完备非紧黎曼流形上的射线的平行性 The Parallelism of the Rays in a Complete Noncompact Riemannian Manifold

doi:10.12677/pm.2011.12031

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Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 159-162

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2011.12031 Published Online July 2011 (http://www.hanspub.org/journal/pm/)

The Parallelism of the Rays in a Complete Noncompact

Riemannian Manifold*

Huashui Zhan

School of Sciences, Jimei University, Xiamen

Email: hszhan@jmu.edu.cn

Received: Mar. 14th, 2011; revised: Apr. 26th, 2011; accepted: Apr. 29th, 2011.

Abstract: The paper generalizes the concept of the parallelism for the rays in Eucliden space to a general

noncompact Riemannian manifold, proves that if the manifold has only two Busemann function with adverse

signs, then the manifold is with complete parallel property. This conclusion answers Wu-Chen Problem

partly.

Keywords: Parallel Rays; Busemann Function; Complete Parallel Property; Wu-Chen Problem

完备非紧黎曼流形上的射线的平行性*

詹华税

集美大学理学院，厦门

Email: hszhan@jmu.edu.cn

收稿日期：2011年3月14日；修回日期：2011年4月26日；录用日期：2011 年4月29日

摘要：将欧式空间平行射线的概念推广到一般完备非紧的黎曼流形上，证明了只有符号相反的

Busemann 函数的完备非紧的黎曼流形具有完全平行性质。部分地回答了 Wu-Chen 问题。

关键词：平行射线；Busemann 函数；完全平行性质；Wu-Chen 问题

1. 引言

熟知，对一般的完备非紧黎曼流形而言是不存在

直线的。换句话说，直线的存在性将对流性的几何结

构产生很强的限制，例如我们有经典的 Cheeger-

Gromoll 分裂定理[1]：设 M是具非负Ricci 曲率的完备

非紧黎曼流形，若 M包含一条直线，则 M必等距于

。其中

是具非负 Ricci 曲率的完备黎曼流

形。

但射线却广泛存在，因为我们有

命题 1.1：完备黎曼流形 M是非紧的充分必要条

件是对都存在一条由 p出发的射线。 pM

所以，在对完备非紧黎曼流形的几何性质的研究

中，对射线的研究就显得非常的重要。甚至于完备非

紧黎曼流形其他性质的研究亦离不开对射线的分析，

例如著名数学家S. T. Yau所创立的几何分析理论[2]中

所探讨的一个基本的问题就是完备非紧黎曼流形上的

调和函数的存在性，其方法就是将现代偏微分方程的

分析技巧应用于对流形上的 Busemann 函数性质估计。

而众所周知，Busemann 函数是基于流形上的射线而定

义的(见下面的定义(2.1))。在过去的十几年中，作者

在完备非紧黎曼流形的几何性质的研究(参见文献

[3-12])过程中，发现其中许多问题都与欧氏空间射线

的平行性如何在一般的完备非紧黎曼流形进行相应的

推广应用有着密切的关系。

*福建省自然科学基金(2009J01009)，集美大学潘金龙科学基金资助

课题。

詹华税完备非紧黎曼流形上的射线的平行性

160 |

我们首先必须先澄清在一般的流形中, 射线的平

行是一个什么样的意思：对任意该射线以外的点 p，

记连接 p与()t



的最短测地线记为



，通过选取子列

知有

lim (0)(0)

pt p



 



， (1.2)

其中 :[0, )



 是由 p出发而且是唯一满

足(1.2)式的射线。

定义 1.2：我们称



平行于



，并记为 p





。

注1.3: 在有些文献中称



是



的渐近射线。而

在平面几何中，这与普通的不相交的平行射线的定义

是等价的。

对于一般的完备非紧黎曼流形，通过考察具体的一

些典型例子如具诱导度量的R3中的柱面、

旋转抛物面和具非欧度量的平面R2单位圆

盘等，我们发现完全有可能成立以下

1xy

zx y

1

xy

猜测 1.4：设 M为完备非紧的黎曼流形，

:[0, )



 是正规测地射线，对任意的该射线以

外的一点p，则由 p可引唯一的射线与



平行。

依定义 1.2 所定义的流形的平行射线一般可能不

具有递推性(即12 2313

 

则)和对称性(即

12 21

有递推性。不具有对称性的例子暂时无法找到。我们

给出如下的

定义 1.6：设M为一般的完备非紧的黎曼流形，

若M上的任意两平行射线的对称性成立，则称 M具

有(不完全)平行性质；若具有(不完全)平行性质的 M

上平行射线还有递推性，则称M具有完全平行性。

本文对流形的曲率条件作了一定的限制，对完备

非紧的黎曼流形射线的平行性进行探讨。

2. 平行射线的存在性

设M为完备非紧的黎曼流形，假定 M的曲率有下

界，即 M

K

)

，其中K是某一正的常数，

:[0,





 是正规测地射线，



与



如前所述，



所对应的Busemann 函数定义为

 







lim ,

Bxtdx t





 ， (2.1)

现在对任意的，记

00t0

()



与0

()()

ptt



的交角

为t



。令 0

((), ()

()( ,)()),()

tdpttNtd t









)) (BtB



熟知

(参见[14,15]等)有((

p), 0ptt



，故有

















 



lim

lim .

tMtBpBtt

tNt t

Mt Ntt









 

 



(2.2)

)

 

则。实际上能否阐明在一般的流形中，

平行射线的确有“平行”的性质将直接决定了我们

1.2 定义是否有意义。考察R3中的旋转抛物面 П：

在诱导度量下它是具正曲率的完备非紧的

流形，由[13]之第 136 页知子午线是仅有的射线，由此

事实，易知在 П上按定义 1.2所定义的平行射线不具

zx y 现在，在与–K为曲率的空间形式中选取相应的等

边长的三角形 0

() ()





，相应的夹角为 t



。由非欧

几何的余弦定理有











()() () ()

() ()

(() ())

2e2eeee e

cos

ee ee

coslim cos2lim eee1

Kt Kt

KM tKM tKN tKN t

tKtKt KN tKN t

Kt Kt

KMt Nt

tKtKt











 

 

 

 



即有 π



，由比较定理知有



 (2.3)

事实(2.3)说明对，由

00t 0

()



做平行于



的平行

射线 0

()



，则有

()

ptp







 (2.4)

由式(2.3)与(2.4 )知，



与



的关系只可能是以下两种

情况之一：





；

2) p







。这是因为若



与



有交点

( )s()







，则有 0

()



所做的平行射线将是

s, )

M 



而非 0

()



，这便与式(2.4)矛盾。

根据前面所述的平行射线的定义知道，



与



是

詹华税完备非紧黎曼流形上的射线的平行性161

流形 M上的两平行射线。下面证明唯一性。若通过选

取另一个子列有

lim (0)(0)

pt p



 

, (2.5)

其中 :[0, )



 也是由 p出发而且是满足(2.5)式

的射线。我们将要说明





。否则，对任意的，

记

0t



与



的夹角为



，由于



 



BtBptBtt





 0,

(2.6)

根据 Busemann 函数的定义，由(2.6 )我们知道有

 



 





lim,, 0

sdtsdts

 

 









所以，由距离函数的三角不等式，有

 



lim ,0

tdt t



 . (2.7)

现在与–K为曲率的空间形式相比较，利用非欧几何的

余弦定理容易知道 0



。

由以上证明我们有

定理 2.1：设M为完备非紧曲率具下界的黎曼流

形， :[0, )



 是正规测地射线，对任意该射线

以外的点p，则由p可引唯一的射线与



平行。

3. 只有两个符号相反的 Busemann 函数的流

形

定义 3.1：设 M是完备非紧黎曼流形， 12



是M

上射线，若Busemann 函数满足

 

,Bx BxcxM



. (3.1)

则称 1



和2



是M上同一个B-函数。其中 c是常数。

此定义是伍鸿熙和陈维桓在其著的书[14]中首次

提出的。依此定义，上有无穷多B-函数，而中

柱面上仅有二个符号相反的B-函数；中

的旋转抛物面仅有一个 B-函数(见[5])。在

[14]的第三章中，伍鸿熙和陈维桓提出了如下的

y

1xy

Wu-Chen 问题3.2：若完备非紧的黎曼流形M仅

有两个符号相反的 Busemann 函数，那么，该流形的

几何拓扑结构如何？

文[5]已经部分回答了上述问题。在这一节中我们

将进一步探讨此问题。

引理 3.3：设 M为完备非紧黎曼流形，若 M上仅

有两个符号相反的 B-函数且其曲率有下界，则对



，只有两条方向相反的射线由它出发且它们

构成唯一的测地直线。

证明：由于 M上仅有两个符号相反的 B-函数

() ()BxBxc





，容易证明对，存在由其出

发的两条射线

pM



使得





,BxBxxM



 .

由B-函数的定义易知有









lim, 0

ttsdts



 







. (3.2)

由此式应用 Toponogov 比较定理可以证明(参见[5])



构成一条测地直线。若存在另一条由 p出发的射

线



，由于 M上仅有两个符号相反的 B-函数，故无

妨设 31





，同样有







lim, 0

ttsdts



 







(3.3)

于是同样有 32



构成一条测地直线，所以 13





。引

理得证。

现在过 (0) o





引p



的平行线，记之为 o



。

若M上仅有两个符号相反的B-函数

()BxB

()x c



，由于熟知有











BtB tBp

BtBtBo

 









无妨设 1

() ()BxBxc





，则由上式知只能是









Bx Bx Bxc

 





由引理 3.3知o





，即 M具有平行性。进一步若

12 23





，由以上分析易知有









12 3

BxBxcBxc

 



 

由引理 3.3 知13



。于是得如下的

定理 3.4：设M为完备非紧黎曼流形，若M上仅

有两个符号相反的 B-函数且其曲率有下界，则 M具

有完全平行性质。

4. Busemann函数

引理 4.1[5] ：设 M为完备非紧的黎曼流形，

:[0, )







是正规测地射线，对任意该射线以外

的点 p，





如前所述，则有









,BxBx BpxM



 .

(4.1)

詹华税 | 完备非紧黎曼流形上的射线的平行性

162



现在假定 M为完备非紧具非负曲率黎曼流形, 若

，由文献[12]知道 M具有(不完全)平行性质，

则由(4.1)有

dim 0S

()()( (0))

()((0))((0)),

;

0( (0))((0)),

((0))( )()((0)).

BxBxB

Bx BB

BBxBxB



 













 







现在任意固定一射线



，令 Цγ = {M中所有的射

线



，



与



平行并使得下式成立}







00BB





0 (4.2)

显然，若Цγ是非空集合，那么对 Цγ的



有

 



0,Bx BBxxM

 





即与是 M中的同一个B-函数。 ()Bx



()Bx



当M具有非负曲率时，设 S是其核心。若



与



均由 S出发，由于熟知此时 M上的B-函数是凸函数，

S是M上的全凸全测地子流形，所以任意的 B-函数在

S上均取常数。此时 ((0))((BB



0)) 0







((0)) ((0))BB







，(4.2)式当然成立。

注意到如果





，





，那么由B-函数的定

义易知

 







0,0,

BxBx d

BxBx dxM















 

于是有

定理 4.2：设M为完备非紧具非负曲率的黎曼流

形，若，

dim 0S



与



是M上的任意两条平行射线，

则B



与B



是M上的同一个B-函数。

要注意的是该定理的逆定理不成立。例如中的

旋转抛物面在诱导度量下是只有一个B-函数，但若



与



是由顶点出发的两条不同的射线(子午线)，它们

是不互相平行的.

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