非等谱mKP方程的孤子共振解 Soliton Resonance of the NI-mKP Equation

doi:10.12677/pm.2011.12021

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Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 99-106

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12021 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

Soliton Resonance of the NI-mKP Equation

Miaoxian W u 1, Jiaojiao Yan2

1Information and Control En gi ne e ri n g Institute, Guangsha College of Applied Constr uction Technology, Dongyang

2Zhejiang Institute of Communications, Hangzhou

Email: wmx314@mail.guangshaxy.com; yanjj@zjvtit.edu.cn

Received Mar. 31st, 2011; revised Apr. 22nd, 2011; accepted Apr. 28th, 2011.

Abstract: Resonance is one of soliton interaction phenomenon, in this paper the soliton resonance of the

NI-modified Kadomtsev-Petviashvili (mKP) equation will be studied by asymptotic analysis. At first, its

2-and 3-soliton solutions will be presented using Hirota bilinear method, then we will further study the reso-

nance property of 2 and 3 soliton solutions through the detail image analysis and comparison.

Keywords: Resonance; Soliton Equation; Hirota Bilinear Method; Nonisospectral mKP Equatin

非等谱 mKP 方程的孤子共振解

吴妙仙 1，颜姣姣 2

1浙江广厦建设职业技术学院，东阳

2浙江交通职业技术学院，杭州

Email: wmx314@mail.guangshaxy.com; yanjj@zjvtit.edu.cn

收稿日期：2011 年3月31日；修回日期：2011 年4月22 日；录用日期：2011 年4月28 日

摘要：共振是孤子相互作用的一种现象，本文利用渐进分析法研究了非等谱修正

Kadomtsev-Petviashvili(mKP)方程的共振解。首先使用 Hirota 双线性方法得出其 2孤子和 3孤子解，然后

通过详细的图像分析、比较，研究了 2，3孤子的各种共振现象。

关键词：共振；孤子方程；Hirota 双线性方法；非等谱 mKP 方程

1. 引言

孤立子理论是现代应用数学和数学物理的一个重

要组成部分。最近二、三十年，在一些新技术问题及

相应的理论研究中，例如流体力学、等离子体物理、

非线性光学、经典场论、量子论、激光、超导、晶格、

凝聚态物理等领域有着广泛的应用。

在孤子理论中，求解孤子方程是古老而又非常重

要的研究课题。孤子方程的解除了可以用数值计算和

计算机模拟进行研究外，主要是通过符号计算得到其

显式的精确解。在前辈们的辛勤耕耘下，目前已有不

少行之有效的方法被提出，如 Hirota 方法[1-3] 、

Wronskian技巧 [4-6]、Bäcklund 变换[7,8]、变量分离法[9]、

双曲函数法[10]、齐次平衡法[11]等等。

到目前为止，已经有很多学者作了一些有关孤立

子相互作用的文章。对于非线性结构的相互作用，一

般说来可以分为两类：一类为完全弹性碰撞，另一类

为非弹性碰撞。当孤立子的相互作用是完全弹性碰撞

时，相互碰撞的孤立子相互作用以后会保持原来性质

和状态，即相互碰撞的孤立子相互作用后保持原来的

速度、形状，并且在碰撞的过程中没有发生相位移动。

相反，对于非弹性相互作用而言，在相互作用的过程

中，可能发生以下几种情况的激发态：

(1) 部分或者全部改变他们的形状；

(2) 改变他们的速度；

吴妙仙等非等谱方程的孤子共振解

100 | mKP

(3) 有或者没有改变；

(4) 有裂变现象，比如一个孤立子裂变为几个有

相同结构的孤立子；

(5) 有聚变现象，比如几个结构相似的孤立子聚

合成一个新的孤立子。

共振是相互作用的一种现象，这种有趣的现象首

先是由 Miles 发现的[12]。他指出，这些解是一些想干

结构，并描述了一个孤子在转角处的衍射，指出在某

种条件下，当没有发生分裂或者失去它原有的性质时，

一个 KP 孤子在凸的转角处，无法反射。而这种解的

结构，正提供了水波中的“马赫衍射”问题的解。这

种现象即为共振。关于共振，前人已有很多的研究成

果。许多知名的孤子方程已被发现存在多孤子解的非

平凡空间结构和相互作用方式[13-19]。

而渐进分析方法是研究孤子共振行为的一种重要

工具，在这种分析方法中，一般将线孤子在 y



和

的条件下的渐进分别成为进线孤子和出线孤

子。而当共振现象发生时，两者的相位、方向甚至个

数都发生了改变。

y

2. (2+1)-维非等谱 mKP 方程的 2-孤子和

3-孤子解

(2+1)-维非等谱 mKP方程：



211

4663

230

txxx xxyy

uyuuuu uu

xu uu









(2.1)

的Wronskian解和 Grammian 解已经分别由邓淑芳[20]

和张翼教授[21]作了研究。

经过变换 log









，可以得到方程(2.1)的双线

性形式：

Dg fDg f  (2.2a)



txxy

yxx

Dg fyDgfDDg f

xDgf gf gf

 

 (2.2b)

如果将 N-孤子解记为 log N











e0,1 11

expeloge e

jj jjljl

jjl



 





























 

(2.3)

其中和是指取遍





e0,1 1,2,,

jjN

的各种可能的

组合，则前三个孤子解为：

1111

1e, 1e

af b



 (2.4a)

12 12

21212

1e ee

gaaaa

fbbbb

 



 

(2.4b)

12 12

13 132323

123 12 1323

12 121

131323 23

1231213 23

312312

13 23

123

312312

13 23

123

1e eee

gaaaaa

aa aa

aaa

fbbbbb

bb bb

bbb



 

 

 



 

 

 



 

  



 

  

 





 





(2.4c)

其中













ijij

ijji

kkqq

kqkq

 j







,









iii ii

kqxk qy i







 

eii







，

ij ij





，和 ,,,

iiii

kqabi



均为的

函数，它们之间服从如下射散关系：

it i

kk，2

iti

qq ，，

aqik



，



itii i



，





1, 2, 3i。

同时为了确保的收敛，假定和 ui

均取

正值。令 ii

kq i





，ii

kq i



，则 i



可以写成





ii i







，并且不失一般性，假定





j



。

3. 2-孤子共振

通常情况下，满足如下两者情况时，产生孤子解：

a) 在(2.4b)式的其中两项非常大，使得另外两项

在渐进状态下可以忽略不计；

b) 在满足 a)的前提下，较大的两项同价。

这是作渐进分析的基础和实质。

3.1. 普通 2-孤子

当12



且1



时，，y 12



，条

件a)和条件b)在下列两个域内可以满足：

吴妙仙等 | 非等谱 mKP 方程的孤子共振解

101



11212

1112

2112 12

112

log, 0,

log, ,

aaa

ubbbe





































3.2. 2-孤子解的共振





当或者，相位

12 0A12

A 12

，于

是所谓的“孤子共振”现象出现，在这个过程中，射

散关系起主要作用。更进一步而言，因

(3.1)



 



121 2 12

121 221

Akkqq

Akqkq



 



  



 (3.2)

因此，当，，又因为 y



1(2)

uu u

11212 212

112 2

ee 1e

log log

ee 1e

aaa a

bbb b

 

 



















接下来我们分别称其为“减共振”和“加共振”。

3.2.1. 减共振

我们应用其简化形式。情形 1. 令，(2.4b)式变为

12 0A

1ega



 ，1

212

1e efbb

类似地，当， y 2



 ，从中可以得

到渐进式：(3.3)

112 1

1e 1e

log log

1e 1e

ubb



























。综上，普通

此解有三个“手臂”，每个均为标准 1-孤子。

2-孤子解有四个“手臂”。并且呈现普通的相互作用，

即两个孤子在碰撞之后，保持原有的方向和相位不变

(见图 1)。

情形 2. 将

112

111

2122212 21212

,,ee,egAgfAfAA



 



 



(3.4)

代入(1.4b)式,得到

1111

12211221212 12

1e eeAgaA aAaaA







 



(3.5)

取极限，(2.5)式变为

12 0A

12 1

21 212

ee ega aaa







 



(3.6a)

类似的，

12 1

21 212

ee efb bbb











(3.6b)

以上的仅仅只是坐标变化。

Figure 1. 3-D picture of 2-soliton solution 相应的渐进形式为(3.7)

图1. 一般 2-孤子解的三维图

(1) 112

(2) 212

(1 2)12 12

(log) ,,0,

(log) ,,,0

(log) ,,,

uu y



















 















(3.3)

(2) 21212

(1) 11122

(1 2)1212

log, ,,

log,, ,

log, ,,

uu y

























 













  









(3.7)

吴妙仙等非等谱方程的孤子共振解

102 | mKP

仍然具有三个“手臂”。

3.2.2 加共振

情形 1. 将1





代入(2.4b)式，取极限

，得到

A

2212

1e eaa







 ，21

2212

1e efbbb







 

(3.8)



 

12 12 12 2

12 12 12 1 2

log,, 0, ,

1e 1e

loglog,, 0,;,0

1e 1e

uu y























 



  

 



 



(3 .9 )

情形 2. 将2

eA11

2112

1e egaaa







 ，11

2112

1e efbbb







 





代入(2.4b)式，取极限

，得到

A (3.10)

(1) (2)12 121 2

(1 2)12 112

1e 1e

(log)(log) ,,0,;,0

1e 1e

(log) ,,,0

uu y











   













＋－＋

(3.11)

以上用渐进分析法讨论了 2-孤子解的两种形式的

共振：加共振和减共振。从理论上证明了它们均具有

三个“手臂”。这些也可以通过作图说明，从图 2中可

以观察到，两个高瘦波产生一个矮波。

在以上的讨论中，我们均假定 12



，12





的

情形可类似讨论，然而当 12



时，情形就大相径庭。

令1



，

则

(a) (b)

Figure 2. 3-D pictures of plus and minus resonance 2-soliton solutions. (a) Minus resonance case 1; (b) Minus resonance case 2; (c) Plus reso-

nance case 1; (d) Plus resonance case 2

图2. 2-孤子解的减共振和加共振三维图. (a) 减共振情形 1; (b) 减共振情形 2; (c) 加共振情形 1; ( d) 加共振情形 2

吴妙仙等非等谱方程的孤子共振解 103

| mKP





1112 22121212

,,ZZA

 



(3.12)

两个孤子相互平行，这就和一般的KdV 方程类

似。

4. 3-孤子共振

在本节中，我们将分析 3-孤子解的四种共振情形。

当和时，取极限

12 13 23

0,,AAA

123

1





  ，条件 a)和b)在以下三个域内均

可满足：

212

31323

(1) 112 3

(2) 212123

(3 3123

log, 0,,

log,, ,

log, ,,



 





 









































）





(4.1)

故当时，。 y (1)(2) (3)

uu uu

同理，当时，

y



11312 212

1e 1e

loglog 1e

log1e





 

























(4.2)

以上的分析从理论上证明了3- 孤子解有六个“手

臂”，也可以用图 3说明。

令集合，当其中的一个或者两

个甚至三个元素趋向于，共振就发生了。我们相

应地称其为 1-，2-，3-共振解，它们均包含减共振和

加共振，接下来将作详细讨论。



12 1323

,, 



Figur 3. 3 -D picture of 3 -soliton solution

图3. 普通 3-孤子解三维图

4.1. 1-共振

在这种情况下，集合



中的一个元素趋向于



。

不失一般性，假定 13



，等价于 (减1-

共振)和(加1-共振)。

13 0A

A

4.1.1 减共振

取极限，(2.4c)式变为

13 0A

23 23

12 12

23 23

12 12

3123

12 23

2123

12 23

1e ee

gaaa

aa aa

fbbb

bb bb











 



 



(4.3)

相应地，其渐进形式为(4.4)

因此减 2-孤子的 1-共振有五个“手臂”(见图 4(a))。

4.1.2. 加共振



取极限，(2.4c)式变为

A

13 13123 12 13 23

313 123

313123

gaa aaa

fbb bbb

 



  

 



 (4.5)

1212

1223

223 3

323

112

323

112

(1) (2)12

(2) (3)3

(1 313

1e 1e

log log,

1e 1e

loglog ,

1e 1e

log ee

uu y

uu uy

ubb















 



 

 



 





 

















）,

















(4.4)

吴妙仙等非等谱方程的孤子共振解

104 | mKP

(a) (b)

(e) (f)

Figure 4. 3-D pictures of plus and minus resonance 3-soliton solutions. (a) Minus 1-resonance; (b) Plus 2-resonance case 1; (c) Plus

2-resonance case 2; (d) Plus 2-resonance case 3; (e) Minus 2-resonance; (f) Minus 3-resonance

图4. 3-孤子解的减共振和加共振三维图。(a) 减1-共振；(b) 加2-共振情形 1；(c) 加2-共振情形 2；(d) 加2-共振情形3；

(e) 减2-共振；(f) 减3-共振

吴妙仙等 | 非等谱 mKP 方程的孤子共振解

105

21223

(2) 2

log 1e

uu b



 













(4.6)

很明显，2-孤子解的 1-共振有只有一个“手臂”，

其图像与 1-孤子类似。

4.2. 2-共振

在这种情况下，集合 中的两个元素趋向于







。

不失一般性，假设，，分别等价

于，(减2- 共振)和,

，(加2-共振)。









12 0A 23

A12

A

4.2.1. 加共振

情形 1. 将3

12 23

ee,eeAA





代入(2.4c)式，

并取极限 12

和13

，得到

12313

112

12313

112

3112123

3112 123

1e ee

a aaaaa

fbbb bbb

 



 











 

g (4.7)

故

313 21

3132 1

12313

(3) (21321

(1 23)123

123

1e 1e 1e

ulogloglog ,

1e 1e

log ,

aaa

uu y

uaaa

bbb



 















 



























）（） 



(4.8)

323 123

3323 123

1e ee

gaaa aaa

fbbb bbb

 







 

情形 2．将 11 2

12 23

ee,eeAA









代入式(2.4c)，

取极限 12

和23

， 

(4.9)

得到故



313

32 13

12313

(3) (2)(1)321

(1 23)123

123

1e 1e1e

logloglog, y+

1e 1e

log ,

aaa

uuu b

uaaa

bbb



 















 





 

 



























(4.10)

31313 123

31313123

1e eee

gaaaaaaa

fbbbb bbb



 







 

 

情形 3. 将2

12 23eeAA



代入式(2.4c)，取极限

和23

， (4.11)

得到故



312 13

31213

2313

12313

3(1 2)312

312

(1)(2 3)23

123

1e 1e

log log,

1e1e

log log,

1e 1e

aaa

uu y

bbb

uaa

uu y

bbb

























 





























12 23

(4.12)

313

312313

1e e ee

1e eee

gaaaaa

fbbbbb











 

  (4.13)

故

4.2.2. 减共振

取极限，，(2.4c)可以写成 0A 0A



2113

3113

313 1

3131

23 (1) 23 1

23 1

(3)(1)31

ee 1e

loglog ,

ee 1e

1e 1e

loglog ,

aa a

uu y

bb b

uaa

uu y





















 

















 













(4.14)

情形和 ,

12 13

, 13

23



类似。

吴妙仙等非等谱方程的孤子共振解

106 | mKP

通过以上的渐进分析，可知3-孤子的 2-解有四个

“手臂”(见图 4(b)-(e))。2-也有四个“手臂”，但前者

是不稳定的，后者是稳定的。

4.3. 3-共振

对于加3- 共振，将 11

12eeA,



22

23eeA



,

13eeA





13 ,A A

代入式(2.4c) ，取极限

，得到

12 ,A

23 

123

3123

gaaa

fbbb













 (4.15)

这种情形和 1-孤子解类似，只有一个“手臂”。

对于减 3-共振，对式(2.4c)取极限

得到

12 0,A

13 0,A 23 0A

3123

1e e e

1e ee

gaaa

fbbb









 

  (4.16)

故



3(2 3)323

323

(1 2)(1)1

1ee e

log log

1eee

log ,

aaa

uu y

bbb

uu y











 



 

 



 





 









，



(4.17)

它有三个“手臂”(见图4(f))。

5. 总结和展望

本文主要以双线性导数方法和Wronskian技巧为数

学基础，利用渐进分析法为工具，同时采用 Maple 的符

号计算及作图功能，从机理到直观对(2+1)-维非等谱

mKP 方程解的共振现象作了研究。当然对于更一般的

多孤子情况，比方 -孤子解，其中的N



MN 个

孤子就可以进行 1-，2-，2

C -，共振，而且它们都具

有加共振和减共振。当增大时，情况也变得更加复杂。

同时，随着方程维数的增加，复杂度也会增加。如何对

这些情况进行系统地分析和总结，并找出一般的规律，

是一个非常值得研究和探讨的课题。

6. 致谢

衷心感谢导师张翼教授的悉心指导和马文秀教授、

J. J. Nimmo教授，刘青平教授、陈登远教授等领域内

的泰斗级人物的热情帮助，感谢审稿人的辛勤工作！

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