Pure Mathematics
Vol.05 No.03(2015), Article ID:15230,4
pages
10.12677/PM.2015.53015
The Superderivation Algebra of the Finite-Dimensional Simple Modular Lie Superalgebra
Lihua Zhang, Lu Wang
School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang Liaoning
Email: nankaizlh@163.com
Received: Apr. 29th, 2015; accepted: May 8th, 2015; published: May 15th, 2015
Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc.
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ABSTRACT
In this paper, the superderivation algebra of the finite-dimensional simple modular Lie superalgebra is discussed, and the structure of it is determined, i.e..
Keywords:Modular Lie Superalgebra, Superderivation Algebra, Z-Grade
有限维单模李超代数的导子超代数
张丽华,王 璐
沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁 沈阳
Email: nankaizlh@163.com
收稿日期:2015年4月29日;录用日期:2015年5月8日;发布日期:2015年5月15日
摘 要
本文研究了有限维单模李超代数的导子超代数,确定了其的结构,即。
关键词 :模李超代数,导子超代数,Z-阶化
1. 引言
目前,有限维单模李超代数的分类问题还没有解决[1] -[4] ,所以文献 [5] 构造了有限维模李超代数,并证明了它是单模李超代数。
为了将与已有的有限维单模李超代数进行比较,本文确定了的导子超代数,得到的结论是,于是与已有的有限维单模李超代数都不同构。
2.回顾
下面将文献[5] 构造的有限维单模李超代数作简要介绍。用表示正整数集,是特征数为的域,设,为域上具有个未定元的外代数。
定义,,令。对,令,且约定,则构成了的一组-基底。
令,为满足, 的截头多项式代数。令为模的剩余类环,,设,定义:,于是,为的一组-基底。
令,表示模2的剩余类环,令:,,于是是由的阶化诱导的结合超代数。
设是超代数,若,其中,则称是次数的-齐次元素,并记。在本文中若出现在某个表达式中,则约定是-齐次元素。用表示超代数的所有-齐次元素构成的集合,即。
若,将简记为,于是是的一个-基底。令,则是-阶化超代数,且。
设,对,令为对的偏导子,则可扩充为的导子,使得对,。
设,若,则令,使得;令,若,约定,那么对任意的,有,于是,当时,,而当时,。
设,定义,则对,有:
令,那么是的导子超代数的子代数,为的一组-基底。下面简记为。
令,其中:,那么是阶化李超代数 [1] 。
3.的导子超代数
设。
引理3.1 设,令,其中,则是阶化李超代数。
证明:参见文献 [1] 第30页引理2.1的证明。
引理3.2 若其中,那么。
证明:当时,;当时,令,其中(下面相同),有,于是。
命题3.1 若, 其中且,那么存在,使得。
证明:参见文献 [6] 第29页命题2.5.5的证明。
命题3.2。
证明:参见文献 [6] 第18页命题2.3.14的证明。
引理3.3 设,若对任意的,都有成立,那么。
证明:由引理3.2及文献 [6] 第16页引理2.3.10的证明可知引理3.3成立。
引理3.4 设,其中。若,那么。
证明:首先,因,所以当时,又,所以对,,从而有。
下面要证明,为此对做数学归纳法:首先,假设且,任取,因对,,,而,所以,,且,,由归纳假设,因此,,。又:
因此有,,由引理3.3知。
因,,所以,所以。
由于,所以,而,因此,故,从而知,于是有。
综上可知:
因为,所以任意可表为:,其中,而,所以,因此:,即对任意,都有,因此。
命题3.3。
证明:任取,下面证明。注意到:
对,其中因为,所以,因此可设。
因,所以存在,于是有,进而有。
设。因,所以,,从而,,于是将作用在等式两端得:
因此当时有,得:。
因,又,所以有,由前面讨论知,所以将作用于等式两端得:,推出,从而知。
对,其中,也有,因此也可设。
因,所以,因此存在,进而得及同样也有,于是将作用于等式的两端就有:
故此当时有,并且有,因此。
综上可知:,由引理3.4知,因此。
定理3.1。
证明:由命题3.3知,而,其中,所以,于是任意的可表为:,其中。
由命题3.2知,所以存在,使得。
对,因,所以存在,使得,由命题3.1知,存在,使得,于是,因此若令,则有,因此,但,故此。
4. 结论
本文确定了有限维单模李超代数的导子超代数,从而说明与已有的有限维单模李超代都不同构,进一步要讨论它的限制性及表示。
文章引用
张丽华,王 璐, (2015) 有限维单模李超代数W⌒(n,m)的导子超代数
The Superderivation Algebra of the Finite-Dimensional Simple Modular Lie Superalgebra W⌒(n,m). 理论数学,03,95-99. doi: 10.12677/PM.2015.53015
参考文献 (References)