Pure Mathematics
Vol.05 No.03(2015), Article ID:15230,4
pages
10.12677/PM.2015.53015
The Superderivation Algebra of the Finite-Dimensional Simple Modular Lie Superalgebra
Lihua Zhang, Lu Wang
School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang Liaoning
Email: nankaizlh@163.com
Received: Apr. 29th, 2015; accepted: May 8th, 2015; published: May 15th, 2015
Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
In this paper, the superderivation algebra of the finite-dimensional simple modular Lie superalgebra is discussed, and the structure of it is determined, i.e.
.
Keywords:Modular Lie Superalgebra, Superderivation Algebra, Z-Grade
有限维单模李超代数的导子超代数
张丽华,王 璐
沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁 沈阳
Email: nankaizlh@163.com
收稿日期:2015年4月29日;录用日期:2015年5月8日;发布日期:2015年5月15日
摘 要
本文研究了有限维单模李超代数的导子超代数,确定了其的结构,即
。
关键词 :模李超代数,导子超代数,Z-阶化
1. 引言
目前,有限维单模李超代数的分类问题还没有解决[1] -[4] ,所以文献 [5] 构造了有限维模李超代数,并证明了它是单模李超代数。
为了将与已有的有限维单模李超代数进行比较,本文确定了
的导子超代数,得到的结论是
,于是
与已有的有限维单模李超代数都不同构。
2.回顾
下面将文献[5] 构造的有限维单模李超代数作简要介绍。用
表示正整数集,
是特征数为
的域,设
,
为域
上具有
个未定元
的外代数。
定义,
,令
。对
,令
,且约定
,则
构成了
的一组
-基底。
令,
为满足
,
的截头多项式代数。令
为模
的剩余类环,
,设
,定义:
,于是
,
为
的一组
-基底。
令,
表示模2的剩余类环,令:
,
,于是
是由
的
阶化诱导的结合超代数。
设是超代数,若
,其中
,则称
是次数
的
-齐次元素,并记
。在本文中若
出现在某个表达式中,则约定
是
-齐次元素。用
表示超代数
的所有
-齐次元素构成的集合,即
。
若,将
简记为
,于是
是
的一个
-基底。令
,则
是
-阶化超代数,且
。
设,对
,令
为
对
的偏导子,则
可扩充为
的导子,使得对
,
。
设,若
,则令
,使得
;令
,若
,约定
,那么对任意的
,有
,于是,当
时,
,而当
时,
。
设,定义
,则对
,
有:
令,那么
是
的导子超代数
的子代数,
为
的一组
-基底。下面简记
为
。
令,其中:
,那么
是
阶化李超代数 [1] 。
3.的导子超代数
设。
引理3.1 设,令
,其中
,则
是
阶化李超代数。
证明:参见文献 [1] 第30页引理2.1的证明。
引理3.2 若其中
,那么
。
证明:当时,
;当
时,令
,其中
(下面相同),有
,于是
。
命题3.1 若, 其中
且
,那么存在
,使得
。
证明:参见文献 [6] 第29页命题2.5.5的证明。
命题3.2。
证明:参见文献 [6] 第18页命题2.3.14的证明。
引理3.3 设,若对任意的
,都有
成立,那么
。
证明:由引理3.2及文献 [6] 第16页引理2.3.10的证明可知引理3.3成立。
引理3.4 设,其中
。若
,那么
。
证明:首先,因,所以当
时
,又
,所以对
,
,从而有
。
下面要证明,为此对
做数学归纳法:首先
,假设
且
,任取
,因对
,
,
,而
,所以
,
,且
,
,由归纳假设
,因此,
,
。又:
因此有,
,由引理3.3知
。
因,
,所以
,所以
。
由于,所以
,而
,因此
,故
,从而知
,于是有
。
综上可知:
因为,所以任意
可表为:
,其中
,而
,所以
,因此:
,即对任意
,都有
,因此
。
命题3.3。
证明:任取,下面证明
。注意到:
对,其中
因为
,所以
,因此可设
。
因,所以存在
,于是有
,进而有
。
设。因
,所以
,
,从而
,
,于是将
作用在等式
两端得:
因此当时有
,得:
。
因,又
,所以有
,由前面讨论知
,所以将
作用于等式
两端得:
,推出
,从而知
。
对,其中
,也有
,因此也可设
。
因,所以
,因此存在
,进而得
及同样也有
,于是将
作用于等式
的两端就有:
故此当时有
,并且有
,因此
。
综上可知:,由引理3.4知
,因此
。
定理3.1。
证明:由命题3.3知,而
,其中
,所以
,于是任意的
可表为:
,其中
。
由命题3.2知,所以存在
,使得
。
对,因
,所以存在
,使得
,由命题3.1知,存在
,使得
,于是
,因此若令
,则有
,因此
,但
,故此
。
4. 结论
本文确定了有限维单模李超代数的导子超代数,从而说明
与已有的有限维单模李超代都不同构,进一步要讨论它的限制性及表示。
文章引用
张丽华,王 璐, (2015) 有限维单模李超代数W⌒(n,m)的导子超代数
The Superderivation Algebra of the Finite-Dimensional Simple Modular Lie Superalgebra W⌒(n,m). 理论数学,03,95-99. doi: 10.12677/PM.2015.53015
参考文献 (References)