ABSTRACT

By using fountain theorem, we studied a class of the Dirichlet boundary value problems of quasilinear elliptic equation with Φ-Laplacian operator. Without the Ambrosetti-Rabinowitz condition, we obtained infinitely many weak solutions.

Keywords:Quasilinear Elliptic Equation, Concave-Convex Nonlinearity, Fountain Theorem

含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程的无穷多解

王明旻^*，贾高

上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2019年11月14日；录用日期：2019年11月27日；发布日期：2019年12月4日

摘 要

本文利用喷泉定理讨论了一类具有Φ-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程Dirichlet问题，在非线性项不满足(AR)条件的情况下，得到无穷多解的存在性。

关键词 :拟线性椭圆型方程，凹凸非线性项，喷泉定理

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1. 引言

本文考虑如下带有Dirichlet边界的拟线性椭圆型方程存在无穷多解：

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{\Phi }u=\lambda u^{\tau -1}+f\left(x,u\right),x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (1)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个具有光滑边界的有界区域， ${\Delta }_{\Phi }u=\text{div}\left(\varphi \left(\left|\nabla u\right|\right)\nabla u\right)$ 是Φ-Laplace算子， $s\mapsto s\varphi \left(s\right)$ 是奇函数， $\Phi \left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t\varphi \left(s\right)s\text{d}s}$，$f:\bar{\Omega }\times ℝ\to ℝ$ 是连续函数， $\lambda >0$。

在过去几十年里，对具有Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程解的存在性等相关问题得到了广泛研究，如文献 [1] [2]。并且这类方程有很好的物理背景，在偏微分方程、非牛顿流体、图像处理、等离子物理等领域有着广泛的应用。近年来，讨论无穷多解存在性的文章有很多，如文献 [3] [4]，分别研究了方程和方程组解的存在性和多重性问题，其中具有代表性的结果是

$\{\begin{array}{l}-\text{div}\left(a\left(\left|\nabla u\right|\right)\nabla u\right)=f\left(x,u\right),x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (2)

作者Chung [5] 等利用山路定理和喷泉引理研究了问题(2)非平凡弱解和无穷解序列的存在性问题。

本文的目的是在没有(AR)条件的情况下得到问题(1)的无穷多解的存在性。

首先，给出函数 $\varphi :\left(0,+\infty \right)\to ℝ$ 满足下列假设：

$\left({\varphi }_1\right)$ 当 $t\to 0$ 时， $t\varphi \left(t\right)\to 0$，当 $t\to \infty$ 时， $t\varphi \left(t\right)\to \infty$ ；

$\left({\varphi }_2\right)$ $t\varphi \left(t\right)$ 在 $\left(0,+\infty \right)$ 上严格增的；

$\left({\varphi }_3\right)$ $0<\mathcal{l}-1\le \frac{{\left(t\varphi \left(t\right)\right)}^{\prime }}{\varphi \left(t\right)}\le m-1<{\mathcal{l}}^{\ast }-1<\mathbb{N}$，其中 ${\mathcal{l}}^{\ast }=\frac{N\mathcal{l}}{N-\mathcal{l}}$，$0<\tau <\mathcal{l}$ ；

$\left({\varphi }_4\right)$ 存在常数 ${\mu }_1>0$，使得对任意的 $a\in \left[0,1\right]$，$t>0$，有

$\bar{\Phi }\left(at\right)\le \bar{\Phi }\left(t\right)+{\mu }_1$，

其中 $\bar{\Phi }\left(t\right)=m\Phi \left(t\right)-\varphi \left(t\right)t^2$。

进一步，假设 $f:\bar{\Omega }\times ℝ\to ℝ$ 是连续函数且满足下面条件：

$\left(f_1\right)$ f满足次临界增长条件，即对任意的 $\left(x,t\right)\in \Omega \times ℝ$，有

$\left|f\left(x,t\right)\right|\le c_0\left(1+{\left|t\right|}^{q-1}\right)$，

其中 $m<q<{\mathcal{l}}^{\ast }$，$c_{\text{0}}>0$ ；

$\left(f_2\right)$ $\underset{\left|t\right|\to \infty }{\text{lim}}\frac{F\left(x,t\right)}{{\left|t\right|}^m}=+\infty$ 对几乎所有 $x\in \Omega$ 一致成立；

$\left(f_3\right)$ 存在常数 ${\mu }_2>0$，使得对任意的 $a\in \left[0,1\right]$，有

$\bar{F}\left(x,at\right)\le \bar{F}\left(x,t\right)+{\mu }_2$，$\forall \left(x,t\right)\in \Omega \times ℝ$，

其中 $\bar{F}\left(x,t\right)=tf\left(x,t\right)-mF\left(x,t\right)$，$F\left(x,t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x,s\right)\text{d}s}$ ；

$\left(f_4\right)$ $f\left(x,-t\right)=-f\left(x,t\right)$，$\forall \left(x,t\right)\in \Omega \times ℝ$。

假设f在无穷远处m次超线性增长，即 $\left(f_2\right)$，但不满足(AR)条件(见文献 [6] )，这对我们解决问题造成了困难。为了克服这一困难，我们需要证明 ${\left(C\right)}_c$ 条件，从而利用喷泉定理，得到问题(1)的无穷多解的存在性。

本文的主要结果如下：

定理1.1：在满足 $\left({\varphi }_1\right)\text{-}\left({\varphi }_{\text{4}}\right)$ 和 $\left(f_1\right)\text{-}\left(f_4\right)$ 假设下，问题(1)对任意的 $\lambda >0$，有无穷解序列 $\left\{u_k\right\}$ 满足

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|\nabla u_k\right|\right)\text{d}x}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_k\right|}^{\tau }\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,u_k\right)\text{d}x}\to \infty$，$k\to \infty$。

2. 预备知识和基本引理

记 $L_{\Phi }\left(\Omega \right)=\left\{u|u:\Omega \to ℝ是可测的,{\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|u\left(x\right)\right|\right)\text{d}x<\infty }\right\}$，在 $L_{\Phi }\left(\Omega \right)$ 上定义Luxemburg范数：

${\Vert u\Vert }_{\Phi }=\underset{k}{\inf }\left\{k>0|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\frac{\left|u\left(x\right)\right|}{k}\right)\text{d}x\le 1}\right\}$。

记 $W^{1,\Phi }\left(\Omega \right)=\left\{u|u\in L_{\Phi }\left(\Omega \right),D_{i}u\in L_{\Phi }\left(\Omega \right),i=1,\cdots ,n\right\}$，在 $W^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 上定义范数：

${\Vert u\Vert }_{1,\Phi }={\Vert u\Vert }_{\Phi }+{\Vert \nabla u\Vert }_{\Phi }$。

记 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 是 $C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 在 $W^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中的闭包。设 $\Phi$ 满足 ${\Delta }_{\text{2}}$ -条件，即 $\Phi \left(2t\right)\le K\Phi \left(t\right)$，$\forall t\ge 0$，则 $L_{\Phi }\left(\Omega \right)$ 和 $W^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 是可分、自反的Banach空间(见文献 [7] )。

设 $d_{\Omega }=diam\left(\Omega \right)$，则对任意 $u\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$，有 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(u\right)\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(2d_{\Omega }\left|\nabla u\right|\right)\text{d}x}$，那么 ${\Vert u\Vert }_{\Phi }\le 2d_{\Omega }{\Vert \nabla u\Vert }_{\Phi }$。因此，定义在 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 上的范数 $\Vert u\Vert :={\Vert \nabla u\Vert }_{\Phi }$ 与 ${\Vert \cdot \Vert }_{1,\Phi }$ 等价。

设 ${\Phi }_{*}^{-1}={\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\Phi }^{-1}\left(s\right)}{s^{\frac{N+1}{N}}}\text{d}s}$，且当 $t<0$ 时， ${\Phi }_{\ast }\left(t\right)={\Phi }_{\ast }\left(-t\right)$。如果对于所有的 $\nu >0$，都有 $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\Upsilon \left(\nu t\right)}{{\Phi }_{\ast }\left(t\right)}=0$，则称函数 $\Upsilon$ 在无穷远处比 ${\Phi }_{\ast }$ 增长得更慢，记 $\Upsilon \ll {\Phi }_{\ast }$。如果 $\Upsilon \ll {\Phi }_{\ast }$，则 。进一步，有 。在条件 $\left({\varphi }_1\right)\text{-}\left({\varphi }_3\right)$ 下，有连续嵌入： 。

注记2.1：在条件 $\left({\varphi }_3\right)$ 下，可推得下式成立：

$\mathcal{l}-2\le \frac{{\varphi }^{\prime }\left(t\right)t}{\varphi \left(t\right)}\le m-2$，$\mathcal{l}\le \frac{\varphi \left(t\right)t^2}{\Phi \left(t\right)}\le m$，$t>0$。

下面给出本文需要的几个基本引理。

引理2.2 [1]：设 $\left({\varphi }_1\right)\text{-}\left({\varphi }_3\right)$ 成立，对所有的 $t\ge 0$，令

${\eta }_1\left(t\right)=\min \left\{t^{\mathcal{l}},t^m\right\}$，${\eta }_2\left(t\right)=\max \left\{t^{\mathcal{l}},t^m\right\}$。

则对于任意 $\rho ,t>0$，$u\in L_{\Phi }\left(\Omega \right)$，成立

${\eta }_1\left(t\right)\varphi \left(\rho \right)\le \varphi \left(\rho t\right)\le {\eta }_2\left(t\right)\varphi \left(\rho \right)$，${\eta }_{\text{1}}\left({\Vert u\Vert }_{\Phi }\right)\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(u\right)\text{d}x}\le {\eta }_{\text{2}}\left({\Vert u\Vert }_{\Phi }\right)$。

定义2.3： 设 $\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 是实Banach空间， $I\in C^1\left(X,ℝ\right)$，我们说泛函在水平 $c\in ℝ$ 处满足Cerami条件(简称 ${\left(C\right)}_c$ 条件)是指：如果对任意序列 $\left\{u_n\right\}\subset X$，当 $n\to \infty$ 时，有 $I\left(u_n\right)\to c$，且 ${\Vert I^{\prime }\left(u_n\right)\Vert }_{\ast }\left(1+\Vert u_n\Vert \right)\to 0$，那么 $\left\{u_n\right\}$ 在X中存在收敛的子序列。

引理2.4 [8]：设 $\left({\varphi }_1\right)\text{-}\left({\varphi }_3\right)$ 成立，则 $-{\Delta }_{\Phi }$ 是 $\left(S_{+}\right)$ 型算子，即对任意给定序列 $\left\{u_n\right\}\subset W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$，若 $u_n\rightharpoonup u$，且 $\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle -{\Delta }_{\Phi }{u}_n,u_n-u\rangle \le 0$，则在 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中有 $u_n\to u$。

为了证明主要结果需要使用下列的喷泉定理(见文献 [9] )。

设X为可分自反的Banach空间，存在 $\left\{e_j\right\}\subset X$，$\left\{e_j^{\ast }\right\}\subset X^{\ast }$，使得

$X=\overline{\text{span}\left\{e_j:j=1,2,\cdots \right\}}$，$X^{\ast }=\overline{\text{span}\left\{e_j^{\ast }:j=1,2,\cdots \right\}}$，

且

$\langle e_j,e_j^{\ast }\rangle =\{\begin{array}{l}1,i=j,\\ 0,i\ne j.\end{array}$

记 $X_j=\text{span}\left\{e_j\right\}$，对任意的 $k\in \mathbb{N}$，定义 $Y_k=\underset{j=1}{\overset{k}{\oplus }}{X}_j$，$Z_k=\overline{\underset{j=k}{\overset{\infty }{\oplus }}{X}_j}$。

引理2.5： (喷泉定理)设X是可分的自反实Banach空间， $I\in C^1\left(X,ℝ\right)$ 是偶泛函，如果对任意的 $k\in \mathbb{N}$，存在 ${\rho }_k>r_k>0$，使得

i) $a_k:=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }I\left(u\right)\to +\infty$，$k\to \infty$ ；

ii) $b_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\max }I\left(u\right)\le 0$。

iii) 对任意 $c>0$，I满足 ${\left(C\right)}_c$ 条件；

则I有一列趋于无穷的临界点，即存在序列 $\left\{u_k\right\}\subset X$，使得 $I^{\prime }\left(u_k\right)=0$，且 $I\left(u_k\right)\to \infty$，$k\to \infty$。

问题(1)对应的能量泛函为 $I_{\lambda }:W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)\to ℝ$，

$I_{\lambda }\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|\nabla u\right|\right)\text{d}x}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{\tau }\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,u\right)\text{d}x}$。 (3)

在基本假设 $\left({\varphi }_1\right)\text{-}\left({\varphi }_{\text{4}}\right)$ 和 $\left(f_1\right)\text{-}\left(f_4\right)$ 成立前提下，容易验证(3)是有意义的，且

${I^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right)v={\displaystyle {\int }_{\Omega }\varphi \left(\left|\nabla u\right|\right)\nabla u\nabla v\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{\tau -\text{2}}uv\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x,u\right)v\text{d}x}$，$\forall v\in W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$。

因此，寻找问题(1)的弱解等价于求 $I_{\lambda }$ 的临界点。

3. 主要结果的证明

引理3.1：设 $\left({\varphi }_1\right)\text{-}\left({\varphi }_{\text{4}}\right)$ 和 $\left(f_1\right)\text{-}\left(f_3\right)$ 成立，则对任意的 $c>0$，泛函 $I_{\lambda }$ 满足 ${\left(C\right)}_c$ 条件。

证明：设 ${\left(C\right)}_c$ 序列 $\left\{u_n\right\}\subset W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$，满足

$I_{\lambda }\left(u_n\right)\to c$，$n\to \infty$， (4)

${\Vert {I^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n\right)\Vert }_{\ast }\left(1+\Vert u_n\Vert \right)\to 0$，$n\to \infty$。 (5)

由(4)、(5)可得

$I_{\lambda }\left(u_n\right)+o\left(1\right)=c$，(6)

$\langle {I^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n\right),v\rangle =o\left(1\right)$。 (7)

首先，证明序列 $\left\{u_n\right\}\subset W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 有界。事实上，如果 $\left\{u_n\right\}\subset W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 无界，则存在子序列(仍记为其本身)，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert u_n\Vert =\infty$，且 $\Vert u_n\Vert >1$，$\forall n\in \mathbb{N}$。

令 $w_n:=\frac{u_n}{\Vert u_n\Vert }$，$n=1,2,\cdots$，则 $\left\{w_n\right\}\subset W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 且 $\Vert w_n\Vert =1$，$\forall n\in \mathbb{N}$，因此，存在子列(仍记为其本身)，

$w_n\rightharpoonup w$ (在 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中)， (8)

$w_n\to w$ (在 $L^q\left(\Omega \right)$ 中)， (9)

$w_n\to w$ $a.e.x\in \Omega$。 (10)

我们断言 $w_n\to 0$ a.e. $x\in \Omega$。事实上，令 ${\Omega }_0=\left\{x\in \Omega |w\left(x\right)\ne 0\right\}$，假设 $meas\left({\Omega }_0\right)>0$，那么，对给定的 $x\in {\Omega }_0$，由(6)推得 $\left|u_n\left(x\right)\right|=\left|w_n\left(x\right)\right|\Vert u_n\left(x\right)\Vert \to \infty$，$n\to \infty$。由 $\left(f_2\right)$ 可得

$\frac{F\left(x,u_n\right)}{{\Vert u_n\Vert }^m}=\frac{F\left(x,u_n\right)}{{\left|u_n\right|}^m}{\left|w_n\right|}^m\to \infty$，$n\to \infty$，

且存在 $t_0>0$，使得对任意的 $x\in \Omega$，当 $\left|t\right|>t_0>0$ 时，有

$\frac{F\left(x,t\right)}{{\left|t\right|}^m}>1$。 (11)

因为 $F\left(x,t\right)$ 在 $\bar{\Omega }\times \left[-t_0,t_0\right]$ 上连续，所以存在 $c_1>0$，使得对任意的 $\left(x,t\right)\in \bar{\Omega }\times \left[-t_0,t_0\right]$，有

$\left|F\left(x,t\right)\right|\le c_1$。 (12)

因此，由(11)、(12)式知，存在 $c_2>0$，使得 $F\left(x,t\right)\ge c_2$，$\frac{F\left(x,u_n\right)-c_2}{{\Vert u_n\Vert }^m}=\frac{F\left(x,u_n\right)-c_2}{{\left|u_n\right|}^m}{\left|w_n\right|}^m\ge 0$。

根据(6)式，有

$c+o\left(1\right)=I_{\lambda }\left(u_n\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|\nabla u_n\right|\right)\text{d}x}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^{\tau }\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,u_n\right)\text{d}x}$。

再结合引理2.2和 $\Vert u_n\Vert >1$ 推得

$\begin{array}{c}\underset{n\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{F\left(x,u_n\right)}{{\Vert u_n\Vert }^m}\text{d}x}=\frac{\underset{n\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|\nabla u_n\right|\right)\text{d}x}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^{\tau }\text{d}x}-\left(c+o\left(1\right)\right)}{{\Vert u_n\Vert }^m}\\ \le \underset{n\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\frac{{\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|\nabla u_n\right|\right)\text{d}x}-\left(c+o\left(1\right)\right)}{{\Vert u_n\Vert }^m}\\ \le \underset{n\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\frac{{\Vert u_n\Vert }^m-\left(c+o\left(1\right)\right)}{{\Vert u_n\Vert }^m}\end{array}$。

由Fatou引理，可得

$\begin{array}{c}\infty ={\displaystyle {\int }_{{\Omega }_0}\underset{n\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}}\frac{F\left(x,u_n\right)-c_2}{{\Vert u_n\Vert }^m}\text{d}x\le \underset{n\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_0}\frac{F\left(x,u_n\right)-c_2}{{\Vert u_n\Vert }^m}\text{d}x}\\ =\underset{n\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_0}\frac{F\left(x,u_n\right)}{{\Vert u_n\Vert }^m}\text{d}x}-\underset{n\to \infty }{\bar{\lim }}{c}_2{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_0}\frac{1}{{\Vert u_n\Vert }^m}\text{d}x}\le \underset{n\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{F\left(x,u_n\right)}{{\Vert u_n\Vert }^m}\text{d}x}\le 1\end{array}$，

上式是一个矛盾的结论。故 $w_n\to 0$ a.e. $x\in \Omega$。

因为对任意的 $n\in \mathbb{N}$，当 $t\in \left[0,1\right]$ 时， $I_{\lambda }\left(t{u}_n\right)$ 连续，则存在，使得

$I_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right)=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\lambda }\left(t{u}_n\right)$。

由(7)式知， $\langle {I^{\prime }}_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right),t_n{u}_n\rangle \to 0$，$n\to \infty$。

一方面，取序列 $\left\{s_k\right\}$，使得对任意的 $k\in \mathbb{N}$，有 $s_k>1$，且 $\underset{k\to \infty }{\lim }{s}_k=\infty$，则对任意的 $k,n\in \mathbb{N}$，有

$\Vert s_k{w}_n\Vert =s_k>1$。

根据 $\left(f_1\right)$ 和(9)知， $\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,s_k{w}_n\right)\text{d}x}\le c_3\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(s_k\left|w_n\right|+s_k{}^q{\left|w_n\right|}^q\right)\text{d}x}=0$，那么，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,s_k{w}_n\right)\text{d}x=0}$。

由于 $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert u_n\Vert =\infty$，所以当n足够大时，有 $\Vert u_n\Vert >s_k$，即 $0<\frac{s_k}{\Vert u_n\Vert }<1$。

于是结合引理2.2，

$\begin{array}{c}{I}_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right)=\underset{t\in [0,1]}{\max }{I}_{\lambda }\left(t{u}_n\right)\ge I_{\lambda }\left(\frac{s_k}{\Vert u_n\Vert }{u}_n\right)=I_{\lambda }\left(s_k{w}_n\right)\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|\nabla s_k{w}_n\right|\right)\text{d}x}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{s}_k{\left|w_n\right|}^{\tau }\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,s_k{w}_n\right)\text{d}x}\\ \ge \min \left\{{\Vert s_k{w}_n\Vert }^{\mathcal{l}},{\Vert s_k{w}_n\Vert }^m\right\}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{s}_k{\left|w_n\right|}^{\tau }\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,s_k{w}_n\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert s_k{w}_n\Vert }^{\mathcal{l}}=\frac{1}{2}{s}_k^{\mathcal{l}}\end{array}$。 (13)

令 ，$\theta \in \left(\frac{\tau }{\mathcal{l}},+\infty \right)$，则 $I_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right)\ge \frac{1}{2}{\Vert u_k\Vert }^{\mathcal{l}\theta }$。

另一方面，由条件 $\left(f_3\right)$ 、 $\left({\varphi }_{\text{4}}\right)$ 和(4)、(7)式，当n充分大时，有

$\begin{array}{c}{I}_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right)=I_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right)-\frac{1}{m}\langle I^{\prime }\left(t_n{u}_n\right),t_n{u}_n\rangle +o\left(1\right)\\ =\frac{1}{m}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\bar{\Phi }\left(\left|t_n{u}_n\right|\right)\text{d}x}+\frac{1}{m}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\bar{F}}\left(t_n{u}_n\right)\text{d}x+\lambda \left(\frac{\text{1}}{m}-\frac{1}{\tau }\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|t_n{u}_n\right|}^{\tau }\text{d}x}+o\left(1\right)\\ \le \frac{1}{m}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\bar{\Phi }\left(\left|\nabla u_n\right|\right)+{\mu }_1\right)\text{d}x}+\frac{1}{m}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\bar{F}\left(x,u_n\right)+{\mu }_2\right)\text{d}x}+o(1)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|\nabla u_n\right|\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,u_n\right)\text{d}x}\right)\\ -\frac{1}{m}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\varphi \left(\left|\nabla u_n\right|\right){\left|\nabla u_n\right|}^2\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x,u_n\right)u_n\text{d}x}}\right)+\frac{{\mu }_1+{\mu }_2}{m}\left|\Omega \right|+o\left(1\right)\\ =I_{\lambda }\left(u_n\right)-\frac{1}{m}\langle {I^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n\right),u_n\rangle +\lambda \left(\frac{\text{1}}{\tau }-\frac{1}{m}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^{\tau }\text{d}x}+\frac{{\mu }_1+{\mu }_2}{m}\left|\Omega \right|+o\left(1\right)\\ \le c+c_4{\Vert u_n\Vert }^{\tau }+\frac{{\mu }_1+{\mu }_2}{m}\left|\Omega \right|+o(1)\end{array}$

结合(13)式，有

$\frac{\text{1}}{\text{2}}{\Vert u_k\Vert }^{\mathcal{l}\theta }-c_4{\Vert u_n\Vert }^{\tau }\le c+\frac{{\mu }_1+{\mu }_2}{m}+o\left(1\right)$。

因为 $\mathcal{l}\theta >\tau$，当 $n\ge n_k\ge k\to \infty$ 时，从上式可得 $+\infty \le \bar{c}$，矛盾。故 $\left\{u_n\right\}$ 在 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中有界，则存在子列(仍记为其本身)，有

$u_n\rightharpoonup u$ (在 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中)， (14)

$u_n\to u$ (在 $L^q\left(\Omega \right)$ 中)， (15)

$u_n\to u$ $a.e.x\in \Omega$。 (16)

取测试函数 $v=u_n-u$ 代入(7)式中，再结合(14)、(15)式、Hölder不等式和Sobolev嵌入定理，可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\varphi \left(\left|\nabla u_n\right|\right)\nabla u_n\nabla \left(u_n-u\right)\text{d}x}\\ =\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u_n\right|}^{\tau -\text{2}}{u}_n\left(u_n-u\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x,u_n\right)\left(u_n-u\right)\text{d}x}+o\left(1\right)\\ \le \lambda {\Vert u_n\Vert }_{L^{\tau }\left(\Omega \right)}^{\tau -1}{\Vert u_n-u\Vert }_{L^{\tau }\left(\Omega \right)}+c_5{\Vert u_n\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}^{q-1}{\Vert u_n-u\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}+c_6{\Vert u_n-u\Vert }_{L^1\left(\Omega \right)}+o\left(1\right)\\ \to \text{0,}n\to \infty \end{array}$。

于是得到

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\langle -{\Delta }_{\Phi }{u}_n,u_n-u\rangle \le 0$。 (17)

又 $-{\Delta }_{\Phi }$ 算子满足 $\left(S_{\text{+}}\right)$ 型条件。因此，由引理2.4、(14)和(17)式，推得在 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中，。证毕。

引理3.2 若 $m<q<{\mathcal{l}}^{\ast }$，则下式成立 ${\alpha }_k:=\sup \left\{{\Vert u\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}:\Vert u\Vert =1,u\in Z_k\right\}\to 0,k\to \infty$。

证明：显然，对任意的 $k\in \mathbb{N}$，有 $0<{\alpha }_{k+1}\le {\alpha }_k$，则当 $k\to \infty$ 时，。

令 $u_k\in Z_k$，使得 $\Vert u_k\Vert =1$，且 $0\le {\alpha }_k-{\Vert u_k\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}<\frac{1}{k}$。由此， $\left\{u_k\right\}$ 存在子列(仍记为其本身)，使得在 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中 $u_n\rightharpoonup u$，且 $\langle e_j^{\ast },u\rangle =\underset{k\to \infty }{\lim }\langle e_j^{\ast },u_k\rangle =0$，$j=1,2,\cdots$。

由于 $Z_k$ 是 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 的闭集，那么对任意的 $k\in \mathbb{N}$，$u\in Z_k$，可推得在 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中 $u_n\rightharpoonup 0$。又由 是紧的，则在 $L^q\left(\Omega \right)$ 中 $u_n\to 0$。故 $\underset{k\to \infty }{\lim }{\alpha }_k=0$。证毕。

引理3.3 在 $\left(f_1\right)$ 和 $\left(f_2\right)$ 假设下，对任意的 $k\in \mathbb{N}$，存在 ${\rho }_k>r_k>0$，使得

i) $a_k:=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }{I}_{\lambda }\left(u\right)\to +\infty$，$k\to \infty$ ；

ii) $b_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\max }{I}_{\lambda }\left(u\right)\le 0$。

证明：i) 对任意的 $u\in Z_k$，当 $\Vert u\Vert >1$ 时，由引理2.2和 $\left(f_1\right)$，有

$\begin{array}{c}{I}_{\lambda }\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|\nabla u\right|\right)\text{d}x}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{\tau }\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,u\right)\text{d}x}\\ \ge \min \left\{{\Vert u\Vert }^{\mathcal{l}},{\Vert u\Vert }^m\right\}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{\tau }}\text{d}x-c_6{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\left|u\right|+{\left|u\right|}^q\right)\text{d}x}\\ \ge {\Vert u\Vert }^{\mathcal{l}}-\frac{\lambda }{\tau }{\Vert u\Vert }^{\tau }-c_7{\alpha }_k^q{\Vert u\Vert }^q-c_8\Vert u\Vert \end{array}$，

其中 ${\alpha }_k:=\sup \left\{{\Vert u\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}:\Vert u\Vert =1,u\in Z_k\right\}$。取 $\Vert u\Vert =r_k={\left(2c_7{\alpha }_k^q\right)}^{\frac{1}{\mathcal{l}-q}}$，则

$\begin{array}{c}{I}_{\lambda }\left(u\right)\ge {\left(2c_7{\alpha }_k^q\right)}^{\frac{\mathcal{l}}{\mathcal{l}-q}}-\frac{\lambda }{\tau }{r}_k^{\tau }-c_7{\alpha }_k^q{\left(2c_7{\alpha }_k^q\right)}^{\frac{q}{\mathcal{l}-q}}-c_9{r}_k\\ =\frac{1}{2}{\left(2c_7{\alpha }_k^q\right)}^{\frac{\mathcal{l}}{\mathcal{l}-q}}-\frac{\lambda }{\tau }{r}_k^{\tau }-c_9{r}_k\\ =\frac{1}{2}{r}_k^{\mathcal{l}}-\frac{\lambda }{\tau }{r}_k^{\tau }-c_9{r}_k\end{array}$。

由引理3.2知， $\underset{k\to \infty }{\lim }{\alpha }_k=0$，又 $q>\mathcal{l}>\tau >1$，因此， $\underset{k\to \infty }{\lim }{r}_k=+\infty$。故 $\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k:=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }{I}_{\lambda }\left(u\right)=+\infty$。

证毕。

ii) 根据 $\left(f_2\right)$，对任意的 $M>0$，存在 $C_M>0$ (依赖于M)，使得

$F\left(x,s\right)\ge M{\left|s\right|}^m-C_M$，$\forall \left(x,s\right)\in \Omega \times ℝ$。

取 $h\in Y_k$，且 $\Vert h\Vert =1$，$t>1$，则

$\begin{array}{c}{I}_{\lambda }\left(th\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\Phi \left(\left|\nabla th\right|\right)\text{d}x}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|th\right|}^{\tau }}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,th\right)\text{d}x}\\ \le \max \left\{t^{\mathcal{l}}{\Vert h\Vert }^{\mathcal{l}},t^m{\Vert h\Vert }^m\right\}-\frac{\lambda }{\tau }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|th\right|}^{\tau }}\text{d}x-M{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|th\right|}^m}\text{d}x+C_M\left|\Omega \right|\\ \le t^m\left({\Vert h\Vert }^m-M{\Vert h\Vert }_{L^m\left(\Omega \right)}^m\right)+C_M\left|\Omega \right|\end{array}$。

当M充分大时， ${\Vert h\Vert }^m<M{\Vert h\Vert }_{L^m\left(\Omega \right)}^m$。因此， $\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_{\lambda }\left(th\right)=-\infty$。于是，存在足够大的 $\bar{t}>r_k>1$，使得 $I_{\lambda }\left(\bar{t}h\right)\le 0$。

取 ${\rho }_k=\bar{t}$，则 $b_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\max }{I}_{\lambda }\left(u\right)\le 0$。证毕。

定理1.1的证明：首先，由引理3.1和引理3.3知泛函 $I_{\lambda }$ 满足喷泉定理的(i)-(iii)假设；再由 $\left(f_4\right)$ 知 $I_{\lambda }$ 为偶泛函。因此，应用喷泉定理，推得在 $W_0^{1,\Phi }\left(\Omega \right)$ 中临界点序列 $\left\{u_k\right\}$ 满足 $I_{\lambda }\left(u_k\right)\to \infty$，$k\to \infty$。证毕。

文章引用

王明旻,贾 高. 含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程的无穷多解
Infinitely Many Solutions for Quasilinear Elliptic Equations with Φ-Laplacian Operator[J]. 理论数学, 2019, 09(10): 1123-1131. https://doi.org/10.12677/PM.2019.910138

参考文献