 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 136-143 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12027 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM General Viscosity Iterative Methods and Applications* Ming T ian , Xin Jin College of Science, Civil Aviation University of China, Tianjin Email: tianming1963@126.com; bzjx1988@126.com Received: Mar. 31th, 2011; revised Apr. 27th, 2011, accepted May 3rd, 2011. Abstract: The main core of this work is to clarify the profound relationships between several kinds of itera- tive methods for a fixed point of a given nonexpansive mapping.Concerning about the fact that the research focus has changed from the existence and uniqueness of the fixed piont to how to construct effective iterative methods.We begin with the viscosity iterative algorithm proposed by Moudafi.In order to provide a reference for future workers,we elaborate the development and evolution. The paper also deeply summarizes concrete applications of such methods.We focus not only on the modification processes of Mann iteration,but also concern abou t relevant conclusions about the variational inequalities and equilibrium problems. Keywords: Nonexpansive Mappings; Iterative Method; Variational Inequality; Fixed Point; Viscosity Approximation; Equilibrium Problem 一般粘滞迭代方法及其应用* 田 明，金 鑫 中国民航大学理学院，天津 Email: tianming1963@126.com; bzjx1988@126.com 收稿日期：2011 年3月31；修回日期：2011 年4月27 日；录用日期：2011 年5月3日 摘 要：本文研究内容的核心之一在于，针对非扩张映射 T的不动点问题，我们深刻阐明几种求解其不 动点的迭代方法的相互关系。结合目前该类问题研究重点的转变，即从不动点的存在性和唯一性转变到 如何构造有效迭代方法。我们系统阐述了 Moudafi 提出的粘滞迭代算法的发展演变过程，为以后的工作 者提供参考。对于该类方法的具体应用进行深入的总结是本文的另一重心，主要围绕 Mann 迭代算法的 修正及关于变分不等式以及均衡问题的联立求解获得相关结论。 关键词：扩张映像；迭代算法；变分不等式；不动点；粘滞逼近；均衡问题 1. 简介 不动点理论是非线性泛函分析理论的重要组成部 分,它与近代数学的许多分支有着紧密的联系，特别是 在建立各类方程——其中包括各类线性或非线性的, 确定或非确定性的微分方程,积分方程以及各类算子 方程解的存在性、唯一性问题中起着重要作用。在科 学研究和工程中，微分方程、积分方程的求解过程都 可以转化为算子的不动点问题。 1967 年，Halpern 提出迭代算法： 11 nn nn x Tx ，其中 是Hilbert 空间 H 或 Banach 空间 X 中的闭凸子集， 为非扩张映 像，证明了 Halpern 迭代在满足条件(1) :T lim n0 n 和(2) 1n n 时，强收敛于T的不动点。 *基金项目：中央高校基本科研业务费资助项目：几类非线性算子不 动点迭代算法及其应用(ZXH2009D021)；中国民航大学校级科研项 目(No.2010kys02)。 近十年来，非线性算子不动点迭代算法的研究获 得蓬勃发展，成果非常丰硕。从最基本粘滞迭代：  田明 等一般粘滞迭代方法及其应用137 | 11 nnn nn x fx Tx 1nnn n ，发展到最一般迭代格式： n x fx IF Tx。我们将对其发展过 程以及相互联系进行深刻的阐述。 Mann 迭代用于逼近非扩张映像的不动点,但是 Mann 迭代序列具有弱收敛性而不具有强收敛性。为 了克服 Mann 迭代的弱收敛性，许多学者对 Mann 迭 代进行修正，得到了强收敛性。我们将对各种修正算 法进行系统的说明。在实际应用中，粘滞迭代已被广 泛用于求解均衡问题、变分不等式问题及严格伪压缩 算子不动点的公共元素。这也是我们的一个工作重心。 2. 主要结论 2.1. 粘滞迭代格式 2000 年，Moudafi 发表一篇题为“Viscosity Ap- proximation Methods for Fixed-Point Problems”[1]的文 章，旨在对已知非扩张自映射求解其不动点提供一个 有效的迭代方法。 其大意如下：设 H 为实 Hilbert 空间， C为 非空闭凸集， 非扩张， H :TC C f 是集合 上的压 缩映射， C n x 由如下迭代方法产生： 11, nnn nn xfx Txn 0 其中 0, 1 n 。当 n 满足一定条件时，对于任取的 0 x C，迭代格式产生的序列 n x 强收敛于 的不动 点。 T 2004 年，Hong-Kun Xu针对 Moudafi 提出的粘滞 迭代,在“Viscosity approximation methods for nonex- pansive mappings”[2]中对 n x 的强收敛性给出了经典 证明。这篇论文有两方面的贡献:首先，Hong-Kun Xu 延伸了 Mouda f i[1]在Hilbert 空间下的结果；另外，还 证明了在一直光滑 Banach 空间下， n x 强收敛的的 事实。 我们对 Hong-Kun Xu关于粘滞迭代方法相关 结论简要阐述。 2.1.1. 在Hilbert 空间下的收敛 定理 2.1.1[2] 设 H 为Hilbert 空间， t x 由 1 tt t x tfxt Tx :TC C 产生，且满足：C为非空闭 凸集， 非扩张映像， H f 是集合C上的压缩 映射， 0,1 n ，0 x C任意取定。我们有如下结 论： ()a*0 t xx ，且 * x C； ()b ** S x Pf x或者 * x 是以下变分不等式在 F ix T上的唯一解： ** ,0, I fxx xx C 其中， SFixT， 是 S P H 到上的度量投影。 S 定理 2.1.2[2] 设 H 为Hilbert 空间，C是 H 的非空 闭凸子集， 的非扩张映射，并且 :TCC Fix T ， : f CC为压缩映射。 n x 由如下格式得到： 0 11, nnn nn xC xfx Txn 0 其中 (0,1) n ,并且满足： () 0 n a ; 0 () n n b ; 11 0 ()lim 1 nn nn n n c 或者 。 那么， * n x x,其中* x 是变分不等式 * xx * ,0If x ， x C 的唯一解。 2.1.2. 在Banach 空间下的收敛 设 X 是Banach空间， 是C X 的非空闭凸子集， 是非扩张映射，且， :TC C TFix ,0, I fQf JQfpT : p Fix ， f CC的压缩映射。设t x C是压缩映射 1 x tft Txx 在C上的不动点，则： 1 tt t x tfxt Tx。 定理 2.1.3[2] 设 X 是一致光滑的Banach 空间，C 是 X 的非空闭凸子集， 是非扩张映射，且:TC C Fix T ，: f CC是压缩映射，由上式产生的 t x 强收敛于 F ix T中的一点。定义 :Qf FixT： 0 :limt t Qf x Qf用于求解变分不等式： ,0,,QuuJQupu CpFixT 。 特别地，如果 fuC 是连续的，那么从 收 敛到不动点集合 Qf C F ix T上，并且满足： ,0,,QuuJQupu CpFixT 。 Copyright © 2011 Hanspub PM  田明 等一般粘滞迭代方法及其应用 138 | 定理 2.1.4[2] 设 X 是一致光滑的Banach 空间，C 是 X 的非空闭凸子集， 的非扩张映射，并 且， 是压缩映射，当 :TC C C TFix :fC n x 序列 由如下格式产生： 0 11, nnn nn xC xfx Txn 0 其中 ，并且满足： (0,1) n () 0 n a ； 0 () n n b ； 1 0 ()lim 1 nn nn n n c 或者 1 。 那么， n x 强收敛于。 Qf 2.2. 粘滞迭代方法的进一步发展 2005 年Giuseppe Marino和Hong-Kun Xu在“A general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces”[3]中提出了迭代算法： 1,0 nnn nn xfxIATxn 当,,fA 满足一定约束条件，得到 n x 强收敛于 * x Fix T的结论。不仅如此， * x 也是变分不等式的 解： ixT ** ,0xxx F,xfA 。 粘滞迭代已经被应用到凸优化问题。比较典型的 是：在实Hilbert空间中，针对非扩张映射不动点集合， 求解二次函数的最优解[4]： 1 min ,, 2 xC A xx xb 其中， C是非扩张映射 T到 H 上的不动点集合， 是取定的, bH A 是强正有界线性的算子，即： 2 ,, A xx xH x 。由下面的迭代格式产生的 n x 强收敛于上述二次函数的最优解： 0 1,0 nn nn xH xbIATxn Giuseppe Marino 和Hong-Kun Xu 将上述迭 代算 法与 Moudafi提出的粘滞迭代结合起来，提出了如下 一般迭代格式[3]： 0 1,0 nnn nn xH xfxIATxn 当0 ， A 满足 2 ,, A xxxx H ，并且 参数 n 满足下述条件： ()a0 n ； ； 0 () n n b 11 0 () n c lim 1 nn nn n 或者 。 那么，由上述迭代格式产生的 n x 强收敛于变分不等 式的唯一解： ** ,0, A fxx xx C 同时也满足问题的最优化条件： 1 min , 2 xC A xx hx 。 其中： 是 h f 的势函数( )。 ,hxfxx H 2.3. 混合最速下降法与粘滞迭代 2001 年，Yamada为了求解变分不等式： ** ,0Fx xx , x Fix T 提出了如下混合最速下降法[4]： 1nnn n x TxFT x 。回顾粘滞迭代： 11 nnn nn x fx Tx。 不难发现，混合最速下降法和粘滞迭代算法所需 的参数类似，以及在类似的条件假设下，有相似的结 论——都强收敛于对应变分不等式的唯一解。因此， 我们联想到二种方法之间是不是有什么内在的联系， 然而这个问题一直没有得到解决。直到2010 年， Ming Tian 经过认真研究，发现了他们之间的联系——混合 最速下降法本质上属于粘滞迭代。 我们在此对这个结论简单进行说明。 定理 2.3.1 设 H 是实 Hilbert 空间， : F HH为 k itzLipsch 连续映射，也是 -强单调映像，其， 0k 0 ,2 2 0k n ,则混合最速下降法隶属于粘滞迭 代。 证明：我们对混合最速下降法作如下变型： 1 1 nnnn nnnnnn nnnn xTx FTx TxFT xTxTx IFTx Tx 将 I F T 用G表示，即是：。 GI FT 要证明混合最速下降法属于粘滞迭代，只需证明 是一个压缩映射。不难验证： G Copyright © 2011 Hanspub PM  田明 等一般粘滞迭代方法及其应用139 | 2 2 2 2 , 12 GxGyIFTxIFTy Tx TyFTxFTy Tx TyFTxFTy kxy 我们得到： 12 2 12Gx Gykxy 。 已知有： ， 0k0 ,2 2 0k , 因此: 2 , ,, x yF fxFfy x yxyH 所以，是一个压缩映射，得证。 G 2.4. 最一般粘滞迭代格式 基于混合最速下降法与粘滞迭代的关系，以及对 上述结果的总结,2010 年，Ming Ti a n对混合最速下降 法和 G.Marino和Hong-Kun Xu提出的方法综合考虑， 提出了关于非扩张算子最一般迭代算法[5]： 1nnnnn x fx IFTx 。 当迭代格式中参数 n 满足一定条件时，迭代格 式产生的 n x 强收敛于变分不等式的唯一解 * x : ** ,0,fFxxx xFixT 。 要得到上述结论，需要下述引理： 引理 2.4.1[6] 设 n 是非负实数，满足： 11 nnn aa n 。其中， , 0, 1 n 1 nR , 并且满足： 1 (1) n n ； 1 (2) limsup0 nn n nn 或者 。 那么，。 lim 0 n na 引理 2.4.2[7] 设 H 为Hilbert 空间， C是 H 的非 空闭凸子集，是非扩张映射，并且 :TC C Fix T。如果 n x C弱收敛于 x , n I Tx 强收敛于 ，则：y I Txy。 引理 2.4.3[5] 设 H 是实 Hilbert 空间, : F HH 的连续映射，也是k Lipschitz -强单调映像。 的压缩映像，压缩系数为 :fH H 。其中： 0k，0 ,2 2 0k 2 02 k 那么： 2 , ,, x yF fxFfx x yxyH 即： F f 是 的强单调映射。 引理 2.4.4 设 H 为Hilbert 空间， 是C H 的非空 闭凸子集。取 x H , y K ，那么 当且仅当 K yPx ,0xyyz,zK 。 其中： 定义为 C Px inf : K x Pxx yy K 。 引理 2.4.5[5] 设, t SxtfxItF Tx x H 。其中： , f , F ,满足引理 2.4.2，引理 2.4.3 中的条件。经过简单推导，可以发现： T 1 tt SxSytfxfy I tFTxI tFTy txy 即：是压缩映像。 t S 2.4.1. 基本结论 定理 2.4.1[5] 设 n x 由 tt x tfxI tFTx 迭代产生，当 时，T的不动点是变分不等式的 解： 0t ** ,0, f Fxz xzFixT 我们还可以得到： * () Fix T PIAfx * x。 定理 2.4.2[5] 设迭代序列 n x 由如下迭代格式得 到： 0 1,0 nnnn n xC xfxIFTxn 其中： (0,1) n ，并且满足： () 0 n a ； 0 () n n b ； 11 0 ()lim 1 nn nn n n c 或者 。 Copyright © 2011 Hanspub PM  田明 等一般粘滞迭代方法及其应用 140 | 当 , f , F ,T满足引理 2.4.2，引理2.4.3 中的性 质，且 n 符合以上 3 个条件，则 n x 强收敛于定理 2.4.1 中得到的 * x 。 2.4.2. 一般性推广 推论 1 令 F A，1 ，我们得到如下形式: ˆˆ ,0, A fxz xzFixT 并且有: 。 () ˆˆ Fix T PIAfx x 这是 Giuseppe Marino和Hong-Kun Xu提出的粘 滞迭代的一般性结论。 推论 2 令 F I，1 ,1 。设 t x H是压缩 映像 1 x tf xTtx的不动点，当 时,0 n tt x 强 收敛于变分不等式的唯一解 * x Fix T： ** ,0, I fxxxx FixT 这是最基本粘滞迭代方法求解的变分不等式。 3. 主要应用 3.1. 对非扩张算子Mann迭代方法的修正 Mann 迭代于 1953 年由 Mann 引入，之后人们一 直关注 Mann迭代的强收敛性。1975 年，以色列一位 数学家在 中找到一个反例，Mann 迭代具有弱收敛 性而不具备强收敛性。此后，一些学者的工作围绕如 何对 Mann 迭代进行适当的修正以便得到迭代序列的 强收敛性。 2 l 为了克服标准 Mann 迭代格式逼近非扩张映像不 动点只有弱收敛性的缺陷，经过多年的研究，科研工 作者对非扩张算子Mann 迭代格式的修正过程如下： Nakajo 和Takahashi 提出[12]： 设 H 为Hilbert 空间， 为非空闭凸集， 为非扩张映射，并且 T有不动点，迭代序列 CH :TC n C x 有如下格式产生： 0 0 10 1 ,0 ,0 nn nnnnn nnn nn nCQ xC yx Tx CzCyzxz QzCzxxx xP xn 任意取定 n 若存在 满足 01 ,使得 [0, ] n ,则 n x 强收敛于T的不动点 。这种算法的思想 性很强，几何直观鲜明，缺点是每一步迭代增加了投 影算法，计算量较大，且算法不容易实现。 () 0FT Px Kim 和Hong-Kun Xu提出[8]： 设 H 为Hilbert 空间， C为非空闭凸集， 为非扩张映射，并且有不动点， H T:TC CuC 任 意取定。他们证明，当 n 和 n 满足一定条件时, 如下格式产生的 n x 强收敛于 T的一个不动点： 1 1, n n T 0 10 nnnn nnn xxC yxx xu yn 任意取定 Kim 和Hong-Ku n Xu提出一个简单对 Mann迭代 的修改。修改后的 Mann 迭代是一个固定的点凸组合， 避免了[9]中所涉及的投影，计算量大大减少,并且结论 在Banach 空间也成立，但是[9]中算法并没有完全推广 到Banach 空间。 Yao et al.[10]对Mann 迭代进行了如下修正： 设 H 为实 Hilbert空间, 的非扩张映 像， :TK K f 是上的压缩映射。当 K n 和 n 满足一定 条件时，他们得到 n x 强收敛的结论： 0 1 1, n nn nnn nn K yx Tx xfx yn 1 nn xx 1 任意取定 Yao et al.将Mann 迭代和由 Moudafi 提出的粘滞 迭代方法结合起来，作出上述修正，并且证明了 n x 强收敛于T的不动点。当 f 是一个常值函数，则上述 迭代方式退化为 Kim 和Hong-Kun Xu提出的修正算 法。 Giuseppe Marino和Hong-Kun Xu提出[3]： 设 H 为实 Hilbert 空间,T是 H H的非扩张映 像，并且不动点集合非空， A 是 H 上强正有界线性的 算子。他们得出，下述定义的 n x 强收敛于 T的不动 点，同时， T不动点也是下述变分不等式的唯一解： ** ,0, f Ax xxxFixT 同时也是某些最优化问题的最优解： 0 1,0 n nn xH xfxIATxn nn Copyright © 2011 Hanspub PM  田明 等一般粘滞迭代方法及其应用141 | 在[11]中，下述格式产生的 n x 强收敛于最优化问题 1 min ,, 2 xC A xx xb 的唯一解： 1,0 nn nn xbIATxn Giuseppe Marino 和Hong-Kun Xu 巧妙 地将上述 迭代方法和 Moudafi 提出的粘滞迭代结合起来，证明 n x 不仅仅是变分不等式的解: ** ,0, f Ax xxxFixT 同时也是最优化问题 1 min ,, 2 xC A xx xb 的最佳元。 为了阐述下面提到的修正方法，我们给出 k-严格 伪压缩映像定义：设T是Hilbert 空间的非空集合， 的-严格伪压缩映像是指，若存在 使得下式成立， :TK H [0,1)k k 2 22 ,,TxTyx ykI TxI TyxyK Zhou[12]修正了标准Mann 迭代，他得出：当 为 -严格伪压缩映像， T k n x 在Hilbert 空间下强收敛。 不难验证非扩张映像属于 -严格伪压缩映像。 Zhou 的修正算法大大扩展了标准Mann 迭代的适用范围。 k Xiaolong Qin，Meijuan Shang，Sh in Min Kang提 出了如下复合迭代方案[13]： 设 H 为实 Hilbert 空间, 的-严格伪 压缩映像，并且 , :TK Hk Fix T f 是 上的压缩映射。C A 是 H 上强正有界线性算子，当 n 和 n 满足一定 条件时, n x 如下格式得到： 1 1 1 ,1 nknn nn nnn nn xxK yP xTx xfxIAyn 则： n x 强收敛到 T不动点,并且可以求解变分不等 式： ** ,0, f Ax xxxFixT 此算法是对 ZHOU 以及 Giuseppe Marino和 Hong-Kun Xu提出的修正 Mann 迭代的进一步修正， 他们都可以作为此算法的一个特例。很显然，一个映 射T是非扩张的，当且仅当T是0-严格伪压缩映像。 当 时，修正算法退化为 Giuseppe Marino和 Hong-Kun Xu提出的修正方案。 0 n 3.2. 粘滞迭代求解均衡问题、变分不等式及严格 伪压缩算子不动点的公共元素 定义 3.2.1 设 H 为Hilbert 空间， 是C H 的非空 闭凸子集，是非扩张映射。记 的不动点集 合为 :SC CS F S。设 : F CC R 的二元函数。均衡问题： 是指对于二元函数 F ,寻找 x C，使得下面不等式成 立: ,0, F xyyC 记均衡问题的解集为 EP F。其中, F 满足下列 条件： (1) ,0, A FxxxC ； (2), +,0,, A FFxyFyxx 单调，即： yC ； 0 (3),,,lim(1),, t A xyzCFtztzyF xy ； (4) ,,AxCyFxy是凸下半连续 ； 变分不等式问题：设 : A CH非线性映射，寻 找 x C 满足 ,0, y C。 Ax yx 记变分不等式问题为。 (,)VIA C 给定映射,我们令 :TC H ,= , F xyTxyx 对任意的 , x yC 成立。那么 当且仅当 zEPF ,0Tzyz 对任意的 y C ,则 是变分不等式的 解。因此，均衡问题和变分不等式在满足一定条件时， 存在公共元素。我们知道，粘滞迭代算法可用于变分 不等式的求解。因此，针对均衡问题、变分不等式及 严格伪压缩算子不动点的公共元素，近年来，一些学 者提出下述迭代算法： z 引理 3.2.1[14] 设: F CC R ) 的二元函数，且满 足定义 3.2.1 中的(1 A (2) A (3) A (4) A ，那么 0r 和 x H ,存在 zC ，使得： 1 ,,0,Fzyy zz xy C r 如果 1 :,, 0, r TxzCFz yyzzxyC r 则： (1) r T是单值 ； (2) r T是强非扩张的，即是： Copyright © 2011 Hanspub PM  田明 等一般粘滞迭代方法及其应用 142 | ,,, rr rr Tx TyTx TyxyxyH (3) r F TEPF； (4) EPF 是闭凸集 ； Satoru Takahashi，Wataru Takahashi提出如下迭代 算法[15]： 设是 Hilbert 空间 C H 的非空闭凸子集。 : F CCR二元函数,并且满足 (1) A (2) A (3) A (4) A , 是到S C H 非扩张映射， PFFS 。E f 是 H 上的压缩映射。 n x 和由如下格式产生： n u 1 1 1 ,,0, 1, nnnn n nnn nn xH F uyyuu xyC r xfx SunN 当 ， ，并满足： [0,1] n (0,) n r (1)lim 0 n n ； (2) ； 1n n (3)1 1nn n ； (4) ； lim inf0 n nr (5)1 1nn n rr 。 那么， n x 和 强收敛于 n u zFS EPF , 。 ()PF f z ()FS E zP Ying Liu提出如下迭代算法[16]： 设是 Hilbert 空间 C H 上非空的闭凸集。 : F CCR的二元函数,并且满足 (1) A (2) A (3) A (4) A ,的 -严格伪压缩映像， :SC Hk FS PFE。 f 是 H 上的压缩映射。 是B H 上的强正有界线性算子满足 2 x ,Bx x,且 0 。 n x 和 由如下格式产生: n u 1 1 1 ,,0, 1 1, nnnn n nnnnn nnn nn xH F uyyuu xyC r yu Su x fxByn N 其中， ，,若 n nn uTx nn ySun n 和 n 满足 如下条件： 1 11 1 1 1 1 0,1;lim0;; 01;lim; 0,, lim0; nnnn nnn nnnn nn nnnn nn k n 那么， n x 和 n u强收敛于 qFS EPF , 同时也是变分不等式的解： q ,0,Bfqpq pFSEPF 可以看出：当 是非扩张映射，当然也是严格伪 压缩映射的特例， S 0 n ，1 ，时，上述格 式退化为Satoru Takahashi ，Wataru Taka hashi格式 。 1B 参考文献 (References) [1] A. 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