基于优势关系的直觉模糊信息系统的属性约简 Attribute Reductions in Intuitionistic Fuzzy Information Systems Based on Dominance Relations

doi:10.12677/orf.2011.11001

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Operations Research and Fuzziology 运筹与模糊学, 2011, 1, 1-5

http://dx.doi.org/10.12677/orf.2011.11001 Published Online August 2011 (http://www.hanspub.org/journal/orf/)

Attribute Reductions in Intuitionistic Fuzzy Information

Systems Based on Dominance Relations#

Wensheng Du1, Baoqing Hu1*, Ya n Zhao2

1School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan

2Department of Mathematics, College of Information Science and Technology, Jinan University, Guangzhou

Email: wsdu@whu.edu.cn; bqhu@whu.edu.cn

Received: Jun. 21st, 2011; revised: Jul. 20th, 2011; accepted: Jul. 21st, 2011.

Abstract: Many methods based on the rough set theory to deal with information systems have been proposed

in recent years. However, intuitionistic fuzzy information systems have not been investigated yet. In this pa-

per, dominance relations are firstly defined in intuitionistic fuzzy information systems and decision tables,

and then the concepts of attribute reductions and relative reductions are proposed. Practical approaches to

compute all reductions and relative reductions are presented by introducing of discernibility matrix and dis-

cernibility function.

Keywords: Dominance Relations; Attribu te Redu ctions; Intuitionistic Fuzzy Sets; Fuzzy Information

Systems

基于优势关系的直觉模糊信息系统的属性约简#

杜文胜 1，胡宝清 1*，赵彦2

1武汉大学数学与统计学院，武汉

2暨南大学信息科学技术学院数学系，广州

Email: wsdu@whu.edu.cn; bqhu@whu.edu.cn

收稿日期：2011 年6月21 日；修回日期：2011 年7月20 日；录用日期：2011 年7月21 日

摘要：近几年来出现了许多用粗糙集理论处理信息系统的方法，但是对直觉模糊信息系统还没有做

出相关的讨论。本文首先在直觉模糊信息系统与决策信息表中定义了优势关系，然后引入了基于此

优势关系的约简与相对约简的概念，并通过辨识矩阵及辨识函数得到求解约简与相对约简的具体方

法。

关键词：优势关系；属性约简；直觉模糊集；模糊信息系统

1. 引言

从Zadeh 通过元素的隶属度引入模糊集[1]的概念

以后，出现了许多处理不确定和不精确问题的理论和

方法。作为模糊集的拓展，Atanassov 提出了直觉模糊

集[2]，由于它同时考虑了隶属度、非隶属度和犹豫度

这三个方面的信息，因而比 Zadeh 型模糊集在处理模

糊性和不确定性等方面更具灵活性和实用性，并且被

广泛应用于实际问题，如于决策、医疗诊断、逻辑规

划、近似推理、模式识别等领域[3]。

1982 年，Pawlak 教授提出了粗糙集[4]的概念，成

为了一个新的处理模糊和不确定知识的数学工具。近年

来，粗糙集理论已被成功应用于机器学习、数据挖掘、

模式识别等领域。属性约简是粗糙集理论的核心问题之

一，其主要思想在于保持分类能力不变的前提下，通过

属性约简，去掉不必要的属性，使知识表示简化，但又

不丢失基本信息，导出问题的分类或决策规则。

经典粗糙集理论以完备信息系统为研究对象，以

等价关系(不可区分关系)为基础。然而，在实际问题

*：通讯作者。

#基金项目：国家自然科学基金资助项目(61179038，70771081)。

杜文胜等基于优势关系的直觉模糊集信息系统上的属性约简

2 |

中，许多信息系统是基于优势关系的(如产品质量、市

场份额、负债比率等)，这是传统的粗糙集理论不能解

决的。因此 Greco 等提出了基于优势关系的粗糙集理

论(Dominance-based Rough Set Approach，DRSA)[5]，

该理论主要是将条件属性集及决策属性集上的等价关

系替换为优势关系，但仍保持经典粗糙集的基本性质。

张文修等提出了协调集[6-9]的概念，并通过协调集建立

了辨识矩阵，进而引入了判定定理，简化了求解约简

的说理过程。

本文将直觉模糊集理论与基于优势关系的粗糙集

理论相结合，得到了基于优势关系的直觉模糊信息系

统的属性约简，进一步丰富了粗糙集理论。

2. 直觉模糊集的基本概念

传统的模糊集给出了论域中元素的隶属度，而直

觉模糊集不仅给出了论域中元素的隶属度，而且还给

出了非隶属度。

定义 2.1 论域 U上一个直觉模糊集是下列形式的

一个对象

 





xx xxU



，

其中





称为 x属于A的隶属度，





称为 x

不属于 A的隶属度，并且满足关系式





01, x

xU



 。称







1AA



为

x属于 A的犹豫度或不确定度。

直觉模糊集的序关系[10]定义如下：

定义 2.2 (格)为方便说明，记



*,L

L









*121 2

,0,10,10Lxxxx1，我们记

上的关系

如下：



121211 22

,,,

xyyxyxy。

由上定义可知，序关系 *



是上的一个偏序关

系，且



是一个完备格，最大元与最小元分别

为，。



*,L

L



1,0



00,1

L

3. 基于优势关系的直觉模糊信息系统的

属性约简

定义 3.1 称一个四元组



,,,

UATVf为一个

直觉模糊信息系统(Intuitionistic fuzzy information sys-

tems，IFIS)，其中 U为有限非空对象集；AT 为有限

非空属性集；V为属性值值域；f为对象属性值映射。

即：，



,,,

Uxx x





,, ,

aa a

，

，为属性的值域，其中每个元素均为

直觉模糊集。

aAT a



a

V

UAT V



，且



xa V，即

















xa x x



。

若















，则该信息系统退化为一般的

信息系统，这种系统已经在文献[11,12]中得到了讨论。

例3.2 表1为一个直觉模糊信息系统，其中





,,Uxx，





Taaa。

定义 3.3 如果







xa f

ya 成立，我们说 x

关于属性占优于 y，并记做a

y。x关于属性集 A

占优于 y，记做 A

y，若 ,

yaA

。

注：由于



是一个偏序关系， a

y与可

能同时不成立。如，在例3.2 所给出的信息系统中，

yx

12a

x与2

21a

x均不成立。

定义 3.4 设





,,,UATVf 为一个直觉模糊信息系

统，对

AT，记







xy



y为该信息系统

的优势关系，称此信息系统为基于优势关系的信息系

统。类似的，可以定义



xxRy

y。

例3.5(续例 3.2) 可以计算得：



R



(x1,x1),

(x1,x4),(x2,x2),(x2,x3),(x2,x4),(x3,x3),(x3,x4),(x4,x4),(x5,x5),

(x6,x6),(x7,x4),(x7,x7),(x8,x3),(x8,x4),(x8,x8)。



由和

RA



的定义，易知有下面的性质。

性质 3.6 设





,,,

UATV



AaA







f为一个直觉模糊信

息系统，则

(1) ，



AaA









BAAT R

。

(2)若，则，。

RAB





(3)和

R



是非对称相似关系(满足自反性、传递

性)。

定义 3.7 记占优于x的集合为













yUyxyUyxR



 ，

Table 1. Intuitionistic fuzzy information system

表1. 直觉模糊信息系统

U a1 a

2 a3 a4 a

x1 (0.5,0.4) (0.5,0.0) (0.5,0.4) (0.5,0.4) (0.5,0.4)

x2 (0.7,0.0) (0.7,0.1) (0.6,0.1) (0.6,0.2) (0.6,0.1)

x3 (0.6,0.4) (0.4,0.4) (0.6,0.1) (0.4,0.4) (0.4,0.5)

x4 (0.3,0.6) (0.3,0.6) (0.3,0.7) (0.3,0.6) (0.3,0.6)

x5 (0.2,0.0) (0.7,0.0) (0.6,0.1) (0.2,0.2) (0.2,0.7)

x6 (0.5,0.3) (0.5,0.0) (0.6,0.2) (0.2,0.0) (0.6,0.3)

x7 (0.5,0.4) (0.6,0.4) (0.4,0.0) (0.4,0.1) (0.5,0.4)

x8 (0.7,0.2) (0.5,0.2) (0.6,0.0) (0.6,0.0) (0.6,0.1)

杜文胜等 | 基于优势关系的直觉模糊集信息系统上的属性约简

被x所占优的集合为









yUxyyUyxR



 。









AT AT

DxyDyx



不一定成立。

定理 3.13 设





,,,UATVf 为一个直觉模糊信息

系统，则 B是协调集



例3.8(续例3.2) 可以计算得：





，





，





323

AT 8

xxx



, ,, , ,}，对





,AT



，有。



BD xy

412347

{

AT 8

[]

xxxxxx

, 55AT

[] {}

，

[] {}

x

, 77

[] {}

x

, 88

[] {}

x

。

由



和



的定义，易知有下面的性质。

性质 3.9 设



,,,



UATVf为一个直觉模糊信

息系统，

(1)若，则



BAAT





，

 



。

(2)若，则



，且



yx



[]





yxA

















。

若，则



，且









[]

yx A









,,, fyaaA



。

(3)



；





 





fxa

 

 

,,,

yx fxafyaa 

。

(4)





/AA

URx xU









/AA

URx xU







一般不是U的划分，而是U的一个覆盖。

由于



和



的性质是类似的，所以我们以下

仅对



作讨论，读者不难证明对



亦有相应的结

论。

定义 3.10 设为一个直觉模糊信息

系统，若，且



,,,UATVf



BA



，则称 B是在关系

下的协调集，若进一步对任意 b，，

则称 B是直觉模糊信息系统在关系下的约简。若所

有约简的交集非空，则称此交集非空为核。

R

B









下面我们介绍一种求解所有约简的方法。

定义 3.11 设为一个直觉模糊信息

系统，记



,,,UATVf









AT a

Dxy aATxyR



 为在关系



下可辨识 x与y的属性集，矩阵 AT





DxyxyU称为该信息系统的辨识矩阵。

例3.12(续例3.5) 计算表1中的辨识矩阵如表2。

注：对基于优势关系的直觉模糊信息系统来说，

证明："若B是协调集，则"





，因此对



，有

 



。

若





,AT

yR即，则









yx

，因此存

在aB



，使得









，所以。



aD



因此有





BD xy



，



,AT

yR



。



若





,AT

yR，且



BD xy



，则





,Dxy



，并且存在，使得aB





aD x即









，所以





y



。由此可得。

RRB



又显然有，因此

AT B

RR

RR



，即 B是协调

集。证毕。

定义 3.14 设





,,,UATVf





为一个直觉模糊信息

系统，记







xy y ,

U UDx

 ，称为该信息系

统的辨识公式。记









Dxy



 ，称为对

象x的辨识公式。

辨识公式



的极小析取范式可以唯一的确定信息

系统所有的约简。

例3.15(续例3.12)













1131234

aa aaaa



 

1345234

aaaa aaa  



 

312 14

aaa aa  ；











2224 34

aaaaa









23 24

aa aa；











3245124

aaa aaa



 

1245 2345

aaaaaaaa  





152

aa aa



；





41234

aaaa



；







 

51451345

aaa aaaa

aaa



；

Table 2. Discernibility matrix of intuitionistic fuzzy information system in Table 1

表2. 直觉模糊信息系统的辨识矩阵

U x1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

6 x

7 x

x1 AT a1, a3 a1,a2,a3,a4 a1,a3,a4,a5 a2,a3,a4 a1,a3,a4,a5

x2 a2 a2 a2,a4 a3,a4 a3,a4

x3 a2,a4,a5 AT a1,a2,a4 a2,a3,a4,a5 AT

x4 AT AT AT a1,a2,a3,a4 AT AT AT

x5 a1,a4,a5 a1,a4,a5 a1,a4,a5 a1,a4,a5 a1,a4,a5 a1,a3,a4,a5 a1,a3,a4,a5

x6 a4 AT a1,a3,a4 a4 a1,a2,a3 a2,a3,a4 a1,a3,a4,a5

x7 a2,a3,a4 AT a1,a3 a1,a2,a3 AT AT

x8 a2 a1,a2 a1,a2 a2 a2

杜文胜等基于优势关系的直觉模糊集信息系统上的属性约简

4 |



64134 123

aaaa aaa







234 1345

aaaaaaa



4123

aaaa ；

 



 

7234 13 123

aaa aaaaa  



12 14

aaaaa 

；



82122

aaaa；

 



124 234xU

aaa aaa



。

因此该信息系统所有的约简为和

，核为。

aaa



aaa 24

,aa

4. 基于优势关系的直觉模糊决策信息系统

的相对约简

定义 4.1 设



,,,

UAT dVf



为一个直觉模糊

决策信息系统，其中 AT 为条件属性集，d为决策属性，

且，

ATd 

xd 为单值的有序实值。记

 



,, ,dxfdy AT







Rxyf

，若，则称该

决策信息系统为一致的，否则称为不一致的。



限于篇幅我们本文仅讨论一致直觉模糊决策信息

系统，对于不一致决策信息系统的情形，我们将另文

发表。

定义 4.2. 设



,,,

UAT dVf

若BA且

为一致直觉模

糊决策信息系统， T，



，则称 B

是该决策信息系统的协调集，若进一步对任意

R





，

，则称 B是决策信息系统的一个相对约简。





R





例4.3 如表3所示，



为一个直觉

模糊决策信息系统，且易知，因此该决策信

息系统为一个一致直觉模糊决策信息系统。

,,,UAT dVf

AT d





定义 4.4 设为一致直觉模糊决

策系统，记



,,,UAT dVf

 





,, ,

aATxy Rxy R

Dxy





 









为可辨识 x与y的属性集，矩阵







DxyxyU

D



称为该决策信息系统的辨

识矩阵。

例4.5 (续例 4.3)计算表 3的辨识矩阵，如表4所示。

定理 4.6 设为一致直觉模糊决

策系统，则B是协调集



,,,UAT dVf







，有。



BD xy

证明：若""

RR



，则对





，有







。

因此存在 aB



，使得







，所以





aD x。

因此有





BD xy



，



,AT



。



若







，且



BD xy



，则





Dxy



，因此存在，使得aB





aD x即









，所以







。由此可得



R



。证

毕。

定义 4.7 设





,,,UAT dVf



,xy U U



 

为一致直觉模糊决

策信息系统，记，称为该

决策信息系统的辨识公式。记





Dxy















ATyU

Dxy



 ，称为对象 x的辨识公式。

辨识公式



的极小析取范式可以唯一确定决策信

息系统所有的相对约简。

例4.8(续例4.5) 计算表 3中的相对约简。



 

1345 145

aaaaaaa a













234 2345

aaaaaaa a



。

由此可知，此决策信息系统只有一个相对约简

。

5. 结束语

粗糙集理论是被实践证明了的一种处理分类和决

策问题的有效方法。然而，在实际问题中，许多信息

Table 3. Consistent intuitionistic fuzzy decision table

表3. 一致直觉模糊决策信息系统

1 a

2 a

3 a

4 a

5 d

x1(0.5,0.4)(0.5,0.0)(0.5,0.4) (0.5,0.4) (0.5,0.4)2

x2(0.7,0.0)(0.7,0.1)(0.6,0.1) (0.6,0.2) (0.6,0.1)3

x3(0.6,0.4)(0.4,0.4)(0.6,0.1) (0.4,0.4) (0.4,0.5)2

x4(0.3,0.6)(0.3,0.6)(0.3,0.7) (0.3,0.6) (0.3,0.6)1

x5(0.2,0.0)(0.7,0.0)(0.6,0.1) (0.2,0.2) (0.2,0.7)1

x6(0.5,0.3)(0.5,0.0)(0.6,0.2) (0.2,0.0) (0.6,0.3)1

x7(0.5,0.4)(0.6,0.4)(0.4,0.0) (0.4,0.1) (0.5,0.4)2

x8(0.7,0.2)(0.5,0.2)(0.6,0.0) (0.6,0.0) (0.6,0.1)3

Table 4. Discernibility matrix of decision table in Table 3

表4. 一致直觉模糊决策信息系统的辨识矩阵

1 x

2 x

3 x

7 x

x1 AT a1,a3,a4,a5

x3 AT AT

x4AT AT AT AT AT

x5a1,a4,a5 a1,a4,a5 a1,a4,a5 a1,a3,a4,a5 a1,a3,a4,a5

x6a4 AT a1,a3,a4 a2,a3,a4 a1,a3,a4,a5

x7 AT AT

杜文胜等基于优势关系的直觉模糊集信息系统上的属性约简5

系统是基于优势关系的，因此Greco 等提出了基于优

势关系的粗糙集理论。本文讨论了基于优势关系的直

觉模糊信息系统的属性约简及决策信息系统的相对约

简，进一步拓展了基于优势关系的粗糙集理论的研究

对象。

6. 致谢

本文得到国家自然科学基金(61179038，70771081)

资助。

参考文献 (References)

[1] L. A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 1965, 8(3):

338-353.

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