 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 92-96 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12019 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Maps on Circles with deg 2 and Their Liftings* Risong Li, Zengxiong Cheng School of Science, Guangdong Ocean University, Zhanjiang Email: gdoulrs@163.com Received: Jun. 18th, 2011; revised: Jul. 5th, 2011; accepted: Jul. 8th, 2011. Abstract: Let denote the set of all continuous selfmaps of a topological space. Let 0 CX 01 f CS and 1 π: X S be a finite-to-one covering projection. Let 0 f CX and ππ f f . The following statements were proved: 1) If Pf Pf , then deg 1f . 2) If deg 2f，then the following four statements hold: ① 2: 0 n Pf n ; ② Pf Pf ; ③ f Pf ent ; ④. Let 0f 11 : f SS be a continuous surjection and f be the shift map determined by f. Then 47 equivalent condi- tions for the map f to be expansive were obtained. Some results in the literatures were extended. Keywords: Inverse Limit; Monotone Mapping; Degree of Mapping; Topologically Tansitive; Positively Expansive Map; Expanding Map deg 2的圆周自映射及其提升* 黎日松，陈增雄 广东海洋大学理学院，湛江 Email: gdoulrs@163.com 收稿日期：2011 年6月18 日；修回日期：2011 年7月5日；录用日期：2011 年7月8日 摘 要：用表示拓扑空间 X上的所有连续自映射所组成的集。设 0 CX 01 f CS，1 π: X S 是个 有限对一的覆叠投射，满射 0 f CX ，且 ππ f f 。本文证明了：1)如果 Pf Pf ，则 deg 1f。2)如果 degf2，则下面四条成立：① 0n2: n Pf ；② Pf Pf ；③ ；④ 。设 fP f 0ent f 1 :1 f SS是连续满射， f 是由 f所确定的转移映射，得到了 f 是 可扩的 47 个等价条件，推广了已有结果。 关键词：逆极限；单调映射；映射度；拓扑传递；正向可扩映射；扩张映射 1. 引言 关于圆周自映射所产生的动力系统性质已有很多 人进行了研究，并取得了丰硕成果。例如：文献[1]研 究了圆周上单调自映射 f的拓扑熵，得到了圆周上连 续单调自映射的拓扑熵 log degent ff。文 献 [2] 研究了圆周上一类自映射 f的正向可扩性与其逆极限 的可扩性间的关系，得到了圆周上连续满射 f的逆极 限可扩等价于 f拓扑共轭于圆周上的某个扩张映射。 文献[3]介绍了圆周连续自映射的动力系统性质的一 些研究工作和已经取得的结果，并补充了一些新结果， 从链回归点的角度对圆周连续自映射作了新探讨。文 献[4]研究了 deg 2的圆周自映射，证明了以下结果： 定理 A设 01 fCS，若 Pf Pf，则 deg 1 *基金项目：广东自然科学基金博士启动项目(10452408801004217)， 湛江市科技攻关项目(2010C3112005)。 f 。  黎日松 等 | deg 2的圆周自映射及其提升 Copyright © 2011 Hanspub PM 93 定理 B设，若 01 fCSdeg 2，则下面四条成立： ① 20 n Pf n；② Pf Pf； ③ f Pf；④ 。 0ent f 由于任一映射 及其逆极限空间上的转 移自映射 :fX X f 都是映射f本身的提升，故映射f的提升 所具有的动力系统性质实际上就是 f本身的所具有的 动力系统性质的推广。众所周知，单调性、可扩性和 拓扑传递属性都是圆周自映射的动力系统中的重要性 质。 本文在文献[1-4]的基础上，利用映射的单调性、 可扩性和拓扑传递属性来进一步研究deg 2的圆周 自映射及其提升的动力学性质。因此研究圆周连续自 映射 f的提升所具有的性质是一件有意义的工作。 2. 预备知识 本文中分别表示实数集和整数集，用 表示 复平面上的单位圆周，其中 ,RZ 1 S 2 ex 122 π ,1,, ix Sxyxy xyRRR (见文献[2,3,5])。用表示 X上所有连续自映射 的集合。 0 CX 设 , X d 0 是度量空间， 是一个同胚映 射(连续满射)，称 f是可扩的(正向可扩的)，若存在常 数，使得对任意 :fX X ,,e x yXxy y e ，存在整数(非负 整数)n，使得 df 。 , nn x f 1 映射 定义为 :ER S 1 2π e, ix zEx , x Rz S : ，称此映射 E为从直线R到单位圆周 的覆叠投射。设 ，若存在连续映射 1 S 01 SfC F RR，使，则称 F是f的一个提升。 而称 EF f 1 E F xFx 为f的映射度( x R)，记为 deg f 。 定义 1[6] 设, X X 是两个拓扑空间，π: X X 是 一个连续映射。开子集U称为被平均覆盖，如 果 是 Xπ 1U X π 的一些开子集的无交并，且这些开子集 中的每一个在的作用下均同胚于 U。 定义 2[6] 一个连续映射 π: X X 称为一个覆叠 投射，如果对于 X中的每一点 x，均有 x的一个被 平 均覆盖的开邻域。此时，称 π X 为这个覆叠投射的覆叠 空间，并称 X为这个覆叠投射的底空间。 定义 3 设: f XX为连续映射， : f XX 为 连续满射， π: X X 为一个覆叠投射，且 ππ f f 则称动力系统 , X f 是动力系统 , X f的一个提升 系统，且称f是f的一个提升。 定义 4 覆叠投射 π: X X 称为有限对一的，如 果对每个 x X ， 1 π x 均为有限集。 本文所涉及的其它概念和记号可参考文献 [2,3,5,7-12]。 从文献[10]的定义2.20 及注记 2.34 的证明，可知 有限对一的覆叠投射是大量存在的。 3. 结果及其证明 引理 1设 0 f CX，π: X X 是个有限对一 的覆叠投射，满射 0 f CX ，且 ππ f f 。则 x X 为f的n 周期点当且仅当对每个 1 πyx ， y 为 f 的周期点且其周期必为 n的倍数. 证明 设 x X 为f的 周期点，n 1 πyx 。由 ππ f f ，得 ，于是ππ nn ff πn f y π n f yx 。故 1 π n f y x 。由于 1 π x 是有 限集且 1 11 :ππ n x f x x 为双射。由离散数学 的有关知识知 1 π x 的每一点均为 n f 的周期点。从而 1 π x 的每一点均为 f 的周期点。设有某个 yx 1 π ， y 为 f 的周期点k kn 。故 ππ kk f yf yx ，从而 k f xx。这与 x X 为f的n 周期点相矛盾。由此也可知 y 的周期必为 n 的倍数。 定理 1设 01 f CS，1 π: X S 是个有限对一 的覆叠投射， 0 f CX ，且 ππ f f 。如果 Pf Pf ，则 deg 1f。 证明 由引理 1知， 1Pf πPf 且 πPf Pf 。若 Pf πPf Pf ，则有 πPf Pf ，而 ππPf Pf Pf 。 设存在 PfyPf ，则 y的任意邻域均含有 Pf中的异于 y的点。对于 ，不失一般性 地可假设U是点 1 πy y y 的在 X 中的任一足够小的非空开 集，使得π: UU U 为同胚映射，其中 UpU。 则U为点y的一个邻域，故 U含有 Pf中的异于 y  黎日松 等 | deg 2的圆周自映射及其提升 Copyright © 2011 Hanspub PM 94 的点。由引理 1及其证明过程知，U含有 Pf 中的 异于 y 的点。由U的任意性知 y Pf Pf ，这 与 Pf Pf 的条件相矛盾，于是 Pf Pf 。 由定理 A知结论成立。 定理 2设 ， 01 SfC1 π: X S X 是个有限对一 的覆叠投射，满射 ，且 0 fC ππ f f 。如果 deg2f，则下面四条成立：① 02: nnPf ； ② Pf Pf Pf ；③；④ 。 fP f Pf 0ent f 1Pf证明 由引理 1知， 且 。由定理 A知 π πPf 20 nn。p再 由引理 1知， f 2: nn0， fPf ， P即结论①成立。由 定理 1立即可知结论②成立。若 则有 f P这与结论②相矛盾，故结论③成立。 由定理 B知，由于系统 f Pf ， 0entf , X f 0fent f 是系统 的一个扩充系统，故 。即 结论④成立。 1,Sf ent 引理 2设，则1m 1 , m g zz 2 zS不含有马 蹄。 证明 因为 ，所以1m1 S g id。由于 ，故 2 X hg hid0 0hg 。根据文献[3]的定理 4.1 知 m1 , g zzz S不含有马蹄。 推论 1设，则1m 1m, g zz Sz不是扩展型 的。 证明 设 1 , m g zzzS , m 是扩展型的。根据文献 [3]的定理 1.1知1 g zzzS含有马蹄。这与引理 2相矛盾。 引理 3设2m，则 1 , m g zz Sz 是扩展型的。 证明 根据文献[3]的命题 1.1 知结论成立。 推论 2设2m，则 1 , m g zz Sz含有马蹄。 引理 4设且 f与g拓扑共轭，则 f 含有马蹄当且仅当 g含有马蹄. 其证明可直接从定义 得到，故从略。 01 ,fg C S 引理 5设，且 f与g拓扑共轭，则 01 ,fg C S deg deg f g。其证明可直接从文献[5]的定理 25.4 推得。 引理 6设且 f与g拓扑共轭，则 f 是扩展型的当且仅当 g是扩展型的。 01 ,fg C S 证明 设 0 , F GCR 分别是 的任一提升，且 g是扩展型的。设 是个同胚，且 ,fg 1 0 hCS hf gh 。设 0 H CR , 是h的任一提升，故 H是 个同胚。于是 H FG H均是 的提升。 所以存在整数k，使得 hf gh H FGHk。由定义知， 存在 nZ ，使得 ,1 2rrdeg 1g n lG ， rR 。由于平移是一个等距映射，故对于直线 R上 的任一有限区间J，有 H k JlH FJlG lG HJ。故 ,1rr 1nn lHG H lF 00 , 1r l 11 11 , 2Hr r ,1rr n HG rl deg 12 degg1g ，由引理 5知 ,1rr 2deg 1f n lF ，即 f是扩展型的。显 然由对称性知：若f是扩展型的，则 g是扩展型的。 引理 7设1m ，则 , m1 g zzzS不是扩张映 射.其证明直接由定义得到，故从略。 推论 3设 01 fCS是严格单调的，若 deg 2f，则 f是扩展型的。 证明 由引理 5、引理6和文献[2]的定理 2即可得 到. 定理 3设 01 f CS是满射，n是任意给定的正 整数，则下列条件是两两等价的： 1) f的逆极限 f 是可扩的； 2) n f 的逆极限 n f 是可扩的； 3) n f 是可扩的； 4) f拓扑共轭于扩张映射 , m1 g zzzS，其中 degmf； 5) n f 拓扑共轭于扩张映射 1 , nm g zzzS，其 中 mfdeg ； 6) f是正向可扩的； 7) n f 是正向可扩的； 8) deg 2f且f是严格单调的， 1 fS； 9) deg 2 n f且n f 是严格单调的， 1n fS ； 10) f是拓扑传递的且 f是严格单调的， deg 2f； 11) n f 是拓扑传递的且 n f 是严格单调的， deg 2 n f； 12) f是完全传递的且 f是严格单调的， deg 2f； 13) n f 是完全传递的且 n f 是严格单调的，  黎日松 等 | deg 2的圆周自映射及其提升 Copyright © 2011 Hanspub PM 95 deg 2 n f； 14) f 是拓扑传递的且 f是严格单调的， degf2； 15) f 是完全传递的且 f是严格单调的， degf2； 16) 是拓扑传递的且 f是严格单调的， n f degf2； 17) f Pf 且f是严格单调的， 1 fS； 18) 且f是严格单调的， fPf 1 n n f S ； 19) f是扩展型的且 f是严格单调的， 1 fS； 20) n f 是扩展型的且 n f 是严格单调的， ； n 1 fS n 21) f 是拓扑双重遍历的且f是严格单调的， degf2； 22) f是拓扑双重遍历的且 f是严格单调的， deg2f； 23 )f是全遍历的且 f是严格单调的， deg2f； 24) n f 是全遍历的且f是单调的， deg2f； 25) f是拓扑弱混合的且 f是单调的， deg2f； 26) n f 是拓扑弱混合的且 f是单调的， degf 2； 27) 11 :,, ,, f SBm SBm 1 S 是遍历的且f是单调 的，其中 B为的所有 Borel 子集组成的 代数， m为Haar 测度，且 deg2f； 28) 是遍历的且 f是严 格单调的，其中 B为的所有 Borel 子集组成的 1 :,, ,, n fSBmSBm 1 S 1 代 数，m为Haar测度，且 deg2f； 29) f 是拓扑遍历的且f是单调的， deg2f； 30) n f 是拓扑遍历的且 f是单调的， deg2f； 31) f 是拓扑双重遍历的且f是单调的， degf2； 32) n f 是拓扑双重遍历的且 f是单调的， degf2； 33) f 是全遍历的且f是单调的， deg 2f； 34) n f 是全遍历的且f是单调的， deg 2f； 35) n f 是拓扑弱混合的且f是单调的， degf2； 36) f 是拓扑弱混合的且f是单调的， 37) f是拓扑遍历的且f是单调的， deg 2f； 38) f 是拓扑遍历的且f是单调的， deg2f； 39) n f 是拓扑遍历的且f是单调的， deg2f； 40) n f 是拓扑遍历的且 f是单调的， deg2f； 41) f是相对于上密度为 1序列而言混沌的且f是 单调的， deg2f； 42) n f 是相对于上密度为 1序列而言混沌的且 f 是单调的， deg2f； 43) f 是相对于上密度为 1序列而言混沌的且 f 是单调的， deg2f； 44) n f 是相对于上密度为 1序列而言混沌的且 f 是单调的， deg2f。 45) f含有马蹄； 46) n f 含有马蹄； 47) f的拓扑熵 0ent f； 48) n f 的拓扑熵 0 n ent f。 证明 由于任两个单调映射的复合也是单调的。根 据严格单调映射: F RR n 的逆也是严格单调的。故f 是严格单调的当且仅当 f 是严格单调的。显然有： deg 2f当且仅当 deg f 2 n。由 文 献 [2]的定理 2知1) 4)，1) 6)，1)8)和1)10)。 由定义易知 2) 1)。据引理引 5、理 7和文献[8] 的引理2.3 知 degf2，由文献[2]的定理2知 4) 1)，5) 1)。由文献[10]知6) 1)。由文献[2] 的定理 2知8)1)。因拓扑传递性是拓扑共轭不变性， 而当 m 1 时，则 , m g zz 1 Sz不是拓扑传递的， 根据文献[2]的定理 2知10) 1)。因 f是严格单调的 当且仅当 n f 是严格单调的，故由前面已证得的结论和 文献[2]的定理 2知2) 5) 7) 9)11)。由于可 扩性是拓扑共轭下的不变性，故由文献[2]的引理 2知 2) 3)。由于 deg 2f当且仅当 deg f2 n，故 4) 5) 。由 n的任意性及前面已证得的结论知 10) 12) 13)。由文献[13]知f是拓扑传递的当且仅 当 f 是拓扑传递的，再由前面已证得的结论知 10) 14) 15) 16)、25) 36)和26) 35)。由 于 当且仅当 m 1 时， m g zz的周期点集为 ，其 中 1 S 1 Sz ，故由文献[2]的定理 2知8) 17) 18)。 由推论1、引理 3、引理 6及前面已证得的结论知 8) 9) 19) 20)。由于当 1m时， m g zz 的 周期点集的闭包为 ，其中 ，故由文献[7]的系 1 S1 Sz degf2；  黎日松 等 | deg 2的圆周自映射及其提升 Copyright © 2011 Hanspub PM 96 参考文献 (References) 知12) 21) 22)23) 24)25)26)。由于 关于复数的乘法和复数的倒数构成拓扑群，而当 1 S 1m时， m g zz是 上的仿射映射，其中 1 S1 zS ， 故由文献[14] 的定理 2.1 及前面已证得的结论知 27) 28) 39)。由文献[14]的引理 5.1、引理5.2、 定理 5.1 及前面已证得的结论知 37) 38)、39) 40)、 29)37) 、30)39)、31) 22) 、21) 32) 、 23) 33)、24) 34)、22) 41)、21) 42)、31) 43) 和32) 44)。由文献[14]的引理2.2 及前面已证得的 结论知 10) 37)和11) 39)。因 f是严格单调的当 且仅当 n f 是严格单调的，f的拓扑熵 ent 当且 仅当 0f n f 的拓扑熵 以及 0 n t fen Pf nPf，故 根据文献[3]的定理 4.1 知从条件45)到条件 48)的各个 条件是两两等价的。根据引理2、推论 2和引理及 4) 6)5)7)知条件 45)到条件 48)的各个条件与 其前面的44 个条件两两等价。 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Some properties of topologically er- godic maps. Acta Mathematica Sinica, in Chinese, 2004, 47(5): 859-866. 作者十分感谢审稿人提出有益的修改意见！也衷 心感谢左再思教授、沈文淮教授的热情鼓励. |