Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 99-106 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12021 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Soliton Resonance of the NI-mKP Equation Miaoxian W u 1, Jiaojiao Yan2 1Information and Control En gi ne e ri n g Institute, Guangsha College of Applied Constr uction Technology, Dongyang 2Zhejiang Institute of Communications, Hangzhou Email: wmx314@mail.guangshaxy.com; yanjj@zjvtit.edu.cn Received Mar. 31st, 2011; revised Apr. 22nd, 2011; accepted Apr. 28th, 2011. Abstract: Resonance is one of soliton interaction phenomenon, in this paper the soliton resonance of the NI-modified Kadomtsev-Petviashvili (mKP) equation will be studied by asymptotic analysis. At first, its 2-and 3-soliton solutions will be presented using Hirota bilinear method, then we will further study the reso- nance property of 2 and 3 soliton solutions through the detail image analysis and comparison. Keywords: Resonance; Soliton Equation; Hirota Bilinear Method; Nonisospectral mKP Equatin 非等谱 mKP 方程的孤子共振解 吴妙仙 1,颜姣姣 2 1浙江广厦建设职业技术学院,东阳 2浙江交通职业技术学院,杭州 Email: wmx314@mail.guangshaxy.com; yanjj@zjvtit.edu.cn 收稿日期:2011 年3月31日;修回日期:2011 年4月22 日;录用日期:2011 年4月28 日 摘 要:共振是孤子相互作用的一种现象,本文利用渐进分析法研究了非等谱修正 Kadomtsev-Petviashvili(mKP)方程的共振解。首先使用 Hirota 双线性方法得出其 2孤子和 3孤子解,然后 通过详细的图像分析、比较,研究了 2,3孤子的各种共振现象。 关键词:共振;孤子方程;Hirota 双线性方法;非等谱 mKP 方程 1. 引言 孤立子理论是现代应用数学和数学物理的一个重 要组成部分。最近二、三十年,在一些新技术问题及 相应的理论研究中,例如流体力学、等离子体物理、 非线性光学、经典场论、量子论、激光、超导、晶格、 凝聚态物理等领域有着广泛的应用。 在孤子理论中,求解孤子方程是古老而又非常重 要的研究课题。孤子方程的解除了可以用数值计算和 计算机模拟进行研究外,主要是通过符号计算得到其 显式的精确解。在前辈们的辛勤耕耘下,目前已有不 少行之有效的方法被提出,如 Hirota 方法[1-3] 、 Wronskian技巧 [4-6]、Bäcklund 变换[7,8]、变量分离法[9]、 双曲函数法[10]、齐次平衡法[11]等等。 到目前为止,已经有很多学者作了一些有关孤立 子相互作用的文章。对于非线性结构的相互作用,一 般说来可以分为两类:一类为完全弹性碰撞,另一类 为非弹性碰撞。当孤立子的相互作用是完全弹性碰撞 时,相互碰撞的孤立子相互作用以后会保持原来性质 和状态,即相互碰撞的孤立子相互作用后保持原来的 速度、形状,并且在碰撞的过程中没有发生相位移动。 相反,对于非弹性相互作用而言,在相互作用的过程 中,可能发生以下几种情况的激发态: (1) 部分或者全部改变他们的形状; (2) 改变他们的速度; 吴妙仙 等非等谱 方程的孤子共振解 100 | mKP (3) 有或者没有改变; (4) 有裂变现象,比如一个孤立子裂变为几个有 相同结构的孤立子; (5) 有聚变现象,比如几个结构相似的孤立子聚 合成一个新的孤立子。 共振是相互作用的一种现象,这种有趣的现象首 先是由 Miles 发现的[12]。他指出,这些解是一些想干 结构,并描述了一个孤子在转角处的衍射,指出在某 种条件下,当没有发生分裂或者失去它原有的性质时, 一个 KP 孤子在凸的转角处,无法反射。而这种解的 结构,正提供了水波中的“马赫衍射”问题的解。这 种现象即为共振。关于共振,前人已有很多的研究成 果。许多知名的孤子方程已被发现存在多孤子解的非 平凡空间结构和相互作用方式[13-19]。 而渐进分析方法是研究孤子共振行为的一种重要 工具,在这种分析方法中,一般将线孤子在 y 和 的条件下的渐进分别成为进线孤子和出线孤 子。而当共振现象发生时,两者的相位、方向甚至个 数都发生了改变。 y 2. (2+1)-维非等谱 mKP 方程的 2-孤子和 3-孤子解 (2+1)-维非等谱 mKP方程: 211 21 4663 230 txxx xxyy yy uyuuuu uu xu uu y (2.1) 的Wronskian解和 Grammian 解已经分别由邓淑芳[20] 和张翼教授[21]作了研究。 经过变换 log x g u f ,可以得到方程(2.1)的双线 性形式: 20 yx Dg fDg f (2.2a) 3 43 20 txxy yxx Dg fyDgfDDg f xDgf gf gf (2.2b) 如果将 N-孤子解记为 log N NN x g uf e0,1 11 e0,1 11 expeloge e expeloge e N N jj jjljl jj N l N jj jjljl jjl g bA f aA (2.3) 其中和是指取遍 e0,1 1,2,, jjN 1 的各种可能的 组合,则前三个孤子解为: 1 1111 1e, 1e g af b (2.4a) 12 12 12 12 21212 21212 1e ee 1e ee gaaaa fbbbb 12 12 12 2 (2.4b) 3 12 12 13 132323 123 12 1323 3 12 121 131323 23 1231213 23 312312 13 23 123 312312 13 23 123 1e eee ee e 1e eee ee e gaaaaa aa aa aaa fbbbbb bb bb bbb (2.4c) 其中 13 ijij ij ijji kkqq Ai kqkq j , 22 iii ii kqxk qy i eii , e0 ij ij A , 和 ,,, iiii kqabi 均为 的 函数,它们之间服从如下射散关系: t 2 ,1 2 it i kk,2 ,1 2 iti qq , , i aqik ii b , ,1 4 itii i qk , 1, 2, 3i。 同时为了确保 的收敛,假定 和 ui fi g 均取 正值。令 ii kq i ,ii kq i ,则 i 可以写成 i xy ii i ,并且不失一般性,假定 j ij i 。 3. 2-孤子共振 通常情况下,满足如下两者情况时,产生孤子解: a) 在(2.4b)式的其中两项非常大,使得另外两项 在渐进状态下可以忽略不计; b) 在满足 a)的前提下,较大的两项同价。 这是作渐进分析的基础和实质。 3.1. 普通 2-孤子 当12 0A 且1 时, ,y 12 ,条 件a)和条件b)在下列两个域内可以满足: Copyright © 2011 Hanspub PM 吴妙仙 等 | 非等谱 mKP 方程的孤子共振解 Copyright © 2011 Hanspub PM 101 1 1 11212 11212 1112 1 2112 12 112 1e log, 0, 1e ee log, , e x x a ub aaa ubbbe 3.2. 2-孤子解的共振 12 当 或者,相 位 12 0A12 A 12 ,于 是所谓的“孤子共振”现象出现,在这个过程中,射 散关系起主要作用。更进一步而言,因 (3.1) 121 2 12 121 221 00 0 Akkqq Akqkq (3.2) 因此,当 ,,又因为 y 1(2) uu u 11212 212 11212 212 112 2 112 2 ee 1e log log ee 1e x x aaa a bbb b 接下来 我们分别称其为“减共振”和“加共振”。 3.2.1. 减共振 我们应用其简化形式。 情形 1. 令 ,(2.4b)式变为 12 0A 12 2 ea 21 1ega ,1 212 1e efbb 类似地,当 , y 2 ,从中可以得 到渐进式:(3.3) 112 1 112 1 1 12 1e 1e log log 1e 1e 2 x x aa ubb 。综上,普通 此解有三个“手臂”,每个均为标准 1-孤子。 2-孤子解有四个“手臂”。并且呈现普通的相互作用, 即两个孤子在碰撞之后,保持原有的方向和相位不变 (见图 1)。 情形 2. 将 112 111 2122212 21212 ,,ee,egAgfAfAA 2 1 e 12 (3.4) 代入(1.4b)式,得到 12 1111 12211221212 12 1e eeAgaA aAaaA 2 (3.5) 取极限 ,(2.5)式变为 12 0A 12 1 21 212 ee ega aaa 2 (3.6a) 类似的, 12 1 21 212 ee efb bbb (3.6b) 以上的仅仅只是坐标变化。 Figure 1. 3-D picture of 2-soliton solution 相应的渐进形式为(3.7) 图1. 一般 2-孤子解的三维图 1 1 2 1 1 (1) 112 1 2 (2) 212 2 2 (1 2)12 12 2 12 1e (log) ,,0, 1e 1e (log) ,,,0 1e ee (log) ,,, ee x x x a uy b a uu y b aa uy ba (3.3) 2 2 1 1 12 12 (2) 21212 2 (1) 11122 1 (1 2)1212 12 1e log, ,, 1e 1e log,, , 1e ee log, ,, ee x x x a uy b a uu y b aa uy ba (3.7) 吴妙仙 等非等谱 方程的孤子共振解 102 | mKP 1 e 仍然具有三个“手臂”。 3.2.2 加共振 情形 1. 将1 1 12 eA 代入(2.4b)式,取极限 ,得到 12 A ga 21 2212 1e eaa 2 ,21 2212 1e efbbb 2 (3.8) 12 12 12 12 12 12 12 2 12 12 12 12 1 2 12 1e log,, 0, , 1e 1e 1e loglog,, 0,;,0 1e 1e x xx aa uy bb aa uu y bb (3 .9 ) 情形 2. 将2 1 12 eA11 2112 1e egaaa 2 ,11 2112 1e efbbb 2 2 e 代入(2.4b)式,取极限 ,得到 12 A (3.10) 12 12 12 12 (1) (2)12 121 2 12 (1 2)12 112 12 1e 1e (log)(log) ,,0,;,0 1e 1e 1e (log) ,,,0 1e xx x aa uu y bb aa uy bb +-+ (3.11) 以上用渐进分析法讨论了 2-孤子解的两种形式的 共振:加共振和减共振。从理论上证明了它们均具有 三个“手臂”。这些也可以通过作图说明,从图 2中可 以观察到,两个高瘦波产生一个矮波。 在以上的讨论中,我们均假定 12 ,12 的 情形可类似讨论,然而当 12 时,情形就大相径庭。 令1 x yZ , 则 (a) (b) (c) (d) Figure 2. 3-D pictures of plus and minus resonance 2-soliton solutions. (a) Minus resonance case 1; (b) Minus resonance case 2; (c) Plus reso- nance case 1; (d) Plus resonance case 2 图2. 2-孤子解的减共振和加共振三维图. (a) 减共振情形 1; (b) 减共振情形 2; (c) 加共振情形 1; ( d) 加共振情形 2 Copyright © 2011 Hanspub PM 吴妙仙 等非等谱 方程的孤子共振解 103 | mKP 22 1112 22121212 ,,ZZA (3.12) 两个孤子相互平行,这就和一般的KdV 方程类 似。 4. 3-孤子共振 在本节中,我们将分析 3-孤子解的四种共振情形。 当和时,取极限 12 13 23 0,,AAA 123 , 1 y ,条件 a)和b)在以下三个域内均 可满足: 1 212 212 31323 31323 (1) 112 3 1 1 (2) 212123 2 (3 3123 3 1e log, 0,, 1e 1e log,, , 1e 1e log, ,, 1e x x x a ub a ub a ub ) 13 (4.1) 故当 时,。 y (1)(2) (3) uu uu 同理,当 时, y 11312 212 11312 212 3 3 12 2 1 3 3 1e 1e loglog 1e 1e 1e log1e x x x aa ub b a a (4.2) 以上的分析从理论上证明了3- 孤子解有六个“手 臂”,也可以用图 3说明。 令集合 ,当其中的一个或者两 个甚至三个元素趋向于 ,共振就发生了。我们相 应地称其为 1-,2-,3-共振解,它们均包含减共振和 加共振,接下来将作详细讨论。 12 1323 ,, Figur 3. 3 -D picture of 3 -soliton solution 图3. 普通 3-孤子解三维图 4.1. 1-共振 在这种情况下,集合 中的一个元素趋向于 。 不失一般性,假定 13 ,等价于 (减1- 共振)和(加1-共振)。 13 0A 13 A 4.1.1 减共振 取极限 ,(2.4c)式变为 13 0A 31 12 23 23 12 12 3 12 23 23 12 12 3123 12 23 2123 12 23 1e ee ee 1e ee ee gaaa aa aa fbbb bb bb (4.3) 相应地,其渐进形式为(4.4) 因此减 2-孤子的 1-共振有五个“手臂”(见图 4(a))。 4.1.2. 加共振 取极限 ,(2.4c)式变为 13 A 13 13123 12 13 23 13 13123 12 13 23 313 123 313123 ee ee gaa aaa fbb bbb (4.5) 1212 1212 1223 223 3 323 112 323 112 (1) (2)12 12 (2) (3)3 2 23 (1 313 13 1e 1e log log, 1e 1e 1e 1e loglog , 1e 1e ee log ee xx xx aa uu y bb a a uu uy bb aa ubb ), x y (4.4) Copyright © 2011 Hanspub PM 吴妙仙 等非等谱 方程的孤子共振解 104 | mKP (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figure 4. 3-D pictures of plus and minus resonance 3-soliton solutions. (a) Minus 1-resonance; (b) Plus 2-resonance case 1; (c) Plus 2-resonance case 2; (d) Plus 2-resonance case 3; (e) Minus 2-resonance; (f) Minus 3-resonance 图4. 3-孤子解的减共振和加共振三维图。(a) 减1-共振;(b) 加2-共振情形 1;(c) 加2-共振情形 2;(d) 加2-共振情形3; (e) 减2-共振;(f) 减3-共振 Copyright © 2011 Hanspub PM 吴妙仙 等 | 非等谱 mKP 方程的孤子共振解 Copyright © 2011 Hanspub PM 105 21223 21223 (2) 2 2 1e log 1e x a uu b (4.6) 很明显,2-孤子解的 1-共振有只有一个“手臂”, 其图像与 1-孤子类似。 4.2. 2-共振 在这种情况下,集合 中的两个元素趋向于 。 不失一般性,假设 ,,分别等价 于 ,(减2- 共振)和, ,(加2-共振)。 12 0 23 12 0A 23 A12 A 23 A 4.2.1. 加共振 情形 1. 将3 22 12 23 ee,eeAA 3 代入(2.4c)式, 并取极限 12 A 和13 A ,得到 12313 112 12313 112 3112123 3112 123 1e ee 1e ee a aaaaa fbbb bbb g (4.7) 故 313 21 3132 1 12313 12313 (3) (21321 21 3 (1 23)123 123 1e 1e 1e ulogloglog , 1e 1e 1e 1e log , 1e xx x x aaa uu y bb b uaaa uy bbb )() 2 (4.8) 323 123 323 123 3323 123 3323 123 1e ee 1e ee gaaa aaa fbbb bbb 13 13 情形 2.将 11 2 12 23 ee,eeAA 代入式(2.4c), 取极限 12 A 和23 A , (4.9) 得到 故 313 21 32 13 1 12313 12313 (3) (2)(1)321 2 31 (1 23)123 123 1e 1e1e logloglog, y+ 1e 1e 1e 1e log , 1e xx x x aaa uuu b bb uaaa uy bbb 2 (4.10) 31313 123 1 31313 123 1 31313123 31313123 1e eee 1e eee gaaaaaaa fbbbb bbb 13 13 情形 3. 将2 12 23eeAA 代入式(2.4c),取极限 12 A 和23 A , (4.11) 得到 故 312 13 31213 2313 1 12313 3(1 2)312 312 (1)(2 3)23 1 123 1e 1e log log, 1e1e 1e 1e log log, 1e 1e x x xx aaa uu y bbb uaa a uu y bbb 12 23 13 13 (4.12) 313 12 313 12 312313 312313 1e e ee 1e eee gaaaaa fbbbbb (4.13) 故 4.2.2. 减共振 取极限 ,,(2.4c)可以写成 0A 0A 3 2113 3113 2 313 1 3131 23 (1) 23 1 23 1 (3)(1)31 1 3 ee 1e loglog , ee 1e 1e 1e loglog , 1e 1 x x x x aa a uu y bb b uaa uu y b b (4.14) 情形和 , 12 13 , 13 23 类似。 吴妙仙 等非等谱 方程的孤子共振解 106 | mKP 通过以上的渐进分析,可知3-孤子的 2-解有四个 “手臂”(见图 4(b)-(e))。2-也有四个“手臂”,但前者 是不稳定的,后者是稳定的。 4.3. 3-共振 对于加3- 共振,将 11 12eeA, 22 23eeA , 3 3 13eeA 13 ,A A 代入式(2.4c) ,取极限 ,得到 12 ,A 23 123 123 3123 3123 1e 1e gaaa fbbb (4.15) 这种情形和 1-孤子解类似,只有一个“手臂”。 对于减 3-共振,对式(2.4c)取极限 得到 12 0,A 13 0,A 23 0A 3 12 3 12 3123 3123 1e e e 1e ee gaaa fbbb (4.16) 故 33 2 33 2 1 1 3(2 3)323 323 (1 2)(1)1 1 1ee e log log 1eee 1e log , 1e xx x aaa uu y bbb ua uu y b , (4.17) 它有三个“手臂”(见图4(f))。 5. 总结和展望 本文主要以双线性导数方法和Wronskian技巧为数 学基础,利用渐进分析法为工具,同时采用 Maple 的符 号计算及作图功能,从机理到直观对(2+1)-维非等谱 mKP 方程解的共振现象作了研究。当然对于更一般的 多孤子情况,比方 -孤子解,其中的N 2 M MN 个 孤子就可以进行 1-,2-,2 , M C -,共振,而且它们都具 有加共振和减共振。当增大时,情况也变得更加复杂。 同时,随着方程维数的增加,复杂度也会增加。如何对 这些情况进行系统地分析和总结,并找出一般的规律, 是一个非常值得研究和探讨的课题。 N 6. 致谢 衷心感谢导师张翼教授的悉心指导和马文秀教授、 J. J. Nimmo教授,刘青平教授、陈登远教授等领域内 的泰斗级人物的热情帮助,感谢审稿人的辛勤工作! 参考文献 (References) [1] R. Hirota, J. Satsuma. Nonlinear evolution equations generated from the Bäcklund transformation for the Boussinesq equation. Progress of Theoretical Physics, 1977, 57(3 ): 797-807. [2] R. Hirota. Exact solution to the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons. Physical Review Letters, 1971, 27(18): 1192-1194. [3] X. B. Hu, P. A. Clarkson. Rational solutions of a differential- difference KdV equation, the toda equation and the discrete KdV equation. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 1995, 28(17): 5009-5016. [4] 张大军, 邓淑芳. 孤子解的 Wronskian表示[J]. 上海大学学报: 自然科学版, 2002, 8(3): 232-242. [5] Y. D. Zhang, Y. Chen. A new representation of N-solition solu- tion ang limiting solution for the fitth order KdV equation. Chaos, Solitons and Fractals, 2005, 23(3): 1055-1061. [6] N. C. Freeman, J. J. C. Nimmo. 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