ABSTRACT

In this paper, two incomplete normed spaces justify that the Zabreǐko lemma does not extend to the incomplete normed space.

Keywords:Normed Space, Incomplete, Seminorm

Zabreǐko引理不能扩展到不完备的
赋范空间上去

牛潇萌

赤峰学院数学与统计学院，赤峰

Email: ndnxm@126.com

收稿日期：2014年5月26日；修回日期：2014年6月21日；录用日期：2014年6月30日

摘  要

在两个不完备的赋范空间上证明了Zabreǐko引理不能扩展到不完备的赋范空间上去。

关键词

赋范空间，不完备，半范数

1. 引言

开映射定理，闭图像定理和一致有界原理是泛函分析中的三个重要定理。Banach空间的许多理论都是以开映射定理，闭图像定理和一致有界原理这三个相关结果为基础的。它们的结论并不是对任意赋范空间都成立的了。开映射定理，闭图像定理和一致有界原理不能扩展到不完备的赋范空间上去[1] 。一般来说，在泛函分析教材中，这三个定理是直接用Baire纲定理来推导。文献[2] 给出了一致有界原理的一个没有利用Baire纲定理任何其他形式去推导的证明。Zabreǐko引理是Baire纲定理的一个弱描述，在文献[3] 中利用Zabreǐko引理给出了这三个定理的又一种证明方法。

2. Zabreǐko引理

定义1[3] 向量空间上的半范数或准范数是上的一个实值函数，使得对的所有元素和以及每一个纯量都满足下列条件：

1)；

2)；

条件(2)可以推广为任意有限个元素的形式：任取，有

例如，如果和是赋范空间并且是从到的线性算子，则从到中的函数是上的一个半范数，称为由诱导的半范数。

引理1[3] 设是向量空间，是上的半范数，则

1)。

2)。

3)。

4)是凸的，吸收的，平衡的。

从上面的论述可以看出，一个半范数未必是一个范数，但是当一个半范数满足条件：当时，则是一个范数。显然，一个向量空间上的范数总是一个半范数，且事实上是由该赋范空间上的恒等算子诱导的半范数。

定义2[3] 从赋范空间到非负实数集中的函数，称为是可数次可加的，如果对中的每一个收敛级数，有。

引理2[3] (Zabreǐko引理) Banach空间上的每一个可数次可加的半范数都是连续的。

3. Zabreǐko引理不能扩展到不完备的赋范空间上去

引理3[1] 设是有限非零序列的全体按坐标定义线性运算构成的向量空间。用表示范数，表示范数。记赋范空间，赋范空间。则是不完备的赋范空间。

下面定理中所提到的赋范空间和，指的是引理3中所定义的和。

定理1 (Zabreǐko引理不能扩展到不完备的赋范空间上去)范数是赋范空间上的一个可数次可加半范数，但是它不是连续的。

证明 首先证明是上的一个半范数。

任取，任取。则存在，当时，。因为，

所以，是上的一个半范数。

下面证明在上是可数次可加的。

设是中的收敛级数，所以其部分和按范数收敛。即存在，使得。

只要证明了在中收敛(即也是中的收敛级数)，由引理3可知范数是的范数，根据赋范空间中的范数总是可数次可加的。可以得到。

对于每一个n，由于，则，存在，当时，。，则，存在，当时，。取，则当时，。

对于每一个n，。

因为当时，。即对任意的，存在，当时，

。

因此当时，

。

故对任意的，存在正整数，当时，

。

即，所以也是中的收敛级数，因此。从而由定义2可得出在上是可数次可加的。

综上可知，是赋范空间上的一个可数次可加半范数。

在赋范空间上不连续，这是因为取，有

，

但是不趋于。因此在赋范空间上不连续。

4. 结束语

定理1说明了Zabreǐko引理不能扩展到不完备的赋范空间上去，同时也说明了赋范空间上的可数次可加半范数的连续性是区分Banach空间与不完备赋范空间的一种重要方式。

参考文献 (References)