ABSTRACT

In this paper, the multiple-scale method is adopted to study the basic flow which has a weak nonlinear barotropic Rossby wave, and a theory and its influence on the formation of dipole blocking are obtained. Under the f plane, its obtained wave packet satisfies the nonlinear Schrödinger equation. It pointed out: when the wave number of Rossby wave meets (k for zonal wave number, m for meridional wave number), the period Rossby wave in the atmosphere can produce modulation instability and form enveloping Rossby solitary wave.

Keywords:Atmospheric Obstruction, Rossby Solitary Wave, Nonlinear Schrödinger Equation

f平面-大气阻塞中的Rossby孤立波

陈悦，宋健

内蒙古工业大学，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2017年5月6日；录用日期：2017年5月24日；发布日期：2017年5月27日

摘 要

本文采用多重尺度法研究了基本气流具有弱切变的非线性正压Rossby波，得到了偶极子阻塞形成的一个理论及其影响。在f平面下求得它的波包满足非线性Schrödinger方程。指出：当Rossby波的波数满足(k为纬向波数，m为经向波数)时，大气中周期Rossby波可以产生调制不稳定，形成包络Rossby孤立波。

关键词 :大气阻塞，Rossby孤立波，非线性 Schrödinger方程

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1. 引言

大气中的阻塞可以分为两类：一类是单个非偶极子阻塞，另一类是偶极子阻塞。有关它的研究已有30年了，最早进行研究的是叶笃正 [1] 等人。80年代初期，人们对阻塞形成理论已经做出很大贡献。Egger [2] 认为缓慢移动自由波与地形强迫之间的非线性作用可以产生阻塞。Charney和Devore [3] 提出了阻塞形成的理论，Tung和Lindzen [4] 认为阻塞高压是自由波和地形强迫波发生共振形成。Mcwilliams [5] 提出了 Equivalent Modon理论解释偶极子阻塞，之后Malguzzi和Malanotte-Rizzoli [6] [7] (1984, 1985)提出了用Rossby孤立波来解释大气中偶极子在阻塞中的形成过程。罗德海和纪立人 [8] [9] 用Algebraic Rossby理论解释大气中定常偶极子阻塞，论证了旋转正压大气中的非线性 Schrödinger方程和大气阻塞理论。并且，Federiskn [10] 和Schillings [11] 发现了大气中通过斜压不稳定，可以形成偶极子阻塞。本文在f平面下探讨偶极子阻塞，运用多重尺度法，得出了非线性Schrödinger型的包络Rossby孤立波理论，大致反映出偶极子阻塞的孤立波特点，体现偶极子阻塞的衰减机制。

2. f平面近似下正压模式与非线性Schrödinger方程

在不考虑地形作用的情况下，正压无辐散的正压自由大气涡度方程为：

(1)

其中为流函数，U是简单的纬向基本流，f是科氏参数，为二维的Laplace算子，为Jacobian行列式，参数F为内旋转Foude数，是水平尺度与罗斯贝变形半径之比的平方，关系式分别为：

在处，与罗德海 [8] 相比较，没有考虑作用，只考虑了f平面，在地球大气中，行星大气的运动的时间和空间尺度是多种多样的，为此可引入缓变坐标：

, , , , (2)

其中，，，为缓变量，且。于是可作如下变换：

(3)

因此可以把方程(1)改写为：

(4)

将按WKB方法展开，

(5)

其中为基本流函数，且满足。再将(5)式带入方程(4)，有

(6)

(7)

(8)

其边界条件为：

时， (9)

在方程(6)中，设其谐波解为：

(10)

其中c.c.表示它前项的共轭，A为复振幅，k为纬向波数，将(10)式代入方程(6)，并结合边界条件，则

(11)

在这方程中，郭晓岚 [12] 曾指出，当基本气流满足条件

(12)

其中时，大气中的扰动是不稳定的，这时c为复数。在本文中，假定在区域内条件(12)不成立，这时c为实数。对于c为复数的情况，将在以后进一步讨论。在大气中，大尺度Rossby波一般有，对阻塞系统有，因而有。将(10)式带入方程(7)，这时有

(13)

对以上方程消除长期项，并利用方程(11)有

(14)

其中

这时方程(13)可变为：

(15)

其中

，且

设方程(15)的解为：

(16)

将上式代入方程(15)式，则有

(17)

其中

其边界条件为：

(18)

在方程(17)中，由于A，B均为，，，的函数，并且与成比例，显然可将取成如下形式

. (19)

于是可得方程

(20)

将(10)和(16)式带入方程(8)，有

(21)

以上方程消除长期项，并利用(14)和(19)式，可得方程

(22)

将方程两边同时乘，并在区间上进行积分，可得

(23)

其中

再把方程(23)改写为：

(24)

上式就是著名的非线性Schrödinger方程，它反映了行星大气中Rossby波的非线性特点。从方程(24)式的系数表达式可以看出，当基本气流不存在切变时，，

(24’)

这时，非线性Schrödinger方程就不存在，在实际大气中基本西风的分布是多种多样的。只要大气中基本气流的切变存在，这时的大尺度扰动均可以由非线性Schrödinger方程来描述。

3. 本征值问题

在大气中，为了不致于使(12)式满足，这里假定大气中的西风存在弱切变，这时可设其中

(25)

其中，并且 Q 仅为 y 的函数，在方程(11)中，取，将(25)式代入方程(11)，有

(26)

将，c按下列级数展开，即

(27)

把上式代入方程(26)，可得方程的本征值和本征函数的近似值为：

(28)

其中

利用边界条件

(29)

其中

对上式的平方模进行归一化，

(30)

于是可近似的求得的值为

(31)

将(30)式和代入方程(20)，近似地有

(32)

其中

在方程(32)的左端，系数的微小变化已被省略，从而可求得方程(32)的解。显然，可设解为：

(33)

再将(33)式代入方程(32)，可得方程(32)的解为：

(34)

把，G，代入方程(23)中的系数，便可确定的值：

(35)

从上式可以看出，当大气中基本西风气流的切变不存在时，即，这时，结论与罗德海 [9] 基本一致，描述大尺度Rossby波的非线性Schrödinger方程不存在。当时，大尺度Rossby波的非线性Schrödinger方程存在，此时既受内旋转Foude数的影响，又受的影响。本文考虑了f平面Rossby波与基本气流切变的相互作用，用多重尺度法也得到了非线性Schrödinger方程。在方程(24)中，为了获得方程的系数，采用了一种近似方法，用来处理基本气流有弱切变的情况是有效的。

4. 非线性Schrdinger方程的稳定解及计算结果

方程(24)是描述行星大气中非线性Rossby波包的演变过程，这种方程反映了非线性作用对Rossby波包的影响。利用(2)式将方程(24)变为：

(36)

其中。再令，并设，于是方程(37)可变为：

(37)

当时，，这时在的情况下方程(37)有包络孤立解，于是方程(37)的包络孤立解为：

(38)

设M在处的值为，这时(38)式可变为：

(39)

将(39)式带入(5)式，可得Rossby调制波的扰动流函数解为：

(40)

其中，c.c.表示它前项的共轭。显然，从上式可得Rossby调制波的相速为：

(41)

从上式可以看出，f平面下Rossby波的振幅和基本气流的切变影响着Rossby调制波的传插速度，当不考虑基本气流的水平切变时，Rossby调制波的针副作用消失。从(31)和(35)式可以看出，当

时，，因而大气中包络Rossby孤立波才存在。这是非线性和基本气

流的水平切变作用可使Rossby波的传播速度减慢，基本气流的水平切变越强，Rossby调制波的传播速度越慢，当Rossby调制波的振幅满足

(42)

时，Rossby调制波趋于定常。

5. Rossby波的调制不稳定

对于方程(38)，作变换

(43)

将上述方程代入(38)式有

(44)

在大气中，设叠加在定常振幅和位相上的扰动为周期波，这时可令

(45)

其中均为常数。将上式方程代入(44)式可得

(46)

从上式可以看出，当时，Rossby调制波是稳定的，当时，Rossby调制波的周期扰动是不稳定的，这这种不稳定称为调制不稳定。从方程(38)的系数可知，当

时，，这时，在大气中周期Rossby波会产生调制不稳定，也就是说在

即波长和满足的情况下，大气中的总周期扰动不能维持，它要产生不稳定，并形成包络Rossby孤立波。

6. 结论

从上述分析中，可以得到结论：

1) 在f平面上，基本气流具有弱切变的情况下，得到了非线性Rossby波的波包满足非线性 Schrödinger方程。

2) 当Rossby波的波数满足时，即波数受内旋转Foude数的影响，大气中的

周期Rossby波会产生调制不稳定，最终形成包络Rossby孤立波。

3) 本文所得到的偶极子阻塞是通过Rossby调制不稳定发展而形成的，使f平面的大气观测理论更加准确。

基金项目

国家自然科学基金(11362012, 11562014, 41465002)，全球变化研究国家重大科学研究计划(2012CB955902)。

文章引用

陈悦,宋健. f平面-大气阻塞中的Rossby孤立波
f Plane-Atmosphere Blocking the Rossby Solitary Wave[J]. 应用数学进展, 2017, 06(03): 388-397. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.63045

参考文献 (References)