 Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 144-148 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12028 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM Inverse Coefficient Problems for a Parabolic Equation* Cui’e Xiao1, Youjun Xu2 1Department of Mathematics and Computation Sciences, Hunan City University, Yiyang 2College of Mathematic and Physics, University of South, Hengyang Email: xiaocuie@163.com Received: Mar. 26th, 2011; revised: Apr. 30th, 2011; accepted: May 5th, 2011. Abstract: This paper is devoted to a class of inverse coefficient problems for a Parabolic Equation, We obtain an existence and uniqueness theorem of weak solutions. Using th e theories of Schauder Fixed-Po int Theorem, an existence theorem is established for the inverse co efficient problems solutions. Keywords: Parabolic Equation; Inverse Coefficient Problems; Weak Solution; Existence; Uniqueness 抛物型方程的反系数问题研究* 肖翠娥 1，许友军 2 1湖南城市学院数学与计算科学系，益阳 2南华大学数理学院，衡阳 Email: xiaocuie@163.com 收稿日期：2011 年3月26 日；修回日期：2011 年4月30 日；录用日期：2011 年5月5日 摘 要：研究了一类抛物型方程的反系数问题，利用变分方法获得了方程弱解的存在性与唯一性，利 用Schauder 不动点定理得到了反系数问题解的存在性。 关键词：抛物型方程；反系数问题；弱解；存在性；唯一性 1. 方程及基本假设 热传导方程是抛物型方程的典型代表，有源函数 的热传导方程是传热分析中最重要的一类方程，研究 方程弱解的存在性与唯一性以及研究未知系数解的存 在性，无论在理论研究还是在生产实际中都有非常重 要的意义。主要讨论抛物型方程弱解问题，以及仅依 赖于空间变量的主系数反问题，讨论未知系数解 的存在性。关于此类方程反系数问题的 研究已有一些理论成果，具体可参见[1-7 ]。 ,,utx ax 设 0, 0, T QTl , ，考虑如下抛物型方程： , tx xx uaxubxudtxuf tx (1) 其初始条件为 0,0, 0,uxx l (2) 边界条件 ,0,0, 0, 0,00 x ut utl tT aut (3) 附加条件 0,d ,0 Tutxttx xl , 0, 。 (4) 假设(1)～(4)中出现的函数，满足下列条件： (A) 12 0, tt 0,tT； (B) 0, ,bx Cl ,0, b bxK xl； (C) 12 ,,0, T dtx CQd dtxd, ,T tx Q； (D) 12 , 0,, , TT f CQfftxftxQ； (E) 0, , 00,0xC llx 21 0,, 0, x xx l ， 这里 1 ,2 , ,2 ,2const 0f ， 11 ,,,, f 12 ,const 0d, b Kd ， *基金项目：湖南省教育厅科研基金资助项目(09C852)；湖南省科学 技术厅科技计划资助项目(2011FJ6029)。  肖翠娥 等抛物型方程的反系数问题研究145 | dd 此外，设 00 ,, Tx F xTftyty t *** , ， maxK 10, inf , xl , F TF 0, sup, , xl xT 2 F TFxT 0,:0 ,MaxClax 12 1 ,0,:0MaxCl 2 ax 。 2. 正问题弱解的存在性与唯一性 定理 1 设 1 ax M ，若条件(B)～(D)满足， 则正问题(1)～(4)存在唯一广义解 ， 且存在正数 M，使得： 1,1, 2 pT uW Qp 22 0, ,0,T CTLl LQ uCfM s 成立。 (5) 证明：正问题存在性与唯一性证明可参见[8,9]。下证 有界性估计。 只证明有充分大的正下界 情形，否则作变换 ，其中，r充分大. ,dtx v 1 d rt ue 方程(1)左右两边乘以并且从 0到t(这里 )，以及 0到l积分， ,utx 0tT 00 00 d, dd dd tl tx xx tl uaxubxusxuux fu x s 分部积分可得： 2 2 00000 (, ) 2 00 00 ddd 2 d,dddd ltltl xx tx tl tl udd x axuxsbxuu xs sxu xsfuxs 由Young 不等式及条件(B) 2 22 1 0000 00 1 dd dddd, 22 tltl tl b xx K bxuuxsu xsu xs 从而 2 22 1 0000 00 1 dddd dd 22 tltl tl b xx K bxuu xsuxsuxs 。 由已知条件，方程左边有 22 00000 (, ) 2 00 22 1 000 (, ) 22 100 1 ddd 2 d,dd ddd 22 ()dd 2 ltltl xx tx tl ltl x tx tl b udd x axuxsbxuu xs txu xs uxuxs K duxs 。 而方程右边有 22 1 000000 dddd dd, 2 tl Tltl d f uxsCfxsuxs 因此， 22 1 000 (, ) 2 22 1 00 00 1 ddd 22 dd dd 22 ltl x tx Tl tl b uxuxs Kd Cfxs ux s 。 从而，由 Gronwall 不等式可得 22 000 2 00 ,d dd dd, 0, ltl x tl utxx uxs uxsM tT 。 (6) 定理证毕。 3. 反系数问题解的存在性 我们的目标是寻找未知函数 ，假设 ax ax M 是任意的，在方程(1 )左右两边乘以 t 并且从 0到T以及 0到x积分， 00 00 ,d ,dd Tx ty y y Tx uayubyu dtyuty ftyt yt dt 结合(2)～(4)、条件(E)，我们有 00 00 1dd, dd, Tx Tx t axutytdtytuyt bxxFxT x 从而 00 000 1dd,dd( , )d, Tx Txx axutytdtytuyt bxxTuTyyFxT x 。 (7) 在集 12 ,M 上，引进算子 12 :, 0,BMCl 00 000 1 :dd,dd (,)d Tx Txx Bautytdtytuyt bxxTuTyyFxT x ,, (8) Copyright © 2011 Hanspub PM  肖翠娥 等抛物型方程的反系数问题研究 146 | 这里 ,utx是正问题(1)～(4)与系数 相对应的解。 ax 因此，关系式(7)可改写成算子方程 aBa。 (9) 定理 2 若条件(A)～(E)满足，则 ,,utx ax 是问题 (1)～(4 )的广义解，当且仅当 ,,utx ax满足关系 式(1)～(4)，(9)。 证明：必要性在(9)关系式导出过程中已证。下证充分 性： 令 12 ,ax M 是方程(9)的解， 是相应于 ,utx ax 正问题(1)～(4)的解，设 0,d, 0, T, x utxtt xl 则 00 000 dd,dd, d, Tx Txx axutytdtytuyt bxxTuTyyFxT 。 (10) 另一方面， ax满足(9)，考虑算子 B的定义，则有 00 000 dd,dd, d, Tx Txx BaxaxutytdtytuytbxxTuTyyFxT 。 (11) 上面两式相减，在 0,l上有 . bx ax 0 因为， ，从而可推出在 0 0,l上 。 因此， ,,utx ax 是问题(1)～(4)的广义解，定理证 毕。 定理 3 若条件(A)～(E)成立，且假设 1 *22 12 0b 1 22 F TKTlM KdlM ， 则一定存在正数 ，使得。 12 ,aa 12 0aBaa 证明：根据(8)式，我们有 00 00 0 () dd ,dd ,d, Tx Tx x xBa xutyt dtytuyt bxx TuTyyFxT 。 (12) 利用已知条件(A)～(E)有 1 12 2 222 00 1 12 *2 2 22 0 dd ,d , Tx x b x BaxTlKdu yt KluTyyFT 从而有 1 12 2 2 122 00 1 12 *2 2 22 0 dd ,d Tx x b BaxTlKdu yt KluTyyFT 。 利用估计式(6)，进一步可得 * 12 11 22 22 2 b BaF TK TlMK dlM ， 取 2 11 1* 22 1222 2b a F TKTlMKdlM ， 有 11 Ba a 2 ， 从而 2 Baa 。 (13) 类似(12)的推导，利用已知条件，由(12)可得 1 12 *2 2 222 00 1 12 *2 2 21 0 dd ,d, Tx x b BaxTldu yt K luTxyFT 从而 * 21 11 22 22 2 b Ba FT K TlMK dlM (14) 取 1 11 1* 22 21222b a F TKTlMKdlM ， 由(14)及定理假设，有 10Ba a。 (15) 定理证毕。 定 理4 若条件(B)～(C)成立，则算子 B: 12 ,0, M aaC l 12 是连续映射。 证明 令，其相应的广义解 为ut 。 12 ,axaxMaa 12 ,, ,xutx 12 , , 令 ， ，则 ,,vtxutx utx 12 axax ax 0,0, 0,vxxl ， Copyright © 2011 Hanspub PM  肖翠娥 等抛物型方程的反系数问题研究147 | 121 122 12 12 ,0, xx tx x uuaxuaxu bx uu dtx uu 即 1 2 , tx x x x x vaxv bxv dtxvaxu 。 上式两边积分可得 1 00 2 00 ,d dd tl sx x x tl xx vaxv bxvdsxvvx axuvxs ds 。 再分部积分后，有 212 , 000 2 00 00 2 00 |d dd 2 ,dd dd dd ltl x tx tl tl x tl xx v x axvxs dsxvxs bxvv xs axuv xs 。 (16) 由Young 不等式及条件(B) 2 1 00 00 22 00 1 dd dd 2 dd 2 tl tl xx tl b a bxvv xtvxt Kvxt a (17) 结合条件(C)，并利用(17)，则(16)左边满足不等式： 212 , 000 2 00 00 22 1 , 000 22 100 1 |d dd 2 ,dddd |ddd 22 dd 2 ltl x tx tl tl x ltl x tx tl b vxaxvxs dsxv xsbxvv xs a vxvxs K dvxs a 。 而(16)右边满足不等式： 22 00 00 2 2 00 2 1 00 2 22 00 0, dd dd dd dd 4 dd tl tl xx xx Tl x tl x Tl x Cl axu v xsaxu vxs Caxuxt avxs Caxu xt 2 1 00 dd 4 tl x avxs 。 因此 22 1 , 000 22 100 1 2 22 00 (0, ) |d dd 24 dd 2 dd ltl x xt tl b Tl x Cl a vxvxt K dvxt a Caxu xt (18) 再根据算子 B的定义， 1 21212 00 00 (1) (2) 0 12 (1) (2)22 00000 0 1dd ,dd +,,d dd,,ddd,d Tx Tx x Tx xTx BaBau utytdtxtu uyt x TuTyuTyy CuuytuTyuTyyCvytvTy xy 。 结合式(18)，Gronwall 不等式以及 0,0, 0,vxxl 可知： 当 12 0, 0 Cl aa时， 有 0, 12 0 Cl Ba Ba。 定理证毕。 定理 5 若条件(A)～(E)成立，则存在 12 ,,ax Maa 使得 。 Ba a 证明：假设， 为 12 ,ax Maa ,utx ax所对应 的正问题的解。由前面讨论知 1,1 , p T uxt WQ，又 因为 ，由嵌入定理[10]可知 2p 0, 2 ,, 0< T utx CQp 1 。 由定理 2～定理4， 是到自 身的连续映射。又因为 紧嵌入到 12 12 :, ,BMaa Maa 0, T CQ T CQ ，由 B算子的定义可知 B是由 12 , M aa 映到自身的全连续 算子。从而由 Schauder不动点定理可知则存在 12 ,axMaa,使得 Ba a。 定理证毕。 Copyright © 2011 Hanspub PM  肖翠娥 等抛物型方程的反系数问题研究 148 | 参考文献 (References) [1] V. 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