ABSTRACT

In this paper, by using the Schauder fixed point theorem and Banach fixed point theorem, also the related properties of the compact convex subset, the existence, uniqueness; stability and retention property of the C¹ invariant curves of Lyness type difference equations are researched.

Keywords:Lyness Type Difference Equations, Invariant Curves, Existence, Uniqueness, Stability, Retention Property

关于Lyness型差分方程的C¹不变曲线

潘妙巧，陈瑞琪，莫宗赵，潘富格，李叶芷，张颖

岭南师范学院数学与计算科学学院，广东 湛江

收稿日期：2016年5月6日；录用日期：2016年5月20日；发布日期：2016年5月27日

摘 要

本文利用Schauder不动点定理、Banach不动点定理及紧凸子集的相关性质研究了关于Lyness型差分方程的C¹不变曲线的存在性、唯一性、稳定性及保向性。

关键词 :Lyness型差分方程，不变曲线，存在性，唯一性，稳定性，保向性

1. 引言

许多物理、力学、生物以及天文学的数学模型都是离散的迭代过程描述的，动力系统的许多问题都可以化为泛函方程，它具有广泛的现实意义和应用背景，一直受到科学家们的广泛关注。20世纪以来，众多学者已研究若干迭代函数方程的不变曲线问题，比如Wagner，Nabeya，Dhombres在研究某类不变曲线问题时，最终归结到讨论方程

的解。近年来，C. T. Ng和张伟年 [1] 用迭代方程的方法研究了一类二阶具有逐段常数的变时滞泛函微分方程

的不变曲线问题。1999年，李继彬等 [2] 研究了推广的Lyness方程的不变曲线问题，2001年，贺天兰 [3] 研究了一类差分方程的不变曲线分枝，2012年，陈华春等 [4] 研究了一类非线性差分方程的不变曲线。

本文将在他们的基础上，利用嵌入流的相关知识定性研究Lyness型差分方程

(1.1)

的不变曲线问题，将该差分方程连续化，考虑对应的二阶非线性迭代泛函方程

(1.2)

其中

然后利用Schauder不动点定理、Banach不动点定理及紧凸子集的相关性质获得了该差分方程存在唯一的不变曲线的相关条件，并给出了其保向性，进而实例给予验证。

2. 预备知识

本文所涉及的相关的定义以及引理：

定义2.1 [4] ：设实平面上的变换T：

或

而若曲线经变为另一曲线就记为。

若经变到自身，即，则称是的不变曲线，此时，也有，从而得到迭代函数方程

这称为不变曲线的方程。

定义2.2 [5] ：Banach不动点定理（压缩映射原理）设是完备距离空间，是理压缩映射，则有唯一不动点，即存在唯一的使得。

定义2.3 [5] ：Schauder不动点定理:设是巴拿赫空间中的紧凸集，那么到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。

记，显然是一个Banach空间，其中对，，且。

又记，易见是完备的Banach空间，其中对，。

定义2.4 [1] ：如果存在自然数，使得，则称为的周期点。满足这一关系的最小自然数称为的周期，这时

直接称为p-周期点。特别地，当时，，称为的不动点。

引理2.1：假设并且

其中和是正数，则对，则有

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

证明参考文献 [6] 。

引理2.2：在引理2.1的条件下，还有

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

证明：在引理2.1的条件下，有

对，由条件，得

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

3. 主要结果

记

任取，。

定理3.1 (存在性)若存在正的常数满足

(E₁)

(E₂)

则方程有解。

证明：构造算子

且，是连续可微的。

接下来分三步进行证明：

(1) 算子是自同胚的

对，有：

由(E₁)得

又

由(E₂)得。

由上可知算子是一个自同胚映射。

(2)在范数下是连续的

即

令

取，那么就有

(3.11)

由上证得算子在范数下是连续的。

(3) 类似于文献 [6] ，是一个紧凸子集。

综上，由Schauder不动点定理可知，存在一个函数满足

因为是非线性的，所以解也是非线性的，则在上有不变曲面。

亦则差分方程存在不变曲线。

定理3.2 (唯一性)若定理3.1条件(E₁)和(E₂)满足，，同时满足以下条件

(E₃)：

则方程的解唯一的。

证明：由(3.11)可知，且有，则是上的一个压缩映射，又因为是Banach空间的一个闭子集，由Banach不动点定理可知，在内必有唯一的不动点，则不变曲线是唯一的，亦则差分方程存在唯一的不变曲线。

定理3.3 (稳定性)设定理3.2中的条件成立，则在中方程(1.2)的解是连续依赖给定的函数。

证明：对于，由定理3.1及定理3.2可以分别得出存在唯一的函数，证明使得。

有

因为，有

即。

故方程(1.2)的解是连续依赖于给定的函数。

定理3.4 (保向性)设定理3.2中的条件成立，对于任意，若存在，且满足

则且为上保向同胚。

证明：对，令，则有，

令，

由条件有，即，

故且为上保向同胚。

4. 举例应用

[例]设，，，，，，，且是连续函数，且有，，则方程在内有唯一的解，即差分方程在上有唯一的不变曲线。

基金项目

广东省大学生科技创新重点培育项目，编号：pdjh2016a0301；岭南师范学院2015年度大学生创新创业训练计划项目；2015年度广东省大学生创新创业训练计划项目，编号:201510579292。

文章引用

潘妙巧,陈瑞琪,莫宗赵,潘富格,李叶芷,张 颖. 关于Lyness型差分方程的C¹不变曲线
The C¹ Invariant Curve of Lyness Type Difference Equations[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 261-271. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63040

参考文献 (References)