一类四阶两点边界值问题的惰性解的存在性 Existence of Iterative Solutions of Fourth-Order Two Point Boundary Value Problems

doi:10.12677/pm.2011.12030

设为首页加入收藏期刊导航网站地图

期刊菜单

文章导航

Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 156-158

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12030 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

Existence of Iterative Solutions of Fourth-Order Two

Point Boundary Value Problems

Yingxin Guo

College of Control Science and Engineering, Shandong University, Jinan

Email: yxguo312@163.com

Received: Mar. 14th, 2011; revised: Apr. 18th, 2011; accepted: Apr. 21st, 2011.

Abstract: In this paper, we study a class of forth-order two points’ boundary value problems. Without any

nonnegative assumption, the existence of iterative solutions is obtained. Our approach is based on the lower

and upper solution method.

Keywords: Fourth-Order Differential Equation; Two-Point Boundary Value Problem; Lower and Upper

Solutions; Iterative Solution

一类四阶两点边界值问题的惰性解的存在性

郭英新

山东大学控制科学与工程学院，济南

Email: yxguo312@163.com

收稿日期：2011 年3月14日；修回日期：2011 年4月18 日；录用日期：2011年4月21 日

摘要：利用上下解方法，得到了一类四阶两点边界值问题的惰性解的存在性。

关键词：四阶微分方程；两点边界值的问题；上下解；惰性解

1. 引言及定义 2. 主要结论

本文中我们讨论一类四阶两点边界值问题

(BVP)：



 



  

,, ,0

01 0 10.

gu tftut u tt

uuu u





 





 

 



1;

(1.1)

这里





:0,1, :

RR RgR R 都是连续的，R

= (−1,+1)，g是单调增加的，四阶边界值问题广泛出

现在应用数学及物理学中，近来，利用各类不动点理

论，许多作者已经得到了一些结果(例如[1-6])。但是，

据我们所知，还没有文献涉及(BVP 1.1)本文运用上下

解方法，得到了一类四阶两点边界值问题(BVP 1.1)的

惰性解的存在性。

记









|0WuguC



,1

定义我们称 W



是(1.1)的上(或下)解如果



满足

  

 



 



,, ,0

00;10;

00;10.

gtftttt









 

 



 

 

 

定理已知





:0,1

RR R 。如果(1.1)的上解



和下解



满足 ,



 







和











 







,,,, 0;

Atuuttvtt

ftuv ftuv



 





,0,1,











 







,,,, 0;

Atvvttutt

ftuv ftuv



,0,1,





 



那么存在满足 00

0, 0







的单调不增序列







和

单调不减序列







使得它们一致收敛于的解并且





*,u





。

证明考虑问题

 



 



,, ,0

01 0 10.

gutf tttt

uuu u







 1;







 

 





(2.1)

这里









|0,1, ,QC









 

。

明显的，

Q是





20, 1C的非空子集。易知(2.1 )存在惟一

解u并且









:uT HF



 。记





0,,, d,

sGtsfttt





t



郭英新一类四阶两点边界值问题的惰性解的存在性157

 



0,d

ytGtsg ys s





 



1,0 1

,1,0 1

ts ts

Gts st st





.

显然









:0,10,1THFC C。我们分三步来完成

证明

(1) 证明TC 。 C

对C





，记 wT





。有 T的定义，有





,wg w











20, 1C。由已知得





 



 



,,,,,0

00;10;

00; 10.

gtgwtftttftt tt





 



 

 





 



1;



令，那么 y十二次可微的。

并且

 





ytgtgw t



 





00,0

 

 



 



0(0) 0

11(1)

yg gw



 



 





因此我们有



0, 01.yt t

即



,0 1

tgwt t



 





。由于g是单调增加

的，所以

 

,0 1twtt



 



。



0wt





有引理得 w





同理。

 

,,0ww ttt



 

1

所以 TC C

(2) 令112212

,;,uTuT C





 

满足 121



 

 



，我们证明。

1212

,uuuu

 



实际上，有







2122 11

,, ,,TuTutf tf t





 

 







21 21

00, 10;

00, 10

uu uu



 



相似第一步，得

1212

,uuuu

 

。

(3) 序列







可这样得到

0011

,, , ,1,2,

nnnn

TTn



 



 

由前两步得

01 10nn



  

    

01 10nn



  

  

 

   



另外由





的定义，我们有



 



 



,, ,0

010 10.

nnn

nnnn

gtft ttt











 





 







1;

由f的连续性，则存在仅依赖于 ,





但不依赖于的

常数使得

,nt

,0M







,,01

ntMt















 。

现在，我们断言存在





0, 1



使得



ntn

















事实上由



















0, 0,1t









的连续性,不是一般性可设

，则











gt M











 

。

由g的单调性，若令，则



0CgM

 













,ntC







 。

由于













，因此存在使得

,0D













ttD







。

现在证明







是等度连续的。明显的

 







nn nn

tsggtggs

 







 





 

。

由1



在,,

,MM

 









的一致连续性，给定任意的



，总存在0



，对任意的

12, ,

,,vvM M

 









，只要12



总有









gv gv







。

另一方面，对任意的





,0,1ts，我们有

















,nn

tgs Mt





 s





，









，对任意的





,0,1ts，只要ts



，总

有









gtgs





 





所以，对 ,nN 0





，总存在 0



，对任意的





,0,ts1

，只要 ts





总有













 



，

所以









是等度连续的。







综合前面，所以是一致有界且等度连续的。

郭英新一类四阶两点边界值问题的惰性解的存在性

158 |

相似的可以证明





也是一致有界且等度连续的。由

Arzela-Ascoli 定理



，





和





一致收敛于的解 *

u并

且





*,u





。

参考文献 (References)

[1] Y. S. Yang. Fourth-order two-point boundary value pr

tions of fourth-order two point boundary

oblem.

Proceeding of the American Mathematical Society, 1988, 104(1):

175-180.

[2] M. A. Del Pino, R. F. Manasevich. Existence for fourth-order

boundary value problem under a two-parameter nonresonance

condition. Proceeding of the American Mathematical Society,

1991, 112(1): 81-86.

[3] R. Ma. Positive solu

value problems. Annals of Differential Equations, 1999, 15(2):

225-231.

[4] B. Liu. Positive solutions of fourth-order two point boundary

e solutions for nonlinear singular boundary

near Functional Analysis. Berlin: Springer,

value problems. Applied Mathematics and Computation, 2004,

148(2): 407-420.

[5] X. Yang. Positiv

value problems. Applied Mathematics and Computation, 2002,

130(2-3): 225-234.

[6] K. Deimling. Nonli

1985: 193-204.