延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安

收稿日期：2023年6月18日；录用日期：2023年7月13日；发布日期：2023年7月24日

摘要

本文探究Euler函数 $\phi \left(n\right)$ 的非线性方程 $\phi \left(mn\right)=a\phi \left(m\right)+b\phi \left(n\right)+c$ ，其中 $a,b,c$ 为定值，利用初等数论的方法给出 $\phi \left(mn\right)=3\phi \left(m\right)+8\phi \left(n\right)+32$ 所包含的全部45组解。

关键词

Euler函数方程的可解性，非线性方程，正整数的解

On the Integer Solution of Euler Equation $\phi \left(mn\right)=3\phi \left(m\right)+8\phi \left(n\right)+32$

Sha Yuan

College of Mathematics and Computer Science, Yan’an University, Yan’an Shaanxi

Received: Jun. 18^th, 2023; accepted: Jul. 13^th, 2023; published: Jul. 24^th, 2023

ABSTRACT

In this paper, we investigate the nonlinear equations $\phi \left(mn\right)=a\phi \left(m\right)+b\phi \left(n\right)+c$ of Euler function $\phi \left(n\right)$ , where $a,b,c$ are fixed values, all 45 solutions contained in $\phi \left(mn\right)=3\phi \left(m\right)+8\phi \left(n\right)+32$ are given by using the method of elementary number theory.

Keywords:Solvability of Euler Function Equation, Nonlinear Equation, Positive Integer Solution

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 概述

欧拉函数在数论中有着及其广泛的应用。Euler函数作为初等数论体系中比较重要的一类函数，定义一般为：不大于n且同n互素的所有正整数的个数。研究数论最基本的工具，则是数论函数，因而进一步加强对数论函数的研究有着特别的意义。

不定方程又称丢番图方程，而有关不定方程解的研究，在数论中也有着非常重要的意义，引起许多学者对此问题的关注，同时取得了一定的研究成果与坚实基础。具体应用到一次不定方程来说，一般形式为 $ax+by=c$ ，其中a、b、c往往也都是个整数，而要求的解 $\left(x,y\right)$ 也是整数。这仍是探讨初等数论中一门重要的新课题，虽然早就有了系统、完整可行的数学解法，但对于不同数值的方程的求解计算的量会随着系数增大而日趋复杂。要提醒注意的事情是，c只能是a、b的最大公约数的整数倍。

随着人们对数论函数研究的逐渐深入，发现看起来十分简单的数论函数，但方程的解与解的个数却均无规律可循，若对其进行直接的研究显得较为复杂，因此对其所对应的方程可用类似方法求解。

2. 引言

n是一正整数，令 $\phi \left(n\right)$ 为一个Euler函数。Euler函数 $\phi \left(n\right)$ 是初等数论中所包含的一类非常重要的函数，有关其方程解的研究方法也是数论研究中一个及其重要的理论部分，对欧拉函数的不断研究，在此也得到了许多的结论，如文献 [1] - [7] 。

形如

$\phi \left(mn\right)=k\left(\phi \left(m\right)+\phi \left(n\right)\right)$ (1)

这样的研究。文献 [8] 讨论出方程(1)式中当k为素数时的情形，给出得到了在此 $k=3$ 方程(1)解中的部分解；文献 [9] 给出得到此方程 $k=3$ 中的全部解；文献 [10] 管春梅得到了在当 $k=4,6$ 时，此方程式的全部解；文献 [11] 鲁伟阳给出了 $k=5$ 时，该方程的全部解；文献 [12] 仅有作者姜友谊获得了包含方程 $\phi \left(x\right)=m$ 的几乎所有的近似解。

对于形如

$\phi \left(mn\right)=a\phi \left(m\right)+b\phi \left(n\right)+c$ (2)

的Euler函数 $\phi \left(n\right)$ 的非线性方程，在文献 [13] 探究了当 $a=7,b=8,c=16$ 时方程(2)的全部解。本文给出了 $a=3,b=8,c=32$ 的Euler函数 $\phi \left(n\right)$ 非线性方程

$\phi \left(mn\right)=3\phi \left(m\right)+8\phi \left(n\right)+32$ (3)

的整数解。

3. 性质

性质1 若 $\left(a,b\right)\ne c$ ，则 $ax+by=c$ 无整数解。

性质2 若 $\left(a,b\right)=1$ ，则 $ax+by=1$ 必有整数解。

性质3 若 $\left(a,b\right)=d$ ，则 $ax+by=d$ 必有整数解。

性质4 若 $\left(a,b\right)=1$ ，且 $ax+by=c$ 有一组整数解 $\left(x_0,y_0\right)$ 。

4. 相关引理

引理1 [14] ：对任意的正整数m与n， $\phi \left(mn\right)=\frac{\left(m,n\right)\phi \left(n\right)}{\phi \left(m,n\right)}$ 。

引理2 [14] 当 $n\ge 2$ 时， $\phi \left(n\right)\le n$ ，当 $n\le 3$ 时， $\phi \left(n\right)$ 必为偶数。

引理3 [12] p为素数， $\phi \left(x\right)=2p$ 的解x为：1) 当 $p=2$ 时， $x=5,8,10,12$

2) 当 $p=3$ 时， $x=7,9,14,18$

引理4 [12] 若 $\phi \left(x\right)=2$ ，则 $x=3,4,6$

若 $\phi \left(x\right)=2^2$ ，则 $x=5,8,10,12$

若 $\phi \left(x\right)=2^3$ ，则 $x=15,16,20,24,30$

若 $\phi \left(x\right)=2^4$ ，则 $x=17,32,34,40,48,60$

若 $\phi \left(x\right)=2^5$ ，则 $x=51,64,68,80,96,102,120$

若 $\phi \left(x\right)=2^6$ ，则 $x=85,128,136,140,160,170,192,204$

引理5 [14] 1) 当 $n\ge 2$ 时，有 $\phi \left(n\right)\le n$ ，当 $n\ge 3$ 时， $\phi \left(n\right)$ 为偶数。

2) 当 $p\ge 5$ 时， $g=2p+1$ 为素数 $\phi \left(x\right)=2p$ 有两个解 $x=g,2g$ ； $g=2p+1$ 不为素数， $g\left(x\right)=2p$ 无整数解。

引理6 [12] 若 $\phi \left(x\right)=12$ ，则 $x=13,21,26,28,36,42$ ；

若 $\phi \left(x\right)=48$ ，则 $x=105,112,135,168,180,210$ 。

引理7 [14] 对任意正整数m与n，若 $m|n$ 则 $\phi \left(m\right)|\phi \left(n\right)$ 。

5. 定理及其证明

定理1：方程 $\phi \left(mn\right)=3\phi \left(m\right)+8\phi \left(n\right)+32$ 有正整数解。

$\begin{array}{l}\left(15,15\right),\left(15,16\right),\left(15,20\right),\left(15,24\right),\left(15,30\right),\left(16,15\right),\left(17,3\right),\left(17,4\right),\left(17,6\right),\left(17,11\right),\left(17,22\right),\left(20,15\right),\left(24,15\right),\\ \left(30,15\right),\left(32,3\right),\left(32,11\right),\left(34,3\right),\left(34,11\right),\left(40,3\right),\left(40,11\right),\left(48,3\right),\left(48,11\right),\left(60,3\right),\left(60,11\right),\left(85,5\right),\left(85,8\right),\left(85,10\right),\\ \left(85,12\right),\left(105,3\right),\left(105,4\right),\left(105,6\right),\left(112,3\right),\left(128,5\right),\left(135,3\right),\left(135,4\right),\left(135,6\right),\left(136,5\right),\left(140,5\right),\left(160,5\right),\left(168,3\right),\\ \left(170,5\right),\left(180,3\right),\left(192,5\right),\left(204,5\right),\left(210,3\right)\end{array}$ 共45组。

证明：设 $\left(m,n\right)=d$ ，则 $\phi \left(m\right)=m_1\phi \left(d\right),\phi \left(n\right)=n_1\phi \left(d\right)$ ，其中 $m_1,n_1\in Z^{+}$ ，由方程 $\phi \left(mn\right)=3\phi \left(m\right)+8\phi \left(n\right)+32$ 得 $\phi \left(d\right)\left(d{m}_1{n}_1-3m_1-8n_1\right)=32$ ，则 $\phi \left(d\right)=1,2,4,8,16,32$ 。

情形1

当 $\phi \left(d\right)=1$ ，有 $d{m}_1{n}_1-3m_1-8n_1=32$ ，由 $\phi \left(d\right)=1$ 得 $d=1,2$ 。

当 $d=1$ 时， $m_1{n}_1-3m_1-8n_1=32$ 有 $\left(m_1-8\right)\left(n_1-3\right)=56$ 根据求因式中与反因式中的所有关系，建立关系式，从而得到 $\left(m_1,n_1\right)=\left(9,59\right),\left(10,31\right),\left(12,17\right),\left(15,11\right),\left(16,10\right),\left(22,7\right),\left(36,5\right),\left(64,4\right)$ 。

因为 $\left(9,59\right),\left(10,31\right),\left(12,17\right),\left(15,11\right),\left(22,7\right),\left(36,5\right)$ 中至少有一个大于1的正奇数且与引理2矛盾，因此方程无解，所以 $\left(m_1,n_1\right)=\left(16,10\right),\left(64,4\right)$ 。

当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(16,10\right)$ 时， $\phi \left(m\right)=16,\phi \left(n\right)=10$ ，此时 $m=17,32,34,40,48,60$ ； $n=11,22$ ，则 $\left(m_1,n_1\right)=\left(17,11\right),\left(17,22\right),\left(32,11\right),\left(34,11\right),\left(40,11\right),\left(48,11\right),\left(60,11\right)$ 。

当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(64,4\right)$ 时， $\phi \left(m\right)=64,\phi \left(n\right)=4$ 此时 $m=85,128,136,140,160,170,192，204$ $n=5,8,10,12$ 则 $\left(m_1,n_1\right)=\left(85,5\right),\left(85,8\right),\left(85,10\right),\left(85,12\right),\left(128,5\right),\left(136,5\right),\left(140,5\right),\left(160,5\right),\left(170,5\right),\left(192,5\right),\left(204,5\right)$ 。

当 $d=2$ ， $2m_1{n}_1-3m_1-8n_1=32$ 有 $\left(m_1-4\right)\left(2n_1-3\right)=44$ 从而得到 $\left(m_1,n_1\right)=\left(8,7\right),\left(48,2\right)$ 而当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(8,7\right)$ 时，方程无解。

当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(48,2\right)$ ， $\phi \left(m\right)=48,\phi \left(n\right)=2$ 此时 $m=105,112,135,168,180,210$ ， $n=3,4,6$ 则 $\left(m_1,n_1\right)=\left(105,3\right),\left(105,4\right),\left(105,6\right),\left(112,3\right),\left(135,3\right),\left(135,4\right),\left(135,6\right),\left(168,3\right),\left(180,3\right),\left(210,3\right)$ 。

当 $\phi \left(d\right)=2$ ，有 $d{m}_1{n}_1-3m_1-8n_1=16$ ，由 $\phi \left(d\right)=2$ 得 $d=3,4,6$ 。

当 $d=3$ 时， $3m_1{n}_1-3m_1-8n_1=16$ ，即有 $\left(3m_1-8\right)\left(n_1-1\right)=24$ ，从而有 $\left(m_1,n_1\right)=\left(3,25\right),\left(4,7\right)$ ，而当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(3,25\right),\left(4,7\right)$ 时，此方程无解。

当 $d=4$ 时， $4m_1{n}_1-3m_1-8n_1=16$ ，即有 $\left(m_1-2\right)\left(4n_1-3\right)=22$ ，从而有 $\left(m_1,n_1\right)=\left(24,1\right)$ 。

当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(24,1\right)$ 时，有 $\phi \left(m\right)=48$ ， $\phi \left(n\right)=2$ ，则有 $m=105,112,135,168,180,210$ $n=3,4,6$ ，同上解。

当 $d=6$ 时， $6m_1{n}_1-3m_1-8n_1=16$ ， $\left(3m_1-4\right)\left(2n_1-1\right)=20$ ，从而有 $\left(m_1,n_1\right)=\left(8,1\right)$ 。

当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(8,1\right)$ 时，有 $\phi \left(m\right)=16$ ， $\phi \left(n\right)=2$ ，则有 $m=17,32,34,40,48,60$ ， $n=3,4,6$ 从而有 $\left(m_1,n_1\right)=\left(17,3\right),\left(17,4\right),\left(17,6\right),\left(32,3\right),\left(34,3\right),\left(40,3\right),\left(48,3\right),\left(60,3\right)$ 。

情形3

当 $\phi \left(d\right)=4$ 时， $d{m}_1{n}_1-3m_1-8n_1=8$ ，由 $\phi \left(d\right)=4$ ，得出 $d=5,8,10,12$ 。

当 $d=5$ 时， $5m_1{n}_1-3m_1-8n_1=8$ ，由 $\left(5m_1-8\right)\left(5n_1-3\right)=64$ ，从而有 $\left(m,n\right)=\left(2,7\right),\left(8,1\right)$ ，而当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(2,7\right)$ 时，该方程无解。

当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(8,1\right)$ 时， $\phi \left(m\right)=16,\phi \left(n\right)=2$ ，同上解。

当 $d=8$ 时， $8m_1{n}_1-3m_1-8n_1=8$ ，由 $\left(m_1-1\right)\left(8n_2-3\right)=11$ 通过计算不存在 $m_1,n_1\in Z^{+}$ 使之成立，因此方程无解。

当 $d=10$ 时， $10m_1{n}_1-3m_1-8n_1=8$ ，由 $\left(5m_1-4\right)\left(10n_1-3\right)=52$ 通过计算不存在 $m_1,n_1\in Z^{+}$ 使之成立，因此方程无解。

当 $d=12$ 时， $12m_1{n}_1-3m_1-8n_1=8$ ，由 $\left(3m_1-2\right)\left(4n_1-1\right)=10$ 通过计算不存在 $m_1,n_1\in Z^{+}$ 使之成立，因此方程无解。

当 $\phi \left(d\right)=8$ ，有 $d{m}_1{n}_1-3m_1-8n_1=4$ 由 $\phi \left(d\right)=8$ 可得 $d=15,16,20,24,30$ 。

当 $d=15$ 时，有 $15m_1{n}_1-3m_1-8n_1=4$ ， $\left(15m_1-8\right)\left(5n_1-1\right)=28$ ，从而有 $\left(m_1,n_1\right)=\left(1,1\right)$ 。

当 $\left(m_1,n_1\right)=\left(1,1\right)$ 时，有 $\phi \left(m\right)=8,\phi \left(n\right)=8$ ，则 $m=15,16,20,24,30$ ， $n=15,16,20,24,30$ 从而有 $\left(m_1,n_1\right)=\left(15,15\right),\left(15,16\right),\left(15,20\right),\left(15,24\right),\left(15,30\right),\left(16,15\right),\left(20,15\right),\left(24,15\right),\left(30,15\right)$ 。

当 $d=16$ 时有 $16m_1{n}_1-3m_1-8n_1=4$ 即 $\left(2m_1-1\right)\left(16n_1-3\right)=11$ 通过计算不存在 $m_1,n_1\in Z^{+}$ 使之成立，因此方程无解。

当 $d=20$ 时有 $20m_1{n}_1-3m_1-8n_1=4$ 即 $\left(5m_1-2\right)\left(20n_1-3\right)=26$ 通过计算不存在 $m_1,n_1\in Z^{+}$ 使之成立，因此方程无解。

当 $d=24$ 时有 $24m_1{n}_1-3m_1-8n_1=4$ 即 $\left(3m_1-1\right)\left(8n_1-1\right)=5$ 通过计算不存在 $m_1,n_1\in Z^{+}$ 使之成立，因此方程无解。

当 $d=30$ 时有 $30m_1{n}_1-3m_1-8n_1=4$ 即 $\left(15m_1-4\right)\left(10n_1-1\right)=24$ 通过计算不存在 $m_1,n_1\in Z^{+}$ 使之成立，因此方程无解。

当 $\phi \left(d\right)=16$ 时 $d{m}_1{n}_1-3m_1-8n_1=2$ 由 $\phi \left(d\right)=16$ 可得 $d=17,32,34,40,48,60$ 。

当 $d=17$ 时有 $17m_1{n}_1-3m_1-8n_1=2$ ，即有 $\left(17m_1-8\right)\left(17n_1-3\right)=58$ 。

当 $d=32$ 时有 $32m_1{n}_1-3m_1-8n_1=2$ ，即有 $\left(4m_1-1\right)\left(32n_1-3\right)=11$ 。

当 $d=34$ 时有 $34m_1{n}_1-3m_1-8n_1=2$ ，即有 $\left(17m_1-4\right)\left(34n_1-3\right)=46$ 。

当 $d=40$ 时有 $40m_1{n}_1-3m_1-8n_1=2$ ，即有 $\left(5m_1-1\right)\left(40n_1-3\right)=13$ 。

当 $d=48$ 时有 $48m_1{n}_1-3m_1-8n_1=2$ ，即有 $\left(6m_1-1\right)\left(16n_1-1\right)=5$ 。

当 $d=60$ 时有 $60m_1{n}_1-3m_1-8n_1=2$ ，即有 $\left(15m_1-2\right)\left(20n_1-1\right)=12$ 。

经计算可得当 $d=17,32,34,40,48,60$ 时，对于方程 $d{m}_1{n}_1-3m_1-8n_1=2$ ，不存在 $m_1,n_1\in Z^{+}$ 使之成立，故方程无解。

当 $\phi \left(d\right)=32$ 时 $d{m}_1{n}_1-3m_1-8n_1=1$ 由 $\phi \left(d\right)=32$ 可得 $d=51,64,68,80,96,102,120$ 。

当 $d=51$ 时有 $51m_1{n}_1-3m_1-8n_1=1$ ，即有 $\left(51m_1-8\right)\left(51n_1-3\right)=75$ 。

当 $d=64$ 时有 $64m_1{n}_1-3m_1-8n_1=1$ ，即有 $\left(8m_1-1\right)\left(64n_1-3\right)=11$ 。

当 $d=68$ 时有 $68m_1{n}_1-3m_1-8n_1=1$ ，即有 $\left(17m_1-2\right)\left(68n_1-3\right)=23$ 。

当 $d=80$ 时有 $80m_1{n}_1-3m_1-8n_1=1$ ，即有 $\left(10m_1-1\right)\left(80n_1-3\right)=13$ 。

当 $d=96$ 时有 $96m_1{n}_1-3m_1-8n_1=1$ ，即有 $\left(12m_1-1\right)\left(96n_1-3\right)=15$ 。

当 $d=102$ 时有 $102m_1{n}_1-3m_1-8n_1=1$ ，即有 $\left(51m_1-4\right)\left(102n_1-3\right)=63$ 。

当 $d=120$ 时有 $120m_1{n}_1-3m_1-8n_1=1$ ，即有 $\left(15m_1-1\right)\left(140n_1-1\right)=6$ 。

经计算可得当 $d=51,64,68,80,96,102,120$ 时，对于方程 $d{m}_1{n}_1-3m_1-8n_1=1$ ，不存在 $m_1,n_1\in Z^{+}$ 使之成立，故方程无解。

6. 总结

通过证明得到关于 $\phi \left(mn\right)=3\phi \left(m\right)+8\phi \left(n\right)+32$ 的全部45组解，在c的因子有较多的情况下，需要讨

论的情形较多，浪费一定的人力物力，存在着一定的局限性，之后通过发展更加高效和快速的算法来求解欧拉方程的整数解问题，来提高计算速度和精度。

文章引用

袁 莎. 关于Euler方程φ(mn)=3φ(m)+8φ(n)+32的整数解
On the Integer Solution of Euler Equation φ(mn)=3φ(m)+8φ(n)+32[J]. 应用数学进展, 2023, 12(07): 3292-3297. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.127328

参考文献