中心对称矩阵的广义中心对称{1, 4}逆的迭代算法 Iterative Algorithm for Generalized Centrosymmetric {1, 4} Inverse of Centrosymmetric Matrix

doi:10.12677/AAM.2021.104112

Advances in Applied Mathematics
Vol. 10 No. 04 ( 2021 ), Article ID: 41740 , 7 pages
10.12677/AAM.2021.104112

中心对称矩阵的广义中心对称{1, 4}逆的迭代算法

陈世军

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阳光学院基础教研部，福建福州

收稿日期：2021年3月19日；录用日期：2021年4月6日；发布日期：2021年4月22日

摘要

广义逆在矩阵理论分析中有着重要的作用。文中讨论了中心对称矩阵A的广义中心对称{1, 4}逆的一种迭代算法，首先将广义{1, 4}逆转化为单变量线性矩阵方程组，然后建立求线性矩阵方阵组中心对称{1, 4}逆的修正共轭梯度算法(MCG算法)，证明了MCG算法的收敛性。数值算例表明，该算法具有很高的计算效率。

关键词

广义{1, 4}逆，中心对称解，修正共轭梯度算法，Moore-Penrose

Iterative Algorithm for Generalized Centrosymmetric {1, 4} Inverse of Centrosymmetric Matrix

Shijun Chen

Department of Basic Teaching and Research, Yango University, Fuzhou Fujian

Received: Mar. 19^th, 2021; accepted: Apr. 6^th, 2021; published: Apr. 22^nd, 2021

ABSTRACT

Generalized inverses play an important role in the analysis of matrix theory. In this paper, an iterative algorithm for generalized centrosymmetric {1, 4} inverse of centrosymmetric matrix is discussed. Firstly, the generalized {1, 4} inverse is transformed into a system of univariate linear matrix equations. Then, a modified conjugate gradient algorithm (MCG algorithm) is established for solving centrosymmetric {1, 4} inverses of linear matrices. The convergence of MCG algorithm is proved. Numerical examples show that the algorithm has high computational efficiency.

Keywords:Generalized {1, 4} Inverse, Centrosymmetric Solution, Modified Conjugate Gradient Algorithm, Moore-Penrose

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

E. H. Moore在1920年首次提出了广义逆矩阵的概念，R. Penrose明确给出了Moore广义逆矩阵定义，广义逆矩阵的研究进入了全新的时期。伴随计算科学的发展，广义逆矩阵在数理统计、系统理论、优化计算和控制论领域应用逐渐为人们所认识，因而大大推动了对广义逆的理论与应用的研究，使得广义逆理论得到迅速发展 [1] - [9]，刘红伟在文 [1] 中提出一种新算法求广义逆，该算法在某种条件下运算速度优于奇异值分解求广义逆算法；郭志荣在文 [2] 中从纯代数角度研究了代数广义逆的可加性与广义逆表示问题；梁少辉在文 [3] 中讨论了Quantale矩阵M-P广义逆的若干性质，给出了Quantale矩阵M-P广义逆的具体形式；柯圆圆在文 [4] 中给出环上(b, c)可逆元的一些等价刻画，并考虑环上2 × 2矩阵的(B, C)逆的存在性和表达式；欧阳光在文 [5] 中讨论了广义逆矩阵及其性质且给出加号逆矩阵的一种切实可用的计算方法。MCG算法不同于通常的共轭梯度算法，它不要求系数矩阵正定、可逆或者列满秩，因此总是可行的。本文讨论实中心对称矩阵Moore-Penrose广义中心对称{1, 4}逆问题，将Moore-Penrose广义中心对称{1, 4}逆问题转换为求单变量线性矩阵方程组的中心对称解，然后建立MCG算法求线性矩阵方程组的中心对称解。

2. 问题提出

定义1 设n阶单位矩阵 $I = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})$ ，称n矩阵 $S_{n} = (e_{n}, e_{n - 1}, \dots, e_{1})$ 为次单位矩阵。

若矩阵 $X \in R^{n \times n}$ 满足 $S_{n} X S_{n} = X$ ，称 $X$ 为中心对称矩阵，用 $C S R^{n \times n}$ 表示中心对称矩阵集合。

定义2 设 $A \in R^{m \times n}$ ，若 $X \in R^{n \times m}$ 满足

$A X A = A$ , ${(X A)}^{T} = X A$ (1)

则称 $X$ 为 $A$ 的一个{1, 4}逆，记为 $A^{(1, 4)}$ 。特别地，若 $A \in C S R^{n \times n}$ ，且 $S_{n} X S_{n} = X$ ，则称 $X$ 为中心对称矩阵 $A$ 的一个中心对称{1, 4}逆。根据广义逆矩阵的性质，矩阵的{1, 4}逆不是唯一的。

令

$A_{1} = B_{1} = F_{1} = A$ , $C_{1} = O_{m \times m}$ , $D_{1} = O_{n \times n}$ ,

$A_{2} = I_{n}$ , $B_{2} = A$ , $C_{2} = - A^{T}$ , $D_{2} = I_{m}$ , $F_{2} = O_{m \times m}$ ,

则(1)式可以改为

${\begin{cases} A_{1} X B_{1} + C_{1} X^{T} D_{1} = F_{1} \\ A_{2} X B_{2} + C_{2} X^{T} D_{2} = F_{2} \end{cases}$ (2)

问题的提出：任意给出中心对称矩阵 $A$ ，求方程组(2)的中心对称解 $X$ 和 $X^{T}$ ，则 $A$ 的中心对称广义{1, 4}逆就是矩阵 $X$ 。

本文通过建立求线性矩阵方程组(2)中心对称解的MCG算法，给出了MCG算法的性质证明该算法是收敛的，给出了算法收敛性定理。最后给出了算例，验证了MCG算法求中心对称矩阵 $A$ 的中心对称{1, 4}逆是有效的。

3. 建立求矩阵方程组(2)中心对称解的MCG算法

结合共轭梯度算法原理以及中心对称矩阵的特点，建立求矩阵方程组(2)的MCG算法如下：

第1步：任意给定初始矩阵 $X_{1} \in C S R^{n \times n}$ ，置 $k : = 1$ ，计算

$R_{k}^{(i)} = F_{i} - A_{i} X_{k} B_{i} - C_{i} X_{k}^{T} D_{i} (i = 1, 2)$ , $R_{k} = (\begin{matrix} R_{k}^{(1)} \\ R_{k}^{(2)} \end{matrix})$ ,

${\tilde{R}}_{k} = \sum_{i = 1}^{2} (A_{i}^{T} R_{k}^{(i)} B_{i}^{T} + D_{i} {(R_{k}^{(i)})}^{T} C_{i})$ , $P_{k} = \frac{1}{2} ({\tilde{R}}_{k} + S {\tilde{R}}_{k} S)$

第2步：若 $R_{k}^{(1)}$ 与 $R_{k}^{(2)}$ 均为零矩阵，停止计算；否则，计算

$α_{k} = \frac{{‖ R_{k} ‖}^{2}}{{‖ P_{k} ‖}^{2}}$ , $X_{k + 1} = X_{k} + α_{k} P_{k}$

第3步：计算

$R_{k + 1}^{(i)} = F_{i} - A_{i} X_{k + 1} B_{i} - C_{i} X_{k + 1}^{T} D_{i} (i = 1, 2)$ ,

${\tilde{R}}_{k + 1} = \sum_{i = 1}^{2} (A_{i}^{T} R_{k + 1}^{(i)} B_{i}^{T} + D_{i} {(R_{k + 1}^{(i)})}^{T} C_{i})$ ,

$β_{k + 1} = \frac{{‖ R_{k + 1} ‖}^{2}}{{‖ R_{k} ‖}^{2}}$ , $P_{k + 1} = \frac{1}{2} ({\tilde{R}}_{k + 1} + S {\tilde{R}}_{k + 1} S) + β_{k + 1} P_{k}$

易见，MCG算法中的矩阵 $X_{k}, P_{k} \in C S R^{n \times n}$ ，下面给出MCG算法的基本性质，证明MCG算法在有限步计算之后停止。

性质1 MCG算法中的矩阵 $R_{i}$ ， $P_{i}$ ， ${\tilde{R}}_{i}$ 满足

$t r (R_{i + 1}^{T} R_{j}) = t r (R_{i}^{T} R_{j}) - β_{j - 1} t r (P_{i}^{T} {\tilde{R}}_{j})$

证明由MCG算法可得

$\begin{matrix} t r (R_{i + 1}^{T} R_{j}) = t r ({(\begin{matrix} R_{i + 1}^{(1)} \\ R_{i + 1}^{(2)} \end{matrix})}^{T} R_{j}) \\ = t r ({(\begin{matrix} F_{1} - A_{1} X_{i + 1} B_{1} - C_{1} X_{i + 1}^{T} D_{1} \\ F_{2} - A_{2} X_{i + 1} B_{2} - C_{2} X_{i + 1}^{T} D_{2} \end{matrix})}^{T} R_{j}) \\ = t r ({(\begin{matrix} R_{i}^{(1)} - α_{i} (A_{1} P_{i} B_{1} + C_{1} P_{i}^{T} D_{1}) \\ R_{i}^{(2)} - α_{i} (A_{2} P_{i} B_{2} + C_{2} P_{i}^{T} D_{2}) \end{matrix})}^{T} R_{j}) \\ = t r (R_{i}^{T} R_{j}) - α_{i} t r ({(\begin{matrix} A_{1} P_{i} B_{1} + C_{1} P_{i}^{T} D_{1} \\ A_{2} P_{i} B_{2} + C_{2} P_{i}^{T} D_{2} \end{matrix})}^{T} R_{j}) \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = t r (R_{i}^{T} R_{j}) - α_{i} t r ({(\begin{matrix} A_{1} P_{i} B_{1} + C_{1} P_{i}^{T} D_{1} \\ A_{2} P_{i} B_{2} + C_{2} P_{i}^{T} D_{2} \end{matrix})}^{T} (\begin{matrix} R_{j}^{(1)} \\ R_{j}^{(2)} \end{matrix})) \\ = t r (R_{i}^{T} R_{j}) - α_{i} t r (\sum_{k = 1}^{2} (B_{k}^{T} P_{i}^{T} A_{k} + D_{k}^{T} P_{i} C_{k}^{T}) R_{j}^{(k)}) \\ = t r (R_{i}^{T} R_{j}) - α_{i} t r (\sum_{k = 1}^{2} (P_{i}^{T} A_{k}^{T} R_{j}^{(k)} B_{k} + P_{i} C_{k}^{T} {(R_{j}^{(k)})}^{T} D_{k}^{T})) \\ = t r (R_{i}^{T} R_{j}) - α_{i} t r (P_{i}^{T} {\tilde{R}}_{j}) \end{array}$

性质2 当 $k \geq 2$ 时，对于MCG算法中的矩阵 $R_{i}$ ， $P_{i}$ 和 ${\tilde{R}}_{i}$ ，有

$t r (R_{i}^{T} R_{j}) = 0$ , $t r (P_{i}^{T} P_{j}) = 0$ , $(i \neq j, i, j = 1, 2, 3, \dots, k)$ (3)

证明采用数学归纳法，对于 $k = 2$ ，由性质1可知，

$\begin{matrix} t r (R_{2}^{T} R_{1}) = t r (R_{1}^{T} R_{1}) - \frac{{‖ R_{1} ‖}^{2}}{{‖ P_{1} ‖}^{2}} t r (P_{1}^{T} {\tilde{R}}_{1}) \\ = {‖ R_{1} ‖}^{2} - \frac{{‖ R_{1} ‖}^{2}}{{‖ P_{1} ‖}^{2}} t r (P_{1}^{T} \frac{{\tilde{R}}_{1} + S {\tilde{R}}_{1} S}{2}) \\ = {‖ R_{1} ‖}^{2} - \frac{{‖ R_{1} ‖}^{2}}{{‖ P_{1} ‖}^{2}} t r (P_{1}^{T} P_{1}) = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} t r (P_{2}^{T} P_{1}) = t r ({(\frac{{\tilde{R}}_{2} + S {\tilde{R}}_{2} S}{2} + \frac{{‖ R_{2} ‖}^{2}}{{‖ R_{1} ‖}^{2}} P_{1})}^{T} P_{1}) = t r (\frac{{\tilde{R}}_{2} + S {\tilde{R}}_{2} S}{2} P_{1}) + \frac{{‖ R_{2} ‖}^{2}}{{‖ R_{1} ‖}^{2}} t r (P_{1}^{T} P_{1}) \\ = t r ({\tilde{R}}_{2} P_{1}^{T}) + \frac{{‖ R_{2} ‖}^{2}}{{‖ R_{1} ‖}^{2}} {‖ P_{1} ‖}^{2} = \frac{{‖ P_{1} ‖}^{2}}{{‖ R_{1} ‖}^{2}} (t r (R_{1}^{T} R_{2}) - t r (R_{2}^{T} R_{2})) + \frac{{‖ R_{2} ‖}^{2}}{{‖ R_{1} ‖}^{2}} {‖ P_{1} ‖}^{2} \\ = - \frac{{‖ P_{1} ‖}^{2}}{{‖ R_{1} ‖}^{2}} t r (R_{2}^{T} R_{2}) + \frac{{‖ R_{2} ‖}^{2}}{{‖ R_{1} ‖}^{2}} {‖ P_{1} ‖}^{2} = 0 \end{matrix}$

假设 $k = s (s \geq 2)$ 时(3)式成立，则当 $k = s + 1 (s \geq 2)$ 时，由性质1可得

$\begin{matrix} t r (R_{s + 1}^{T} R_{s}) = t r (R_{s}^{T} R_{s}) - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} {\tilde{R}}_{s}) \\ = t r (R_{s}^{T} R_{s}) - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} \frac{{\tilde{R}}_{s} + S {\tilde{R}}_{s} S}{2}) \\ = {‖ R_{s} ‖}^{2} - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} (P_{s} - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ R_{s - 1} ‖}^{2}} P_{s - 1})) \\ = {‖ R_{s} ‖}^{2} - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} (t r (P_{s}^{T} P_{s}) - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ R_{s - 1} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} P_{s - 1})) \\ = {‖ R_{s} ‖}^{2} - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} P_{s}) = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} t r (P_{s + 1}^{T} P_{s}) = t r ({(\frac{{\tilde{R}}_{s + 1} + S {\tilde{R}}_{s + 1} S}{2} + \frac{{‖ R_{s + 1} ‖}^{2}}{{‖ R_{s} ‖}^{2}} P_{s})}^{T} P_{s}) \\ = t r (\frac{{({\tilde{R}}_{s + 1} + S {\tilde{R}}_{s + 1} S)}^{T}}{2} P_{s}) + \frac{{‖ R_{s + 1} ‖}^{2}}{{‖ R_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} P_{s}) \\ = t r ({\tilde{R}}_{s + 1} P_{s}^{T}) + \frac{{‖ R_{s + 1} ‖}^{2}}{{‖ R_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} P_{s}) = 0 \end{matrix}$

当 $j = 1$ 时，有

$\begin{matrix} t r (R_{s + 1}^{T} R_{1}) = t r (R_{s}^{T} R_{1}) - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} {\tilde{R}}_{1}) \\ = 0 - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} \frac{{\tilde{R}}_{1} + S {\tilde{R}}_{1} S}{2}) \\ = - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} P_{1}) = 0 \end{matrix}$

当 $j = 2, 3, 4, \dots, s - 1$ 时，有

$\begin{matrix} t r (R_{s + 1}^{T} R_{j}) = t r (R_{s}^{T} R_{j}) - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} {\tilde{R}}_{j}) \\ = 0 - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} \frac{{\tilde{R}}_{j} + S {\tilde{R}}_{j} S}{2}) \\ = - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} (P_{j} - \frac{{‖ R_{j} ‖}^{2}}{{‖ R_{j - 1} ‖}^{2}} P_{j - 1})) \\ = - \frac{{‖ R_{s} ‖}^{2}}{{‖ P_{s} ‖}^{2}} (t r (P_{s}^{T} P_{j}) - \frac{{‖ R_{j} ‖}^{2}}{{‖ R_{j - 1} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} P_{j - 1})) = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} t r (P_{s + 1}^{T} P_{j}) = t r ({(\frac{{\tilde{R}}_{s + 1} + S {\tilde{R}}_{s + 1} S}{2} + \frac{{‖ R_{s + 1} ‖}^{2}}{{‖ R_{s} ‖}^{2}} P_{s})}^{T} P_{j}) \\ = t r ({\tilde{R}}_{s + 1} P_{j}^{T}) + \frac{{‖ R_{s + 1} ‖}^{2}}{{‖ R_{s} ‖}^{2}} t r (P_{s}^{T} P_{j}) \\ = t r ({\tilde{R}}_{s + 1} P_{j}^{T}) = t r (P_{j}^{T} {\tilde{R}}_{s + 1}) \\ = \frac{{‖ P_{j} ‖}^{2}}{{‖ R_{j} ‖}^{2}} (t r (R_{j}^{T} R_{s + 1}) - t r (R_{j + 1}^{T} R_{s + 1})) = 0 \end{matrix}$

根据矩阵迹的性质可得

$t r (R_{j}^{T} R_{s + 1}) = t r (R_{s + 1}^{T} R_{j}) = 0$ , $t r (P_{j}^{T} P_{s + 1}) = t r (P_{s + 1}^{T} P_{j}) = 0$

所以当 $k = s + 1$ 时(3)式也成立。由归纳法原理可得 $1 \leq j < i \leq k$ 时(3)式成立。

性质3 设 $X$ 是问题的任意一组解，则由算法得到的矩阵 $X^{(k)}$ ， $P_{k}$ 及 $R_{k}$ 满足

$t r (P_{k}^{T} (X - X^{(k)})) = {‖ R_{k} ‖}^{2} (k = 1, 2, 3, \dots)$ .

定理1 若中心对称矩阵 $A$ 存在中心对称{1, 4}逆，则对任意初始矩阵 $X_{1} \in C S R^{n \times n}$ ，MCG算法可在有限步计算后得到 $A$ 中心对称{1, 4}逆。若方阵 $A$ 无中心对称{1, 4}逆，则在MCG算法中存在正整数k，使得 $R_{k} \neq O$ 且 $Q_{k} = O$ 。

4. 数值算例

下面给出两个算例，在例1中，给出两个方阵说明文中建立的MCG算法是可行的。在例2中给出不可逆方阵 $A$ 在不同阶数下计算结果，说明MCG算法具有很高的效率，且都能求出矩阵方程组(2)广义中心对称{1, 4}逆解。

文中计算时间(秒)、矩阵阶数、MCG算法迭代次数、MCG算法中断次数、实际误差的范数依次用time、n、 $k_{1}$ 、 $k_{12}$ 和error表示。为避免迭代次数过分增加，设定MCG算法迭代次数上限为2999次，MCG算法终止准则为 $ε = 10^{- 12}$ ，初始矩阵 $X_{1}$ 均为零矩阵。

例1 用MCG算法求中心对称矩阵 $A$ 的一个广义中心对称{1, 4}逆，在本例中，中心对称矩阵 $A$ 分别取可逆方阵和不可逆方阵。结果如下

1) 若 $A = (\begin{matrix} 6 & 5 & 13 \\ 3 & - 4 & 3 \\ 13 & 5 & 6 \end{matrix})$ ， $A^{(1, 4)} = A^{- 1} = (\begin{matrix} - 0.0526 & 0.0472 & 0.0903 \\ 0.0283 & - 0.1792 & 0.0283 \\ 0.0903 & 0.0472 & - 0.0526 \end{matrix})$ 。

2) 若 $A = (\begin{matrix} 5 & 3 & 5 \\ 7 & 8 & 7 \\ 5 & 3 & 5 \end{matrix})$ ，则 $A^{(1, 4)} = X_{1} = (\begin{matrix} 0.1053 & - 0.0789 & 0.1053 \\ - 0.1842 & 0.2632 & - 0.1842 \\ 0.1053 & - 0.0789 & 0.1053 \end{matrix})$ 。

从(1)中可以看出，当 $A$ 可逆时，由MCG算法求得的广义中心对称{1, 4}逆就是 $A$ 的逆矩阵；从(2)中可以看出，当 $A$ 不可逆时，则MCG算法能在2步迭代计算求得 $A$ 广义中心对称{1, 4}逆。

例2 取矩阵 $A$ 如下，按MCG算法计算步骤求得矩阵方程组(2)的广义中心对称{1, 4}逆，结果如表1 (Matlab软件2016版-PIV3.0GHZ微机)：

$\tilde{A} = (a_{i j})$ ，其中 $a_{i j} = {(i - j)}^{2}, (i, j = 1, 2, \dots, n)$ ， $A = \tilde{A} + S \tilde{A} S$

Table 1. The results of the generalized centrosymmetry {1, 4} inverse of equations (2)

表1. 方程组(2)的广义中心对称{1, 4}逆计算结果

从表1结果可以看出，文中建立的MCG算法求广义中心对称{1, 4}逆具有很高的计算效率。

5. 小结

广义逆求解算法多种多样，如对矩阵 $A$ 满秩分解、奇异值分解等，也可以建立求广义逆递归计算公式，各种算法在满足某些条件下均能求出矩阵的广义逆。本文建立的求中心对称矩阵{1, 4}逆的MCG算法无意与其他算法做比较，只是给出一种求中心对称矩阵中心对称{1, 4}逆的迭代算法，该算法使用范围广，对矩阵 $A$ 限制条件少，修改算法中某些矩阵，也可以建立方阵其他特殊解的MCG算法。

基金项目

2019年福建省教育厅中青年教师教育科研项目：(JAT190410)。

文章引用

陈世军. 中心对称矩阵的广义中心对称{1, 4}逆的迭代算法
Iterative Algorithm for Generalized Centrosymmetric {1, 4} Inverse of Centrosymmetric Matrix[J]. 应用数学进展, 2021, 10(04): 1032-1038. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.104112

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