Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 159-162 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12031 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/) Copyright © 2011 Hanspub PM The Parallelism of the Rays in a Complete Noncompact Riemannian Manifold* Huashui Zhan School of Sciences, Jimei University, Xiamen Email: hszhan@jmu.edu.cn Received: Mar. 14th, 2011; revised: Apr. 26th, 2011; accepted: Apr. 29th, 2011. Abstract: The paper generalizes the concept of the parallelism for the rays in Eucliden space to a general noncompact Riemannian manifold, proves that if the manifold has only two Busemann function with adverse signs, then the manifold is with complete parallel property. This conclusion answers Wu-Chen Problem partly. Keywords: Parallel Rays; Busemann Function; Complete Parallel Property; Wu-Chen Problem 完备非紧黎曼流形上的射线的平行性* 詹华税 集美大学理学院,厦门 Email: hszhan@jmu.edu.cn 收稿日期:2011年3月14日;修回日期:2011年4月26日;录用日期:2011 年4月29日 摘 要:将欧式空间平行射线的概念推广到一般完备非紧的黎曼流形上,证明了只有符号相反的 Busemann 函数的完备非紧的黎曼流形具有完全平行性质。部分地回答了 Wu-Chen 问题。 关键词:平行射线;Busemann 函数;完全平行性质;Wu-Chen 问题 1. 引言 熟知,对一般的完备非紧黎曼流形而言是不存在 直线的。换句话说,直线的存在性将对流性的几何结 构产生很强的限制,例如我们有经典的 Cheeger- Gromoll 分裂定理[1]:设 M是具非负Ricci 曲率的完备 非紧黎曼流形,若 M包含一条直线,则 M必等距于 M R 。其中 M 是具非负 Ricci 曲率的完备黎曼流 形。 但射线却广泛存在,因为我们有 命题 1.1:完备黎曼流形 M是非紧的充分必要条 件是对都存在一条由 p出发的射线。 pM 所以,在对完备非紧黎曼流形的几何性质的研究 中,对射线的研究就显得非常的重要。甚至于完备非 紧黎曼流形其他性质的研究亦离不开对射线的分析, 例如著名数学家S. T. Yau所创立的几何分析理论[2]中 所探讨的一个基本的问题就是完备非紧黎曼流形上的 调和函数的存在性,其方法就是将现代偏微分方程的 分析技巧应用于对流形上的 Busemann 函数性质估计。 而众所周知,Busemann 函数是基于流形上的射线而定 义的(见下面的定义(2.1))。在过去的十几年中,作者 在完备非紧黎曼流形的几何性质的研究(参见文献 [3-12])过程中,发现其中许多问题都与欧氏空间射 线 的平行性如何在一般的完备非紧黎曼流形进行相应的 推广应用有着密切的关系。 *福建省自然科学基金(2009J01009),集美大学潘金龙科学基金资助 课题。 詹华税 完备非紧黎曼流形上的射线的平行性 160 | 我们首先必须先澄清在一般的流形中, 射线的平 行是一个什么样的意思:对任意该射线以外的点 p, 记连接 p与()t 的最短测地线记为 p t ,通过选取子列 知有 lim (0)(0) pt p t , (1.2) 其中 :[0, ) p M 是由 p出发而且是唯一满 足(1.2)式的 射线。 定义 1.2:我们称 p 平行于 ,并记为 p 。 注1.3: 在有些文献中称 p 是 的渐近射线。而 在平面几何中,这与普通的不相交的平行射线的定义 是等价的。 对于一般的完备非紧黎曼流形,通过考察具体的一 些典型例子如具诱导度量的R3中的柱面 、 旋转抛物面和具非欧度量的平面R2单位圆 盘 等,我们发现完全有可能成立以下 22 1xy 2 zx y 1 2 22 xy 猜测 1.4:设 M为完备非紧的黎曼流形, :[0, ) M 是正规测地射线 ,对任意的该射线以 外的一点p,则由 p可引唯一的射线与 平行。 依定义 1.2 所定义的流形的平行射线一般可能不 具有递推性(即12 2313 ,, 则)和对称性(即 12 21 , 有递推性。不具有对称性的例子暂时无法找到。我们 给出如下的 定义 1.6:设M为一般的完备非紧的黎曼流形, 若M上的任意两平行射线的对称性成立,则称 M具 有(不完全)平行性质;若具有(不完全)平行性质的 M 上平行射线还有递推性,则称M具有完全平行性。 本文对流形的曲率条件作了一定的限制,对完备 非紧的黎曼流形射线的平行性进行探讨。 2. 平行射线的存在性 设M为完备非紧的黎曼流形,假定 M的曲率有下 界,即 M K K ) ,其中K是某一正的常数, :[0, M 是正规测地射线, p t 与 p 如前所述, 所对应的Busemann 函数定义为 lim , t Bxtdx t , (2.1) 现在对任意的 ,记 00t0 () p pt 与0 ()() ptt 的交角 为t 。令 0 ((), () p ()( ,)()),() M tdpttNtd t )) (BtB 熟知 (参见[14,15]等)有(( p), 0ptt ,故有 00 0 0 lim lim lim . P t t t tMtBpBtt tNt t Mt Ntt (2.2) ) 则。实际上能否阐明在一般的流形中, 平行射线的确有“平行”的性质将直接决定了我们 1.2 定义是否有意义。考察R3中的旋转抛物面 П: 在诱导度量下它是具正曲率的完备非紧的 流形,由[13]之第 136 页知子午线是仅有的射线,由此 事实,易知在 П上按定义 1.2所定义的平行射线不具 2 zx y 现在,在与–K为曲率的空间形式中选取相应的等 边长的三角形 0 () () pt p 2 t ,相应的夹角为 t 。由非欧 几何的余弦定理有 00 00 00 00 ()() () () () () (() ()) 2e2eeee e cos ee ee 1 coslim cos2lim eee1 ee Kt Kt KM tKM tKN tKN t tKtKt KN tKN t Kt Kt KMt Nt tKtKt tt 即有 π ,由比较定理知有 π (2.3) 事实(2.3)说明对 ,由 00t 0 () pt 做平行于 的平行 射线 0 () pt ,则有 0 () 0 ptp t (2.4) 由式(2.3)与(2.4 )知, p 与 的关系只可能是以下两种 情况之一: 1) p ; 2) p 。这是因为若 p 与 有交点 00 ( )s() pt ,则有 0 () pt 所做的平行射线将是 00 :[ s, ) s M 而非 0 () pt ,这便与式(2.4)矛盾。 根据前面所述的平行射线的定义知道, p 与 是 Copyright © 2011 Hanspub PM 詹华税 完备非紧黎曼流形上的射线的平行性161 | 流形 M上的两平行射线。下面证明唯一性。若通过选 取另一个子列有 lim (0)(0) pt p t , (2.5) 其中 :[0, ) p M 也是由 p出发而且是满足(2.5)式 的射线。我们将要说明 。否则,对任意的, 记 0t p 与 的夹角为 ,由于 , pp BtBptBtt 0, (2.6) 根据 Busemann 函数的定义,由(2.6 )我们知道有 lim,, 0 pp sdtsdts . 所以,由距离函数的三角不等式,有 lim ,0 pp tdt t . (2.7) 现在与–K为曲率的空间形式相比较,利用非欧几何的 余弦定理容易知道 0 。 由以上证明我们有 定理 2.1:设M为完备非紧曲率具下界的黎曼流 形, :[0, ) M 是正规测地射线,对任意该射线 以外的点p,则由p可引唯一的射线与 平行。 3. 只有两个符号相反的 Busemann 函数的流 形 定义 3.1:设 M是完备非紧黎曼流形, 12 , 是M 上射线,若Busemann 函数满足 12 ,Bx BxcxM . (3.1) 则称 1 B 和2 B 是M上同一个B-函数。其中 c是常数。 此定义是伍鸿熙和陈维桓在其著的书[14]中首次 提出的。依此定义,上有无穷多B-函数,而 中 柱面上仅有二个符号相反的B-函数; 中 的旋转抛物面仅有一个 B-函数(见[5])。在 [14]的第三章中,伍鸿熙和陈维桓提出了如下的 2 R 2 y 3 R 3 R 22 1xy 2 zx Wu-Chen 问题3.2:若完备非紧的黎曼流形M仅 有两个符号相反的 Busemann 函数,那么,该流形的 几何拓扑结构如何? 文[5]已经部分回答了上述问题。在这一节中我们 将进一步探讨此问题。 引理 3.3:设 M为完备非紧黎曼流形,若 M上仅 有两个符号相反的 B-函数且其曲率有下界,则对 pM ,只有两条方向相反的射线由它出发且它们 构成唯一的测地直线。 证明:由于 M上仅有两个符号相反的 B-函数 12 () ()BxBxc 1 , ,容易证明对,存在由其出 发的两条射线 pM 2 使得 12 ,BxBxxM . 由B-函数的定义易知有 12 lim, 0 ttsdts . (3.2) 由此式应用 Toponogov 比较定理可以证明(参见[5]) 12 , 3 构成一条测地直线。若存在另一条由 p出发的射 线 ,由于 M上仅有两个符号相反的 B-函数,故无 妨设 31 BB ,同样有 32 lim, 0 ttsdts (3.3) 于是同样有 32 , 构成一条测地直线,所以 13 。引 理得证。 现在过 (0) o 引p 的平行线,记之为 o 。 若M上仅有两个符号相反的B-函数 1 ()BxB 2 ()x c ,由于熟知有 , P po pp oo BtB tBp BtBtBo p 无妨设 1 () ()BxBxc ,则由上式知只能是 Op Bx Bx Bxc 由引理 3.3知o ,即 M具有平行性。进一步若 12 23 , ,由以上分析易知有 12 3 12 BxBxcBxc 由引理 3.3 知13 。于是得如下的 定理 3.4:设M为完备非紧黎曼流形,若M上仅 有两个符号相反的 B-函数且其曲率有下界,则 M具 有完全平行性质。 4. Busemann函数 引理 4.1[5] :设 M为完备非紧的黎曼流形, :[0, ) M p 是正规测地射线,对任意该射线以外 的点 p, 如前所述,则有 ,BxBx BpxM . (4.1) Copyright © 2011 Hanspub PM 詹华税 | 完备非紧黎曼流形上的射线的平行性 Copyright © 2011 Hanspub PM 162 现在假定 M为完备非紧具非负曲率黎曼流形, 若 ,由文献[12]知道 M具有(不完全)平行性质, 则由(4.1)有 dim 0S ()()( (0)) ()((0))((0)), ; 0( (0))((0)), ((0))( )()((0)). BxBxB Bx BB xM BB BBxBxB 现在任意固定一射线 ,令 Цγ = {M中所有的射 线 , 与 平行并使得下式成立} 00BB 0 (4.2) 显然,若Цγ是非空集合,那么对 Цγ的 有 0,Bx BBxxM 即与是 M中的同一个B-函数。 ()Bx ()Bx 当M具有非负曲率时,设 S是其核心。若 与 均由 S出发,由于熟知此时 M上的B-函数是凸函数, S是M上的全凸全测地子流形,所以任意的 B-函数在 S上均取常数。此时 ((0))((BB 0)) 0 ((0)) ((0))BB ,(4.2)式当然成立 。 注意到如果 , ,那 么 由B-函数的定 义易知 0,0, 0,0, BxBx d BxBx dxM . 于是有 定理 4.2:设M为完备非紧具非负曲率的黎曼流 形,若, dim 0S 与 是M上的任意两条平行射线, 则B 与B 是M上的同一个B-函数。 要注意的是该定理的逆定理不成立。例如 中的 旋转抛物面在诱导度量下是只有一个B-函数,但若 3 R 与 是由顶点出发的两条不同的射线(子午线),它们 是不互相平行的. 参考文献 (References) [1] J. Cheeger, D. Gromoll. The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature. Journal of Differential Geometry, 1971, 6(1): 119-128. [2] 丘成桐, 孙理察. 微分几何[M]. 北京: 科学出版社, 1988。 [3] 詹华税. 完备 Riemann流形之共轭点[J]. 数学学报, 1994, 37(3): 414-419。 [4] H. S. Zhan, Z. M. Shen. The volume and topology of a clomplete Riemannian manifold. Chinese Annals of Mathematics, 2001, 22(1): 85-92. [5] 詹华税. 关于H-WU 问题[J]. 数学进展, 2000, 29(4): 362-369. [6] 詹华税. 可定向的完备非紧具非负曲率的黎曼流形[J]. 数学 进展, 2001, 30(1): 70-74. 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