伪抛物型方程非局部问题解的爆破性 The Blow up Property of Solutions for Some Pseudoprabolic Equations with Nonlinear Nonlocal Source

doi:10.12677/pm.2011.12017

设为首页加入收藏期刊导航网站地图

期刊菜单

文章导航

Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 80-84

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12017 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

The Blow up Property of Solutions for Some

Pseudoprabolic Equations with Nonlinear Nonlocal

Source

Chengshun Jiang1,2, Xianchao Wang2

1 Wuhan College of Zhongnan University of Econonics and Law, Wuhan

2Zhengzhou Institute of Scientific and Technical Information, Zhengzhou

Email: maszniu@163.com

Received: Mar. 25th, 2011; revised: Apr. 16th, 2011; accepted: Apr. 17th, 2011.

Abstract: This paper investigates some Initial Buandary Value Problem (I BVP) of pseudop arabolic equatio ns

with nonlinear nonlocal source. Firstly, the authors prove the existence and uniqueness of local solutions of

the IBVP. Secondly, authors derive the blow up property of solutions under certain conditions. Finally, they

show the growth rate of solutions near the blow up time.

Keywords: Blow-Up; Pseudoparabolic Equation; Nonlinear Nonlocal Source; Growth Rate

伪抛物型方程非局部问题解的爆破性

江成顺 1,2，汪先超 2

1中南财经政法大学武汉学院，武汉

2郑州信息科技学院，郑州

Email: maszniu@163.com

收稿日期：2011 年3月25 日；修回日期：2011 年4月16 日；录用日期：2011 年4月17 日

摘要：本文研究带非线性非局部源项的伪抛物型方程的一类初边值问题。首先证明了模型局部解的

存在唯一性，然后证明其解在一定条件下的爆破性质，最后给出两个特殊源项问题解的爆破速率估计。

关键词：Blow-Up；伪抛物型方程；非线性非局部源；爆破速率

1. 引言

形如



uuu fu



 x，







tQ T (1.1)

的PDE 是带有非线性非局部源项





的伪抛物

型方程，其中是Laplace 算子，

t







，



,,, n

xx xR



S，是的适当光滑

的边界，为有界区域。



本文考虑方程(1.1)的带有齐次 Dirichlet 边界条件

或齐次 Newman 边界条件：



,0uxt或



uxt





,,

 

tS T (1.2)

和初始条件

 

,0, uxu xx

的初边值问题(1.1)~(1.3) ，其中 u





是的外法向导

数，







为已知光滑函数。

伪抛物型方程可以描述二阶非平稳流模型[1,2]，可

以描述传导问题中双温控制模型[3]，还可以描述长波

的非线性弥散模型[4,5]等。正是因为其物理应用背景非

常广泛，对其研究在不断发展[6-9]。

伪抛物型方程解的定性理论已有很多文献作了系

统深入的研究，但研究类似于方程(1.1)的含有非线性

非局部源项的伪抛物型方程的初边值问题(IBVP)解的

爆破性质的文献相对少一些。

本文将在讨论问题(1.1) ～(1.3 )的局部解的存在唯

一性的基础上，讨论在一定条件下，局部解在有限时

刻发生爆破的性质，最后讨论有关特殊问题的解发生

爆破的 Blow-up 速率估计。

 (1.3)

江成顺等伪抛物型方程非局部问题解的爆破性81

2. 局部解的存在唯一性

本文将作以下基本假设：

(I) 函数

 

sCR

 



且，初始函数

非负且有界；



0fs



ux C







(II) 且



0fs





s是凸函数，



1ds







。

问题(1.1)～(1.3)中，当边界条件为齐次 Dirichlet

边界条件时，记为 IBVP(PD)；当边界条件为齐次

Newman边界条件时，记为 IBVP(PN)。

为后面定理证明的需要，这里先给出两个引理。

引理 2.1[10] (最大值原理)设，



,hxt





,kxt均非

负，且





,uxt是线性初边值问题

 

  

 

,,, Q0,

,, ,,,,0,

,0,0, .

tt T

uuuhxtxtT

uxtkxtxtkxtxtST

uxu xu xx



 













或









的解。如果，则

 

,e0

kxt k







,0uxt

对所用

 



tQ T 成立。

引理 2.2[10] 设是伪抛物型方程初边值问题



,uxt

 

  





 

0, ,

,,(),0,

,0 .

uuu uxtL

uxtgtgt CCT

uxu x





 













的解，则







max ,

uMTu



，





0,tT

其中

 

sup 1

geg

MT e



。

下面推证 IBVP(1.1) ～(1.3)的局部解的存在唯一

性。

定理 2.1 假设条件(I)和(I I)成立。若 IBVP(1.1)～

(1.3)存在上解



,uxt，则对某个，





0,tT，

IBVP(PD)和IBVP(PN)均有唯一非负古典解。

证明：解的存在性的证明可以参考文献[10 ]，这

里主要利用引理 2.1 和引理 2.2 证明解的唯一性。

设和都为 IBVP(1.1) ～(1.3) 的解，令

，则 w满足

wu



  



0,, Q

,0 ,0,,

,0 0,.

www xt

wxtxtxt S

wx x

















或





(2.1)

对于 IBVP(PD)，由引理2.2 知，故 IBVP(PD)

解的唯一性得证。对于 IBVP(PN)，将 (2.1)中第一个方

程两边在上关于 x积分，再从 0到t关于 t积分，

0w



得





,d 0wxt x





。由引理 2.1 知，故 IBVP(PN)

解的唯一性得证。

0w

证明完毕。

为本文最后的讨论，这里给出f的两个例子。利

用定理 2.1，讨论其解的存在唯一性。

例A.







，。

1p

对于 IBVP(PD)解的存在唯一性的讨论，根据定理

2.1，主要是寻找其上解。

假设









ust x



，其中





是对应于第一特征

值问题







xxx







 













的特征函数，故只需寻求 t的函数



t。

设





1max



，



2min



，









，则可取常微分方程初值问题

 



max

ststst

















的解为





t。由此，构造了 IBVP(PD)的一个上解。

例B.







。

对于 IBVP(PD)解的存在唯一性的讨论，类似地可

构造上解









ust x



，其中



t是常微分方程初值

问题

 



1exp

max

st stKst





















的解。

江成顺等伪抛物型方程非局部问题解的爆破性

82 |

3. 解的爆破性质

本节主要讨论 IBVP(1.1)～(1.3) 的局部解发生爆

破的条件。

定理 3.1 设条件(I)和(II)成立，如果初值





充

分大，则IBVP(1.1)～(1.3)的解在有限时刻发生爆

破现象。

证明：设





是第一特征值问题









xxx





 









的特征函数，令。将方程(1.1 )两边同乘

以



dxx











，然后在上积分，可得 

 

1atatfux









d

其中。

 

,datuxtx x









由Jensen 不等式知



dd.

ux fux





 









记



1max





，则



1d.atK ux





因



s非负且非减，故有



ux fat



















由此可得

 

1atatfat















因此当充分大时，在有限时刻发生爆破，即

当充分大时，IBVP(1.1)～(1.3)的解在有限时刻

爆破。定理得证。









考虑以下形式的 IBVP(PD)





 

,,Q

,0, ,

,0 ,.

uuugt xt

uxtxt S

uxu xx

 













(3.1)

其中，与解有关，

0T



0gt



,uxt





t是给

定函数，且在上局部 Holder 连续。由已有结论

可知，若初值，则 IBVP(4.1)有唯一

局部古典解



ux C









 













T



,tC C,0ux



[11]。下面定理

主要给出了(3.1)解爆破的充分必要条件。

引进函数记号

 

Gtgs s，

 

tGss。

定理 3.2 设





,uxt是IBVP(3.1)的解，，则

00u

limsup

tT u

 (3.2)

的充分必要条件是



Tgss

. (3.3)

进一步，若(3.2)或(3.3)成立，则必有



lim 1











其中



和







分别是第一特征值和第一特征函数。

证明：首先证明若(3.2 )成立，则(3.3 )成立。因方

程(3.1)右边项





t和x无关，故可令，则易

知v满足

vu



  

 

0, ,

,, ,

,00, .

vvv xtQ

vxtgtxt S

vxu xx

 







  



其中

 





tugs





s

。

因vu在,











上连续，且







gt eg



。

由引理 2.1和引理 2.2，可推得









0,max ,vxtMTu x ,

故





vuCux



 ，,











(3.4)

对于固定实数，存在以原点为球心，以 R为半

径的球

0R





R0,B，使得





0,BR 。由线性椭圆型方

程最大值原理和(3.4)可知



ux Cn





作为下界比较函数，得到



uxtC n

 . (3.5)

将方程(3.1)两边在区间 ,









上求积分，得

  

,, ,

uxtuxGtGuxs s

 



 

 

d



uxt ux



 



。

由(3.4)和





0Gt知









,, uxtGtCx



。 (3.6)

江成顺等 | 伪抛物型方程非局部问题解的爆破性

 

tgtu



















因此由(3.2)成立可推得(3 .3 )成立。 yy

若(3.3)成立，下面将要证明

 

uyy uyygt









 





lim 1











。 (3.7)

 

uyy uyygt



 









设



和



分别是满足









xxx





 









 

tt G



 



 t



的特征值和特征函数，且







，



dxx





因此可得



。

 









 

Gt

记

  

zxtGt uxt





，

上面的方程可直接积分得到

 

,dtzxtx





x。

由Green 公式可得

  







0expexpd 1.

tst

tGss





 











 













CHt

(3.8)





1dd

ux uxgt











其中为一正常数。

另一方面，将方程(3.1)两边乘以







后在上积分，

也可得到

记





duxat





，可得

 







0expexp d.

111 1

tst

atagss CGt













 

 

 (3.9)

其中为一正常数。

由(3.8)和(3.9 )，推得

 



CGtattCH











(3.10)

即



CHt

GtGt Gt







 (3.11)

由于





Gt单调非减，对 0



 ，有





Gss

Gt Gt







 

。

由(3.3)可得



lim 0





。

因此(3.7)得证。同时易见若(3.3)成立，则(3.2)成立。

定理得证。

4. Blow-up速率估计

本节研究特殊情形的IBVP(PD)解在发生爆破的

时刻附近解的爆破速率，给出其估计结果。为此设



se或



ss( )，T是IBVP(PD)解的爆

破时间。

1p

定理 4.1 若





fs s p





，，充分

大，则 IBVP

00u 0



 

d, ,

,0, ,

,0 ,.

uuu uxxtQ

uxtxt S

uxu xx



 













T



的解





,uxt满足

 



limmax ,

uxt

Tt Tt









其中和是两个正常数。

证明：首先证明定理的左边不等式。令









max ,

Ut uxt



，则





Ut ux



 (4.1)

由(4.1)易得





UtU t

 。 (4.2)

将(4.2)两边从 t到T积分，有



Ut Tt



 (4.3)

江成顺等伪抛物型方程非局部问题解的爆破性

84 |

令



21p

Cp 





 

，由(4.3)得

Tt





(4.4)

下面证明定理的右边不等式。将(4.1)两边从 0到t积

分得

 

Ut Gt。 (4.5)

由Holder 不等式，可知



dd d

ux uxx





 









 。

故存在常数 C，有



uxC ux









(4.6)

由(4.1)和(4.6 )知







UtCu x





。 (4.7)

由(4.5)，(4.7 )和定理 3.2，当 t时，有 T

 

GtCGt









 。 (4.8)

将(4.8)两边从 t到T积分，得

 

GtC pTttT









 









 。(4.9)

令



CCp



















，由(4.5)和(4.9)，有

 

Utt T

Tt







。 (4.10)

由(4.4)和(4.1 0) 知定理得证。

用类似于定理 4.1的证明方法，可以得到下面的

定理。

定理 4.2 若



fs，00u



，充分大，则

IBVP



 

ed,,

,0, ,

,0 ,.

uuu xxtQ

uxtxtS

uxu xx

















T



的解





,uxt满足





lnlimmax ,ln

CTt uxtCTt









其中和是两个正常数。

参考文献 (References)

[1] B. D. Coleman, W. Noll. Approximation theorem for functionals,

with applications in continuum mechanics. Archive for Rational

Mechanics and Analysis, 1960, 6( 1): 355-370.

[2] T. W. Ting. Certain non-steady flows of second-order fluids.

Archive for Rational Mec h an i c s and Anal ysis, 1963, 14(1): 1-26.

[3] P. J. Chen, M. E. Gurtin. On a theory of heat conduction

involving two temperatures. Zeitschrift Fur Angewandte Mathe-

matics und Physik, 19 68 , 19(4): 614-627.

[4] T. B. Benjamin, J. L. Bona, and J. J. Mahony. Model equations

for long waves in non-linear dispersive systems. Philosophical

Transactions of the Royal Society A, 1972, 272(1220): 47-78.

[5] G. Karch. Asymptotic behavior of solution to some pseudo-

parabolic equation. Mathematical Methods in the Applied Scien-

ces, 1997, 20(2): 27 1 -289.

[6] A. Elcrat. Coercivity for a third order pseudoparabolic operator

with applications to semilinear equations. Journal of Mathe-

matical Analysis and Applications, 1977, 61(5): 841-849.

[7] A. Bouziani. Solvability of nonlinear pseudoparabolic equation

with a nonlocal boundary condition. Nonlinear Analysis, 2003,

55(7-8): 883-904.

[8] A. Bouziani. Initial-boundary value problems for a class of

pseudoparabolic equations with integral boundary conditions.

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004,

291(2): 371-386.

[9] A. Bouziani, N. Merazga. Solution to a semilinear pseudoparabolic

problem with integ ral conditions. Ele c troni c Jou rnal of Differential

Equations, 2006, 2006(115): 1-18.

[10] Pierre. On the maximum principle for pseudoparabolic equations.

Indiana University Mathema tic s Jou rna l, 1981, 30(6): 821-853.

[11] R. E. Showalter, T. W. Ting. Pseudo-parabolic partial differential

equations. SIAM Journal on Mathematic Analysis, 1970, 1(1):

1-26.