 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 107-11 3 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12022 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Three Positive Solutions for a Class of m-Point Boundary Value Problems with One-Dimensional p-Laplacian Donglong Bai, Hanying Feng Department of Mathematics, Shijiazhuang Mechanical Engineering College, Shijiazhuang Email: fhanying@yahoo.com.cn Received: Apr. 11th, 2011; revised: May 6th, 2011; accepted: May 7th, 2011. Abstract: Multi-p oint boundary value problems of nonlinear differential equations arise in a v ariety of areas of applied mathematics, physics and variational problems of control theory. With the development of the or- dinary differential equations, multi-point boundary value problem is at present one of the most active fields. It has become a new important branch of mathematics. In this paper, we study the following m-point boundary value problem wit h p-Laplacian operator ,, put qtftutut 0 , 01t , 2 1 0m ii i uau , 1uu 0 , where is an integer, 3m[0,1) i a , (0,1) i (1,2,,2)im are constants satisfy- ing and 2 1 m i i a 0112 0 m2 1 . By using Leggett-Williams fixed point theorem, some sufficient conditions for the existence of th ree positive solutions are obtained. So me recent result s a r e gen- eralized and improved. An example is also given to illustrate the importance of the results obtained. Keywords: m-Point Boundary Value Problem; Leggett-Williams Fixed Point Theorem; Cone; p-Laplacian Operator 一类具 p-Laplacian 算子的 m点边值问题的三个正解 白冬龙，封汉颍 石家庄机械工程学院数学教研室，石家庄 Email: fhanying@yahoo.com.cn 收稿日期：2011 年4月11 日；修回日期：2011 年5月6日；录用日期：2011 年5月7日 摘 要：非线性边微分方程多点边值问题源于应用数学、物理学和控制论中的变分问题等许多领域。 随着常微分方程理论的发展，多点边值问题的研究日益活跃，已逐渐成为一个新的重要数学分支。本 文研究下列具 p-Laplacian 算子 m点边值问题 ,, put qtftutut 0 ， ，01t 2 1 0m ii i uau ， ，其中 为整数， 1uu 03m[0,1) i a ，(0,1) i (1,2,, 2)im 为常数，满足 ， 2 1 01 m i i a 12 0 m2 1 . 应用 Leggett-Williams 不动点定理，得到了其至 少存在三个正解 的充分条件，推广和改进了现有文献的一些结果。最后，给出了一个具体的例子说明所得结果的 重要性 。 关键词：m点边值问题；Leggett-Williams 不动点定理；锥；p-Laplacian 算子 1. 引言 常微分方程的多点边值问题出现在应用数学和应 用物理的许多领域中。例如，在数学领域，它们出现 在用度量分离法解偏微分方程以求解一维自由边值问  白冬龙 等一类具 算子的 点边值问题的三个正解 108 | p-Laplacian m 题；在物理领域，由N部分不同密度组成的均匀截面 的悬链线的振动可以转化为多点边值问题；在弹性稳 定性理论中，也有许多问题可以归结为多点边值问题 处理。1987年Il’in和Moiseev[1]首先对二阶线性常微分 方程的多点边值问题进行了研究。此后，许多作者运 用多种方法研究了非线性多点边值问题，可参考文献 [2-11]。 文献[8]研究了以下m点边值问题 ,0xt qtfxxx 01t,， 2 1 0m ii i ubu ，， 10uu 其中 (0,1) i ，并且 12 2 01 m ， ， [0,1) i b1 ，该文采用了锥上的不动点定理给出 了边值问题至少存在一个正解的条件。 最近，文献[4]研究了一类具p-Laplacian算子的非 线性项带导数的三点边值问题 ,, put atftutut 0 01t ,， 0u0， 1uu ， 作者利用Leggett-Williams不动点定理得到了边值问题 三个正解存在的充分条件。 受以上文章的启发，本文研究下列具p-Laplacian 算子的m点边值问题 ,, put qtftutut 001t ,， (1.1) 2 1 0m ii i uau ， 1uu 0 ， (1.2) 其中 2p p s ss ， ，1p(0,1) i ，并且 12 m2 01 。假设 (H1) [0,1) ， ，且； [0,1) i a2 1 01 m i i a (H2) ； [0,1][0, ),(0, )fC R (H3) ， ，，且 在 的 任何子区间内不恒等于 ，. 1[0,1]qL0q 0 (0,1)t 1 0 0dqt q(0,1) t 近来，许多学者应用 Leggett-Williams 不动点定 理，证明了一些非线性项中不含有导数项的二阶或高 阶常微分方程边值问题三个正解的存在性。但对于非 线性项包含导数的边值问题的研究结果并不多见(例 如[2,3,7,11])，用此方法讨论边值问题(1.1)，(1.2)正解的 存在性，迄今尚未见到任何结果。 2. 预备知识和引理 首先,引入如下几个定义及引理。 定义2.1 若映射 满足： :[0,P) 连续且 y ,11txt ytt x， x yP， 01t ，则称 x 为非负连续凹泛函。 定义2.2 设常数 0ab ， 是定义在锥 上的 连续非负凹泛函，定义 P a PuPua ， ,,, .PabuPauub 令，在范数 1[0,1]EC 00 max ,uuu ， 0 u[0,1] max tut 下是一个Banach空间，定义 是 中 的一个锥 P E 2 1 0m ii i PuEu au ， ut在[0 上 非负，单调非减，凹的 . 定义非负连续凹泛函 ) ,1] :[0,P 为 1 mi n t uut ，1 , 1 n2 0,mi . 下面我们叙述Leggett-Williams不动点定理，这是 本文主要结果的理论依据。 引理2.1[12] 设:c TP Pc 是全连续算子， 是 上的非负连续凹泛函，且对任意满足 P uu ， c uP。假设存在， b，满足0， adabd c (S1) ,,uPbdub ，且对 ,,uP bd ，有 Tu b ； (S2) 对a uP ，有 Tu a； (S3) 对 ,,uP bc ，且 Tud，有 Tu b . 则T至少存在3个不动点 ，和 ，满足 1 u2 u3 u 1 ua ， 2 bu ，3 au，且 3 ub . 引理2.2 假设 () 1 () 3 H H 成立，对 11 [0,1] :[0,1]:0xCxC xt ，边值问题 ,, putqtftxtxt 0 ,01t ， (2.1) 2 1 0m ii i uau ， 1uu 0 ， (2 .2) Copyright © 2011 Hanspub PM  白冬龙 等一类具 算子的 点边值问题的三个正解109 | p-Laplacian m 有唯一解 1 1 0 1 0 21 1 20 1 1 1 0 ,, d ,, dd 1 1,, d 1 ,, dd. 1 i t ps p p m ip ms i i i p p utqf xx qfx xs aqfxx a qfx xs 证明 由式(2.1)有 ,, putqtftxtxt ， 对，从到 积分，得 [0,1]t0t 1 0 0,, t pp utuqfxxd ， 对，再从到 积分，得 [0,1]t0t 1 0 0 00 ,,dd, t pp s ut uu qfx xs 由式(2.2)得出唯一解为 1 1 0 1 0 21 1 20 1 1 1 0 ,, d ,, dd 1 1,, d 1 ,, dd. 1 i t ps p p m ip ms i i i p p utqf xx qfx xs aqfxx a qfx xs 3 引理2.3 假设 1 ()() H H 0t 成立，对 ， 边值问题(2.1)和(2.2)的唯一解是凹的，并且 ， ，其中 1[0,1]xC ut ,1] 0ut ut[0 . 证明 由(H2)，(H3)，易知 ,, put qtftxtxt 0 ，所以 pu 是单调非增的，从而 ut 也是非增的，故 ut u 是凹的。 由的凹性和边界条件 ，可知 ut 1u 0 0ut ，[0,1]t . 那么 ， 0 i uu 1, 2,,i2m 2 1 m i a ，因此 22 11 00 mm iii ii u a ua u ， 由10 i ，可知 00u，则 0ut ，[0,1]t . 引理 2.4 设uP ，则 01 01 max max tt utMu t ， 其中 2 12 1 1 m ii im i a a 1M i . 证明 由uP ，根据u是凹的并且 ，可 知 0ut 01 10 0max t uu uut . 另一方面，由微分学中值定理可知 22 11 22 11 2 1 2 1 1000 0 0 , mm ii ii mm ii i ii m ii i m ii i i u au au au au u au au , ) i 其中 (0 i ，因此 22 11 22 01 11 0m 11 mm ax i ii ii mm t ii ii a uut aa ii au ， 由此可得 01 2 1201 1 max 1 10max 1 t m ii imt i i ut u a uMut a . 注：由引理2.4 可知， uu ，0 uMu . 引理 2.5 假设 1 ()() 3 H H 成立，定义算子 T： Copyright © 2011 Hanspub PM  白冬龙 等一类具 算子的 点边值问题的三个正解 110 | p-Laplacian m 1 1 0 1 0 21 1 20 1 1 1 0 ,, d ,, dd 1 1,,d 1 ,, dd, 1 i t ps p p m ip ms i i i p p Tu tqfuu fu us afuu a fu us 则算子 是全连续的。 :TPP 证明 根据算子T的定义及引理 2.3，容易证明 。类似于文献[6,10]的证明，易证算子 是全连续的。 TP P :TPP 3. 主要结果 为了方便，引用下面记号： 1 1 0 1d 1 pp KM q , 1 1 21 21 1 11 1d 1() 1 1 dd , 1 i pp m iip mi i i p p Lq a a qq 2 1 2 1 11 max, . m ii i m ii i a M M a 以下我们将应用 Leggett-Williams 不动点定理给 出边值问题(1.1)，(1.2)三个正解的存在性。 定理 3.1 设1 ()() 3 H H成立，存在常数 0abdMdc ，且满足以下条件： (H4) ,, pc ftuv K ， ,,[0,1][0, ][0, ]tuvcc ； (H5) ,, pa ftuv K ， ,, [0,1][0,][0,]tuva a ； (H6) ,, pb ftuvL ， ,, [,1][,][0,]tuvbd d ； (H7) (, , )[ ,1][ , ][0, ] 1 (, , ) [0,1][0, ] [0, ]0 min, , 1 max, ,d, 1 tuvbccp tuvccp ftuvL ftuv q 则边值问题(1.1)，(1.2)至少存在三个正解 ，和， 使得 1 u2 u3 u 1 ua ， 2 bu ，3 au， 3 ub . 证明 我们分三步完成证明。 第一步，证明 cc TP P，aa TP P. 由引理 2.5可知 c TP P. c uP，如果 0t1 ，有 0ut c ， ，由(H4)得 0ut c 001 11 1 0 1 0 21 1 20 1 1 1 0 11 1 00 max 1 ,, d ,, dd 1 1,, d 1 ,, dd 1 () ,,d ,, 1 i t ps p p m ip ms i i i p p p p p TuTu tTu qfuu qfuu s aqfuu a qfuu s qfu u qfuu 1 0 21 1 200 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 dd 1,, d 1 ,, dd 1 1,, d 1 1d, 1 i m ip mi i i p p pp pp p s aqfuu a qfuu s Mqfuu cc Mq K KK c Copyright © 2011 Hanspub PM  白冬龙 等 | 一类具 p-Laplacian 算子的m点边值问题的三个正解 Copyright © 2011 Hanspub PM 111 11 1 00 01 0 11 11 00 max0, ,d, ,d 1 11 ,, dd. 11 p p tp ppp pp TuTutTuqfu uqfu u ccKc qfuu qc KK MM 第二步，证明 ,, |uPbdu b ，且 对 ,,uP bd ，有 Tu b . 取 因此， Tu c，即 c TP Pc . 同理，由(H5)可以证明 对a uP，有 Tu a. 22 022 11 11 11, 211 mm ii mm ii iii i ii bd utat a aa i 易验证 ，且 0 ut P 2 00022 11 11 2 221 11 2 1 2 1 1 min 211 1 211 1 211 m ii mm ti iii i ii m ii mm i iii i ii m ii i ii m ii i bd uutua aa bMb a aa aa b a 2 1 2 1 1 , 2 m i m ii i bb a 2 00022 001 1 11 2 22 1 11 22 11 2 1 1 max11 1 211 111 211 11 m ii mm ti iii i ii m ii mmi iii i ii mm ii i ii m ii i bd uutu a aa dd a MMa a aa a 2 1 , 22 11 i m ii i ddd a 2 000 0 22 0 0 01 1 11 1 max 01 211 m i mm ti iii i ii bd uutu au aa d ，  白冬龙 等一类具 算子的 点边值问题的三个正解 | p-Laplacian m Copyright © 2011 Hanspub PM 112 因此 0,,uPbd ub . 当，如果 ,,uP bd 1t ，有 but d ， 0ut d ，由(H6) 得 11 1 00 1 211 1 20 0 1 1 1 () min,,d,,d d 1() 1 ,,dd,,dd 1 1 ,,d,, 1 i p ps tp mp ip ms ip i i p pp TuTutTuqfu uqfu u aqfuuqfuus a qfuu qfuu s 11 0 211 1 20 1 1 2 1 1 1 1 21 1 dd 1 ,,d,,dd 1 1 11 ,, d,, d 11 ,, 1 i i i mp ip mip i i m piip mi pi i p p s aqfu uqfu us a qfuua qfuu a qfu 11 1 211 1 21 1 1 dd 1 1 dd 1 1 , i pp p mp iip pp mip i i b uq L bb aq q LL a bLb L 因此，当时，. ,,uP bd Tu b 第三步，证明对 ,,uP bd ，且 Tud，有 Tu b . 根据(H7)和引理 2.4之注，类似第二步， 可得 1 1 1 211 1 20 1 1 11 (,,)[ ,1][,][0,](,,)[ ,1][ 1 min, ,d 1 1 ,,d,,dd 1 1 min,,min i i p tp mp ip mip i i ptuvbcc ptuv TuTu tTuqfuu aqfu uqfu u a ftuvL s ,][0,] 1 1(,,)[0,1][0,][0,] 0 1 1 0 ,, 1 max,,d 1 1 ,,d 1 1 0, bc cp ptuvcc p pp ftuvL ftuvq qfuu dd Tu Tub M MM 引理 2.1 的所有条件均满足，所以边值问题(1.1)， (1.2)至少存在三个正解 ，和 ，使得 1 u2 u3 u 1 ua ， 2 bu ，3 au， 3 ub 定理3.1证明完毕。  白冬龙 等一类具 算子的 点边值问题的三个正解113 | p-Laplacian m 4. 应用举例 本部分将给出一个例子来说明我们定理的可行 性。 取 ，，3p 1qt 4m ，15 4 ，11 3 ， 22 3 ，1 a1 2，2 a1 4. 考虑下面边值问题： ,,0 tututftxt xt ,01, (4.1) 1112 02343 uuu ， 15 10 4 uu , (4.2) 其中 7 4 7 4 20 4 20 4 2sin 3, 10 3 3, 10 ,, 2sin 3, 10 3 3, 10 vt u t u ftuv vt u t u 01, 2 01, 2 1, , 2 1, , 2 uv uv uv uv , , 选取 1 4 a， ，，， 1b20c10d1 4 . 通 过直接计算, 有28 3 K，5.436L ，7 3 MM， 可以验证 f 满足(H2)，且有 (1) 当(时， ,,) [0,1][0,20][0,20]tuv 3 , ,3.0014.592 c ftuv K ， 01u, 3 , ,3.4854.592 c ftuvK ， ； 1u (2) 当11 (,,)[0,1][0, ][0, ] 44 tuv 时， 3 , ,0.00050.0007 a ftuv K ； (3) 当1 ( ,,)[,1][1,10][0,10] 4 tuv时， 3 ,, 30.034 b ftuv L ； (4) 当1 (,,)[,1][1,20] [0,20] 4 tuv 时， 1 ( ,,)[,1][1,20] [0,20] 4 min, ,3 tuv ftuv ，， 329.55L 1 (,,)[,1] [1,20] [0,20] 4 max, ,3.485 tuv ftuv ， 1 0 3 1d1 1q 6 ， 329.5588.653.485 1655.76 . 故定理 3.1 的条件均满足，则边值问题(4.1)和(4.2)至 少有三个解 ，和 ，使得 1 u2 u3 u 11 4 u ， 2 1u ，3 1 4u， 31u . 5. 致谢 感谢国家自然科学 基金资助项目 (10971045) 和河 北省自然科学基金资助项目(A2009001426)的支持。 参考文献 (References) [1] V. A. Il’in, E. I. Moiseev. Nonlocal boundary value problem of the second kind for a Sturm-Liouville operator. Differential Equations, 1987, 23(8): 979-987. [2] S. P. Chen. Three positive solutions of multi-point BVPs estab- lished by using Leggett-Williams fixed point theorem. Journal of Sichuan Normal University, 2009, 32(4): 465-469. [3] Y. Chen. Multiple positive solutions for semipositone m-point boundary value problems. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2009, 26(2): 349-356. [4] 杜波, 葛渭高. 一类具 p-Laplacian 算子边值问题的三个正解 的存在性[J]. 数学的实践与认识, 2008, 38(20): 201-204. [5] Y. P. Guo, Y. D. Ji, and J. H. Zhang. Three positive solutions for a nonlinear nth-order m-point boundary value problem. Nonlin- ear Analysis, 2008, 68(11): 3485-3492. [6] D. H. Ji, H. Y. Feng, and W. G. Ge. The existence of symmetric positive solutions for some nonlinear equation systems. Applied Mathematics and Computation, 2008, 197(1): 51-59. [7] X. J. Liu, J. Q. Qiu, and Y. P. Guo. Three positive solutions for second-order m-point boundary value problems. Applied Mathe- matics and Computation, 2004, 156(3 ): 733-742. [8] R. Y. Ma, D. M. Cao. Positive solutions to an m-point boundary value problem. Applied Mathematical—A Journal of Chinese Universities, 2002, 17 (1): 24-30. [9] Z. Wu, L. L. Wang. Multiple positive solutions for singular boundary value problems with p-Laplacian. Annals of Differen- tial Equations, 2007, 23(4): 519-524. [10] 赵俊芳, 王文丽, 葛渭高. 具p-Laplacian 算子的多点边值问 题三个对称正解的存在性[J]. 数学学报, 2009, 52(2): 259-268. [11] 张晓燕, 孙经先. 一维奇异p-Laplacian 方程多解的存在性[J]. 数学物理学报, 2006, 26(1): 143-149. [12] R. W. Leggett, L. R. Williams. Multiple positive fixed points of nonlinear operators on ordered Banach spaces. Indiana Univer- sity Mathematics Journal, 1979, 28(4): 673-688. Copyright © 2011 Hanspub PM |