 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 73-79 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12016 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM H1-Galerkin Mixed Element Method for the Coupling Nonlinear Parabolic Partial Equations* Jinfeng Wang1, Yang Liu2, Hong Li2, Xiaoyu Li3 1School of Statistics and Mat h e matics, Inner Mongolia Finance and E conomics College, Hohhot 2School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, H oh ho t 3College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohh ot Email: w45j85f@163.com; mathliuyang@yahoo.cn; smslh@imu.edu.cn Received: Apr. 1st, 2011; revised: Apr. 13th, 2011; accepted: Apr. 15th, 2011. Abstract: An H1-Galerkin mixed finite element method is discussed for the coupling nonlinear parabolic par- tial equations. Semidiscrete and fully discrete schemes and optimal error estimates of the scalar unk nown and its gradient are derived for problems in one space dimension, and it does not require the LBB consistency condition. Finally, a numerical example is presented to illustrate the effectiveness of the proposed method. Keywords: Coup ling Nonlinear Parabolic Partial Equations; H1-Galerkin Mixed Element Method; Backward Euler’s Method; Optimal Error Estimates 耦合非线性抛物方程组的 H1-Galerkin 混合元方法* 王金凤 1，刘 洋2，李 宏2，李晓瑜 3 1内蒙古财经学院统计与数学学院，呼和浩特 2内蒙古大学数学科学学院，呼和浩特 3内蒙古工业大学理学院，呼和浩特 Email: w45j85f@1 63 .com; mathliuyang@yahoo.cn; smslh@imu.edu.cn 收稿日期：2011 年4月1日；修回日期：2011 年4月13 日；录用日期：2011 年4月15 日 摘 要：利用 H1-Galerkin 混合有限元方法讨论耦合非线性抛物方程组，得到一维情形的半离散和全离 散格式和未知存量函数和它的梯度的最优收敛阶误差估计，而且不用验证 LBB 相容性条件。最后，通 过数值例子验证了该算法的可行性。 关键词：耦合非线性抛物方程组；H1-Galerkin 混合元方法；向后欧拉方法；最优阶误差估计 1. 引言 考虑耦合非线性抛物方程组的初边值问题 112 223 00 ,,, ,,, ,0,,0,, ,0, ,0, t t uBukukuvfxtxt J vBvkuvkvgxtxt J u xtv xtxtJ uxux vxvx x (1) 这里常数表示变量 之间的相互作用， 123 ,,kkk ,, ,uv 00 ,, , 耦合非线性抛物型方程组(1)描述了两类物质的 反应扩散过程及相互作用。在环境污染源扩散，液体 渗透，生物群体繁殖扩散等领域有广泛的应用。因此 对此类方程的数值研究是非常有价值的。对于发展方 程的数值方法的研究主要有差分方法、有限体积方法、 连续有限元方法、间断有限元方法、传统的混合元方 法等。其中传统混合元方法一直以来备受关注，得到 了很好的发展，如[1,2]中分别利用了混合有限元方法 研究了正则长波方程和双曲方程等。但传统的混合元 方法需要满足 LBB 相容性条件，限制了有限元逼近空 间的选取。为了克服这些不利因素，Pani[3]于1998 年 提出了 H1-Galerkin 混合有限元方法，该方法不同于传 统的混合元方法，该方法可以使逼近有限元空间 和 具有不同次数的多项式，而且H1-Galerkin 混合有 h V h W f xtgx vx 1,2, 3n xt u 是已知函数， 是具有 Lipschitz 连续边界 的凸有界区 域， , n R 0, J T为时间区域，BB 表示热传导系数 (或反应扩散系数)。 12 ,0 *基金项目：国家自然科学基金(11061021)；内蒙古自治区高校科学 研究基金(NJ10006)；内蒙古大学青年科学基金(ND0702)资助。  王金凤 等耦合非线性抛物方程组的1混合元方法 74 | H-Galerkin 限元方法不需验证LBB相容性条件。随后Pani 等人 将此方法进一步推广到了一些发展型积分微分方程 [4-6]、双曲型和伪双曲型方程[7,8]和Sobolev 方程[9]等。 但是对于耦合非线性抛物型方程组的研究还没有见 到，本文给出该非线性问题的 H1-Galerkin 混合有限元 方法的半离散和全离散格式的最优收敛阶误差估计， 并通过数值算例验证了算法的可行性。注意在本文中 作估计时所有的C都是与空间网格参数h和时间步长 无关的正常数。 t 2. H1-Galerkin 混合有限元格式 本文考虑问题(1)的一维情形 112 223 00 ,,, ,,, 0,1,0,1,0, ,0,( ,0), txx txx uBu kukuvfxtxtJ vBvkuvkvgxtxtJ ututvtvttJ uxux vxvxx (2) 这里 0,1 ,0, J T。 首先给出定义记号及引理， 内积用 2 L , 表 示， 11 0|01 0HvHv v ，传统的Sobolev 空 间记作 ，1 ,mp Wp ，相应的范数为 , || ||mp ，特 别当 2p 时，把 记作 ,2m W2 H ，其范数简记为 || ||m 。 引理[4] 若 于 0, ,0,tt T定义的可积函数，则 有积分不等式 2 00 0 dd d tt 2 s sC s s (3) 下面对问题(2)应用 H1-Galerkin 混合有限元方法。 令, x x qu v 可将原问题(2)化为一阶系统： 112 223 , , , xx tx tx uqv uBqkukuvfxt vB kuvkvgxt (4) 为了对系统(4)应用 H1-Galerkin混合有限元方法，考 虑如下弱形式：求 ,;,uvq :0,T11 0 H H 使得： 1 0 1 0 1 112 1 22 3 ,,,, ,,,, ,,, ,,,, ,, ,,,, xx x xx x txx x txx x uq Ha vHb qBq kqkqvufHc Bkqvukg H ,d (5) 对于(5c)和(5d)是通过分部积分并由 Dirichlet边界条 件 0,1, 0 tt utut 和 0,1,0 tt vtvt而得。 设 和分别是 h Vh W1 0 H 和的有限维子空间，对 1 H 1p 及正整数 有文献[7 ]中的逼近性质。 ,kr 则半离散 H1-Galerkin 混合有限元格式为：求 ,;, hhh h uvq :[0, ]h TVW h , h d 使得： 112 22 3 ,,,, ,,,, ,,, ,,,, ,, ,,,, hhhh h xx xh hhhhh xx xh hhhhhhhh hhhhh txx xh hhhhhh hhhhhhh txx x uq Va vVb qBqkqkqvufWc Bkqvukg W (6) 为了得到误差估计首先定义 的投影，求 满足 ,uv ,uv hh h V ,0, ,0,, hhhhhh x xxxxxh uu vvV (7) 定义 ,q 的椭圆投影，求 满足 , hh h qW ,0,, 0,, hhhhhh h A qq AW (8) 其中 ,, , xx A ww w， 是保证 A的1 H 正定，即 2 01 ,||||, 设,, , hh h uu vvqqh 0, 1j ，参见文 献[10]有：对于 1 11 kj tt jkjk Chu u ， 0, h uC u (9) 1 11 kj tt jk jk Chv v ， 0, h vC v (10) 11 11 , rj rj t jr t j r Ch qCh q (11) 1 A www w H 。且易知 ,A 是 有界的，且 00 为常数。 11 11 , rj rj tt jr j r Ch Ch (12) Copyright © 2011 Hanspub PM  王金凤 等耦合非线性抛物方程组的1混合元方法 75 | H-Galerkin 3. 半离散格式误差估计 令hhhh uuuu u u ； hhhh vvvvv v ； hhhh qqqqqq ； hhhh 由式(5)～(8)可以得到误差方程为： 112 1 22 3 2 ,,,,, ,,,, , ,, ,, ,,,, ,, , ,,,, hhhh xxx xh hhhh xxx xh hhhhhhh txx hhh th hh hhhhh txx hhh th Va Vb Bk kqvqvuu BWc Bkqvqvuuk BWd , h h (13) 定理 1若，， ， 00 hh uu 00 hh vv(0) (0) hh qq 0 hh 0，则 22 2 22 2min1, 1 2 11 10 1d t kr hh t kr k uu huuChuuqs 22 2 22 2min1, 1 2 11 10 1d t kr hh t kr k vv hvvChvvs 22 22 2min1, 1 2 11 0 1d t rk hh rr qq hqqChqs 22 22 2min1, 1 2 11 0 1d t rk hh rr hChq s 222 22min1,1 2 0 0 11 dd t t rk hhh h qqh qqsChs 其中 22 2222 2 111 1 111 tt t kkr r kk r uu vv qq 2 1 t r 证明：因为,, 和 已知，故只需估计 ,, 和 。在(13a)和(13b)中分别取 h 和h ，利用 Cauchy-Schwarz 不等式，我们有 , xx CC 又因为 1 0 , H ，所以由Poincare 不等式，得 ,CC (15) 在(13c)中令h ，并使用(15)，有 (14) 2 22 10, ,, h tt BACC qvv 0, 0, 0, hhhh h Cvq qCu uCu 222 0, 0, 0, hh t CCq CvCu 0, (C) (16) 在(13d)中令 h ，并使用(15)，同理有 222 20, ,, tt BA CCq 0, 0, 0, hh CvCu C (17) 将(16)和(17)两式相加，得 22 2222 2222 12 d,, dtt BA BA CC t (18) 对上式两端关于时间从0到t积分，即得 Copyright © 2011 Hanspub PM  王金凤 等耦合非线性抛物方程组的1混合元方法 76 | H-Galerkin 22 2222 2222 12 00 0 ,,d d tt t tt BABAsCs Cs d (19) 对上式应用 Gronwall 引理及积分不等式(3)，可得 2222 222222 11 00 dd tt tt s Cs (20) 在(13c, d )中分别令, hh tt ，并使用(15)，类似于上面的推导过程，有 22 22 22 2222 012 d,, d tt tt BA BACC t (21) 对上式两端关于时间从0到t积分，利用Gronwall 引理，可得 22 22222 012 0 0 d, , t t tt tt 2 d s BA BACs (22) 联合(14)，(15)，(20)和(22)，有 2222 22222 10d t tt CC s (23) 和 2222 22222 10d t tt CC s (24) 联合(20)，(22)～(24)，(9)～(12)和三角不等式 ，即得 定理结论。 4. 全离散格式误差估计 对时间区间 0,T进行剖分，为了使用向后欧拉公 式，记 , n tnttTM ，其中 M 为任意的正整数。 进一步令 nn t 和 1nn n tt ，其中 10,C T。则得到系统(5)的全离散向后欧拉格式 为：存在一系列 使得 0 ,,, nn n n UVQZ M n 112 22 3 ,,,, ,,,, ,,, ,,,, ,, ,,,, nhnh h xx xh nhnh h xx xh nhnhnhnn nnhnhh txx xh nhnhnn nnhnhnhh txx xh UQ Va VZ Vb QBQkQkQVUZ fWc , Z BZkQVUZkZgWd (25) 为了得到误差估计，令 nhhnn nnnn ut Uututut Un ； nhhnn nnnn vtVvtvtv tVn ； nhhnn nnnn qtQqtq tq tQn ； nhhn nnnn tZtttZ nn 在 处使用(5)，(7)～(8)，(25)可以得到误差方程为： n tt 112 1 22 3 ,,,, ,,,, ,, ,, ,,,, ,, , , nhn nhh xxxh nhn nhh xxx h nhnhn nhnnnn nnnnh txx nnhnhh th n hn hnnnnnnnn hnn h txx nnh t Va Vb Bk kqvQVuUZ BWc BkqvQVuUZk , 2,, , nhhh BWd (26) 这里 , nn tn tntn tn qt qttt 。 Copyright © 2011 Hanspub PM  王金凤 等耦合非线性抛物方程组的1混合元方法 77 | H-Galerkin 0 定理 2 设 ，则对于1 00 00,0 hh QqZ J M ，有 11 JJJJ JJ JJJJJJ qQZuUvVhuUhvV 11111 121 2 min1, 1|| |||||||||| kkrkkrr rk tt t LH LH LHLH LHLH LHLH Chu uv vqq 1r t 22 22 tt t LL LL tq 证明：在(26a，b)中分别取 hn 和hn ， 易得 , nnnnn xx CC n (27) 再由 1 0 , nn H ，所以由Poincare 不等式，得 , nnnnn CC 在(31c，d)中分别令 , hnhn ，并将两式相 加，同时使用 22 11 ,,, 22 nnn nnn tttt 和Young-不等式，可得 n (28) 2222 12 11 222222222 11 22 nnnn tt nnnnnnnnnn tt BB C 2 (29) 这里 11 22 22 1 1d, d nn nn tt nn tt tt s r tt qs Ctq t ， 11 22 22 1 1d, d nn nn tt nn tt r tt tt s Ct s t 上式两端关于 n = 1到J， 1 J M求和，可得 2222 22222 00 111 11 12 JJ JJ nnnnnn nn CtBtC t 2 12 222 2 2 21 00 0 dd JJ J tt rnn t ttt ttn hq stqst 2 0 (30) 选择 ，当 时1，使用离散 Gronwall 引理，并注意到 0 t0 0tt Ct 00 0, 0 ，应用三角不 等式得定理结论。 5. 数值算例 为了验证所提出算法的可行性，时空区域都取为 0, 1 ,0ux ，对(2)中参数取值为 1，初值 ，，此时 123 12 ,,,,kkkBB ,0 sinvxx sin x , f xt 和 22ex sin tt exsin sin t , g xt ex ，容易验证精确解 sin t e 2 x ,uxt 。采用分片线性基函数，时间离散 采用欧拉向后差分。表 1中分别给出了变量 vxt ,sin t e x h uu 和 的空间 时间最大模的误差估计结果和 收敛 阶。表 2分别给出了变量 h vv2 L h qq 和h 的空间 时 间最大模的误差估计结果和收敛阶。从数据上可以看 出，该数值方法对非线性耦合方程组问题是有效的。 图1～4中分别给出了在时间和空间步长分别 2 L t 和 0.0125 0.025h 时的四个数值变量 和,, hhh uvq h 的表面图像，并且在图 5～8中分别给出了在同样剖分 下的真解 ,,,uvq 和数值解 uv,,, hhh qh 的对比图像。 从图像上直观的看到了该数值算法的可行性。 Table 1. 2 LL -errors and order of convergence 表1. 2 LL -误差和收敛阶 2ht 2 h L L uu Order 2 h L L vv Order 1 40 1.03422E-03- 9.12765E-04 - 1 80 4.48740E-041.20459 5.48770E-04 0.73404 1 160 2.07280E-041.11430 2.97770E-04 0.88200 1 320 9.93750E-051.06063 1.54770E-04 0.94407 1 640 4.86210E-051.03130 7.88600E-05 0.97276 Copyright © 2011 Hanspub PM  王金凤 等耦合非线性抛物方程组的1混合元方法 78 | H-Galerkin Table 2. 2 LL -errors and order of convergence 表2. 2 LL -误差和收敛阶 2ht 2 h L L qq Order 2 h L L Order 1 40 2.37388E-03 - 3.87404E-03 - 1 80 1.19331E-03 0.99228 1.97945E-03 0.96874 1 160 5.98310E-04 0.99600 1.00032E-03 0.98464 1 320 2.99580E-04 0.99795 5.02810E-04 0.99238 1 640 1.49900E-04 0.99894 2.52070E-04 0.99619 Figure 1. The surface sho ws the value of uh 图1. 数值解 uh的表面图 Figure 2. The surface sho ws the value of vh Figure 3. The surface shows the value of qh 图2. 数值解 vh的表面图 图3. 数值解 qh的表面图 Figure 4. The surface sho ws the value of h Figure 5. Comparison between uh and u 图4. 数值解 h 的表面图 图5. 数值解 uh和真解 u的对比单线图 Copyright © 2011 Hanspub PM  王金凤 等耦合非线性抛物方程组的1混合元方法 79 | H-Galerkin Figure 6. Comparison between vh and v Figure 7. Comparison between qh and q 图6. 数值解 vh和真解 v的对比单线图 图7. 数值解 qh和真解 q的对比单线图 Figure 8. Comparison between h and 图8. 数值解 h 和真解 的对比单线图 参考文献 (References) [1] Z. D. Luo, R. X. Liu. Mixed finite element analysis and numeri- cal solitary solution for the RLW equation. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1998, 36(1): 89-104. [2] Y. P. Chen, Y. Q. Huang. The superconvergence of mixed finite element methods for nonlinear hyperbolic equations. Communi- cations in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 1998, 3(3): 155-158. [3] A. K. Pani. 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