续单 调映射 的提升。因 , F G和 是严格单调递增的，故 T 是严格单调递增的。所以 TV ，即 TV V。由[4]的命题 1的证明知 是压缩 映射。故 有唯一的不动点 :TV V :TVVV ，即 G F。设 是 的提升。由于 的提升 是 Copyright © 2011 Hanspub PM  黎日松 等圆周上连续自映射的逆极限是可扩的一些条件 70 | 同胚映射且 ，故由定义易证 deg 1 也是同胚映 射。因此存在严格单调递增的保向同胚 01 CS ， 使得 g f 01 。故 f与g拓扑共轭。 设 f CS为严格单调递减的且 deg f 。记1m 1 01 ,m g zz gzz。则0 g f是严格 单调递增的且01 10 g gggg ， 0 deg g f 1 1 mm 0 CS 。由上可知，存在严格单调递增的保向同 胚，使得 10 g g f。即 1 g 0 g f ，故 010 0 g gg gf 0 ，即 10 gg 0 g gf ，因而 00 g g g f 。 因 且 01gdeg 是严格单调递增的保向同胚， 故0 g 是严格单调递减的反向同胚。 注记 1：①我们对于严格单调递减的情形的证明方 法与文[4]的证明方法完全不同。②此定理是文[4]的相 应结果的推广。 下文的 g均与定理 1的g相同。为了方便，以下分 别用 和V表示,SU 1 ,1 f SS 和1n f S，以“ resp.”表 示“ 相 应地”。 推论 3设 01 f CS是严格单调的且 deg 2 0 f，则 f是扩展型的。 证明 由引理5、引理6和定理 1即可得到。 定理 2设 1 f CS是满射，n是任意给定的正整 数，则下列条件是等价的：1) ；2) U 0 f EXP C f n ；3) f拓扑共轭于 g；4) 0 EXP CU n f 拓扑共轭于 n g ； 5) 0 PEXP f CSn ；6) EXP 0 P f CS；7) deg 2f且 0 SM f CS；8) degn f20nSM 且 f CS；10) 0 TT 0 SM f CSCS ；11) 00 TOT SM f CSCS；13) 且 0 fTT C 0 SM U f CS；14)且 T U 0 fTO C f ；15) 且 0 SM CS 0 n fT C T U0 SM f CS；16) f Pf 且 0 SM f CS ；17) n f Pf且 0 SM f CS；18)f是扩展型的且 0 SM f CS；19) 0 TDE 0 SM f CSCS；20) 00 SMTOE f CSCS； 21) 00 SM TWM f CSCS；22) 是遍历的且 ,Bm:,fS ,,SBm 0 SM f CS，其中 B为S的所有 Borel子集的 代数，m为Haar测度；23) 0 fTE CU 且 0 SM f CS ；24) 且 DE U 0 fT C 0 SM f C S；25) 且 0 fTOE C U0 SM f CS；26) M U 0 fT W C且 0 SM f CS；27) 00 SMTE f CS C S ；28) f 且 0 TE CU 0 SM f CS 0 SM ；29) f是相对于上密度为 1序 列而言混沌的且 f CS；30) f 是相对于上密度 为1序列而言混沌的且 0 SM f CS 0 SM 。 证明 显然，若 , f gC S，则1,, n f ffg 0 SM CS。因 deg n f2 deg2f，故由[4]的 定理 2知：1)3)，1)5)，1)7)和1)10)。由 定义易知 2)1)。据 引 理 引5、理7和[15]的引理 2。3 知 deg 2f，由[4]的定理 2及引理 2知5) 1)和 6)2)。由定理 1和[4]的定理 2知7) 1)。因拓扑传 递属性是拓扑共轭不变性，而当 ，则 1m m g zz 不是拓扑传递的，据定理 1知10) 1)。因 严 格 单 调 性 是迭代不变的，故由[4]的定理 2知3) 4) 6) 8) 10)。由于可扩性是拓扑共轭不变性，故由[4] 的引 理2知2) 1)。由于 deg 2f当且仅当 degn f ，故 4)2 3)。由 n的任意性知 10) 11)。由[16] 知f是拓扑传递的 f 是拓扑传递的。从上面可知 10) 13) 14) 15) 和21) 26)。由于当且仅当 1 m 时， m g zz 的周期点集为 S，故由定理 1知 7) 16) 17)。由推论 1、引理 3、引理 6知 7) 8) 18)。由于当 1m时 m g z z的周期点集 的闭包为 S，故由[9]的系知 11) 19) 20) 21)。 由于 S关于复数的乘法和复数的倒数构成拓扑群，而当 1m时， m g zz 是S上的仿射映射，故由[8]的定 理2.1 知22) 29)。由[8]的引理 5.1、引理 5.2、定理 5.1 知27) 28)、29) 30)、23)27)、24) 19)、 19) 25)、19) 29)和24) 30)。由[8]的引理 2.2 知 10) 27)。 注记 2：一般来说，对于一般空间 X上的连续映射 : f XX n 及任一给定的整数 ，f正向可扩不能推 出 2n f 也正向可扩。 定理 3设 0 SM f CS，n为任意给定的正整数， 则下列条件等价：1) 0 PEXP f CS；2) f含有马蹄； 3) 0hf；4) 0 Pf hf；5) 存在 mZ 及m f 的 强不变闭子集 Y使得 mY f与 2, 拓扑半共轭；6) 2: 0,1, mmPP fk ，其中 PPminkf； 7) Pf不是 G 集；8) P f f在Liapunov 意义下不稳 定； 9) f中含有不能被周期区间轨道逼近的轨道；10) k f 含有不单纯的周期轨道，其中 k同6)；11)存在 x f 使得 k f,Orb x不是单纯的，其中 k同6)；12) 存在 x CR f使得 ,k x fOrb不是单纯的，其中 k同6)； 13) 2 :lim m k m SAPfxSfxx ；14) A Pf不 Copyright © 2011 Hanspub PM  黎日松 等圆周上连续自映射的逆极限是可扩的一些条件71 | 是 F 集；15) ；16) Rf APf Rf Rf ；17) Rf ,:fxfxf 2 ；18) Rf 2 f AP f ；19) f有不回归的特殊的 极限点；20) 存在 x S使得 , x f 含有 f的至少 两个极小集； 21) 存在 x S使得 , x f 是含有周期点 的无穷集；22) Rf Rf是不可数集；23) f Rf 是不可数集；24)存在 f的一个不可数的 混沌集 Y使得 ；25) 存在 f 的一个恰含两点的 ,:xfxY D混沌集；26)f有一个 混沌集 Y，且有一个不可数的 Y 混沌集 Y；27)f有一个 混沌集；28)DAP fLY f有一个不可数的 混沌集； 29) f f有一个不可数的 混沌集；30)LY CR f f有 一个不可数的 混沌集；31)LY CR f f有一个恰含两 点的 混沌集；32) 存在 及LY vPf x Pf f 使得 vO ；33)存在 及 Pf ,xfrbvP x f Pf 使； 34) 有 ,vOrbx f fvP及 x fP f使 ；35)有 ,v fx f m vP(某 )及 使mZ 2m fxf f Fix .ch x v ；36)有 (某)及 m vPfmZ m f 2 Fix .f j 1 .. 12 ,, ff j xxS (某 )使jZ .f 1 x xx x .ch fv ；37)有(某)及 mfvPmZ x CRf 使 2m Fix f.fch x v ；38) deg 39)f与g拓 扑共轭；40) 2f； A Pf 不是闭集；41) R不是闭集； 42) f f Rf ；43) f AP f ；44) 有 x S 使 , x f 不是极小集；45)f有一个恰含两点的 LY 混沌 集 , y v，且有一点 。 vPf 证明 据[5]的定理 4.1 知从条件2)到条件 37)是两 两等价的。由定理 1知38) 39)。由定理 2知 1) 38) 39)。由于 f是严格单调的，故f是逐段单 调的。由推论 2及引理 4知2) 39)。再由[5]的定理 4.2 知2) 40) 41) 42) 43) 44) 45)。 定理 4设 0 f CS是正向可扩的，n是任意给定 的正整数，则以下条件成立且两两等价： 1) f有一个恰含两点的 混沌集；2) f有一个 不可数的 混沌集； 3) LY LY f f 2m k f 在Liapunov 意义下不 稳定；4) ，其中 :lim m fx xx () mink PP f P f；5) ；6) 有 f SA 1 x S使 , x f 是无穷集，且 , x f 中含有两个 不可分的点；7)f 有一个不能被周期轨道逼近的轨道。 f 证明 由定理2和定理 3知f为正向可扩的且与 g 拓扑共轭。从而由定理 3知f含有马蹄，由文[4]的定理 5.4 的证明过程知这 7个条件成立且两两等价。 定理 5设 0 fCS是正向可扩的，则以下条件成 立且两两等价： 1) SAP fP f；2) A Pf Pf；3) Rf Pf；4) P fPf； 5) f Pf ；6) f Pf；7) CR fP f；8) 有 x S，使 , x f 不是周期轨道；9) f是LY 混沌的。 证明 由定理2和定理 3知f为正向可扩的且与 g 拓扑共轭。从而由定理 3知f含有马蹄，于是由文[4] 的定理 5.4 的证明过程知条件 9)成立。由定理2及其证 明知条件 6)成立，从而由[5]的定理 5.5知从条件 1)到 条件 8)是两两等价的。由文[5]的引理 5.2 知9) 1)。 故 f Pf 及 n n f Pf ，从而[5]的定理 5.4 的条件(4.4)成立。于是由[5]的定理 5.4 知1)9)。 定理 6设 0 fCS是正向可扩的，n是任意给定 的正整数， , x f 为点 x S的 极限集，则 ,n n xf f 是拓扑遍历的。 证明 因S中的每一点均是f及n f 的拟弱几乎周期 点[17]，故据[8]的定理 2.2 知结论成立。 3. 致谢 作者十分感谢审稿人提出有益的修改意见和建 议！也非常感谢左再思教授、沈文淮教授和代雄平教 授的鼓励！ 参考文献 (References) [1] 陈藻平, 何连法, 阳世龙. 单一化 稳定性[J]. 中国科学, A 辑, 1987, 5: 457-462. 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