ABSTRACT

In this paper, the eigenvalues of Sturm-Liouville problem whose weight function dependent on the potential function are studied, and the comparison theorem and domain monotonicity are used.

Keywords:Sturm-Liouville Problem, Potential Function, Eigenvalues

权函数的Sturm-Liouville问题的特征值对势函数的依赖性

郭慕瑶，高云兰^*，赵馨

内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2016年5月8日；录用日期：2016年5月20日；发布日期：2016年5月27日

摘 要

本文利用比较定理和定义区间的单调性证明了权函数的Sturm-Liouville问题的特征值对势函数的依赖性。

关键词 :Sturm-Liouville问题，势函数，特征值

1. 引言

经典的Sturm-Liouville (S-L)问题起源于19世纪初Fourier对热传导问题的数学解决方法。20世纪80年代以来曹之江，孙炯，刘景麟，尚在久，王万义等从不同角度对S-L问题进行了大量的研究。文献 [1] [2] Dauge和Helffer考虑的是二阶S-L方程

给出了Neumann特征值作为端点函数满足方程，以及Dirichlet特征值作为端点函数满足方程。证明了最小的Neumann特征值作为端点的函数是增加的，当区间长度趋向于零时极限存在。特别的，最小的Dirichlet特征值作为端点的函数是减小的，当区间长度趋向于零时，没有给出是否有极限。文献 [3] [4] 统一给出了特征值作为端点的函数满足的方程，其中是归一化的特征函数。证明了当区间长度趋近于零时，最小的Dirichlet特征值趋于无穷大。

本文的动机来源于文献 [5] [6] 的工作，他们研究了权函数的S-L方程

基于Dirichlet边界条件

,

证明了以上S-L问题的特征值对势函数的依赖性。我们考虑的权函数的S-L问题：

其中实值函数且。

2. 主要结论

我们考虑以下权函数的S-L问题：

(1)

其中

是连续函数，是中任意固定一点。设是问题(1)在上的第m个特征值。可以看出是的函数。再设是定义在区间上S-L问题，即

(2)

的特征值。设为方程满足初始条件，的解。当时，为上述S-L问题(1)的特征函数。这里是归一化特征函数即满足。

引理2.1 若，则对每一个整数有。

证明：令。因是满足上述S-L方程的解，由文献 [7] 和文献 [8] ，可表示为：

因此可以得到

其中为实特征值，有，则

于是上式可得

其中。故

(3)

又因为

(4)

由(3)和(4)可知，

(5)

下面分和两种情形进行证明：

情形I 当时，由和(5)式知：

,

变形得

(6)

因为的有界性，所以存在正数，使得

(7)

结合(6)和(7)式知：

即当，。

情形II，由的有界性，所以有正数使得，则

(8)

因为的有界性，故存在正数，有

当时有

(9)

结合(8)和(9)式知：

即当时，。

综合上述两种情形有：时，。由于，所以。

可知是区间上每个点都收敛到0的连续函数，故。

引理2.2 当时，，其中为问题(1)的特征值，为问题(2)的特征值。

证明：分两种情形讨论：

情形I 当时，由比较定理得是的单调递增函数。由定义区间单调性有：，因此当时，有极限。由引理2.1可得：

因为是的连续函数，再由表达式可知：。则是区间上的特征值，且趋近于其中某一个特征值，即存在使得。

情形II 同理可得。

引理2.3 当时，；当时，。

证明：由引理2.2的结论：当时，。下面证明即可。运用数学归纳法，分两种情形证明：

情形I 设时，因为且无零点，故有。又设时有，有，因为。

由的表达式可知，所以在无零点。由定义区间的单调性和零点定理(可参考文献 [9] )知：比多一个零点。当时，在中所以零点都在中。且当和穿过轴时，因为S-L问题的特征函数无重根，故和有相反的符号。由引理2.1可知在每个零点处都与轴相交，所以和在的某些特征值两侧。

则当时，。根据单调有界原理得，。

情形II 同理可得当，。根据单调有界原理得。

下面叙述并证明本文的结果如下：

定理2.1 设为问题(1)的特征值，为问题(2)的特征值，则；特别的，存在，使得时有。

证明：考虑方程，若，那么是中的一个特征值。由文献 [7] 可知的方程为

故由的方程可知，对中的任意特征值，有

如果，由隐函数定理：存在唯一的函数使得。所以是有界的，存在正数，使得。

由引理2.3可知，。因为和有相同的极限，且是方程的解。所以当充分大时，有。

由引理2.1可知，当时，存在使得，选取

(对所有)

因为。当，有。所以。

类似的可以得到定理2.2。

定理2.2 设为问题(1)的特征值，为问题(2)的特征值，则；特别的，存在，使得时有。

证明：按照定理2.1的证明可证得该定理。

文章引用

郭慕瑶,高云兰,赵 馨. 权函数w≢1的Sturm-Liouville问题的特征值对势函数的依赖性
Dependence of Eigenvalues of Sturm-Liouville Problem Whose Weight Function w≢1 on the Potential Function[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 255-260. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63039

参考文献 (References)