Pure Mathematics
Vol.07 No.06(2017), Article ID:22573,9 pages
10.12677/PM.2017.76055

Conditions That Subdirect Sums of MB-Matrices Is Still MB-Matrices

Yi Luo

School of Mathematics and Statistics, Yunnan University, Kunming Yunnan

Received: Oct. 14th, 2017; accepted: Oct. 28th, 2017; published: Nov. 2nd, 2017

ABSTRACT

By splitting an MB-matrix A into a sum of a nonsingular M-matrix and a nonnegative rank 1 matrix, some sufficient and necessary conditions and some sufficient conditions are given such that the subdirect sum of two MB-matrices is still an MB-matrix. Some examples are also given to illustrate the results.

Keywords:Z-Matrix, Nonsingular M-Matrix, MB-Matrix, Subdirect Sum

MB-矩阵子直和仍为MB-矩阵的条件

骆毅

云南大学数学与统计学院,云南 昆明

收稿日期:2017年10月14日;录用日期:2017年10月28日;发布日期:2017年11月2日

摘 要

通过将MB-矩阵分裂成一个非奇异M-矩阵和一个秩1非负矩阵之和,获得MB-矩阵的子直和仍为MB-矩阵的一些充要条件和充分条件,最后用数值例子对所给结论进行了说明和解释。

关键词 :Z-矩阵,非奇异M-矩阵,MB-矩阵,子直和

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

1999年Fallat和Johnson首先在文献 [1] 中提出矩阵的子直和的概念,由于其在诸如马可夫链的递增许瓦兹迭代及分裂和重叠的递增许瓦兹迭代等研究中的重要性,引起了学者的关注和研究,并取得了一些重要研究成果,如文献 [2] [3] [4] 分别对非奇异M-矩阵及其逆的子直和、H-矩阵和双对角占优矩阵的子直和等进行了研究。本文在文献 [2] 和 [5] 的基础上对MB-矩阵的子直和进行研究,试图得到MB-矩阵的子直和仍为MB-矩阵的一些新的条件。

2. 预备知识

本节先给出一些基本概念、定理与符号,以备后用。

A = ( a i j ) R m × n ,如果对于所有的 i = 1 , , m ; j = 1 , , n 都有 a i j > 0 ( a i j 0 ) ,则称 A 为正(非负)矩阵,记为 A > O ( A O )

定义2.1. [6] 设 A = ( a i j ) R n × n ,如果对于所有的 1 i , j n i j 都有 a i j 0 ,则 A 称为Z-矩阵。如果 A 是Z-矩阵且 A 1 O ,则称 A 为M-矩阵。

定义2.2. [7] 设 A = ( a i j ) R n × n ,将 A 分裂为 A = A z + A r ,其中

A z = [ a 11 β 1 A a 12 β 1 A a 1 n β 1 A a 21 β 2 A a 22 β 2 A a 2 n β 2 A a n 1 β n A a n 2 β n A a n n β n A ] A r = [ β 1 A β 1 A β 1 A β 2 A β 2 A β 2 A β n A β n A β n A ] (1)

β i A = max { 0 , a i j | j i } 。显然 A z 是Z-矩阵, A r 是秩1非负矩阵。若 A z 为M-矩阵,则称 A 为MB-矩阵。

定义2.3. [2] 设 A R n 1 × n 1 , B R n 2 × n 2 k 是整数且 1 k min { n 1 , n 2 } n = n 1 + n 2 k A , B 分块如下:

A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] B = [ B 11 B 12 B 21 B 22 ] (2)

其中 A 22 B 11 都是 k 阶方阵。定义矩阵

M = [ A 11 A 12 O A 21 A 22 + B 11 B 12 O B 21 B 22 ] R n × n (3)

称其为 A B n ( n= n 1 + n 2 k ) 阶k-子直和,记为 M = A k B

A = ( a i j ) R n 1 × n 1 , B = ( b i j ) R n 2 × n 2 M = ( m i j ) R n × n 按定义2.2中的(1)式分别分裂为:

A = A z + A r B = B z + B r M = A k B = M z + M r

A z , A r , B z , B r 按(2)式分块为:

A z = [ A 11 z A 12 z A 21 z A 22 z ] A r = [ A 11 r A 12 r A 21 r A 22 r ] B z = [ B 11 z B 12 z B 21 z B 22 z ] B r = [ B 11 r B 12 r B 21 r B 22 r ]

定义矩阵

M ¯ = [ A 11 z A 12 z A 13 r A 21 z B 13 r A 22 z + B 11 z B 12 z A 23 r B 23 r B 21 z B 22 z ] R n × n (4)

其中

A 11 z R ( n 1 k ) × ( n 1 k ) A 12 z R ( n 1 k ) × k A 21 z R k × ( n 1 k ) A 22 z R k × k

B 11 z R k × k B 12 z R k × ( n n 1 ) B 21 z R ( n n 1 ) × k B 22 z R ( n n 1 ) × ( n n 1 )

A 11 r R ( n 1 k ) × ( n 1 k ) A 12 r R ( n 1 k ) × k A 13 r R ( n 1 k ) ( n n 1 ) 的第i行为 ( β i A , β i A , , β i A )

A 21 r R k × ( n 1 k ) A 22 r R k × k A 23 r R k × ( n n 1 ) 的第i行为 ( β i A , β i A , , β i A )

B 11 r R k × k B 12 r R k × ( n n 1 ) B 13 r R k × ( n 1 k ) 的第i行为 ( β i B , β i B , , β i B )

B 21 r R ( n n 1 ) × k B 22 r R ( n n 1 ) × ( n n 1 ) B 23 r R ( n n 1 ) × ( n 1 k ) 的第i行为 ( β i B , β i B , , β i B )

容易验证这里的 M ¯ 就是 [5] 中的 M ¯ ,于是由文献 [5] 知 M z M ¯ ,且都为Z-矩阵。

A z , B z 为非奇异矩阵时,将 ( A z ) 1 , ( B z ) 1 按(2)分块为:

( A z ) 1 = [ A 11 z ^ A 12 z ^ A 21 z ^ A 22 z ^ ] ( B z ) 1 = [ B 11 z ^ B 12 z ^ B 21 z ^ B 22 z ^ ] (*)

其中 A 11 z ^ R ( n 1 k ) × ( n 1 k ) A 12 z ^ R ( n 1 k ) × k A 21 z ^ R k × ( n 1 k ) A 22 z ^ R k × k B 11 z ^ R k × k B 12 z ^ R k × ( n n 1 ) B 21 z ^ R ( n n 1 ) × k B 22 z ^ R ( n n 1 ) × ( n n 1 )

定理2.1. [2] 设 A = [ a i j ] R n × n ,则如下3款成立:

1) 当 A 为非奇异M-矩阵时,其主对角元为正。

2) 当 A 为非奇异M-矩阵, B = [ b i j ] 为Z-矩阵且 B A 时, B 为非奇异M-矩阵。

3) A 为非奇异M-矩阵的充要条件为 A 的每一个主子矩阵为非奇异M-矩阵。

引理2.1. [8] 设 A = [ D E F G ] 非奇异,其中 D R ( n k ) × ( n k ) G R k × k E R ( n k ) × k F R k × ( m k ) 。则

1) 若 D 非奇异且 D 1 0 E 0 F 0 ,则 A 1 0 当且仅当 ( A / D ) 1 0

2) 若 G 1 0 E 0 F 0 ,则 A 1 0 当且仅当 ( A / G ) 1 0

这里 A / D 表示矩阵 A D 的Schur补。

3. MB-矩阵的k-子直和

先给出 M ¯ 为非奇异的Z-矩阵的充要条件。

定理3.1. 设 A z , B z 为M-矩阵,

det H ^ = det { ( B 11 z ^ + A 22 z ^ ) + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ ) ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ } 0

B 23 r = O ,则 M ¯ 为非奇异的Z-矩阵。

证明:由(*)式得

( A z ) 1 [ I n 1 k O B 13 r I k ] = [ A 11 z + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ ]

再由 det ( A z ) 1 det [ I n 1 k O B 13 r I k ] 0

det [ A 11 z + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ ] 0

于是由 A z ( A z ) 1 = I n 1 ,得

A 11 z A 11 z ^ + A 12 z A 12 z ^ = I n 1 k = I n n 2 A 11 z A 12 z ^ + A 12 z A 22 z ^ = 0

A 21 z A 11 z ^ + A 22 z A 21 z ^ = 0 A 21 z A 12 z ^ + A 22 z A 22 z ^ = I k

( A z ) 1 A z = I n 1 ,得

A 11 z ^ A 11 z + A 12 z ^ A 12 z = I n n 2 A 11 z ^ A 12 z + A 12 z ^ A 22 z = 0

A 21 z ^ A 11 z + A 22 z ^ A 21 z = 0 A 21 z ^ A 12 z + A 22 z ^ A 22 z = I k

B z ( B z ) 1 = I n 2 ,得

B 11 z B 11 z ^ + B 12 z B 21 z ^ = I k B 11 z B 12 z ^ + B 12 z B 22 z ^ = 0

B 21 z B 11 z ^ + B 22 z B 21 z ^ = 0 B 21 z B 12 z ^ + B 22 z B 22 z ^ = I n n 1

( B z ) 1 B z = I n 2 ,得

B 11 z ^ B 11 z + B 12 z ^ B 21 z = I k B 11 z ^ B 12 z + B 12 z ^ B 22 z = 0

B 21 z ^ B 11 z + B 22 z ^ B 21 z = 0 B 21 z ^ B 12 z + B 22 z ^ B 22 z = I n n 1

故有

[ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n n 1 ] M ¯ [ I n n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ]

= [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n n 1 ] [ A 11 z A 12 z A 13 r A 21 z B 13 r A 22 z + B 11 z B 12 z A 23 r B 23 r B 21 z B 22 z ] [ I n n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ] = [ ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 12 z ^ ( A 21 z B 13 r ) ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 12 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 22 z ^ ( A 21 z B 13 r ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 22 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) B 23 r B 21 z ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 12 z ^ ( B 12 z A 23 r ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 22 z ^ ( B 12 z A 23 r ) B 22 z ][ I n n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ]

= [ ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 12 z ^ ( A 21 z B 13 r ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 22 z ^ ( A 21 z B 13 r ) B 23 r ( ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 12 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 11 z ^ +( ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 12 z ^ ( B 12 z A 23 r ) ) B 21 z ^ ( ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 22 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 11 z ^ +( ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 22 z ^ ( B 12 z A 23 r ) ) B 21 z ^ B 21 z B 11 z ^ + B 22 z B 21 z ^ ( ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 12 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 12 z ^ +( ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 12 z ^ ( B 12 z A 23 r ) ) B 22 z ^ ( ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 22 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 12 z ^ +( ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 22 z ^ ( B 12 z A 23 r ) ) B 22 z ^ B 21 z B 12 z ^ + B 22 z B 22 z ^ ]

= [ A 11 z ^ A 11 z + A 12 z ^ B 13 r A 11 z + A 12 z ^ A 21 z A 12 z ^ B 13 r A 21 z ^ A 11 z + A 22 z ^ B 13 r A 11 z + A 22 z A 21 z A 22 z ^ B 13 r ^ B 23 z A 11 z ^ A 12 z B 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z B 11 z ^ + A 12 z ^ A 22 z B 11 z ^ + A 12 z ^ B 11 z B 11 z ^ A 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ A 12 z ^ B 13 r A 13 r B 21 z ^ + A 12 z ^ B 12 z B 21 z ^ A 12 z ^ A 23 r B 21 z ^ A 21 z ^ A 12 z B 11 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 12 z B 11 z ^ + A 22 z ^ A 22 z B 11 z ^ + A 22 z ^ B 11 z B 11 z ^ A 21 z ^ A 13 r B 21 z ^ A 22 z ^ B 13 r A 13 r B 21 z ^ + A 22 z ^ B 12 z B 21 z ^ A 22 z ^ A 23 r B 21 z ^ B 21 z B 11 z ^ + B 22 z B 21 z ^ A 11 z ^ A 12 z B 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z B 12 z ^ + A 12 z ^ A 22 z B 12 z ^ + A 12 z ^ B 11 z B 12 z ^ A 11 z ^ A 13 r B 22 z ^ A 12 z ^ B 13 r A 13 r B 22 z ^ + A 12 z ^ B 12 z B 22 z ^ A 12 z ^ A 23 r B 22 z ^ A 21 z ^ A 12 z B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 12 z B 12 z ^ + A 22 z ^ A 22 z B 12 z ^ + A 22 z ^ B 11 z B 12 z ^ A 21 z ^ A 13 r B 22 z ^ A 22 z ^ B 13 r A 13 r B 22 z ^ + A 22 z ^ B 12 z B 22 z ^ A 22 z ^ A 23 r B 22 z ^ B 21 z B 12 z ^ + B 22 z B 22 z ^ ]

= [ A 11 z ^ A 11 z + A 12 z ^ A 21 z ( A 11 z ^ A 12 z + A 12 z ^ A 22 z ) B 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ ) + A 12 z ^ ( B 11 z B 11 z ^ + B 12 z B 21 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ A 21 z ^ A 11 z + A 22 z ^ A 21 z ( A 21 z ^ A 12 z + A 22 z ^ A 22 z ) B 11 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ ) + A 22 z ^ ( B 11 z B 11 z ^ + B 12 z B 21 z ^ ) ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ B 23 z 0 ( A 11 z ^ A 12 z + A 12 z ^ A 22 z ) B 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ )+ A 12 z ^ ( B 11 z B 12 z ^ + B 12 z B 22 z ^ )( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ( A 21 z ^ A 12 z + A 22 z ^ A 22 z ) B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ )+ A 22 z ^ ( B 11 z B 12 z ^ + B 12 z B 22 z ^ )( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n n 1 ] =[ I n n 2 A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ )( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ )( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ 0 H ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ )( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 23 r 0 I n n 1 ]

由此式知,当 det H ^ 0 B 23 r = O 时, M ¯ 为非奇异的。

现在讨论MB-矩阵的子直和为MB-矩阵的充分条件。

容易验证

[ I n n 2 F Y 0 H ^ Q 0 0 I n n 1 ] 1 [ I n n 2 C D O H ^ 1 E O O I n n 1 ] = [ I n n 2 0 0 0 I k 0 0 0 I n n 1 ]

其中

C = [ A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ ] × H ^ 1

D = [ A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ] + [ A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ ] × H ^ 1 × [ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ ) ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ]

E = H ^ 1 × [ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ ) ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ]

F = A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^

Y = A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^

Q = B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ ) ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^

从而有

[ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n n 1 ] M ¯ [ I n n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ]

= [ I n n 2 A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ 0 H ^ B 23 r 0 A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ )( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ )( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n n 1 ]

对上式两边同时取逆得:

[ I n n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ] 1 ( M ¯ ) 1 [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n n 1 ] 1

= { [ I n n 2 A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ 0 H ^ B 23 r 0

A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ ) ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n n 1 ] } 1

A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ ) ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ A 13 r B 22 z ^ ) ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n n 1 ] } 1

进而可得:

( M ¯ ) 1 = [ I n n 2 O O O B 11 z ^ B 12 z ^ O B 21 z ^ B 22 z ^ ] [ I n n 2 C D O H ^ 1 E O O I n n 1 ] [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ O A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ O O O I n n 1 ]

( M ¯ ) 1 = [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r + C ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z ^ + C A 22 z ^ D B 11 z ^ H ^ ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) B 11 z ^ H ^ 1 A 22 z ^ B 11 z ^ E + B 12 z ^ B 21 z ^ H ^ 1 ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) B 21 z ^ H ^ 1 A 22 z ^ B 21 z ^ E + B 22 z ^ ] (5)

定理3.2. 设 A z , B z 为M-矩阵,

det H ^ = det { ( B 11 z ^ + A 22 z ^ ) + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ ) ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ } 0

B 23 r = O ,则当(5)式中的每一个分块为非负矩阵时, M = A k B 为MB-矩阵。

证明:当 M ¯ 满足上述条件时,由定义2.1知 M ¯ 为非奇异M-矩阵。再由 M z M ¯ 及定理2.1的性质(2)知 M z 为非奇异M-矩阵,于是由定义2.2知 M = A k B 为MB-矩阵。

下面对 B 23 r O 时的情况进行讨论。设 A = [ D E F G ] R n × n ,其中 D R k × k 且非奇异,矩阵 A D 的Schur补记为 A / D ,即 A / D = G F D 1 E 。同样如果 G 为非奇异时, A / G = D E G 1 F

定理3.4. 设 A , B 为MB-矩阵,若

( D ˜ ) 1 0 ( G ˜ F ˜ ( D ˜ ) 1 E ˜ ) 1 0

M = A k B 为MB-矩阵,其中

D ˜ = A 11 z A 13 r ( B 22 z ) 1 B 23 r E ˜ = A 12 z + A 13 r ( B 22 z ) 1 B 21 z 0

F ˜ = A 21 z B 13 r + B 12 z ( B 22 z ) 1 B 23 r A 23 r ( B 22 z ) 1 B 23 r 0 G ˜ = A 22 z + B 11 z B 12 z ( B 22 z ) 1 B 21 z + A 23 r ( B 22 z ) 1 B 21 z

证明:将 M ¯ 分块为 M ¯ = [ X Q ˜ S ˜ T ] ,其中 X = ( A 11 z A 12 z A 21 z B 13 r A 22 z + B 11 z ) Q ˜ = [ A 13 r B 12 z A 23 r ] T S ˜ = [ B 23 r B 21 z ] T = B 22 z 。由 A z , B z 为M-矩阵,定义2.2及定理2.1得 Q ˜ 0 T 1 0 S ˜ 0 。由引理2.1得 ( M ¯ ) 1 0 当且仅当 ( M ¯ / T ) 1 0 ,其中 M ¯ / T = X Q ˜ T 1 S ˜ ,即

M ¯ / T = [ A 11 z A 13 r ( B 22 z ) 1 B 23 r A 12 z + A 13 r ( B 22 z ) 1 B 21 z A 21 z B 13 r + B 12 z ( B 22 z ) 1 B 23 r A 23 r ( B 22 z ) 1 B 23 r A 22 z + B 11 z B 12 z ( B 22 z ) 1 B 21 z + A 23 r ( B 22 z ) 1 B 21 z ]

M ¯ / T = [ D ˜ E ˜ F ˜ G ˜ ] ,则当 ( D ˜ ) 1 0 时,由引理2.1得 ( M ¯ / T ) 1 0 当且仅当

( ( M ¯ / T ) / D ˜ ) 1 = ( G ˜ F ˜ ( D ˜ ) 1 E ˜ ) 1 0

从而当 ( G ˜ F ˜ ( D ˜ ) 1 E ˜ ) 1 0 时, ( M ¯ ) 1 0 。又因 M ¯ 为Z-矩阵,故 M ¯ 为M-矩阵。由 M z M ¯ M z 为Z-矩阵得, M z 为M-矩阵,再由定义2.2得 M = A k B 为MB-矩阵。

下面我们将讨论 A , B 均为MB-矩阵且 A 22 z = B 11 z 的特殊情况,定理3.7给出了它们的子直和仍为MB-矩阵的充分条件。

定理3.7. 设 A , B 为MB-矩阵且 A 22 z = B 11 z ,若 C 为非奇异M-矩阵,则 M = A k B 为MB-矩阵,其中

C = [ A 11 z A 12 z A 13 r A 21 z B 13 r A 22 z B 12 z A 23 r B 23 r B 21 z B 22 z ]

证明:构造一个Z-矩阵 T R n × n

T = [ A 11 z 2 A 12 z A 13 r A 21 z B 13 r 2 A 22 z B 12 z A 23 r B 23 r 2 B 21 z B 22 z ]

T = C d i a g ( I , 2 I , I ) T 1 = d i a g ( I , ( 1 / 2 ) I , I ) C 1 O T 是一个非奇异的M-矩阵。此时

M ¯ = [ A 11 z A 12 z A 13 r A 21 z B 13 r 2 A 22 z B 12 z A 23 r B 23 r B 21 z B 22 z ]

M ¯ T ,于是 M ¯ 为非奇异的M-矩阵。由 M z M ¯ M z 也为非奇异的M-矩阵。

故由定义2.2得 M = A k B 为MB-矩阵。

例3.3. 设矩阵 A , B 及按定义2.2分裂为

A = [ 4 . 1 1 . . . . 1 . 11 3 1 . 13 8 ] = A z + A r = [ 3 0 0 1 11 3 1 13 8 ] + [ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ]

B = [ 11 2 . 1 13 8 . 3 . . . . 1 1 . 3 ] [ 11 3 1 13 8 3 1 1 3 ] = B z + B r = [ 11 3 1 13 8 3 0 0 2 ] + [ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ]

按定理3.7取

C = [ 3 0 0 1 1 11 3 1 1 13 8 3 1 0 0 2 ]

容易验证 A , B 为MB-矩阵和 C 为非奇异M-矩阵,则 A , B 的子直和

M = A 2 B = [ 4 1 1 0 1 22 6 1 1 26 16 3 0 1 1 3 ]

由定理3.7得 M = A 2 B 为MB-矩阵。

致谢

由衷地感谢我的导师李耀堂教授在学习和科研上对我的指导和帮助。

文章引用

骆 毅. MB-矩阵子直和仍为MB-矩阵的条件
Conditions That Subdirect Sums of MB-Matrices Is Still MB-Matrices[J]. 理论数学, 2017, 07(06): 422-430. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.76055

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