北京邮电大学，理学院，北京

收稿日期：2023年11月27日；录用日期：2023年12月13日；发布日期：2024年1月26日

摘要

本文研究了一类微分差分方程

$f^n+L_d\left(z,f\right)=b_1{e}^{{\omega }_{1}z}+\cdots +b_m{e}^{{\omega }_{m}z}$

的亚纯解的性质，其中正整数 $n\ge m$ ， $L_d\left(z,f\right)$ 为 $f$ 的微差分多项式，且次数 $d=deg\left(L_d\right)\le n-1$ ， $b_1,\cdots ,b_m$ 为非零常数， ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_m$ 为不同的非零常数。特别地，在某些特定条件下给出了方程亚纯解的表达式。

关键词

亚纯函数，微分差分方程，值分布，非线性

On the Properties of Meromorphic Solutions to Differential-Difference Equations

Wenxiao Niu

School of Science, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing

Received: Nov. 27^th, 2023; accepted: Dec. 13^th, 2023; published: Jan. 26^th, 2024

ABSTRACT

The aim of this paper is to investigate the properties of meromorphic solutions to the differential-difference equation

$f^n+L_d\left(z,f\right)=b_1{e}^{{\omega }_{1}z}+\cdots +b_m{e}^{{\omega }_{m}z}$ ,

where $n,m\in {\mathbb{N}}^{+}$ , $n\ge m$ , $L_d\left(z,f\right)$ is a differential-difference polynomial in $f$ of degree $d=deg\left(L_d\right)\le n-1$ , $b_1,\cdots ,b_m$ are nonzero constants, ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_m$ are distinct nonzero constants. In particular, we give the exact form of meromorphic solutions of the above equation under certain conditions.

Keywords:Meromorphic Function, Differential-Difference Equation, Value Distribution, Nonlinear

Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

Nevanlinna值分布理论是研究复域方程解的性质的重要工具，我们假定读者已熟悉常用的Nevanlinna理论的标准符号，如 $T\left(r,f\right)$ ， $m\left(r,f\right)$ ， $N\left(r,f\right)$ 等，见文 [1] [2] ，为了简便，我们在本文用 $N_{1)}\left(r,f\right)$ 表示f的单极点的计数函数， $N_{2)}\left(r,f\right)$ 表示f的多重极点的计数函数。一般地，我们用 $S\left(r,f\right)$ 表示 $o\left(T\left(r,f\right)\right)$ ， $r\to \infty$ 可能除去一个r的有限线测度集合。若亚纯函数 $a\left(z\right)$ 满足 $T\left(r,a\right)=S\left(r,f\right)$ ，称a为f的小函数。此外，定义f的级 $\rho \left(f\right)$ ，零点收敛指数 $\lambda \left(f\right)$ 如下

$\rho \left(f\right)=\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{{\log }^{+}T\left(r,f\right)}{\log r},\lambda \left(f\right)=\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{{\log }^{+}N\left(r,\frac{1}{f}\right)}{\log r}$ .

1964年，Hayman [1] 将Tumura-Clunie定理 [3] [4] 推广到了只含有一个主项 $f^n$ 的微分方程 $f^n\left(z\right)+P_d\left(z,f\right)=h\left(z\right)$ ，其中 $P_d\left(z,f\right)$ 是f及其导数的微分多项式，其次数为d，系数为f的小函数， $h\left(z\right)$ 为给定的整函数或亚纯函数。2004年，Yang-Li [5] 研究了一类更为具体的微分方程 $4f^3+3f^{″}=-\sin 3z$ ，指出此方程具有三个非零整函数解 $f_1\left(z\right)=\sin z$ ， $f_2\left(z\right)=\left(\sqrt{3}\cos z-\sin z\right)/2$ ， $f_3\left(z\right)=\left(-\sqrt{3}\cos z-\sin z\right)/2$ 。由此，借助于三角函数与指数函数的关系，在过去二十年，许多学者开始广泛研究了以下形式的Tumura-Clunie型微分方程 [6] [7] [8] [9]

$f^n\left(z\right)+P_d\left(z,f\right)=p_1\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}+p_2\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)}$ , (1)

其中 $p_1\left(z\right)$ ， $p_2\left(z\right)$ 为非零有理函数且 ${\alpha }_1\left(z\right)$ ， ${\alpha }_2\left(z\right)$ 为非常数多项式。

2013年，Liao-Yang-Zhang推广了Li [10] 的结论得到：

定理A ( [11] )设整数 $n\ge 3$ ，如果 $d\le n-2$ 且方程(1)存在仅有有限个极点的亚纯解f，则 $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}$ 为有理函数，进一步地，有下列情况之一成立：

1) $f\left(z\right)=q\left(z\right){\text{e}}^{P\left(z\right)}$ ， $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}=1$ ，其中 $q\left(z\right)$ 为有理函数， $P\left(z\right)$ 为多项式且 $n{P}^{\prime }={{\alpha }^{\prime }}_1={{\alpha }^{\prime }}_2$ ；

2) $f\left(z\right)=q\left(z\right){\text{e}}^{P\left(z\right)}$ ， $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}=\frac{n}{k}$ 或 $\frac{k}{n}$ ，其中 $q\left(z\right)$ 为有理函数，k为整数且 $1\le k\le d$ ， $P\left(z\right)$ 为多项式且 $n{P}^{\prime }={{\alpha }^{\prime }}_1$ 或 ${{\alpha }^{\prime }}_2$ ；

3) f满足 $f^{\prime }=\left(\frac{1}{n}\frac{{p^{\prime }}_1}{p_1}+\frac{1}{n}{{\alpha }^{\prime }}_1\right)f+\phi$ ， $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}=\frac{n}{n-1}$ ，或 $f^{\prime }=\left(\frac{1}{n}\frac{{p^{\prime }}_2}{p_2}+\frac{1}{n}{{\alpha }^{\prime }}_2\right)f+\phi$ ， $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}=\frac{n-1}{n}$ ，其中 $\phi$ 为有理函数；

4) $f\left(z\right)=c_1\left(z\right){\text{e}}^{\beta \left(z\right)}+c_2\left(z\right){\text{e}}^{-\beta \left(z\right)}$ ， $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}=-1$ ，其中 $c_1\left(z\right)$ ， $c_2\left(z\right)$ 为有理函数， $\beta \left(z\right)$ 为多项式且 $n{\beta }^{\prime }={{\alpha }^{\prime }}_1$ 或 ${{\alpha }^{\prime }}_2$ 。

2018年，Zhang得到了如下结论：

定理B ( [12] )设整数 $n\ge 4$ ， $d\le n-3$ ，若方程(1)存在仅有有限个极点的超越亚纯解f，则 $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}$ 为有理数且 $f\left(z\right)=q\left(z\right){\text{e}}^{P\left(z\right)}$ ，其中 $q\left(z\right)$ 为非零有理函数， $P\left(z\right)$ 为非常数多项式，进一步有下列情况之一成立：

1) $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}=1$ ， $P_d\left(z,f\right)\equiv 0$ 且 $n{P}^{\prime }={{\alpha }^{\prime }}_1={{\alpha }^{\prime }}_2$ ；

2) $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}=\frac{t}{n}$ ，其中t为整数且 $1\le t<d$ ， $P_d\left(z,f\right)=p_1\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_1\left(z\right)}$ ， $n{P}^{\prime }={{\alpha }^{\prime }}_2$ ，或者 $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2}=\frac{n}{t}$ ，其中t为整数且 $1\le t<d$ ， $P_d\left(z,f\right)=p_2\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_2\left(z\right)}$ ， $n{P}^{\prime }={{\alpha }^{\prime }}_1$ 。

我们注意到(1)的右端是两个指数项，2020年，Chen-Lian研究了右端有三个指数项的情况：

定理C ( [13] )设整数 $n\ge 5$ ， $P_d\left(z,f\right)$ 为f的次数 $d\le n-4$ 且系数为有理函数的微分多项式，设 $p_j\left(z\right)\left(j=1,2,3\right)$ 为非零有理函数， ${\alpha }_j\left(z\right)\left(j=1,2,3\right)$ 为使得 ${{\alpha }^{\prime }}_j\left(z\right)\left(j=1,2,3\right)$ 互异的非常数多项式，若 $d\le n-4$ 且微分方程

$f^n\left(z\right)+P_d\left(z,f\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{p}_j}{\text{e}}^{{\alpha }_j\left(z\right)}$ (2)

存在仅有有限多个极点的超越亚纯解f，则 $\frac{{{\alpha }^{\prime }}_1}{{{\alpha }^{\prime }}_2},\frac{{{\alpha }^{\prime }}_2}{{{\alpha }^{\prime }}_3}$ 为有理数且 $f\left(z\right)=q\left(z\right){\text{e}}^{P\left(z\right)}$ ，其中 $q\left(z\right)$ 为非零有理函数，

$P\left(z\right)$ 为非常数多项式。进一步地，存在正整数 $l_0,l_1,l_2$ 满足 $l_0,l_1,l_2=1,2,3$ 和不同的整数 $k_1,k_2$ 满足 $1\le k_1,k_2\le d$ ，使得 ${{\alpha }^{\prime }}_{l_0}:{{\alpha }^{\prime }}_{l_1}:{{\alpha }^{\prime }}_{l_2}=n:k_1:k_2$ ， $n{P}^{\prime }={{\alpha }^{\prime }}_{l_0}$ ，且 $P_d\left(z,f\right)=p_{l_1}\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_{l_1}\left(z\right)}+p_{l_2}\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_{l_2}\left(z\right)}$ 。

受此启发，我们自然想知道如果把方程(2)右端指数项扩充成m项会有什么样的结果?如果减弱定理C中的条件 $n\ge 5$ ， $d\le n-4$ 是否会有类似的结果出现呢？

定理1 设正整数 $n\ge m$ ， $L_d\left(z,f\right)$ 为f及其导数的微差分多项式满足

$L_d\left(z,f\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{l}{\sum }}{a}_j}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{s}{\prod }}{\left(f^{\left(k\right)}\left(z+{\eta }_k\right)\right)}^{n_{k,j}}}$ ,

且 $d=deg\left(L_d\right)\le n-1$ ，其中 $l,s,n_{k,j}\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， ${\eta }_k\left(0\le k\le s\right)$ 为不同的复常数， $a_j\left(0\le j\le l\right)$ 为常数。设 $b_1,\cdots ,b_m$ 为非零常数， ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_m$ 为不同的非零常数。若方程

$f^n+L_d\left(z,f\right)=b_1{\text{e}}^{{\omega }_{1}z}+\cdots +b_m{\text{e}}^{{\omega }_{m}z}$ (3)

存在有限级亚纯解f且 $N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，则 $\rho \left(f\right)=1$ 且有以下两种可能：

1) $N\left(r,\frac{1}{f}\right)=S\left(r,f\right)$ 且 $f\left(z\right)={\tau }_j{\text{e}}^{\frac{{\omega }_{j}z}{n}}\left(1\le j\le m\right)$ ， ${\tau }_j^n=b_j\left(1\le j\le m\right)$ ，且

${\omega }_j:{\omega }_1:\cdots :{\omega }_{j-1}:{\omega }_{j+1}:\cdots :{\omega }_m=n:n_1:\cdots :n_{m-1}$ , $n_i\left(1\le i\le m-1\right)\in \left\{1,\cdots ,d\right\}$ .

2) $N\left(r,\frac{1}{f}\right)\ne S\left(r,f\right)$ 且 $T\left(r,f\right)\le n\bar{N}\left(r,1/f\right)+S\left(r,f\right)$ 。特别地，当 $m=3$ 并且 ${\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\ne 0$ ， ${\omega }_1{\omega }_2+{\omega }_1{\omega }_3+{\omega }_2{\omega }_3\ne 0$ 时，令

$\begin{array}{c}\varphi ={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3{f}^3-n\left({\omega }_1{\omega }_2+{\omega }_1{\omega }_3+{\omega }_2{\omega }_3\right)f^2{f}^{\prime }+n\left(n-1\right)\left({\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\right)f{\left(f^{\prime }\right)}^2\\ +n\left({\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\right)f^2{f}^{″}-n\left(n-1\right)\left(n-2\right){\left(f^{\prime }\right)}^3-3n\left(n-1\right)f{f}^{\prime }{f}^{″}-n{f}^2{f}^{‴},\end{array}$

则有 $\varphi \cancel{\equiv }0$ ，并且有以下式子成立：

$N\left(r,\frac{1}{f}\right)\le N_{1)}\left(r,\frac{1}{f}\right)+N\left(r,\frac{1}{\varphi }\right)+S\left(r,f\right)$ ,

$T\left(r,\frac{1}{f}\right)\le N_{1)}\left(r,\frac{1}{f}\right)+\frac{1}{3}T\left(r,\frac{1}{\varphi }\right)+\frac{2}{3}N\left(r,\frac{1}{\varphi }\right)+S\left(r,f\right)$ .

(i) $\varphi =c\ne 0$ ， $f=c_1{\text{e}}^{\frac{{\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3}{3\left(n-1\right)}z}+c_2$ ，其中 $c_1,c_2$ 为非零常数且 $\frac{n\left({\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\right)}{3\left(n-1\right)}={\omega }_j\in \left\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\right\}$ ， $c_1^n=b_j$ ；

(ii) 若 $\varphi$ 为非常数亚纯函数则 $T\left(r,\varphi \right)\ne S\left(r,f\right)$ 。特别地，设 $n=3$ ，且 $\varphi ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{h}_i}{\text{e}}^{Q_i\left(z\right)}$ ，其中 $h_i$ 为常数，

$Q_i$ 为多项式，则存在 $Q_j\left(1\le j\le s\right)$ ，使得 $deg\left(Q_j\right)=1$ 且 $f^3={\displaystyle {\sum }_{i=1}^3\widetilde{c_i}{\text{e}}^{{\omega }_{i}z}}-{\displaystyle {\sum }_{j=1}^t{H}_j{\text{e}}^{a_{j}z}}-H_0$ ，其中， $\widetilde{c_i}\left(1\le i\le 3\right)$ ， $H_j\left(0\le j\le t\right)$ 为常数。

下面的例子表明定理1的结果是精确的。

例1 方程 $f^4\left(z\right)-{\left(f^{\prime }\left(z+2\pi \right)\right)}^2+{\left(f^{″}\left(z+\pi \right)\right)}^3+f\left(z\right)=2{\text{e}}^{iz}+4{\text{e}}^{2iz}+8{\text{e}}^{3iz}+16{\text{e}}^{4iz}$ 有解 $f\left(z\right)=2{\text{e}}^{iz}$ 。

此时 $N\left(r,\frac{1}{f}\right)=S\left(r,f\right)$ ， ${\omega }_4=4i$ ， $\frac{{\omega }_{4}i}{4}=i$ ， $2^4=16=b_4$ 。满足定理1中的(1)。

例2 方程 $f^3\left(z\right)-{\left(f^{″}\left(z+2\pi i\right)\right)}^2+3f^{\prime }\left(z+\pi i\right)-f\left(z\right)=8{\text{e}}^{2z}-13{\text{e}}^{4z}+{\text{e}}^{6z}$ 有解 $f\left(z\right)={\text{e}}^{2z}+1$ 。

此时 $N\left(r,\frac{1}{f}\right)\ne S\left(r,f\right)$ ， $\varphi =48$ ， $\frac{n\left({\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\right)}{3\left(n-1\right)}=6$ ， $c_1^n=1$ 。满足定理1中的(2) (i)。

例3 方程 $f^3-3{\left(f^{″}\right)}^2-f-5f^{\prime }={\text{e}}^{3z}+{\text{e}}^{-3z}+10{\text{e}}^{-z}$ 有解 $f\left(z\right)={\text{e}}^{-z}+{\text{e}}^z+1$ 。

此时 $N\left(r,\frac{1}{f}\right)\ne S\left(r,f\right)$ ， $\varphi =45{\text{e}}^{2z}-15{\text{e}}^{-2z}+96{\text{e}}^z+63$ ， $f^3=6{\text{e}}^{-z}+3{\text{e}}^{-2z}+3{\text{e}}^{2z}+{\text{e}}^{-3z}+{\text{e}}^{3z}+6{\text{e}}^z+7$ 。满足定理1中的(2) (ii)。

2. 主要引理

引理1 [4] 假设 $f\left(z\right)$ 是满足 $f^{n}P\left(f\right)=Q\left(f\right)$ 的超越亚纯函数，其中 $P\left(f\right)$ 和 $Q\left(f\right)$ 是关于f及其导数的多项式，系数为亚纯函数，记为 $\left\{a_{\lambda }|\lambda \in I,I为指标集\right\}$ ，对任意 $\lambda \in I$ ，有 $m\left(r,a_{\lambda }\right)=S\left(r,f\right)$ ，且 $Q\left(f\right)$ 的次数至多为n，则有

$m\left(r,P\left(f\right)\right)=S\left(r,f\right)$ .

引理2 [14] 设 $m,q\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$ 为不同的非零复常数， $A_0\left(z\right),\cdots ,A_m\left(z\right)$ 为满足 $A_i\ne 0\left(1\le i\le m\right)$ 的增长级小于q的亚纯函数。记 $\phi \left(z\right)=A_0\left(z\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{A}_i}\left(z\right){\text{e}}^{{\alpha }_i{z}^q}$ ，则存在两个正常数 $d_1<d_2$ ，使得对充分大的r有 $d_1{r}^q\le T\left(r,\phi \right)\le d_2{r}^q$ 。

引理3 [15] 设 $f_i\left(z\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\left(n\ge 2\right)\right)$ 为亚纯函数， $g_i\left(z\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 为整函数且满足

1) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i}\left(z\right){\text{e}}^{g_i\left(z\right)}\equiv 0$ ；

2) 对于 $1\le j<m\le n$ ， $g_j\left(z\right)-g_m\left(z\right)$ 不为常数；

3) 对于 $1\le i\le n$ ， $1\le t<k\le n$ ， $T\left(r,f_i\right)=o\left(T\left(r,{\text{e}}^{g_t-g_k}\right)\right)\left(r\to \infty ,r\cancel{\in }E\right)$ ；

则 $f_i\left(z\right)\equiv 0\left(i=1,\cdots ,n\right)$ 。

引理4 [16] 设 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， $n\ge 2$ ， ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 为不同的非零常数， $p_1,p_2$ 为非零的亚纯函数。则方程

$f^n\left(z\right)=p_1{\text{e}}^{{\alpha }_{1}z}+p_2{\text{e}}^{{\alpha }_{2}z}$

不存在任何满足 $T\left(r,p_j\right)=S\left(r,f\right)\left(j=1,2\right)$ 的亚纯解f。

引理5 设 $n,m\in {\mathbb{N}}^{+}$ ， $n\ge m$ ， $m>2$ ， $a_j\left(j=1,2,\cdots ,m\right)$ 为不同的非零常数， $b_j\left(j=1,2,\cdots ,m\right)$ 为非零的亚纯函数。则方程

$f^n\left(z\right)=b_1{\text{e}}^{a_{1}z}+\cdots +b_m{\text{e}}^{a_{m}z}$ (4)

不存在任何满足 $T\left(r,b_j\right)=S\left(r,f\right)\left(j=1,2,\cdots ,m\right)$ 的亚纯解f。

证明： $m=3$ 时，Chen-Chen [17] 已证，下面我们考虑 $m>3$ 的情况。

设(4)存在一个亚纯解 $f\left(z\right)$ 满足 $T\left(r,b_j\right)=S\left(r,f\right)\left(j=1,2,\cdots ,m\right)$ ，则

$T\left(r,f\right)=\frac{1}{n}T\left(r,f^n\right)\le O\left(T\left(r,{\text{e}}^z\right)\right)+S\left(r,f\right),$

从而有 $S\left(r,f\right)=o\left(r\right)$ 。对(4)改写有：

$f^n{\text{e}}^{-a_{1}z}={\left(f{\text{e}}^{-\frac{a_{1}z}{n}}\right)}^n=b_1+{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{m}{\sum }}{b}_j}{\text{e}}^{\left(a_j-a_1\right)z}$ .

记 $g=f{\text{e}}^{-\frac{a_{1}z}{n}}$ ， ${\alpha }_j=a_j-a_1\left(2\le j\le m\right)$ ，显然 ${\alpha }_j$ 互异，从而

$g^n\left(z\right)=b_1+{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{m}{\sum }}{b}_j}{\text{e}}^{{\alpha }_{j}z}$ . (5)

注意到

$\bar{N}\left(r,\frac{1}{g^n}\right)=\bar{N}\left(r,\frac{1}{g}\right)\le \frac{1}{n}T\left(r,g^n\right)+O\left(1\right)$ ,

所以有

$\Theta \left(g^n,0\right)=1-\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{\bar{N}\left(r,\frac{1}{g^n}\right)}{T\left(r,g^n\right)}\ge 1-\frac{1}{n}$ . (6)

我们对(5)应用引理2，存在 $d_1<d_2$ ，使得当r充分大时， $d_{1}r\le T\left(r,g^n\right)\le d_{2}r$ ，从而结合 $S\left(r,f\right)=o\left(r\right)$ 有

$\Theta \left(g^n,\infty \right)\ge 1-\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}N}\left(r,b_j\right)}{d_{1}r}=1$ . (7)

又由引理3，有

$\Theta \left(g^n,b_1\right)\ge 1-\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{\bar{N}\left(r,b_1\right)}{d_{1}r}=1$ . (8)

由(6)，(7)及(8)和Nevanlinna亏值定理 [1] 有

$3-\frac{1}{n}\le \Theta \left(g^n,0\right)+\Theta \left(g^n,\infty \right)+\Theta \left(g^n,b_1\right)\le 2$ ,

这说明 $n=1$ ，与 $n\ge m>3$ 矛盾。

3. 定理1的证明

先证 $\rho \left(f\right)=1$ 。根据对数导数引理 [1] 和差分对数导数引理 [18] 我们有

$m\left(r,L_d\left(f\right)\right)\le dm\left(r,f\right)+S\left(r,f\right)$ .

又因为 $N\left(r,f\right)=S\left(r,f\right)$ ，我们有

$\begin{array}{c}nT\left(r,f\right)=T\left(r,f^n\right)=T\left(r,{\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{b}_i{\text{e}}^{{\omega }_{i}z}}-L_d\left(f\right)\right)\\ \le m\left(r,{\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{b}_i{\text{e}}^{{\omega }_{i}z}}\right)+dm\left(r,f\right)+S\left(r,f\right)\\ \le T\left(r,{\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{b}_i{\text{e}}^{{\omega }_{i}z}}\right)+dT\left(r,f\right)+S\left(r,f\right),\end{array}$ (9)

由于 $d+1\le n$ ，结合上式有

$T\left(r,f\right)\le O\left(r\right)$ . (10)

另一方面，我们根据(3)有

$T\left(r,{\displaystyle {\sum }_{i=1}^m{b}_i{\text{e}}^{{\omega }_{i}z}}\right)\le T\left(r,P_d\left(f\right)\right)+nT\left(r,f\right)$ ,

即

$O\left(r\right)\le dT\left(r,f\right)+S\left(r,f\right)+nT\left(r,f\right)$ . (11)

从而根据(10)和(11)我们可以得到 $\rho \left(f\right)=1$ 。

记 $F_1=f^n$ ， $H_1=L_d\left(z,f\right)$ ，改写(3)为

$F_1+H_1={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{b}_j}{\text{e}}^{{\omega }_{j}z}$ , (12)

对上式进行微分有

${F^{\prime }}_1+{H^{\prime }}_1={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\omega }_j}{b}_j{\text{e}}^{{\omega }_{j}z}$ . (13)

由(12)及(13)消去 ${\text{e}}^{{\omega }_{1}z}$ 有

$F_2+H_2={\displaystyle \underset{j=2}{\overset{m}{\sum }}\left({\omega }_1-{\omega }_j\right)b_j{\text{e}}^{{\omega }_{j}z}}$ ,

其中 $F_2={\omega }_1{F}_1-{F^{\prime }}_1$ ， $H_2={\omega }_1{H}_1-{H^{\prime }}_1$ 。类似地，我们依次消去 ${\text{e}}^{{\omega }_{2}z},\cdots ,{\text{e}}^{{\omega }_{m}z}$ 有

$F_{m+1}+H_{m+1}={\omega }_m{F}_m-{F^{\prime }}_m+{\omega }_m{H}_m-{H^{\prime }}_m=0$ . (14)

对于(14)我们分以下两种情况讨论：

情况1. ${\omega }_m{F}_m-{F^{\prime }}_m\equiv 0$ 。由 $F_j={\omega }_{j-1}{F}_{j-1}-{F^{\prime }}_{j-1}\left(2\le j\le m\right)$ ，代入假设有

$\begin{array}{c}{\omega }_m{F}_m-{F^{\prime }}_m={\displaystyle {\prod }_{j=1}^m{\omega }_j{F}_1}+\left(-1\right){\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j}^m{\omega }_i{F^{\prime }}_1}}+{\left(-1\right)}^2\frac{1}{2}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\sum }_{k=1,k\ne j}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j,k}^m{\omega }_i{F^{″}}_1}}}\\ +\cdots +{\left(-1\right)}^{m-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\omega }_j{F}_1^{\left(m-1\right)}}+{\left(-1\right)}^m{F}_1^{\left(m\right)}\\ =0,\end{array}$ (15)

解得(15)的一般解为：

$F_1={\bar{c}}_1{\text{e}}^{{\omega }_{1}z}+{\bar{c}}_2{\text{e}}^{{\omega }_{2}z}+\cdots +{\bar{c}}_m{\text{e}}^{{\omega }_{m}z}$ , (16)

其中 ${\bar{c}}_1,\cdots ,{\bar{c}}_m$ 为常数。由 $F_1=f^n$ ，引理4和引理5有 $f\left(z\right)={\tau }_j{\text{e}}^{\frac{{\omega }_{j}z}{n}}\left(1\le j\le m\right),{\tau }_j^n={\bar{c}}_j$ 。显然满足 $N\left(r,\frac{1}{f}\right)=S\left(r,f\right)$ 。

不妨设

$f\left(z\right)={\tau }_1{\text{e}}^{\frac{{\omega }_{1}z}{n}},{\tau }_1^n={\bar{c}}_1$ , (17)

从而

${\left(f^{\left(k\right)}\left(z+{\eta }_k\right)\right)}^{n_{k,i}}=\widetilde{{\tau }_1}{\text{e}}^{\frac{n_{k,i}{\omega }_{1}z}{n}}$ , (18)

记 $t_i={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{s}{\sum }}{n}_{k,i}}$ ，从而 $0\le t_i\le d\left(0\le i\le l\right)$ 。则(3)可改写为

${\tau }_1^n{\text{e}}^{{\omega }_{1}z}+{\displaystyle {\sum }_{s=0}^d{\beta }_s{\text{e}}^{\frac{s{\omega }_{1}z}{n}}}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{b}_j{\text{e}}^{{\omega }_{j}z}}$ , (19)

其中 ${\beta }_s\left(0\le s\le d\right)$ 为常数。

由 $n\ge d+1$ ， ${\tau }_1^n=b_1$ ，对(19)应用引理3有 ${\tau }_1^n=b_1,{\beta }_0=0$ ，存在 $m-1$ 个常数 $n_i\in \left\{1,\cdots ,d\right\}$ ，使得 ${\omega }_1:{\omega }_2:\cdots :{\omega }_m=n:n_1:\cdots :n_{m-1}$ 。否则由引理3，至少存在一个 $b_j=0\left(2\le j\le m\right)$ ，这与定理的假设相矛盾。

同理有下式成立： $f\left(z\right)={\tau }_j{\text{e}}^{\frac{{\omega }_{j}z}{n}}\left(2\le j\le m\right)$ ， ${\tau }_j^n=b_j$ ，且

${\omega }_j:{\omega }_1:\cdots :{\omega }_{j-1}:{\omega }_{j+1}:\cdots :{\omega }_m=n:n_1:\cdots :n_{m-1},n_i\in \left\{1,\cdots ,d\right\}\left(2\le j\le m,1\le i\le m-1\right).$

情况2. ${\omega }_m{F}_m-{F^{\prime }}_m\cancel{\equiv }0$ 。由 $F_j={\omega }_{j-1}{F}_{j-1}-{F^{\prime }}_{j-1}\left(2\le j\le m\right)$ 及 $F_1=f^n$ ，

$\begin{array}{c}{\omega }_m{F}_m-{F^{\prime }}_m={\displaystyle {\prod }_{j=1}^m{\omega }_j{f}^n}+\left(-1\right){\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j}^m{\omega }_i\left(n{f}^{n-1}{f}^{\prime }\right)}}\\ +{\left(-1\right)}^2\frac{1}{2}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\sum }_{k=1,k\ne j}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j,k}^m{\omega }_i\left(n\left(n-1\right)f^{n-2}{\left(f^{\prime }\right)}^2+n{f}^{n-1}{f}^{″}\right)}}}\\ +\cdots +{\left(-1\right)}^{m-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\omega }_j{\left(f^n\right)}^{\left(m-1\right)}}+{\left(-1\right)}^m{\left(f^n\right)}^{\left(m\right)}\\ =-\{{\displaystyle {\prod }_{j=1}^m{\omega }_j{H}_1}+\left(-1\right){\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j}^m{\omega }_i{H^{\prime }}_1}}+{\left(-1\right)}^2\frac{1}{2}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\sum }_{k=1,k\ne j}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j,k}^m{\omega }_i{H^{″}}_1}}}\\ \begin{array}{c}\\ \end{array}+\cdots +{\left(-1\right)}^{m-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\omega }_j{\left(H_1\right)}^{\left(m-1\right)}}+{\left(-1\right)}^m{\left(H_1\right)}^{\left(m\right)}\},\end{array}$

为了方便我们改写上式为

$\begin{array}{c}{f}^{n-1}G=-\{{\displaystyle {\prod }_{j=1}^m{\omega }_j{H}_1}+\left(-1\right){\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j}^m{\omega }_i{H^{\prime }}_1}}+{\left(-1\right)}^2\frac{1}{2}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\sum }_{k=1,k\ne j}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j,k}^m{\omega }_i{H^{″}}_1}}}\\ \begin{array}{c}\\ \end{array}+\cdots +{\left(-1\right)}^{m-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\omega }_j{\left(H_1\right)}^{\left(m-1\right)}}+{\left(-1\right)}^m{\left(H_1\right)}^{\left(m\right)}\},\end{array}$ (20)

其中

$\begin{array}{c}G={\displaystyle {\prod }_{j=1}^m{\omega }_{j}f}+\left(-1\right){\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j}^m{\omega }_i\left(n{f}^{\prime }\right)}}\\ +{\left(-1\right)}^2\frac{1}{2}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\displaystyle {\sum }_{k=1,k\ne j}^m{\displaystyle {\prod }_{i=1,i\ne j,k}^m{\omega }_i\left(n\left(n-1\right)\frac{f^{\prime }}{f}{f}^{\prime }+n{f}^{″}\right)}}}+\cdots +{\left(-1\right)}^m\frac{{\left(f^n\right)}^{\left(m\right)}}{f^{n-1}}.\end{array}$ (21)

由(20)，(21)及引理1有

$m\left(r,G\right)=S\left(r,f\right)$ , (22)

注意到G/f的项由以下式子线性组成：

$\frac{f^{\left(t\right)}}{f},\frac{f^{\left(i_1\right)}}{f}\frac{f^{\left(i_2\right)}}{f},\frac{f^{\left(j_1\right)}}{f}\frac{f^{\left(j_2\right)}}{f}\frac{f^{\left(j_3\right)}}{f},\cdots ,{\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^t,$

其中 $i_1\le i_2$ ， $i_1+i_2=t$ ， $j_1\le j_2\le j_3$ ， $j_1+j_2+j_3=t$ ， $0\le t\le m$ 。从而

$m\left(r,\frac{G}{f}\right)=S\left(r,f\right),N\left(r,\frac{G}{f}\right)\le m\bar{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)$ . (23)

由(21)及(22)有

$\begin{array}{c}T\left(r,f\right)=m\left(r,\frac{f}{G}\cdot G\right)+S\left(r,f\right)\\ \le m\left(r,\frac{G}{f}\right)+N\left(r,\frac{G}{f}\right)+S\left(r,f\right)\\ \le m\bar{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+S\left(r,f\right),\end{array}$ (24)

显然当 $N\left(r,1/f\right)=S\left(r,f\right)$ 时，上式不成立。

接下来，我们在 $N\left(r,1/f\right)\ne S\left(r,f\right)$ 的条件下进一步考虑，当 $m=3$ 时，有

$f^n+L_d\left(z,f\right)=b_1{\text{e}}^{{\omega }_{1}z}+b_2{\text{e}}^{{\omega }_{2}z}+b_3{\text{e}}^{{\omega }_{3}z}$ , (25)

与(12)~(14)类似消去 ${\text{e}}^{{\omega }_{1}z},{\text{e}}^{{\omega }_{2}z},{\text{e}}^{{\omega }_{3}z}$ 有：

$f^{n-3}\varphi =L^{‴}-\left({\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\right)L^{″}+\left({\omega }_1{\omega }_2+{\omega }_1{\omega }_3+{\omega }_2{\omega }_3\right)L^{\prime }-{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_{3}L$ , (26)

其中

$\begin{array}{c}\varphi ={\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3{f}^3-n\left({\omega }_1{\omega }_2+{\omega }_1{\omega }_3+{\omega }_2{\omega }_3\right)f^2{f}^{\prime }+n\left(n-1\right)\left({\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\right)f{\left(f^{\prime }\right)}^2\\ +n\left({\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\right)f^2{f}^{″}-n\left(n-1\right)\left(n-2\right){\left(f^{\prime }\right)}^3-3n\left(n-1\right)f{f}^{\prime }{f}^{″}-n{f}^2{f}^{‴}.\end{array}$ (27)

情况2.1. $\varphi \equiv 0$ 。从而结合(27)有：

$\begin{array}{c}{\omega }_1{\omega }_2{\omega }_3{f}^3=n\left({\omega }_1{\omega }_2+{\omega }_1{\omega }_3+{\omega }_2{\omega }_3\right)f^2{f}^{\prime }-n\left(n-1\right)\left({\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\right)f{\left(f^{\prime }\right)}^2\\ -n\left({\omega }_1+{\omega }_2+{\omega }_3\right)f^2{f}^{″}+n\left(n-1\right)\left(n-2\right){\left(f^{\prime }\right)}^3+3n\left(n-1\right)f{f}^{\prime }{f}^{″}+n{f}^2{f}^{‴}.\end{array}$ (28)

由 $N\left(r,1/f\right)\ne S\left(r,f\right)$ ，设 $z_0$ 为f的k重零点。由(27)及假设，可以得到 $k\ge 2$ ，在 $z_0$ 的邻域有： $f\left(z\right)=c_k{\left(z-z_0\right)}^k+\cdots ,\left(c_k\ne 0\right)$ 。对于(28)， $z_0$ 为等式左端的3k重零点，而等式右端 ${\left(z-z_0\right)}^{3k-3}$ 的系数为 $nk{c}_k^3\left(\left(n^2+1\right)k^2-3nk+3\right)$ ，显然 ${\left(z-z_0\right)}^{3k-3}$ 的系数不为零，矛盾。从而有 $\varphi \cancel{\equiv }0$ 。

根据(27)及对数导数引理有

$m\left(r,\frac{\varphi }{f^3}\right)=S\left(r,f\right)$ .

从而

$\begin{array}{c}3m\left(r,\frac{1}{f}\right)=m\left(r,\frac{1}{f^3}\right)\le m\left(r,\frac{\varphi }{f^3}\right)+m\left(r,\frac{1}{\varphi }\right)\\ =m\left(r,\frac{1}{\varphi }\right)+S\left(r,f\right).\end{array}$ (29)

由(27)及(29)有

$\begin{array}{c}T\left(r,\frac{1}{f}\right)=m\left(r,\frac{1}{f}\right)+N_{1)}\left(r,\frac{1}{f}\right)+N_{(2}\left(r,\frac{1}{f}\right)\\ \le m\left(r,\frac{1}{f}\right)+N_{1)}\left(r,\frac{1}{f}\right)+N\left(r,\frac{1}{\varphi }\right)+S\left(r,f\right)\\ \le N_{1)}\left(r,\frac{1}{f}\right)+\frac{1}{3}T\left(r,\frac{1}{\varphi }\right)+\frac{2}{3}N\left(r,\frac{1}{\varphi }\right)+S\left(r,f\right).\end{array}$ (30)