ABSTRACT

In this paper we study the point orbifold, and calculate some kinds of ring structure of point orrbifolds. Then we compare the difference among these ring structures.

Keywords:Orbifold Bundle, Groupoid, Point Orbifold, Orbifold K-Theory, Representation of Finite Group, Character

点群胚的Orbifold K-理论

林奕武

广东金融学院，金融数学与统计学院，广东 广州

收稿日期：2018年7月1日；录用日期：2018年7月16日；发布日期：2018年7月24日

摘 要

本文以点群胚为例子，计算点群胚上Orbifold K-理论的几类环结构，并且比较这几类环结构之间的差异。

关键词 :Orbifold丛，群胚，点群胚，Orbifold K-理论，有限群表示，特征标

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1. 引言

Orbifold K-理论是Adem和Ruan [1] 首先提出来的。他们把orbifold X上的orbifold K-理论 $K_{orb}\left(X\right)$ 定义为orbifold X上所有orbifold丛的等价类构成的Grothendieck群。若X是一个global quotient $\left[X/G\right]$ ，则 $K_{orb}\left(X\right)$ 刚好是等变K-理论 $K_G\left(X\right)$ 。给定一个twisting $\alpha :G\times G\to C$ ，Adem和Ruan [1] 还定义了twisted orbifold K-理论，但是他们并没有给出两类orbifold K-理论的环结构。

设X为一个紧致的近复orbifold，Adem，Ruan和Zhang [2] 考虑X上的inertia orbifold $\Lambda X$ ，定义了 $\Lambda X$ 上的twisted orbifold K-理论 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(\Lambda X\right)$ 的环结构 ${·}_{ARZ}$ ，并称之为弦积。对于非twisted的情形，Hu和Wang [HW]定义了orbifold K-理论 $K_{orb}\left(X\right)$ 的乘法 ${·}_{HW}$ 。他们通过限制映射

$e^{*}:K_{orb}\left(X\right)\to K_{orb}\left(\Lambda X\right)$ ,

把 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in K_{orb}\left(X\right)$ 限制在 $\Lambda X$ 的每个分支上。在 $K_{orb}\left(\Lambda X\right)$ 上做弦积，然后利用 $e^{*}$ 的左逆 $e_{\#}$ 拉回到 $K_{orb}\left(X\right)$ 上。即

${\alpha }_1{·}_{HW}{\alpha }_2=e_{\#}\left(e^{*}{\alpha }_1{·}_{ARZ}{e}^{*}{\alpha }_2\right)$ .

对于twisted的情形，Lin [L]把 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(X\right)$ 分解到 $K_{orb}\left(\Lambda X\right)$ 上。这里 $K_{orb}\left(\Lambda X\right)$ 是平常的K-理论。然后在 $K_{orb}\left(\Lambda X\right)$ 上构造新的乘法，再拉回到 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(X\right)$ 上，得到 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(X\right)$ 的环结构。

本文以点群胚 ${·}^G$ 为例子，计算orbifold K-理论上述两种环结构，并比较它们之间的差异。由于G是有限群， $K_{orb}\left({·}^G\right)$ 与群代数 $CG$ 是线性同构的。 $K_{orb}\left({·}^G\right)$ 中的每一个元都是一个G表示。因此，计算环结构的时候可以充分利用有限群表示的理论。比如特征表的正交性等。本文得到的主要结论为定理3.1和定理3.7：

定理3.1设 $V,W\in K_{orb}\left({·}^G\right)$ ，则 $V{·}_{HW}W=\left|G\right|V\otimes W$ 。

定理3.7若 $\left(V_1,{\pi }_1\right),\left(V_2,{\pi }_2\right)\in K_{orb}\left({·}^G\right)$ 且 $\left(V_1,{\pi }_1\right),\left(V_2,{\pi }_2\right)$ 不可约，则

$\left(V_1,{\pi }_1\right){·}_L\left(V_2,{\pi }_2\right)=\{\begin{array}{l}0,{\pi }_1\ne {\pi }_2,\\ \frac{\left|G\right|}{n}\left(V_1,{\pi }_1\right),{\pi }_1={\pi }_2.\end{array}$

其中 $n=\dim V_1$ 。

2. 准备知识

本节主要介绍Orbifold K-理论，弦积等概念，以及 $K_{orb}\left({·}^G\right)$ 中两种环结构的定义。这些概念主要来自于 [1] [2] [4] 和 [5] 。

定义2.1 [1] 设X是一个紧致的orbifold，我们称X上所有orbifold丛的等价类构成的Grothendieck群为X上的orbifold K-理论。记为 $K_{orb}\left(X\right)$ 。

若X是一个global quotient $\left[X/G\right]$ ，则 $K_{orb}\left(X\right)$ 刚好是 $K_G\left(X\right)$ 。这里 $K_G\left(X\right)$ 是等变K-理论，详见 [6] 。若 $\alpha :G\times G\to C$ 是一个twisting，global quotient $\left[X/G\right]$ 上的twisted orbifold K-理论定义如下。

定义2.2 [1] $\left[X/G\right]$ 上的twisted orbifold K-理论定义为所有 $\alpha$ -twisted G-等变丛的等价类构成的Grothendieck群。记为 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(X\right)$ 或 ${}^{\alpha }{K}_G\left(X\right)$ 。

Orbifold X的每一个不动子集 $X_{\left(g\right)}$ 上都有自然的orbifold结构。因此X可对应一个更大的orbifold $\Lambda X={\coprod }_{\left(g\right)}{X}_{\left(g\right)}$ 。称之为X的inertia orbifold。Adem，Ruan和Zhang [2] 定义了 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(\Lambda X\right)$ 上的弦积 ${·}_{ARZ}$ 。对任意 $\tilde{\beta },\tilde{\gamma }\in {}^{\alpha }K{}_{orb}\left(\Lambda X\right)$ ，

$\tilde{\beta }{·}_{ARZ}\tilde{\gamma }={\left(e_{12}\right)}_{\ast }\left(e_1^{\ast }\tilde{\beta }\otimes e_2^{\ast }\tilde{\gamma }\otimes {\lambda }_{-1}\left(E^{\left(2\right)}\right)\right)$ ,

其中 $e_1,e_2,e_{12}$ 分别为

$\begin{array}{l}{e}_1:{\left(\Lambda X\right)}^{\left(2\right)}\to \Lambda X,\\ \left(x,\left(g,h\right)\right)\mapsto \left(x,g\right);\\ e_2:{\left(\Lambda X\right)}^{\left(2\right)}\to \Lambda X,\\ \left(x,\left(g,h\right)\right)\mapsto \left(x,h\right);\\ e_{12}:{\left(\Lambda X\right)}^{\left(2\right)}\to \Lambda X,\\ \left(x,\left(g,h\right)\right)\mapsto \left(x,gh\right).\end{array}$

$E^{\left(2\right)}$ 为 ${\left(\Lambda X\right)}^{\left(2\right)}$ 上的阻碍丛。

在非twisted的情形，Hu和Wang [4] 利用弦积构造上的环同构。记

$e={\coprod }_{\left(g\right)}{e}_{\left(g\right)}:\Lambda X\to X.$

在其中 $e_{\left(g\right)}$ 为每个分支 $X_{\left(g\right)}$ 往X的嵌入映射。Hu和Wang [4] 构造

$e^{\ast }:K_{orb}\left(X\right)\to K_{orb}(\Lambda X)$

的左逆

$e_{\#}:K_{orb}\left(\Lambda X\right)\to K_{orb}\left(X\right)$ .

$K_{orb}\left(X\right)$ 上的环结构 ${·}_{HW}$ 如下定义，对任意 $\beta ,\gamma \in K_{orb}\left(X\right)$ ，

$\beta {·}_{HW}\gamma =e_{\#}\left(e^{\ast }\beta {·}_{ARZ}{e}^{\ast }\gamma \right)$ .

对于global quotient $\left[X/G\right]$ 和twisting $\alpha :G\times G\to C$ ，Lin [L]在 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(X\right)$ 上定义了乘法 ${·}_L$ 。记

$\begin{array}{l}\phi {:}^{\alpha }{K}_{orb}\left(X\right)\to {\oplus }_{g\in G}K\left(X^g\right)\otimes C,\\ E\mapsto {\oplus }_{g\in G}{E}_g.\end{array}$

其中 $E_g={\sum }_{\xi }\xi E_{\xi }$ ，为g的特征值， $E_{\xi }$ 为g的属于 $\xi$ 的特征丛。则在 $\phi$ 之下，

${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(X\right)\cong {\left({\oplus }_{g\in G}K\left(X^g\right)\otimes C\right)}^{G_{\alpha }}$ .

类似 [2] ，构造 ${\left({\oplus }_{g\in G}K\left(X^g\right)\otimes C\right)}^{G_{\alpha }}$ 的乘法如下，对任意 $\tilde{\beta },\tilde{\gamma }\in {\left({\oplus }_{g\in G}K\left(X^g\right)\otimes C\right)}^{G_{\alpha }}$ ，

$\tilde{\beta }·\tilde{\gamma }={\left(e_{12}\right)}_{\ast }\left(e_1^{\ast }\tilde{\beta }\otimes e_2^{\ast }\tilde{\gamma }\otimes {\lambda }_{-1}\left(E^{\left(2\right)}\right)\right)$ ,

$\phi$ 把这个乘法拉回到 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(X\right)$ 上，便得到 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left(X\right)$ 的乘法 ${·}_L$ 。即对于任意 $\beta ,\gamma \in {}^{\alpha }K{}_{orb}\left(X\right)$ ，

$\beta {·}_L\gamma ={\phi }^{-1}\left(\phi \left(\beta \right)·\phi \left(\gamma \right)\right)$ .

3. 几类Orbifold K-理论的环结构

对于Orbifold群胚， $\Gamma =\left(G_0,G_1\right)$ 。若像空间 $G_0$ 为一个单点，记为 $·$ 。则态空间 $G_1$ 为有限群，记为G。此时，称 $\Gamma =\left(G_0,G_1\right)$ 为点群胚，或称为点Orbifold，记为 ${·}^G$ 。点群胚虽然简单，但它们是Orbifold 理论中重要的例子。

本节以点群胚 ${·}^G$ 为例子，利用表示论的方法，计算Orbifold K-理论的环结构 ${·}_{HW}$ 和 ${·}_L$ 。 ${·}^G$ 上所有的orbifold丛与G的表示群是一一对应的。我们的计算主要运用了特征标的正交性。

3.1. 一般Orbifold K-理论的环结构 ${·}_{HW}$

${·}^G$ 的inertia orbifold 为 $\Lambda {·}^G=\left(G,G\times G\right)$ 。其源映射和靶映射分别为

$\begin{array}{l}s:G\times G\to G,\\ \left(g,h\right)\mapsto g;\\ t:G\times G\to G,\\ \left(g,h\right)\mapsto h.\end{array}$

即 $\Lambda {·}^G=\left(G,G\times G\right)$ 等价于global quotient $\left[G/G\right]$ 。其中G在自身的作用为 $g·h=g^{-1}hg$ 。因此，我们有

$K_{orb}\left(\Lambda {·}^G\right)\cong K_G\left(G\right)$ .

根据文 [2] ，对任意 $\tilde{V}={\oplus }_{g\in G}{\tilde{V}}_g,\tilde{W}={\oplus }_{g\in G}{\tilde{W}}_g\in K_{orb}\left(\Lambda {·}^G\right)$ ，

$\tilde{V}{·}_{ARZ}\tilde{W}={\oplus }_{g\in G}\left({\oplus }_{h\in G}{\tilde{V}}_h\otimes {\tilde{W}}_{h^{-1}g}\right)$ .

任取 $\left(V,{\pi }_1\right),\left(W,{\pi }_2\right)\in K_{orb}\left({·}^G\right)$ ，记 $V_g,W_g$ 分别为 $V,W$ 在 $X_g$ 上的限制。根据Hu和Wang [4] ，

$\begin{array}{c}V{·}_{HW}W=e_{\#}\left(e^{\ast }V{·}_{ARZ}{e}^{\ast }W\right)\\ =e_{\#}\left(\left({\oplus }_{g\in G}{V}_g\right){·}_{ARZ}\left({\oplus }_{g\in G}{W}_g\right)\right)\\ =e_{\#}\left({\oplus }_{g,h\in G}{V}_h\otimes W_{h^{-1}g}\right)\\ =\left|G\right|V\otimes W\end{array}$

因此，我们有

定理3.1设 $V,W\in K_{orb}\left({·}^G\right)$ ，则 $V{·}_{HW}W=\left|G\right|V\otimes W$ 。

3.2. 一般Orbifold K-理论的环结构 ${·}_L$

接着，我们计算 $K_{orb}\left({·}^G\right)$ 上的另一个环结构 ${·}_L$ 。我们需要用到表示论的技巧，主要是特征标的正定性。

设 $\left(V_1,{\pi }_1\right),\left(V_2,{\pi }_2\right)$ 为G的两个不可约表示， ${\chi }_1,{\chi }_2$ 分别为它们的特征标，则有正交性定理

定理3.2设

$\left({\chi }_1,{\chi }_2\right)=\frac{1}{\left|G\right|}{\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\stackrel{\to }{{\chi }_1\left(g\right)}{\chi }_2\left(g\right)}=\{\begin{array}{l}1,{\chi }_1={\chi }_2,\\ 0,{\chi }_1\ne {\chi }_2.\end{array}$

由 ${\pi }_1,{\pi }_2$ 可以构造线性变换

${\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}=\frac{1}{\left|G\right|}{\displaystyle \underset{g}{\sum }{\pi }_1^{\ast }\left(g\right){\pi }_2\left(g\right)}:V_1^{\ast }\otimes V_2\to V_1^{\ast }\otimes V_2$ .

则对任意 $h\in G$ ，

${\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}\circ \left({\pi }_1^{\ast }\left(h\right){\pi }_2\left(h\right)\right)={\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}$ .

所以

${\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}\circ {\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}={\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}$ .

因此有

命题3.3 ${\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}$ 至多只有两个特征值：0和1。

若 ${\pi }_1\ne {\pi }_2$ ，则由特征标的正交性，有

$tr{\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}=\frac{1}{\left|G\right|}{\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_{V_1^{\ast }\otimes V_2}\left(g\right)}=\frac{1}{\left|G\right|}{\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\stackrel{\to }{{\chi }_1\left(g\right)}{\chi }_2\left(g\right)}=0$ .

所以得到以下定理，

定理3.4若 ${\pi }_1\ne {\pi }_2$ ，则 ${\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}$ 为一个0映射。

若 ${\pi }_1={\pi }_2$ 。记 $\pi \doteq {\pi }_1={\pi }_2$ ， $V\doteq V_1=V_2$ ， $\varphi \doteq {\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}$ 。取V中的一个规范正交基 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 使得对任意 $g\in G$ ， $\pi \left(g\right)$ 都为酉矩阵。取 $v_1^{\ast },v_2^{\ast },\cdots ,v_n^{\ast }$ 为其对偶基，则 ${\pi }^{\ast }\left(g\right)={\left(\pi {\left(g\right)}^{-1}\right)}^{\text{T}}=\pi \left(g\right)$ 。

命题3.5 $\varphi$ 的迹和秩都为1。

证明:

$\begin{array}{c}tr\varphi =\frac{1}{\left|G\right|}{\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_{V_1^{\ast }\otimes V_2}\left(g\right)}=\frac{1}{\left|G\right|}{\chi }_{V^{\ast }}\left(g\right){\chi }_V\left(g\right)\\ =\frac{1}{\left|G\right|}\overline{{\chi }_V\left(g\right)}{\chi }_V\left(g\right)=1\end{array}$

由命题3.3知， $\varphi$ 的秩为1。

因为对任意 $g\in G$ ， $\pi \left(g\right)$ 都是酉矩阵。则有

$\varphi \left(v_1^{\ast }\otimes v_1+v_2^{\ast }\otimes v_2+\cdots +v_n^{\ast }\otimes v_n\right)=v_1^{\ast }\otimes v_1+v_2^{\ast }\otimes v_2+\cdots +v_n^{\ast }\otimes v_n$ .

若

$\varphi \left(v_1^{\ast }\otimes v_1\right)=a_1{v}_1^{\ast }\otimes v_1+a_2{v}_2^{\ast }\otimes v_2+\cdots +a_n{v}_n^{\ast }\otimes v_n$ ,

则

$a_1+a_2+\cdots +a_n=1$ .

因此我们得到下面定理，

定理3.6

$\varphi \left(v_i^{\ast }\otimes v_j\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}\left(v_1^{\ast }\otimes v_1+v_2^{\ast }\otimes v_2+\cdots +v_n^{\ast }\otimes v_n\right),i=j,\\ 0,i\ne j.\end{array}$

下面我们开始计算 $K_{orb}\left({·}^G\right)$ 上的另一个环结构 ${·}_L$ 。 $K_{orb}\left({·}^G\right)$ 中的每一个丛都是一个G表示，因此我们只考虑不可约的G表示。

设 $\left(V_1,{\pi }_1\right),\left(V_2,{\pi }_2\right)$ 为两个不可约的G表示，则

$\begin{array}{l}\phi \left(V_1,{\pi }_1\right)={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g\right)V_g},\\ \phi \left(V_2,{\pi }_2\right)={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_2\left(g\right)V_g}\end{array}$

所以，

$\phi \left(V_1,{\pi }_1\right)\phi \left(V_2,{\pi }_2\right)=\left({\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g\right)V_g}\right)\left({\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_2\left(g\right)V_g}\right)={\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }\left({\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g^{-1}\right){\chi }_2\left(gh\right)V_h}\right)}$

其中，

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g^{-1}\right){\chi }_2\left(gh\right)}\\ ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1^{\ast }\left(g\right){\chi }_2\left(gh\right)}\\ ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }tr\left({\pi }_1^{\ast }\left(g\right)\right)·tr\left({\pi }_2\left(g\right){\pi }_2\left(h\right)\right)}\\ ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }tr\left[\left({\pi }_1^{\ast }\left(g\right)\otimes {\pi }_2\left(g\right)\right)·\left({\pi }_1\left(1\right)\otimes {\pi }_2\left(h\right)\right)\right]}\\ =\left|G\right|tr\left[{\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}\circ \left({\pi }_1\left(1\right)\otimes {\pi }_2\left(h\right)\right)\right]\end{array}$

若 ${\pi }_1\ne {\pi }_2$ ，则 ${\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}=0$ ，因此 ${\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g^{-1}\right){\chi }_2\left(gh\right)}=0$ 。

若 ${\pi }_1={\pi }_2$ ，取规范正交基 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 。对于任意 $i,j$ ，

$\begin{array}{l}\varphi \circ \left({\pi }^{\ast }\left(1\right)\otimes \pi \left(h\right)\right)\left(v_i^{\ast }\otimes v_j\right)\\ =\varphi \left(v_i^{\ast }\otimes {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{h}_{kj}{v}_k}\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{h}_{kj}\varphi \left(v_i^{\ast }\otimes v_k\right)}\\ =h_{ij}\frac{1}{n}\left(v_1^{\ast }\otimes v_1+v_2^{\ast }\otimes v_2+\cdots +v_n^{\ast }\otimes v_n\right)\end{array}$

所以，

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g^{-1}\right){\chi }_2\left(gh\right)}\\ =\left|G\right|tr\left[{\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}\circ \left({\pi }_1\left(1\right)\otimes {\pi }_2\left(h\right)\right)\right]\\ =\frac{\left|G\right|}{n}\left(h_{11}+h_{22}+\cdots +h_{nn}\right)\\ =\frac{\left|G\right|}{n}\chi (h)\end{array}$

定理3.7若 $\left(V_1,{\pi }_1\right),\left(V_2,{\pi }_2\right)\in K_{orb}\left({·}^G\right)$ 且 $\left(V_1,{\pi }_1\right),\left(V_2,{\pi }_2\right)$ 不可约，则

$\left(V_1,{\pi }_1\right){·}_L\left(V_2,{\pi }_2\right)=\{\begin{array}{l}0,{\pi }_1\ne {\pi }_2,\\ \frac{\left|G\right|}{n}\left(V_1,{\pi }_1\right),{\pi }_1={\pi }_2.\end{array}$

其中 $n=\dim V_1$ 。

证明：若 ${\pi }_1\ne {\pi }_2$ ，由于 ${\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g^{-1}\right){\chi }_2\left(gh\right)}=0$ ，则

$\left(V_1,{\pi }_1\right){·}_L\left(V_2,{\pi }_2\right)={\phi }^{-1}\left(\phi \left(V_1,{\pi }_1\right)·\phi \left(V_2,{\pi }_2\right)\right)=0$ .

若 ${\pi }_1={\pi }_2$ ，由于 ${\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g^{-1}\right){\chi }_2\left(gh\right)}=\frac{\left|G\right|}{n}\chi \left(h\right)$ ，则 $\left(V_1,{\pi }_1\right){·}_L\left(V_2,{\pi }_2\right)={\phi }^{-1}\left(\frac{\left|G\right|}{n}\chi \left(h\right)\right)V_h=\frac{\left|G\right|}{n}\left(V_1,{\pi }_1\right)$ 。证毕

3.3. α-Twisted Orbifold K-理论的环结构 ${·}_L$

对于 $\alpha$ -twisted orbifold K-理论 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left({·}^G\right)$ 。根据 [5] ，存在线性同构

$\phi {:}^{\alpha }{K}_{orb}\left({·}^G\right)\to {\left(K\left(G\right)\right)}^{G_{\alpha }}$ ,

且 ${\left(K\left(G\right)\right)}^{G_{\alpha }}$ 上的乘法为：对任意 ${\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{a}_g{V}_g}$ ， ${\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }{a}_h{V}_h}\in {\left(K\left(G\right)\right)}^{G_{\alpha }}$ ， $\left({\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{a}_g{V}_g}\right)·\left({\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }{a}_h{V}_h}\right)={\displaystyle \underset{g,h\in G}{\sum }{a}_g{b}_h\frac{1}{\alpha \left(g,h\right)}{V}_{gh}}$ 。

因此 ${}^{\alpha }{K}_{orb}\left({·}^G\right)$ 上的乘法为，对任意 $\left(V_1,{\pi }_1\right),\left(V_2,{\pi }_2\right)\in {}^{\alpha }K{}_{orb}\left({·}^G\right)$ ，

$\begin{array}{l}\left(V_1,{\pi }_1\right){·}_L\left(V_2,{\pi }_2\right)\\ ={\phi }^{-1}\left(\phi \left(V_1,{\pi }_1\right)·\phi \left(V_2,{\pi }_2\right)\right)\\ ={\phi }^{-1}\left[\left({\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g\right)V_g}\right)\otimes \left({\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_2\left(g\right)V_g}\right)\right]\\ ={\phi }^{-1}\left[{\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }\left({\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g^{-1}\right){\chi }_2\left(gh\right)\frac{1}{\alpha \left(g^{-1},gh\right)}}\right)V_h}\right]\end{array}$

其中，

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\chi }_1\left(g^{-1}\right){\chi }_2\left(gh\right)\frac{1}{\alpha \left(g^{-1},gh\right)}}\\ ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }tr{\pi }_1\left(g^{-1}\right)tr{\pi }_2\left(gh\right)\frac{1}{\alpha \left(g^{-1},gh\right)}}\\ ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }tr\left(\alpha \left(g,g^{-1}\right){\pi }_1^{\ast }\left(g\right)\right)tr\left(\frac{1}{\alpha \left(g,h\right)}{\pi }_2\left(g\right){\pi }_2\left(h\right)\right)\frac{1}{\alpha \left(g^{-1},gh\right)}}\\ ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }tr\left({\pi }_1^{\ast }\left(g\right)\right)tr\left({\pi }_2\left(g\right){\pi }_2\left(h\right)\right)\frac{\alpha \left(g,g^{-1}\right)}{\alpha \left(g,h\right)\alpha \left(g^{-1},gh\right)}}\end{array}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }tr\left({\pi }_1^{\ast }\left(g\right)\right)tr\left({\pi }_2\left(g\right){\pi }_2\left(h\right)\right)}\\ ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }tr\left[\left({\pi }_1^{\ast }\left(g\right)\otimes {\pi }_2\left(g\right)\right)\left({\pi }_1^{\ast }\left(1\right){\pi }_2\left(h\right)\right)\right]}\\ =\left|G\right|tr\left[{\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}\circ \left({\pi }_1^{\ast }\otimes {\pi }_2\left(h\right)\right)\right]\end{array}$

根据 [3] ，对于 $\alpha$ -twisted的情形，同样有

$\left|G\right|tr\left[{\varphi }_{{\pi }_1,{\pi }_2}\circ \left({\pi }_1^{\ast }\otimes {\pi }_2\left(h\right)\right)\right]=\{\begin{array}{l}0,{\pi }_1\ne {\pi }_2,\\ \frac{\left|G\right|}{n}{\chi }_1\left(h\right),{\pi }_1={\pi }_2.\end{array}$

因此，我们有

定理3.8若 $\left(V_1,{\pi }_1\right),\left(V_2,{\pi }_2\right)$ 为不可约的 $\alpha$ -twisted G表示，则

$\left(V_1,{\pi }_1\right){·}_L\left(V_2,{\pi }_2\right)=\{\begin{array}{l}0,{\pi }_1\ne {\pi }_2,\\ \frac{\left|G\right|}{n}\left(V_1,{\pi }_1\right),{\pi }_1={\pi }_2.\end{array}$

其中 $n=\dim V_1$ 。

证明：类似定理3.7。

文章引用

林奕武. 点群胚的Orbifold K-理论
Orbifold K-Theory of Point Orbifolds[J]. 理论数学, 2018, 08(04): 459-466. https://doi.org/10.12677/PM.2018.84061

参考文献