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Finance
金融
, 2011, 1, 1-6
http://dx.doi.org/10.12677/fin.2011.11001
Published Online April 2011 (http
://www.hanspub.org/journal/fin/)
Copyright © 2011 Hanspub
FIN
1
Optimal Consumption and Investment for an
Entrepreneur
*
Jinqiang Ya ng, Zhaojun Ya ng
School of Finance and Statistics, Hunan University, Changsha
Email:zjyang@hnu.edu.cn
Received: Mar. 1st, 2011; revised: Mar. 12th, 2011; accepted: Mar. 16th, 2011.
Abstract:
This paper considers an optimal investment problem for a risk-averse entrepreneur facing stochas-
tic demands to maximize the expectation of total consumption utility through consumption and business in-
vestment with costly reversibility. Utilizing dynamic stochastic control, we derive semi-closed-form solutions
for the average value and marginal value of the cap
ital and the corresponding optimal consumption and in-
vestment strategies in a non-risk-neutral world. The numeric results show that the risk attitude of the entre-
preneur has a significant effect on the value of the capital and the optimal consumption strategy and invest-
ment decision.
Keywords:
Dynamic Optimization; Risk Aversion; Consumption Utility-Based Indifference Pricing
创业企业家的最优消费与投资
*
杨金强,杨招军
湖南大学金融与统计学院,长沙
Email:zjyang@hnu.edu.cn
收稿日期:
2011
年
3
月
1
日;修回日期:
2011
年
3
月
12
日;录用日期:
2011
年
3
月
16
日
摘 要:
本文考虑一个面临随机需求风险的创业企 业家,如何通过消 费平滑策略与动态调整企业 规模,
实现效用最大化的公司金融问题。运用动态随机控制方法,得到了风险厌恶下 企业资本的平均价值与边
际价值的半闭式解及相应的最优消费 与投资策略。数值结果表明,创 业企业家的风险态度对企业 资本的
边际价值与平均价值以及相应的最优 消费与投资决策具 有显著的影响。
关键词:
动态优化;风险厌恶;消费效用无差别定价
1.
引言
经济波动导致的市场需求风险往往会引起实体
企业价值的巨大波动,怎样通过战略调整企业资本存
量来控制企业规模进行产出优化与企业资本资产定
价一直是公司金融的一个经典和热门的话题,其开创
性工作始于
Jorgenson(1963)
的无摩擦可逆动态投资理
论的研究
[1]
,他得到了“最优投资使 得资本 的边际 价
值等于资本的边际成本”这一经典的经济学结论。随
后引起广大学者对动态公司金融理论的极大研究热
情,并以此为基础进行了多元化扩展,如
Eisner and
Strotz(1963)
、
Rothschild (1971)
和
Nickell(1978)
分别对
具比例成本和固定成本的资本规模调整问题的研究
[2-4]
,
Tobin(1969)
提出的公司资产定价
Q
理论
[5]
,随 后
Mussa(1977)
和
Abel(1983,1994)
分别就确定性模型及
随机模型进行了进一步探讨
[6-8]
,
Abel and Eberly(1996)
和
Guo
,
Miao and Morellec(2005)
研究了不确定需求下
的部分可逆和不可逆投资问题
[9,10]
,
Abel and
Eberly(1999)
和
Le and Jones(2004)
对不确定市场需求
下的动态随机均衡资产定价问题进行了实证分析
[1,11]
。
上述研究都是基于风险中性下的定价,本质上沿
袭了经典的“金融资产定价等于现金流贴现和”的理
论,因而忽视了投资者的风险态度在资产定价中的决
*
国家自然科学基金项目
(70971037)
资助;教育部博士点基金课题
(20100161110022)
资助;湖南省研究生科研创新项目
(CX2009B064)
资助;国家留学基金委员会项目
“
留金出
[2009]3012
号
”
资助
。
创业企业家的最优消费与投资
2
p
t
t
X
定作用。应该承认,风险中性假设便于模型计算且具
有一定的合理性:例如,在完备市场下,利用
Arrow-Debreu
的分离原理可将创业企业家的最优化
问题分解成先财富最大化后效用最大化的问题,这表
明,完备市场下创业企业家的风险态度对最优消费投
资与企业资本的价值没有任何影响。
然而,市场往往是不完备的(即存在不可对冲的
风险)
。例如,对于中小型未上市企业的权 益拥有者
(创业企业家)来说,往往面临着不可对冲的随机需
求风险(经济繁荣导致市场需求增加,经济萧条促使
市场需求减小,而繁荣和萧条是随机发生的,其风险
不可对冲)。
现在已经普遍知道,在非完备市场条件下,投资
者的风险态度对于项目评估和资产定价具有重要的
影响,始终坚持在风险中性条件下讨论投资定价问题
显然是不科学的,更何况经济理论表明:风险中性并
不具有经济学的合理性,相反,创业企业家(投资者)
往往是厌恶风险的。因此,基于效用(风险态度)的
消费投资定价理论得到迅速发展:如
Henderson( 2007)
、
Miao and Wang(2007)
、
Ewald and
Yang(2008)
及
Chen
,
Miao and Wang(2010)
采用实物期
权分析方法研究了基于消费效用最大化目标下的企
业最优投融资问题
[12-15]
。胡援成和姜光明
(2006)
得到
了创业企业家效用最大化下的最优资本结构
[16]
,叶文
忠、杨招军和郑毅
(2010)
给出了抵押贷款证券的效用
无差别定价
[13]
。
本文的创新体现在:针对上述经典公司金融模型
的“风险中性假设”的缺陷,研究创业企业家在非完
备市场下通过平滑消费、控制实业投资规模来最大化
无限期内消费效用的经营决策问题,通过与风险中性
下的经典结果进行对比分析,发现风险态度对企业资
本的平均价值与边际价值以及最优控制策略都具有
显著影响。
本文其余部分安排如下:第二章为经济建模,分
别对实业投资、消费及财富动态和创业企业家的目标
函数进行详细刻画。第三章探索模型的求解方法,给
出了解的最优性条件及在
CARA(Constant Absolute
Risk Aversion)
消费效用函数条件下模型的具体解,且
用两个定理分别总结了风险厌恶和风险中性下的主
要理论结果。第四章利用数值计算分析了风险
(厌恶)
态度对企业资产价值和最优经营策略的影响。第五章
对本文进行总结。附录给出了本文两个定理的推导细
节。
2.
经济建模
2.1.
实业投资
假设创业企业家拥有企业的全部权益,企业的纯
收入
取决于当前时刻
t
的固定资本存量
K
和市场
需求,它满足
1
:
1
π
(, )
1
tt tt
h
KXXK
(1)
01
其中,
为柯布–道格拉斯生产系数,
h
为资
产创造价值的能力系数。假设市场需求是纯外生的,
服从如下的几何布朗运动:
d
dd
t
x
x
xt
t
X
tZ
X
x
(2)
其中
与
x
是常量,分别表示市场需求的增长率与波
动率,
x
t
Z
为标准的布朗运动。
创业企业家根据市场需求现状,可以通过买卖资
本资产而动态调整企业规模:例如,经济繁荣市场需
求增加时,创业企业家会买入资本资产扩大企业规
模;相反,当经济萧条市场需求减小时,创业企业家
会卖出资本资产减小企业规模。假设单位资本资产的
买入价格为、卖出价格为
p
s
。因一般存在市场摩擦
(如流动性,交易成本等),故假设
p
s
≤
p
b
,这时称
投资是有成本可逆的。特别地,若
p
s =
p
b
,则意味着
市场上没有摩擦,这时称投资是(完全)可逆的。例
如,与此相对,在实物期权理论中,投入的沉没成本
(sunk costs)
假设为完全不可逆投资。
b
p
dddd
ttt t
定义
B
t
和
S
t
分别为从
0
时刻到
t
时刻累积买入的
资本量与累积卖出的资本量,显然
B
t
与
S
t
是时间的非
递减函数。进一步假设资本的折旧率为
(
δ
≥ 0
)
,企
业资本存量
(
K
t
)
的动态过程为:
K
BS Kt
t
()
t
(3)
2.2.
消费及财富动态
1
柯布
-
道格拉斯生产函数在经济学及公司金融中有着广泛的应用,
见
Abel and Eberly(1996)
,
Hartman and Hendrickson(2002)
,
Guo and
Miao and Morellec(2005)
[9,17,10]
。
创业企业家通过消费获得效用,定义
C
、
UC
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FIN
Optimal Consumption and Investment for an Entrepreneur
3
W
d d
ttttt btst
pBpS
t
d
B
t
()
( )d
ru t
tu
分别为
t
时刻的消费及消费效用。于是,创业企业家
的流动性财富过程 满足如下动态过程:
t
ddd
π
(, )d
WtCt KXt
Wr
t
(,
(4)
其中右侧第一项无风险资产的收益,第二项表示消费支
出,第三项是企业的营业收入,而第四项对应买入资本
的成本支出,第五项是卖出资本的收入。
2.3.
创业企业家的目标
创业企业家作为一个未上市公司的私人权益所
有者从事企业的经营管理工作,他的目标是根据当前
的企业资本存量、随机需求以及自身的流动性财富水
平,通过选取最优消费策略
C
、动态调整企业规模
(与
dS
),最大化如下无限期内期望消费总效用
(值函数)
2
。
,,
,)max Ee
uuu
t
Cd
BdS
J
KXW
UC u
K
(5)
3.
模型求解
3.1.
最优性条件
直觉上,由于市场存在摩擦,市场需求的瞬时增
加或减小并不一定导致创业企业家实时买入或者卖
出资本来扩大或缩小企业规模(见
Abel and Eberly
(1996)
[5]
),他会根据企业当前的资本存量 与流动
性财富水平
W
做出最优选择。所以当
s
b
pp
(, )
b
时,只
有当市场需求高于某一上边界
X
KW
)
s
时创业企业
家才会买入资本,当市场需求低于某一下边界
(,
X
KW
时创业企业家才会卖出资本。因此利用标准
的动态最优控制原理,当
(, )
s
b
X
XX
2
时可得值函数
满足下面
Ha
milton-Jacobi-Bellman(HJB)
方程:
V
22
2
x
X XX
X
J
max
π
K
C
Wx
U CKJ
WC JXJ
rJ
(6)
上式很像资产定价公式,表示值函数的回报率(左
侧)等于瞬时消费效用(右侧第一项)与其他各状态变
量总的期望改变率(右侧其它项)。由最优消费策略
C
一阶优化条件,可得:
CW
UC J
(, )
b
(7)
(7)
式表示最优策略应使得边际消费效用等于财富的
边际效用。
下面我们来分析值函数的边界条件。首先考虑上
边界问题,即对于当前的需求一旦超过
X
XKW
创业企业家需要立刻买入资本
K
使得
X
(,)
b
XK KW
,买入资本前后应该满足价值函
数匹配条件
(value-matching condition)
:
(8)
J
,,,,
b
KXWJ KKXWpK
(, )
b
因为创业企
业家可以及时调整企业规模,即当
X
XKW
0
K
时,有
。利用泰勒展开式,不
难得到
,, ,,
Kb bWb
J
KX WpJKX W
(9)
同时买入资本前后还应该满足价值函数的平滑粘性
条件
(smooth-pasting condition)
:
J
,,,,
b
KXWJ KKXWpK
K
K
于是有
J
,, ,,
KK bbWK b
KX WpJKX W
(10)
利用同样的分析可得其下边界的价值函数匹配条
件与平滑粘性条件:
J
,, ,,
Ks sWs
KX WpJKX W
(11)
J
,, ,,
KKss WKs
KX WpJKX W
(12)
3.2. CARA
效用函数下模型的解
一般来说,
CRRA(Constant Relative Risk Aversion)
族效用函数比较受经济学欢迎,但在分析多维变量的
经济学问题时,
CARA(Constant Absolute Risk Aver-
sion)
族效用函数在降维方面具有显著优势
3
。本文为
简化问题而又不失突出本文的研究主旨,我们采用
CARA
效用,即指数类效用函数
e1
C
UC
(13)
其
中参数
表示创业企业家的风险厌恶系数。通过猜
测–验证的方法
4
,可得价值函数有如下形式:
2
为叙述方便,以下有时会省略相应的状态变量,如
X
,
e1
,,
rWVKX
JKXW
r
(14)
( ,
ss
),( ,),
bb
XKWX XKW
(,, )
J
及
JKXW
等。
3
见
Miao and Wang(2007)
及
Wang, Wang and Yang(2010)
采用
CRRA
效用函数分析流动性财富水平对企业价值的影响
[13,18]
。
4
见
Miao and Wang(2007)
[13]
。
5
见
Yang and Yang (2010)
及
Miao and Wang(2007)
[19,13]
。
Cop
yright © 2011 Hanspub
FIN
创业企业家的最优消费与投资
FIN
4
(, )
X
0
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其中,
VK
是企业的资本价值,实际上它也可以
解释为企业消费效用无差别价值
5
或者是企业的确定
性等价财富
(certainty equivalent wealth)
。我们可以用
下面的
2
个定理来总结本文的主要结论(定理
1
的推
导细节见附录,定理
2
总结了
Abel and Eberly(1996)
的结果
[9]
)。
定理
1
如果创业企业家是风险厌恶(
) ()
QxK
/
)的,那么
对他来说企业的资本价值 ,其中
(,
VKX
x
XK
()
为市场需求-资本存量比,
Qx
为企业资本
的平均价值且满足下面的自由边界非线性常微分方
程
(ODE)
:
22
2
22
xx
xQx
x
Qx
22
1
x
h
rQx x
xr
Qx
(15)
且具有如下边界条件:
bbb
sss
QxxQxp
QxxQ xp
, 0,
, 0.
b b
s s
Q x
Q x
QxxQx
(16)
企业资本的边际价值为:
qx
(17)
创业企业家的最优消费策略分别为
(,)
WVKX
b
Cr
(18)
创业企业家的最优动态调整企业资本的策略为:当
x
x
b
时创业企业家买入资本使得
x
x
b
,当
x
x
时
创业企业家卖出资本使得
s
x
x
。而当
s
b
x
xx
0
企
业规模保持不变。
定理
2
如果创业企业家是风险中性(
Qx
()
qx
)的。则企
业资本的平均价值与边际价值 分别为
:
()
11
1
1
s
s
bb
s
s
bb
Gx x
Gx x
ss
HH
Qx x
H
(19)
1
s
s
bb
s
s
b
Gx x
Gx x
s
H
qx Hx
H
(20)
其中
2
22 2
2
228
2
,
,
b
bs
s
b
x
xxx x
x
sb
sb
b
s
r
h
H
r
xGG
GG
x
GG
01
(21)
且
s
b
G
。
是下面的方程的解
1
0
b
s
p
FG GFG
p
(22)
其中
11
sb
H
FGG G
h
(23)
且最优资本买卖边界为:
11
11
,
() ()
bs
bs
pp
xx
hF GhF G
现在我们对以上结果进行简单的分析:首先
(15)
式中的最后一项
2
22
2
x
rxQx
直接体现了非风险
中性定价对企业资本平均价值的影响作用。在非风险
中性条件下,风险厌恶系数
2
或者非系统风险
x
越
大,企业的资本价值越小。
(16)
式则体现了
Jorgenson
(1963)
的“最优投资使得资本的边际价值等于资本的
边际成本”这一经济学结论
[20]
。
(18)
式为最优消费策
略,该式表明最优消费恰好为创业企业家的所有财富
产生的无风险“利息收入”,这些财富包括流动性 财
富
W
和企业的资本价值
V
。
(19)
式则表明企业价值具
有期权的特性,即市场需求较小时创业企业家有以固
定价格卖出资本的权利,其相应的期权价值为
0
1
ss
s
ss
H
Gx x
,
当市场需求较大时他
有以固定价格买入资本的权利其相应的期权价值为
10
1
bb
s
bb
H
Gx x
。
4.
数值结果分析
4.1.
参数选择
在本文的数值分析中,我们参考了经典论文的参
Optimal Consumption and Investment for an Entrepreneur
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FIN
5
Figure 1. Effect of risk aversion on the value of firm captial and investment decision
图
1.
风险厌恶态度对企业资本的价值及投资决策的影响
数选择,假设基本的模型参数为:①
0.06, 0.04
r
,
(见
Veracierto (1998)
[22]
);②
0.431
0.02,
x
0.1,
x
=0.06
h
x
b
x
(见
Abel and Eberly (1999)
[11]
)。
4.2.
结果分析
图
1
中的红色虚线给出了风险中性下结果,可以
发现企业资本的平均价值和边际价值随
x
的增大而增
大。这与经济学直观一致:
x
小则意味着市场低迷,
则企业价值低,而 大则意味着市场繁荣,则企业价
值高。
而蓝色实线与黑色点线给出了风险厌恶下的企
业资本价值。可发现风险厌恶系数的增加减少了企业
资本的平均价值,增加企业资本的边际价值,且
x
越
大影响越大,显著地减小了资本买入的边界值
x
。这
是符合经济直观的,因为创业企业家越厌恶风险,对
特定的随机收益流的定价就会越低,为规避风险,他
就会提前买入资本,通过扩大企业规模变相地来减小
需求的波动。而风险厌恶系数对资本卖出的边界影响
不大,因为 很小时意味企业收入的绝对波动率就很
小,
因此风险态度对企业价值和创业企业家的决策影
响都很小。
5.
结论
本文假设一个拥有企业全部权益的创业企业家
面临着随机需求风险,他通过最优消费和调整企业规
模来最大化无限期内的消费效用。运用随机最优控制
方法与消费效用无差别定价准则,得到了企业资本的
平均价值与边际价值以及最优消费策略和投资决策,
同时与经典的
Abel and Eberly(1996)
结果进行比较分
析发现
[9]
:风险厌恶系数的增加显著减少了企业资本
的平均价值增加了企业的边际价值,且推迟扩大实业
投资规模的时机。
总体来说,与现有理论方法相比,本文考虑理性
创业企业家厌恶风险的事实,对企业资本资产给出了
更为科学的价值评估,基于这种定价机制的最优经营
策略,从而为预防经济金融危机与规避市场需求风险
提供了更加有效的理论依据及具体操作方案。
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1999, 44(3): 339-377.
附录
定理
1
的推导过程:
通过猜测–验证的方法可得值函数的形式为
(,)
e1
,,
rWV KX
JKXW
r
,
CrWVKX
分别把它代入
(6)
、
(7)
并整理可得:
22 22
2
π
(,)
22
K
xX
xx
XX X
rVK XKVXV
XrX
VV
/
x
XK
(, )()
QxK
,
VKX
,代入上式可得
令
2222
2
()
1
22
x
xx
h
rQxxxQx
xrx
Qx Qx
(, )()
QxK
将
VKX
代入
(9)-(12)
可得
,
bbb bssss
QxxQxpQxxQ xp
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FIN