 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 124-131 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12025 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM On h-Completion for Maximal Subgroups and the Solvability of Finite Groups Xiaoyan Zhang, Weihua Xu School of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology, Chongqing Email: zhangxyms@gmail.com Received: Apr. 2nd, 2011; revised: May 28th, 2011; accepted: May 30th, 2011. Abstract: In this paper, we propose new definition of an h-completion for a maximal subgroup M of a group G, that is a θ-completion C such that either C = G or there exist a subgroup D of G which is not a θ-completion for M and C < D holds. This method can weaken the imposed maximality on θ-completion. Moreover, we studied the solvability and of finite groups by means of h-completion and obtained some im- portant properties, which are very useful to research deeply finite groups. Keywords: Finite Group; θ-Completion; h-Completion; Solvability 极大子群的 h-完备与群的可解性 张晓燕，徐伟华 重庆理工大学数学与统计学院，重庆 Email: zhangxyms@gmail.com 收稿日期：2011年4月2日；修回日期：2011年5月28 日；录用日期：2011 年5月30 日 摘 要：本文给出了有限群 G极大子群 M h-完备的定义，即称C为M的h-完备，若C是M的θ-完备， 且有 C = G或存在 G的一个子群 D使得 D不是M的θ-完备，但有 C < D成立。从而，可以通过这个定 义把 θ-完备的极大性削弱，并得到了有关群可解性的重 要结论，丰富了有限群理论 。 关键词：有限群；θ-完备；h-完备；可解性 1. 引言 有限群极大子群对于群的结构起着非常重要的作 用，并且对群的许多性质有很大影响。W. E. Deskins 在文[1]中给出了有限群极大子群完备的定义，并且利 用这一工具得到了有关群可解性的许多重要结论。诸 如： 命题 1 群可解当且仅当对 G的每一个极大子 群 G M ，都存在 () I M的极大元C，使得 ()CKC 是幂 零的，且其Sylow 2-子群的幂零类 。 2 命题 2 群G可解当且仅当 的每个合数指数的 极大子群 G M ，() I M包含一个极大元 ，使得C()CKC 是幂零的，并且有 ，对一切 g CM g G成立。 命题 3 群G可解当且仅当 G的每个合数指数的 极大子群 M ，() I M包含一个极大元 ，使得C()CKC 无平方因子，且有 GCM 。 同时在文[2]中N. P. Mukherjee和P. Bhattacharya 又引出了 -偶的定义。之后，赵耀庆在文[3]中给出了 -完备的概念，并且利用这一工具讨论了群的可解性 和超可解性，得到一系列的结论，主要有： 命题 4 群可解当且仅当 G的每个合数指数且 包含某一 Sylow 子群的正规化子的极大子群 G M 存在 一个极大 -完备 ，使得CG CM 是幂零的，并且有 ，对一切 g C M g G 成立。  张晓燕 等极大子群的完备与群的可解性125 | h- 命题 5 群可解当且仅当 的每个合数指数且 包含某一 Sylow 子群的正规化子的极大子群 G G M 存在 一个极大 -完备 C，使得 G CM 是幂零的，且有 。 GCM 从上面的结论可以发现它们对有限群的可解性均 要求比较强，即要求它们的“极大性”的存在，这对 于群的研究稍有不便。因此寻找可以削弱或忽略这一 “极大性”的方法成了一个比较有趣且尤为重要的课 题。在文[4]中李世荣、赵耀庆引出了极大子群的 s - 完备的定义，进而得到： 命题 6群可解当且仅当对 可解的极大子群 G G M ，且 M 有一个 s -完备 ，使得C()CKC是幂零的， 且其 Sylow2-子群的幂零类 2 。 命题 7 群可解当且仅当 的每个合数指数且 包含某一西洛子群的正规化子的极大子群 G G M 存在一 个 s -完备 ，使得C()CKC幂零，且有 GC 。 M 命题 8 群超可解当且仅当 的每个合数指数 且包含某一 Sylow 子群的正规化子的极大子群 G G M 存 在一个 s -完备 ，使得C()CCK 循环的，且有 。 GCM 由上面的命题可知 s -完备的引入忽略了极大子 群完备的极大性。本文也利用这一方法定义了极大子 群的 -完备，从而忽略了极大子群h -完备的极大性， 并得到了有关可解性的一些重要结论。 本文未经特别说明， 均指有限群。 G 2. 极大子群的 h-完备 定义 1[1] 设 M 是G的一个极大子群。G的子群 C 称为 M 在中的一个完备，如果，而 C的每 个-不变真子群都在 GC M G M 中。 若用 () K C表示 C的所有 G-不变真子群之积则 () K CC且() K CG， M 在G中的所有完备作成一 个集合，记为 () I M，称为 M 在中的指数复合。G () I M按集合包含关系作成一个偏序集，其极大元称 为 M 的极大完备。 定义 2[4] 设 M 是 的一个极大子群。G M 的一个 完备 称为 C M 在 中的一个G s -完备，如果 C=G或存 在的一个子群 ，使得 不是 GD D M 的完备，但有 成立。 CD 定义 3[4] 设 H G，若存在 K G，使GHK 且 1 H K ，则称 H 在中是可补的。若进一步有G K G，则称 H 在G中有正规补。 定义 4[5] 给定群 ，有下面定义： G () qq GS π()GqG S GM y , ()G 使 ( ) Gq lNG M :GGM为合数 G () C GM () S GG C () () SC () SC G 若 () SC G ，则 ，否 则 (){ :()} SC GMM G SC G 。 定义 5[3] 设M是G的一个极大子群。G的一个子 群C称为 M 在G中的一个 -完备，如果 C M ，但 有G M C，且在 G CM 中没有 G GM 的非平凡正规 子群。 把 M 在中所有G -完备记作 () I M ，其中 M G 。若(M)CI 且在 () I M 中没有任何元 满 足C < D，则我们把 C叫作 D M 的极大 -完备。 群的极大子群G M 的完备( -完备)称为是正 规的，若 。显然正规完备( C C G -完备)一定是极大 的. 下面给出 -完备的定义。 h 定义 6 设 M 是G的一个极大子群。 M 的一个 - 完备 C称为 M 在G中的一个 -完备，如果 C=或 存在 G的一个子群，使得 不是 h D G D M 的 -完备，但 有CD 成立。 显然一个极大 -完备必然是一个 -完备，反之却 不一定成立。 h 定义 7[6] 若给定群类的子群类 ，且用 表 示一个群类，我们称 b为的-边界，它表示所 有群 G的类，若 () ()b Q G ，而有 GN，其中 1NG 。 定义 8[7] 群 X 称为群 的一个截断，如果Y X 是Y 的一个子群的同态像。 定义 9[8] 若G是有限群， 12 12 ,, s s Gpp p ，且 1 s pp 1 S G ，若存在 G的正规群列 使得 01 GG G 1 || ii GG , i pi 1,,s i，则称上述 群列为 G之一Sylow塔，而称 G为一具有Sylow塔的 群，简称ST-群。 定义 10[9] F 是一个群类。称 F 为一个群系 (formation)，如果 1) 若GF ， ，则NGGN F； Copyright © 2011 Hanspub PM  张晓燕 等极大子群的完备与群的可解性 126 | h- 2) 若121 2 ,,,NN GGNGN F，则 12 ()GN NF。 称一个群系 F 为饱和(浸润)的，如果由 能推出 。 /()GGFGF 显然，可解群类 ，超可解群类U，幂零群类 都是饱和的[9]。 S N 对一个群系 F ，每一个群 G都存在一个最小正规 子群 N使得 GNF。这个唯一确定的正规子群称为 的 G F -剩余子群，记作 F G。 引理 1[5] 设 M 是G的一个极大子群，则： (){ ()|(), G I MCIMKCM 或, G CAM 其中 A 是 M 的极小正规补。 引理 2[3] 设C是极大子群 M 的一个 -完备，如 果有 且，则 NGNMCN是 M N的一个极大 - 完备，反之如果 CN是 M N的一个极大 -完备，则 是极大子群 C M 的一个 -完备。 同理易证明下面引理。 引理 3 设C是极大子群 M 的一个 -完备，如果 有 且，则 h NGNMCN是 M N的一个 -完备， 反之如果 h CN是 M N的一个 -完备，则 C是极大子 群 h M 的一个 -完备。 h 引理 4 设 是一个群性质且是子群遗传、同态象 不变的。若 M 是的一个极大子群， C是G M 的一个 -完备，使得hG CM 是一个群，则存在一子群 和一正规极大 DG -完备 * G A AM。其 中 A 是 M 的极小正规补，使得 群 G CM 是GG MDM的一个 极大子群， * GGG A MDMM且有成立。 DAC 证明若 时引理显然成立。 CG 若，由 h-完备的定义，有CG ()CIM 且存 在,DGD (M)I ，而 C是的一个极大子群。故 在 中必有一个真子群 D G A ，使 得 A G且 A M ，取 A 为 中D M 的极小正规补，则由引理1得， * A AM 是一个极大 -完备。 因此 GG GG A MM DMM，且 G CM 上G DM 的一个极大子群。 更进一步，由于 () A KC ，故有 成 立。 CCAD 引理 5[10] 设G为有限群，且有一个极大子群 M 是幂零的。若T为 M 的唯一的Sylow 2-子群，且是U M 的唯一的 2-补，则U在中是正规的，且有G () () Z UZG ，() ()UGU UZUGZ ，以及 GU是 可解的，且其 Sylow2-子群是它的极大子群。特别地， 如果 () 1ZG ，则 M 是G的Sylow2-子群。 引理 6[6] 设 为有限群，则 可解当且仅当对每 一个极大子群 G G ( SC M G)，都存在一个极大 -完备 ，使得 CG CM 幂零，且它的Sylow 2-子群的零类 2。 引理 7[7] 设G为有限群，则下列两条均为 可解 的充要条件： G 1) 的合成因子皆为素数阶循环群； G G 2) 的主因子皆为素数幂阶的初等交换群。 引理 8 (Deskins，Janko，Thompson[7])设 H 为 的 极大子群。若 G H 幂零，且 H 的Sylow 2-子群的零类 2，则 G可解。 引理 9[11] 设群 有唯一的极小正规子群G K 是不 可解的，令 C是G的幂零非正规子群，则有一面结论 成立： 1) 如果 C是CK 的极大子群，则 CK是 K 的 Sylow 2-子群。 2) 如果 C是 K 的极大子群，则C是 K 的 Sylow 2-子群。 引理 10[11] 若 为可解群区系，为的边界， 则有下面的结论成立： ()b 1) 若群G ，则存在一个正规子群NG ，使 得()GN b 且GN有 唯一的极小正规子群 K N且 其不可解。 2) 若 M N是GN的一个无核极大子群，则有 G MN 。 3) 若 M N是GN的一个无核极大子群，且 M 有极大完备 使得C()CKC是可解的，则 () G M NKC 。 3. 极大子群的 h-完备与群的可解性 本节主要讨论有限群的某些极大子群的 h-完备 对有限群的可解性的影响. 定理 1 群可解当且仅当对每一个包含在 中的极大子群 G ()G SC M ，都存在一个 -完备 C，使 得 h G CM 是幂零的，且其 Sylow 2-子群的幂零类 2 。 证明必要性：因为是可解的，由引理 7知 的G G Copyright © 2011 Hanspub PM  张晓燕 等极大子群的完备与群的可解性127 | h- 主因子皆是交换群。而由于集合 ，且 非空，在中取极小者 ，则为 极大完备，故由引理 1可取适当 C使得 C为极大 {|WCCG C(CI W }CM GW)M -完备，且 G CM 是G的一个主因子，因而 C为一个 -完备，且hG CM 为交换群，即存在一个 -完备， 使得 h G CM 是幂零的，且其 Sylow 2-子群的幂零类 。 2 充分性：1) 若取极大子群 SC M F，则M存在 一个极大 -完备 * A ，使得有 * G A M是幂零的，其 Sylow 2-子群的幂零类 。 2 因为有 G CM 是幂零的，且其Sylow 2-子群的幂 零类，且又由引理4可知存在一个 ，2DDG 和 一个极大正规 -完备* G A AM(这里 A 为 M 的在 中的极小正规补)使得有 D * GGG A MDMM， G DMG CM M G 。 故由引理 4知GG DMM可解。又由于 G GM 的 极小正规子群 GG A MM在G DM G M中，故 GG A MM为交换群。因此 * G A M是幂零的，其 Sylow 2-子群的幂零类，即 1) 成立。 2 2) 由引理6知G可解。 定理 2群可解当且仅当对每一个包含在 中的极大子群 G () SC G M 都存在一个 -完备 C，使得h G CM 是幂零的，且 。 CMG 证明 必要性：因为可解，由引理7知G的主因 子皆是交换群。而由于集合 ，且 非空，在中取极小者 ，则为 极大完备，于是由引理 1可取适当 C使得 C为极 大 {| G ( W WC C C CI}CM GW)M -完备，且G CM 是G的一个主因子，因而 C为一 个-完备，且hG CM 为交换群，即存在一个h-完备， 使得 G CM 是幂零的，且 。 CMG N 充分性：设 G是一个极小阶反例。因为 G是不可 解的，则存在一个 的正规子群，使得 GGN包含 在可解群区系 的Q-边界中。由于 是浸润的，故 由引理 10 可知 GN有唯一的极小正规子群 A N，且 其是不可解，使得对任意素数 ，它都没有非平凡的 正规 -子群，即 p p A N是单群。 设 为p A N的最大的素因子，另设PN 是 $ A N$的一个 Sylow -子群。因此pPNA N。由 于Franttini 论断有 () GN GNNPNANM NAN。 这里 PN是GN中包含 GN GN NPN 的一个极 大子群。令 是的Sylow -子群，使得S Gp SNNANP N 。我们注意到 ()( ) () GGN GN NSNN NSNN NPNMN 因此有： () G NS M ，故 () S M G。我们断言 () C M G。事实上，假定|:，其中 为素 数，则 |GMqq q SGN 的一个子群(由NC定理)，是 个 文字上的对称群，因此 是 q Sq qGN的最大素因子。另一 方面，又由 |: ||:GNM NqANM NAN| ，故有 pq ， 而这与 M N和 A N都包含Sylow -子群pPN矛盾. 故 。因此有： C M( SC ) M G。 因 A N是GN的唯一极小正规子群，且 GNAN M N ，由引理 10我们有 。因此 有： G NM * G A AM是 M 的正规极大 -完备。并且根据假 设， M 有一个 -完备使得 hCG CM 是幂零的，且 CM G 。由引理 4知 有一个子群使得幂零子群G D G CM 是GG MDM的极大子群，且 GGG A MDMM。因为 G A M是GN的唯一的极 小正规子群，由引理 5，因 () GG M1ZDM 知G CM 是GG DMM 的Sylow 2-子群。令 ，则BCAG BM 是G A M的Sylow 2-子群.这样由于 G A M是不可解 的，且没有非平凡的正规 2-子群，因此 G BM 在G A M 中是非平凡的、不正规的.由Frattini 论断有： () G GGM G GG GMNBMAMHM AM G 其中 H 是的一个极大子群，且GG H M包含 ( G M) G GM NB 。假设S是G的Sylow 2-子群，使得 GGGG A MSMMM B 于是我们有 和() G NS H () S H G。 更进一步，由于 G BM 包含在 G H M中，则 |: ||:| GG G GHAMAMHM 一定是奇数。而另一 方面，由于因为 G CM 正规化 G BM ，且 GGG CMDM M 以及 GG DMH M ，则有： GGG CMDM MHM G 。故 GG G DMMH M 是2-群。 因此， |: ||:| GG GGG GHDM MDMMHM 一定是 合数。否则有：|| GG DM Mr 2，其中 为一素数， 故 r GG DMM是可解的，而这与G A M不可解矛盾。 Copyright © 2011 Hanspub PM  张晓燕 等极大子群的完备与群的可解性 128 | h- 于是有 () SC H G。因此由定理假设知存在一个 -完备 使得h* C* G CH是幂零的，且 。同 * CH G M 的讨论一样我们有 * GG CMM 是2- 群，又因为 * GGGG CM MGM HM，有： ** |: ||: GG GGG CMGHH CM| M MM是2的方 幂，这与前面得到的 GH为奇数矛盾。故 可解。 G 定理 3 群可解当且仅当对每一个包含在 中的极大子群 G () SC G M 都存在一个 -完备 C，使得h G CM 是幂零的，并且有 ，对一切 g CM g G成立。 为了证明这个定理，我们首先给出下面定理。 定理 4[12] 群 为可解群。 () SC G 下面我们给出定理 3的证明 必要性：证明同定理 2。 充分性：极小反例法。若 G是非交换单群，则对 任意的 M ， M G，有 G本身就是 M 的一个 -完备， 而 h M 在中有核，即，故 幂零，矛盾。定 理成立。 G1 G M G 若不是非交换单群，由引理 10 知存在着一个 ， N，使有 G NG()GGNb(所有可解群类的 - 边界)，因此 Q G有唯一的极小正规子群 K ，并且其不 可解。 为了方便，我们分以下几步证明： 1) G存在一个极大子群 M ，使得 () SC M G， 且 M 有一个 -完备 hC，且其性质类似于 M 的-完备 。 h C 由引理 2知定理假设对 G是成立的，且由定理 4 知() SC G是可解的，则 () SC K G ，因此存在一个 极大子群 () SC M G使 K M 。故有 GMK且 M 是无核的，因此也有 ( SC ) M G，由定理假设知 M 存在一个 -完备C使得 hG CM 是幂零的，并且有 ，对一切 g CM g G成立.又由引理10 知G M N 。 故由引理 3可得 CCN是 M 的一个 -完备且hC有 类似 的性质。 C 2) () SC G中每一个极大子群 H ，其 -完备h C 都可使 CK是 K 的Sylow 2-子群。 由于 C是 H 的h-完备，以及 K 是G唯一的极小 正规了群，因此 G中存在一个子群 D，且CD ，使 有： K D又因为 K C ，且 C在G中是非正规的， 故CCKD，于 是CK D成立。因此有：CCK 故由引理 9可知CK是 K 的Sylow 2-子群。 3) G存在一个无核的极大子群 L，且 CL，使 得() SC LG。由 2) 知可取 SCK是 K 的Sylow 2-子群，设 2 G是G的Sylow 2-子群，且使2 GKS 。 于是有： 2 () () GG NGNSL G，其中L是G的某 一个极大子群，显然 CL，由 Frattini 论断有： () G GNSKLK。因此() S LG，且 1 G L 。我 们断言|:|GL一定是合数.否则，若 |:|GL r ， 为 一素数，由于 r |:||: |GLDD Lr 。又因为 CDL以及 CD ，则有 CDL 。因此 |||:|2 K DK rr ，即 K 可解，矛盾。因此有 () SC LG。 4) 导出结论 因为 () SC LG由定理假设及引理3知存在一 个-完备h* C，使 * C是幂零的，且有*g C L，对一 切GG 成立。由(II)知* CK 与SCK相同是 K 的Sylow 2-子群，所以， *g SC K对一切GG 。 因此若令 * ,UCC，则U正规化S，如果 CU ， 则G的唯一的极小正规子群k包含在U中，因此 C是 M 的-完备，故h K 正规化 S，矛盾于是我们有 CU ，则 *() g G CCNS L，与假设矛盾。因 此定理成立。 以上我们主要讨论了极大子群 () SC M G对群 的可解性的影响，而事实上可解的极大子群类和幂零 的极大子群类对群的可解性也有一定的联系。以下我 开始讨论这两个群类对群可解性的影响。 定理 5 群G可解当且仅当 存在一个可解的极 大子群 G M ，且 M 存在一个 -完备 C，使 得 hG CM 是 幂零的，且其Sylow 2 子群的幂零类 。 2 证明 必要性：因为 G是可解的，由引理 7知 的 主因子皆是交换群。而由于集合 ，且 G G{|WCC }CM G 非空，在W中取极小者 C，则 ()MCI 为 极大完备，故由引理 1可取适当使得 为极大CWC -完备，且 G CM 是 的一个主因子，因而 为一个 -完备，且 G C hG CM 为交换群，即存在一个 -完备，使 得 h G CM 是幂零的，且其 Sylow 2-子群的幂零类 2 。 充分性：极小反例法。若 是非交换单群，则对 任意的 G M ， M G ，有 G本身就是 M 的一个 -完备， 而 h M 在G中有核，即，故 G幂零，矛盾定理 成立。 1 G M 若G不是非交换单群，我们首先证明极大子群 M Copyright © 2011 Hanspub PM  张晓燕 等极大子群的完备与群的可解性129 | h- 存在一个 -完备h* A ，使得有* G A M是幂零的，且其 Sylow 2-子群的幂零类 。因为有2G CM 是幂零的， 且其 Sylow 2-子群的幂零类 2 ，且又由引理 4可知 存在一个，和一个极大正规 DDG -完备 * G A AM(这里 A 为 M 的在 中的极小正规补)使得 有 D *, GCM GGG AM MGD G DM M M 。故由引理 8知GG DMM 可解，又由于 G GM 的极小正规子群 GG A MM在GG DMM中，故 GG A MM为交换群.因 此* G A M是幂零的，其Sylow 2-子群的幂零类 2 。 当时，设是的极小正规子群且 ，则由引理 3知 1 G M NM N G *() A NhIMN。又由 M NGN ，故由命题假设可知 GN可解，N也可 解，于是 G可解。矛盾，定理成立。当 时，则 可设是的唯一极小正规子群。因此 GM，于 是 1 G M NGN GN可解.令 H 是的一个适当子群，使其包含G * A ，且 * A H。而由于* A 是() I M 中的极大元，故 有：根据引理 8得NH H 是可解的，于是 可解， 即 可解。矛盾，定理成立。 N G 推论 1 群可解当且仅当 存在一个幂零的极 大子群 G G M ，且 M 存在一个 -完备 ，使得h CG CM 是 幂零的，且其Sylow 2 子群的幂零类 2。 定理 6 群可解当且仅当 存在一个可解的极 大子群 G G M ，且 M 存在一个 -完备 ，使得h CG CM 是 幂零的，并且有 ，对一切 g CM g G成立。 证明 必要性：证明同定理 5。 充分性：极小反例法。若 G是非交换单群，则对 任意的 M ， M G ，有 G本身就是 M 的一个 -完备， 而 h M 在 中有核，即，故幂零，矛盾.定理 成立。 G1 G MG 若不是非交换单群，由引理 10知存在一个， ，使有 G G N N (b)GGN(所有可解群类的 Q-边 界)，因此 G有唯一的极小正规子群 K ，并且其不可 解。 我们按以下几步证明： 1) 对于G中的一个可解极大子群 M ， M 有一个 -完备，其性质类似于 h M 的h-完备 C。 由引理 2知定理假设对 G是成立的，而 M 是可解 的，则 K M ，故有 GMK且 M 是无核的，否则 矛盾于 K 是G的唯一极小正规子群。又由引理 10知 G M N。而 M 存在一个 -完备 ，使 得h CG是幂 零的，并且有 ，对一切 g CM g G成立。故由引理 可得 CCN是 M 的一个 -完备且 C有类似于 的 性质。 h C 2) G中每一个无核的极大子群 H ，其 -完备hC 都可使 CK 是 K 的Sylow 2-子群。 由于 C是 H 的-完备，以及 h K 是G唯一的极小 正规子群，因此 G中存在一个子群 D，且CD ，使 有： K D。又因为 K C ，且 C在G中是非正规的， 故CCKD ，于是 CM CK D 成立。因此有：CCK。 故由引理 9知CK 是k的Sylow 2-子群。 3) G中存在一个无核的极大子群 L，且 CL。 由2)知可取 SCK 是 K 的Sylow 2-子群，设 2 G是G的Sylow 2-子群，且使 2 GKS。于是有： 2 () () GG NGNSL G其中 L是G的一个包含 () G NS的极大子群，显然 CL，由 Frattini 论断有： () G GNSKLK因此1G L。 4) 导出结论 因为 LG ，故 L可解。由定理假设及引理 3知 存在一个 -完备h* C，使 * C是幂零的，且有g CL ， 对一切 g G 成立。由 2) 知* CK与SC K相同 是 K 的Sylow 2-子群，所以 g SC K，对一切 g G 。因此若令 * ,UCC，则 U正规化 S，如果 CU ，则 G的唯一的极小正规子群 K 包含在U中， 因此 C是 M 的-完备，故 h K 正规化 S，矛盾。于是 我们有 CU ，则 *() g G CCNS L，与假设矛 盾。因此定理成立。 推论 2 群G可解当且仅当 G存在一个幂零的极 大子群 M ，且 M 存在一个 -完备 C，使 得hG CM 是 幂零的，并且有 ，对一切 g CM g G成立。 定理 7 群G可解当且仅当 G存在一个可解的极 大子群 M ，且 M 存在一个 -完备 C，使 得hG CM 是 幂零的，且有 GCM 。 证明 必要性：证明同定理 5。 充分性：由定理 7知我们只须证明：若定理假设 成立可导出 ，对一切 g CM g G成立即可。事实 上， 否则若有某一 g G 使得 g CM，若令 g mc ，其 中mM ，cC ，则 ，故 c cMc M M 。而 c M M ，因此 C，矛盾，故定理成立。 M 推论 3 群G可解当且仅当 G存在一个幂零的极 大子群 M ，且 M 存在一个 -完备 C，使 得hG CM 是 Copyright © 2011 Hanspub PM  张晓燕 等极大子群的完备与群的可解性 130 | h- 幂零的，且有 。 GCM G 定理 8 群可解当且仅当对于每个包含 的某 个Sylow 2-子群的正规化子的极大子群 G M ，且 M 存 在一个 -完备 C，使 得hG CM 是幂零的，且其 Sylow 2子群的幂零类 2。 证明 必要性：因为 G是可解的，由引理 7知G的 主因子皆是交换群。而由于集合 ，且 非空，在中取极小者 ，则为 极大完备，故由引理 1.2.1 可取适当 C使得C为 极大 {|WCC CCI W G () M}CM GW -完备，且 G CM 是G的一个主因子，因而 C为 一个 -完备，且hG CM 为交换群，即存在一个 -完备， 使得 h G CM 是幂零的，且其 Sylow 2-子群的幂零类 。 2 充分性：极小反例法。若 G是非交换单群，则对 任意的 M ， M G，有 G本身就是 M 的一个 -完备， 而 h M 在中有核，即，故 幂零，矛盾定理 成立。若 G不是非交换单群，我们首先证明极大子群 G1 G M G M 存在一个 -完备 h* A ，使 得 有* G A M是幂零的，且 其Sylow 2-子群的幂零类 。因为有2G CM 是幂零 的，且其 Sylow 2-子群的幂零类，且又由引理 4 可知存在一个，和一个极大正规 2 DDG -完备 * G A AM(这里 A 为 M 的在 中的极小正规补)使得 有 D *, GGG GGG A MDMMCMDMM。故由引理 8知GG DMM 可解，又由于 G GM 的极小正规子群 GG A MM在G MG DM 中，故 GG A MM为交换群。 因此 * G A M是幂零的，其Sylow 2-子群的幂零类 2 。 当时，设是的极小正规子群且 ，则由引理 3知 1 G M M N G N*() A NhIMN。又由 M NGN ，故由命题假设可知 GN可解，N也可 解，于是 G可解。矛盾，定理成立。当 时，则 可设是 的唯一极小正规子群.因此 G，于是 1 N G M MN G GN可解。令 H 是G的一个适当子群，使其包含 * A ， 且* A H。而由于 * A 是() I M 中的极大元，故有： 根据引理 8得NH H 是可解的，于是 可解，即 G 可解。矛盾，定理成立。 N 定理 9 群G可解当且仅当对于每个包含 的某个 Sylow 2-子群的正规化子的极大子群 G M ，且 M 存在一 个-完备C，使得hG CM 是幂零的，且有 GCM 。 证明 必要性：因为可解，由引理 7知G的主 因子皆是交换群.而由于集合 ，且 G {|WC CG }CM G 非空，在W中取极小者 C，则()CIM 为 极大完备，于是由引理可取适当使得 为极大 CWC -完备，且 G CM 是 的一个主因子，因而 为一个 -完备，且 G C hG CM 为交换群，即存在一个 -完备，使 得 h G CM 是幂零的，且 CM 。 G 充分性：设 是一个极小阶反例。因为 是不可 解的，则存在一个 G的正规子群 ，使得 G G NGN包含 在可解群区系 的-边界中。由于 是浸润的，故 由引理 10 可知 Q GN有唯一的极小正规子群 A N，且 其是不可解，使得对任意素数 ，它都没有非平凡的 正规 -子群，即 p p A N是单群。 显然 2是 A N的阶的一个素因子。假设 A N是 PN的一个Sylow 2-子群，则 PN在 A N中是非正 规的，且由Frattini 论断有： ()GNNPNANM NA GN N (这里 M N是GN中包含 ( GN NPN)的一个极大子 群)。 设是 G的一个 Sylow 2-子群，使得 S ()SN ( )NA NPN。于是我们有： ()()( ) GGNGN NSNNNSNNNPNNM () G NS M GNM NAN因此 。注意到且 A N是 C的唯一极小正规子群，于是可知 G NM 及 G A AM 。由归纳假设， M 有一个 -完备使得hG CM 是幂零的且 CM G 。 然而，因为 A 是正规的，因此极大完备和 A N是 可解的，于是我们由引理 4知在 G中存在一个子群 ，使得幂零子群 DCN在DN N中是极大的，并且 GN的唯一极小正规子群 A N在DNN 中。 设TN是CN的Sylow 2-子群且UN是CN的 2补，则由引理 1.2.9 可得 () Z UN 在() Z DN N中。 如果UN是非平凡的，则 () Z UN 也是非平凡的，故 ( Z DNN )是非平凡的。又由于 ( )()() DNNG N Z DNNCA NCA N 我们有： ( GN ) A NC AN，因此 A N是交换的， 矛盾。故UN是平凡的，于是CN必是 DNN 的一 个Sylow 2-子群。 记BC A ，则 BN是AN的Sylow 2-子群， 因此在 AN中是非平凡的、非正规的。由 Frattini 论 断知， () GN GNNBNANHNAN Copyright © 2011 Hanspub PM  张晓燕 等 | 极大子群的 h-完备与群的可解性 Copyright © 2011 Hanspub PM 131 参考文献 (References) 这里 H是G的极大子群且 ( ) GN H NN BN。设 F是 G的一个 Sylow 2-子群，使得 F NNAN BN。则 ，且由于 () G NF HBN HN，故 [1] W. E. Deskin. On maximal subgroups. Proceedings of a Sympo- sium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, 1959, 1: 100-104. [2] N. P. Mukherjee, P. Bhattachary. On theta pairs for maximal subgroups. Proceedings of the American Mathematical Society, 1990, 109(3): 589-596. |: ||:GHANANH N| 必是个素数。又由归纳假设可知 H 存在一个 -完备 使得 h * C* G CH是幂零的，且 。同 * GCH M 的方法 可证 * CN是2群。 [3] Y . Q. Zhao. On the deskins completions, theta completions and theta pairs for maximal subgroups. Communications in Algebra, 1998, 26(2): 3141-3153. [4] S. R. Li, Y. Q. Zhao. On s-completions of maximal subgroups of finite groups. Algebra Colloquium, 2004, 11(3): 315-324. 另一方面由于 * GNCN HN，所以我们有： * |: ||:()()|GHC NHNCN [5] Y . Q. Zhao. On the deskins completions, theta completions for maximal subgroups. Communications in Algebra, 2000, 28(1): 375-385. * 是2的方幂，矛盾。 于是 可解。 G[6] Y . Q. Zhao. On theta completions & s-completions for maximal subgroups. JP Journal of Algebra, Number Theory and Applica- tions, 2002, 2(2): 111-119. 定理成立。 [7] 徐明耀. 有限群导引[M]. 北京: 科学出版社, 1999. 4. 结束语 [8] T. Hawkes. On the class of Sylow Tower groups. Mathematische Zeitschrift, 1968, 105(5): 393-398. [9] B. Huppert, G. I. Endliche. Finite groups. Berlin: Springer-Verlag, 1968. 有限群极大子群对有限群的可解性均要求比较 强，即要求它们的“极大性”的存在，这对于群的研 究稍有不便。本文通过给出极大子群的 -完备的定义 消弱了极大子群 h -完备的极大性，并得到了有关可解 性的一些重要结论。 [10] J. S. Rose. On finite in solute groups with nipotent maximal subgroups. Journal of Algebra, 1977, 48(4): 182-196. [11] Y. Q. Zhao. Completion, theta-completion and the salvability of finite groups. Journal of Applied Algebra and Discrete Structures, 2003, 1(2): 87-97. [12] Y. M. Wang. C-normality of groups and properties. Journal of Algebra, 1996, 180(3): 945-965. |