西南大学数学与统计学院，重庆

收稿日期：2022年9月14日；录用日期：2022年10月5日；发布日期：2022年10月14日

摘要

链多项式是定义在偏序集上的一类重要多项式。本文主要研究分布格J(mn)上的链多项式的实根性，通过限制J(mn)中元素的秩得到一个新的偏序集，并且证明了这个新偏序集的链多项式以及h-多项式是实根的。

关键词

偏序集，h-多项式，链多项式，实根性

The Real-Rootedness of Chain Polynomials on Distributive Lattice J(mn)

Rongtao Yang

School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing

Received: Sep. 14^th, 2022; accepted: Oct. 5^th, 2022; published: Oct. 14^th, 2022

ABSTRACT

Chain polynomial is one of the most important polynomials defined on posets. This paper mainly studies the real-rootedness of chain polynomial on distributive lattice J(mn). We obtain a new poset by limiting the rank of elements in J(mn), and then prove that the chain polynomial and h-polynomial of this new poset are real-rooted.

Keywords:Poset, h-Polynomial, Chain Polynomial, Real-Rootedness

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

多项式的零点和方程的根是同一个数学对象的两种不同表达方式，代数学中对方程的根的研究具有非常悠久的历史，早在1799年，Gauss就在其博士论文中给出了代数基本定理的第一个实质性证明。而多项式的实根性能推出序列的对数凹性以及单峰性，因此多项式的实根性研究是单峰型问题中的一个重要的组成部分。单峰型问题是组合学中基本的研究课题之一，长期以来吸引了许多数学研究者对其进行了大量的研究。1989年Stanley在文献 [1] 中研究了序列是对数凹或单峰的各种方法并给出了具体的例子；1994年Brenti在文献 [2] 中研究了代数、组合数学和几何中的对数凹和单峰序列；2012年Huh (2022年菲尔兹奖获得者)在文献 [3] 中证明了图的色多项式系数的对数凹性并发表在四大期刊之一上。2015年Branden在文献 [4] 中综述了组合数学中单峰性、对数凹性和实根性的最新发展。至今仍有许多数学研究者致力于研究组合数学中多项式的实根性问题。

偏序集是组合数学中最基本的概念之一，也是组合数学连接其他学科的纽带。自从Rota提出偏序集的概念后，组合数学有了自己的理论框架，因此许多组合学家都在偏序集上做过大量的研究，由此也衍生出了很多偏序集上十分重要的多项式，比如能以统一的方式处理许多组合数学中的计数问题以及恒等式问题的莫比乌斯函数、在某些特定情况下能对应到图的色多项式的特征多项式、能反映出偏序集本身性质的秩多项式等等，除此之外还有链多项式、f-多项式以及h-多项式等等。近年来也有许多数学研究者对偏序集上的多项式实根性或单峰性问题进行过研究，比如Mcconville等人在文献 [5] 中研究了相关的猜想；Oguz和Ravichandran在文献 [6] 中证明了栅栏偏序集的秩多项式是单峰的；Haglund和Zhang在文献 [7] 中研究了与欧拉多项式相关的实根性问题；此外Zhang还在文献 [8] 中研究了单纯形边细分局部h-多项式的实根性等等，总之偏序集上的多项式的实根性研究是多项式的零点问题中非常重要且热门的一个部分。

链多项式作为偏序集上的一类重要的多项式，它的实根性引起了许多数学家的兴趣。比如Stanley成功证明了“3 + 1 − free”偏序集的链多项式是实根的 [9]；Neggers猜想所有有限分配格的链多项式都是实根的 [10]，最后由Stembridge [11] 予以反驳，Branden [12] 发现了更一般猜想的反例；最近又有人提出猜想所有有限几何格的链多项式是实根的并在子空间格和分拆格上得到了验证。本文主要研究偏序集上的链多项式以及偏序集的序复形的f-多项式和h-多项式的实根性。在前人研究的基础上，从n元链、直和、序理想等基本概念出发，构造了一个新的偏序集，并且证明了这个新偏序集的链多项式以及它的序复形所对应的h-多项式是实根的。

2. 预备知识

偏序集P是一个集合，连同一个记为≤的二元关系，满足下面三条公理：

1) 自反性：对所有的 $x\in P$，$x\le x$。

2) 反对称性：如果 $x\le y$ 且 $y\le x$，则 $x=y$。

3) 传递性：如果 $x\le y$ 且 $y\le z$，则 $x\le z$。

我们使用下面一些含义明显的记号： $x\ge y$ 表示 $y\le x$，$x<y$ 表示 $x\le y$ 且 $x\ne y$，而 $x>y$ 表示 $y<x$。如果偏序集P，Q之间存在一个保持序关系的双射 $\varphi :P\to Q$ 使得它的逆也保持序关系，则称这两个偏序集P和Q同构，即在P中 $x\le y$ 当且仅当在Q中 $\varphi \left(x\right)\le \varphi \left(y\right)$。P的子偏序集是指P的子集Q连同Q上的偏序关系：对 $x,y\in Q$，有在Q中 $x\le y$ 当且仅当在P中 $x\le y$。P的一类特殊子偏序集是对任意 $x\le y$ 定义的闭区间 $\left[x,y\right]=\left\{z\in P|x\le z\le y\right\}$。

设 $x,y\in P$，若 $x<y$ 且不存在 $z\in P$ 使得 $x<z<y$，则称y覆盖x，记为 $x\prec y$。若存在某个元素 $\hat{0}\in P$ 使得对所有的 $x\in P$ 都有 $x\ge \hat{0}$，则称P具有 $\hat{0}$。类似地，若存在某个元素 $\hat{1}\in P$ 使得对所有的 $x\in P$ 都有 $x\le \hat{1}$，则称P具有 $\hat{1}$。

链是任意两个元素都能比较大小的偏序集。由n个元素构成的链称为一条n元链，记为n。有限链C的长度l(C)定义为 $l\left(C\right)=\left|C\right|-1$。若偏序集P的所有极大链都具有相同长度n，则称P是秩为n的分次偏序集。此时，存在唯一的秩函数 $\rho :P\to \left\{0,1,\cdots ,n\right\}$ 满足：若x是P的极小元，则 $\rho \left(x\right)=0$ ；若在P中y覆盖x，则 $\rho \left(y\right)=\rho \left(x\right)+1$。

P的序理想是指满足下面条件的P的子集I：若 $x\in I$ 且 $y\le x$，则 $y\in I$。P的所有序理想按照包含关系排序，构成一个偏序集，记为J(P)。

如果P和Q为在不相交集合上的偏序集，则P和Q的直和为 $P\cup Q$ 上的偏序集 $P+Q$，使得在 $P+Q$ 中 $x\le y$，即满足(a) $x,y\in P$ 且在P中 $x\le y$，或者(b) $x,y\in Q$ 且在Q中 $x\le y$。P和自身的m次直和记为mP，特别地，m条n元链n的直和记为mn。

在一个顶点集V上的单纯复形为V的子集族Δ满足(a) 如果 $x\in V$，则 $\left\{x\right\}\in \Delta$ ；(b) 如果 $S\in \Delta$ 且 $T\subseteq S$，则 $T\in \Delta$。元素 $S\in \Delta$ 称为Δ的面，S的维数 $\dim S$ 定义为 $\left|S\right|-1$。特别地， $\varnothing$ 总是Δ的面(只要 $\Delta \ne \varnothing$ )，维数为−1。我们还定义Δ的维数为 $\dim \Delta ={\max }_{F\in \Delta }\left(\dim F\right)$。如果Δ是有限的，则令 $f_i$ 表示Δ的i维面的个数。

有限偏序集L的链多项式定义为

$p_L\left(x\right):={\displaystyle \underset{k\ge 0}{\sum }{c}_k\left(L\right)x^k}$，

其中 $c_k\left(L\right)$ 表示L中k元链的条数。给定 $n-1$ 维单纯复形Δ，它的f-多项式以及h-多项式定义为

$f\left(\Delta ,x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{f}_{i-1}\left(\Delta \right)x^i}$，

$h\left(\Delta ,x\right)={\left(1-x\right)}^{n}f\left(\Delta ,\frac{x}{1-x}\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{f}_{i-1}\left(\Delta \right)x^i{\left(1-x\right)}^{n-i}}$，

其中 $f_{i-1}\left(\Delta \right)$ 表示Δ的 $i-1$ 维面的数目。容易看出 $f\left(\Delta ,x\right)$ 只有实根当且仅当 $h\left(\Delta ,x\right)$ 只有实根。我们主要对偏序集的序复形感兴趣。由有限偏序集L中所有的链组成的单纯复形 $\Delta \left(L\right)$ 称为L的序复形( [13] 3.8节)。因此按照定义我们有 $f\left(\Delta \left(L\right),x\right)=p_L\left(x\right)$。本文中记 $h_L\left(x\right)=h\left(\Delta \left(L\right),x\right)$，则有

$h_L\left(x\right)={\left(1-x\right)}^n{p}_L\left(\frac{x}{1-x}\right)$， (1)

其中n是L中链的最大基数。

假设秩为n的有限分次偏序集L有最小元 $\hat{0}$ 和最大元 $\hat{1}$，并且秩函数为 $\rho$。若 $S\subseteq \left[n-1\right]$，记L的子偏序集 $\left\{t\in L|\rho \left(t\right)\in S\right\}\cup \left\{\hat{0},\hat{1}\right\}$ 的极大链个数为 ${\alpha }_L\left(S\right)$，设

${\beta }_L\left(S\right)=\underset{T\subseteq S}{{\displaystyle \sum }}{\left(-1\right)}^{\left|S-T\right|}{\alpha }_L\left(T\right)$，

则由( [13] 3.13)节知，

$h_L\left(x\right)={\displaystyle \underset{S\subseteq \left[n-1\right]}{\sum }{\beta }_L\left(S\right)x^{\left|S\right|}}$.

我们用C(L)和M(L)分别表示由L中的所有覆盖关系和所有极大链组成的集合。称映射 $\lambda :C\left(L\right)\to \mathbb{Z}$ 是L上的一个边标记。对于L中任意一条极大链 $C:\hat{0}=c_0\prec c_1\prec \cdots \prec c_n=\hat{1}$，定义边标记序列

$\lambda \left(C\right)=\left(\lambda \left(c_0,c_1\right),\lambda \left(c_1,c_2\right),\cdots ,\lambda \left(c_{n-1},c_n\right)\right)$.

设 $De{s}_{\lambda }\left(C\right)=\left\{i\in \left[n-1\right]|\lambda \left(c_{i-1},c_i\right)\ge \lambda \left(c_i,c_{i+1}\right)\right\}$，并且称C是关于 $\lambda$ 严格递增的如果 $De{s}_{\lambda }\left(C\right)=\varnothing$。通过限制 $\lambda$，所有这些定义都适用于L中的闭区间。我们称 $\lambda$ 是L上的一个严格R-标记，如果L中的每个闭区间都存在唯一一个关于 $\lambda$ 严格递增的极大链。当 $\lambda$ 是一个严格R-标记时，对任意 $S\subseteq \left[n-1\right]$，我们有

${\beta }_L\left(S\right)=\left|\left\{C\in M\left(L\right)|De{s}_{\lambda }\left(C\right)=S\right\}\right|$.

一个实系数多项式 $f\left(x\right)$ 称为实根的，如果 $f\left(x\right)$ 的根都是实根或者 $f\left(x\right)\equiv 0$。对于两个实根多项式 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$，如果它们的根分别为 ${\alpha }_1\ge {\alpha }_2\ge \cdots$ 和 ${\beta }_1\ge {\beta }_2\ge \cdots$，并且满足 $\cdots \le {\alpha }_2\le {\beta }_2\le {\alpha }_1\le {\beta }_1$，则称 $f\left(x\right)$ 交错 $g\left(x\right)$。我们规定零多项式交错每个实根多项式，也被每个实根多项式交错。

实根多项式序列 $\left(f_0\left(x\right),f_1\left(x\right),\cdots ,f_m\left(x\right)\right)$ 称为交错的，如果对任意 $0\le i<j\le m$，$f_i\left(x\right)$ 交错 $f_j\left(x\right)$。下面的引理将在本文中应用。

引理2.1. ( [14]，定理2.3)设 $\left(f_0\left(x\right),f_1\left(x\right),\cdots ,f_m\left(x\right)\right)$ 是一个交错序列且首项系数均为正，则有

a) 对任意实数 $c_0,c_1,\cdots ,c_m$，多项式 $f\left(x\right)=c_0{f}_0\left(x\right)+c_1{f}_1\left(x\right)+\cdots +c_m{f}_m\left(x\right)$ 都是实根的，并且 $f_0\left(x\right)$ 交错 $f\left(x\right)$，$f\left(x\right)$ 交错 $f_m\left(x\right)$。

b) 对 $k\in \left\{0,1,\cdots ,m+1\right\}$，令

$g_k\left(x\right)=x{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{k-1}{\sum }}{f}_i\left(x\right)}+{\displaystyle \underset{i=k}{\overset{m}{\sum }}{f}_i\left(x\right)}$，

则序列 $\left(g_0\left(x\right),g_1\left(x\right),\cdots ,g_{m+1}\left(x\right)\right)$ 交错。

3. 主要结果

设 $m\ge 1$，n表示一条n元链，定义偏序集

$J_{m,n}=\left\{I\in J\left(mn\right)|\rho \left(I\right)\le n\right\}\cup \left\{\hat{1}\right\}$，

即 $J_{m,n}$ 是mn的基数不超过n的所有序理想按照包含关系再添加最大元 $\hat{1}$ 得到的偏序集，不失一般性，设mn为集合 $\left\{1,2,\cdots ,mn\right\}$ 上的偏序集，它的m条n元链分别记为 $L_1,L_2,\cdots ,L_m$，其中 $L_i:\left(i-1\right)n+1\prec \left(i-1\right)n+2\prec \cdots \prec in$，$1\le i\le m$。则有下面的定理。

定理3.1. 对任意 $m,n\ge 1$，$h_{J_{m,n}}\left(x\right)$ 是实根的且 $h_{J_{m,n}}\left(x\right)$ 交错 $h_{J_{m,n+1}}\left(x\right)$。

证明： $J_{m,n}$ 中任一覆盖关系 $I_1\prec I_2$ 称为一条边，记为 $\left(I_1,I_2\right)$。设 $\left(I_1,I_2\right)\in C\left(J_{m,n}\right)$，若 $I_2\ne \hat{1}$，则存在唯一元素 $a\in mn$，使得 $a\in I_2\backslash I_1$，定义边标记

$\lambda \left(I_1,I_2\right)=\{\begin{array}{l}a,I_2\ne \hat{1}\\ n+1,I_2=\hat{1}\end{array}$，

则 $\lambda$ 是一个严格R-标记。因为对于 $J_{m,n}$ 中的闭区间 $\left[I_1,I_2\right]$，若 $I_2\ne \hat{1}$，不妨设 $I_2\backslash I_1=\left\{a_1<a_2<\cdots <a_k\right\}$，则 $\left[I_1,I_2\right]$ 存在唯一关于 $\lambda$ 严格递增的极大链 $I_1\prec I_1\cup \left\{a_1\right\}\prec I_1\cup \left\{a_1,a_2\right\}\prec \cdots \prec I_1\cup \left\{a_1,a_2，\cdots ,a_k\right\}=I_2$ ；若 $I_2=\hat{1}$，设 $\left|I_1\right|=r$ 且 $\left|I_1\cap L_1\right|=s$，则 $s\le r\le n$ 且 $I_1\cap L_1=\left\{1,2,\cdots ,s\right\}$，由 $\lambda$ 的定义知， $\left[I_1,I_2\right]$ 中任一条极大链C的最后一条边的边标记为 $n+1$，因此容易验证，将 $L_1\backslash I_1$ 中的最小的 $n-r$ 个元素依次添加进 $I_1$ 得到的极大链： $I_1\prec I_1\cup \left\{s+1\right\}\prec I_1\cup \left\{s+1,s+2\right\}\prec \cdots \prec I_1\cup \left\{s+1,s+2,\cdots ,s+n-r\right\}\prec \hat{1}$ 为 $\left[I_1,I_2\right]$ 中唯一一条关于 $\lambda$ 严格递增的极大链。因此 $\lambda$ 是 $J_{m,n}$ 上的一个严格R-标记。易知 $J_{m,n}$ 是秩为 $n+1$ 的分次偏序集，则有

$h_{J_{m,n}}\left(x\right)={\displaystyle \underset{S\subseteq \left[n\right]}{\sum }{\beta }_{J_{m,n}}\left(S\right)x^{\left|S\right|}}$.

又 $\lambda$ 是 $J_{m,n}$ 上的严格R-标记，因此对任意 $S\subseteq \left[n\right]$，

${\beta }_{J_{m,n}}\left(S\right)=\left|\left\{C\in M\left(J_{m,n}\right)|De{s}_{\lambda }\left(C\right)=S\right\}\right|$.

对任意 $\left(I_1,I_2\right)\in C\left(J_{m,n}\right)$，若 $I_2\ne \hat{1}$，则存在唯一元素 $a\in mn$，使得 $a\in I_2\backslash I_1$，定义映射 $\phi \left(I_1,I_2\right)=\{\begin{array}{l}1,I_2=\hat{1}\\ i,a\in L_i\end{array}$，

对于 $J_{m,n}$ 中任意一条极大链 $C:\hat{0}=I_0\prec I_1\prec \cdots \prec I_n=\hat{1}$，定义映射

$\tilde{\phi }\left(C\right)=\left(\phi \left(I_0,I_1\right),\phi \left(I_1,I_2\right),\cdots ,\phi \left(I_{n-1},I_n\right)\right)$，

容易看出 $\tilde{\phi }$ 是从 $M\left(J_{m,n}\right)$ 到

$A_n^{*}=\underset{n个}{\underset{︸}{\left\{1,2,\cdots ,m\right\}\times \left\{1,2,\cdots ,m\right\}\times \cdots \times \left\{1,2,\cdots ,m\right\}}}\times \left\{1\right\}$

的双射。对任意 $\sigma =\left({\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_{n+1}\right)\in A_n^{*}$，定义 $De{s}^{*}\left(\sigma \right)=\left\{i\in \left[n\right]|{\sigma }_i>{\sigma }_{i+1}\right\}$。

下证对任意 $C\in M\left(J_{m,n}\right)$，$De{s}_{\lambda }\left(C\right)=De{s}^{*}\left(\tilde{\phi }\left(C\right)\right)$。只需验证对于任意的 $\left(I_1,I_2\right),\left(I_2,I_3\right)\in C\left(J_{m,n}\right)$，$\lambda \left(I_1,I_2\right)\ge \lambda \left(I_2,I_3\right)$ 当且仅当 $\phi \left(I_1,I_2\right)>\phi \left(I_2,I_3\right)$ ：

当 $I_3\ne \hat{1}$ 时，设 $I_2\backslash I_1=\left\{a\right\}$，$I_3\backslash I_2=\left\{b\right\}$，其中 $a\in L_i$，$b\in L_j$，则有

$\lambda \left(I_1,I_2\right)\ge \lambda \left(I_2,I_3\right)$ 当且仅当 $a>b$ 当且仅当 $i>j$ 当且仅当 $\phi \left(I_1,I_2\right)>\phi \left(I_2,I_3\right)$ ；

当 $I_3=\hat{1}$ 时，设 $I_2\backslash I_1=\left\{a\right\}$，此时 $\lambda \left(I_2,I_3\right)=n+1$，$\phi \left(I_2,I_3\right)=1$，则有

$\lambda \left(I_1,I_2\right)\ge \lambda \left(I_2,I_3\right)=n+1$ 当且仅当 $a\in L_i$ 且 $i\ge 2$ 当且仅当 $\phi \left(I_1,I_2\right)=i>1=\phi \left(I_2,I_3\right)$。

因此对任意的 $C\in M\left(J_{m,n}\right)$，$De{s}_{\lambda }\left(C\right)=De{s}^{*}\left(\tilde{\phi }\left(C\right)\right)$。

再证对任意的 $S\subseteq \left[n\right]$，

$\left|\left\{C\in M\left(J_{m,n}\right)|De{s}_{\lambda }\left(C\right)=S\right\}\right|=\left|\left\{\sigma \in A_n^{*}|De{s}^{*}\left(\sigma \right)=S\right\}\right|$.

只需说明 $\tilde{\phi }$ 是这两个集合之间的双射：

对任意的 $C\in \left\{C\in M\left(J_{m,n}\right)|De{s}_{\lambda }\left(C\right)=S\right\}$，我们有

$\tilde{\phi }\left(C\right)\in A_n^{*}$ 且 $De{s}^{*}\left(\tilde{\phi }\left(C\right)\right)=De{s}_{\lambda }\left(C\right)=S$。

因此 $\tilde{\phi }\left(C\right)\in \left\{\sigma \in A_n^{*}|De{s}^{*}\left(\sigma \right)=S\right\}$。

对于任意的 $\sigma \in \left\{\sigma \in A_n^{*}|De{s}^{*}\left(\sigma \right)=S\right\}$，由 $\tilde{\phi }$ 是从 $M\left(J_{m,n}\right)$ 到 $A_n^{*}$ 的双射，因此存在唯一的 $C\in M\left(J_{m,n}\right)$ 使得 $\sigma =\tilde{\phi }\left(C\right)$，又因为 $De{s}_{\lambda }\left(C\right)=De{s}^{*}\left(\tilde{\phi }\left(C\right)\right)=De{s}^{*}\left(\sigma \right)=S$，故 $C\in \left\{C\in M\left(J_{m,n}\right)|De{s}_{\lambda }\left(C\right)=S\right\}$。

综上可得 $\tilde{\phi }$ 是从 $\left\{C\in M\left(J_{m,n}\right)|De{s}_{\lambda }\left(C\right)=S\right\}$ 到 $\left\{\sigma \in A_n^{*}|De{s}^{*}\left(\sigma \right)=S\right\}$ 的双射，因此它们的基数相同。

接下来我们定义集合

$A_n=\left\{m-1\right\}\times \left\{1,2,\cdots ,m\right\}\times \left\{2,3,\cdots ,m+1\right\}\times \cdots \times \left\{n,n+1,\cdots ,m+n-1\right\}$，

则存在 $A_n\to A_n^{*}$ 的双射：

$\left({\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_{n+1}\right)\mapsto \left(m+n-{\sigma }_{n+1},m+n-1-{\sigma }_n,\cdots ,m-{\sigma }_1\right)$.

我们用 $Des\left(\sigma \right)$ 表示集合 $\left\{i\in \left[n\right]|{\sigma }_i\ge {\sigma }_{i+1}\right\}$，其中 $\sigma =\left({\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_{n+1}\right)\in A_n$。由于 ${\sigma }_i\ge {\sigma }_{i+1}$ 当且仅当 $m+i-{\sigma }_{i+1}>m+i-1-{\sigma }_i$，因此对于任意的 $S\subseteq \left[n\right]$，有

$\left|\left\{\sigma \in A_n^{*}|De{s}^{*}\left(\sigma \right)=S\right\}\right|=\left|\left\{\sigma \in A_n|Des\left(\sigma \right)=n+1-S\right\}\right|$，

且

$\begin{array}{c}{\beta }_{J_{m,n}}\left(S\right)=\left|\left\{C\in M\left(J_{m,n}\right)|De{s}_{\lambda }\left(C\right)=S\right\}\right|\\ =\left|\left\{\sigma \in A_n^{*}|De{s}^{*}\left(\sigma \right)=S\right\}\right|\\ =\left|\left\{\sigma \in A_n|Des\left(\sigma \right)=n+1-S\right\}\right|\end{array}$，

则

$h_{J_{m,n}}\left(x\right)={\displaystyle \underset{S\subseteq \left[n\right]}{\sum }{\beta }_{J_{m,n}}\left(S\right)x^{\left|S\right|}}={\displaystyle \underset{S\subseteq \left[n\right]}{\sum }{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\sigma \in A_n\\ Des\left(\sigma \right)=n+1-S\end{array}}{\sum }{x}^{\left|S\right|}}}={\displaystyle \underset{\sigma \in A_n}{\sum }{x}^{des\left(\sigma \right)}}$，

其中 $des\left(\sigma \right)=\left|Des\left(\sigma \right)\right|$。

设

$h_{m,n,k}\left(x\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\sigma \in A_n\\ {\sigma }_{n+1}=k\end{array}}{\sum }{x}^{des\left(\sigma \right)}}$，

则有

$h_{J_{m,n}}\left(x\right)={\displaystyle \underset{k=n}{\overset{m+n-1}{\sum }}{h}_{m,n,k}\left(x\right)}$，

$h_{m,n,k}\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=n-1}{\overset{k-1}{\sum }}{h}_{m,n-1,i}\left(x\right)}+x{\displaystyle \underset{i=k}{\overset{m+n-2}{\sum }}{h}_{m,n-1,i}\left(x\right)}$.

最后，我们用数学归纳法证明 $\left(h_{m,n,m+n-1},h_{m,n,m+n-2},\cdots ,h_{m,n,n}\right)$ 是首项系数均为正的交错序列：

当 $n=1$ 时，

$\left(h_{m,n,m+n-1},h_{m,n,m+n-2},\cdots ,h_{m,n,n}\right)=\left(h_{m,1,m},h_{m,1,m-1},\cdots ,h_{m,1,1}\right)=\left(1,x,\cdots ,x\right)$

是首项系数均为正的交错序列。

假设 $n-1$ 时命题成立，即

$\left(h_{m,n-1,m+n-2},h_{m,n-1,m+n-3},\cdots ,h_{m,n-1,n-1}\right)$

是首项系数均为正的交错序列，则由引理2.1。(b) 可知 $\left(h_{m,n,m+n-1},h_{m,n,m+n-2},\cdots ,h_{m,n,n}\right)$ 是首项系数均为正的交错序列。又由引理2.1。(a) 可知 $h_{J_{m,n}}\left(x\right)$ 是实根的且

$h_{J_{m,n-1}}\left(x\right)={\displaystyle \underset{k=n-1}{\overset{m+n-2}{\sum }}{h}_{m,n-1,k}\left(x\right)}=h_{m,n,m+n-1}(\; x\; )$

交错 $h_{J_{m,n}}\left(x\right)$。□

推论3.2. $J_{m,n}$ 的链多项式 $p_{J_{m,n}}\left(x\right)$ 是实根的。

证明：由等式(1)可知 $p_{J_{m,n}}\left(x\right)$ 和 $h_{J_{m,n}}\left(x\right)$ 的实根性相同，因此由定理3.1。得 $p_{J_{m,n}}\left(x\right)$ 是实根的。□

推论3.3. 对任意的 $m\ge 1$，$n\ge 0$，偏序集

$K_{m,n}=\left\{x\in \underset{m个}{\underset{︸}{\left(n+1\right)\times \left(n+1\right)\times \cdots \times \left(n+1\right)}}|\rho \left(x\right)\le n\right\}\cup \left\{\hat{1}\right\}$

的链多项式 $p_{K_{m,n}}\left(x\right)$ 是实根的。

证明：当 $n=0$ 时， $p_{K_{m,0}}\left(x\right)=1+2x+x^2$ 是实根的；当 $n\ge 1$ 时，偏序集

$\underset{m个}{\underset{︸}{\left(n+1\right)\times \left(n+1\right)\times \cdots \times \left(n+1\right)}}$

同构于J(mn) ( [13], 3.4节)，因此 $K_{m,n}$ 与 $J_{m,n}$ 同构，它们的链多项式实根性相同。□

4. 总结与展望

本文将研究偏序集上链多项式的实根性问题的一种比较新颖的方法应用到了J(mn)中的自定义偏序集 $J_{m,n}$ 上，并且证明了它的链多项式的实根性，从而使得分布格J(mn)的链多项式的实根性问题得到了部分解决，在今后的研究中将以此为基础，改进方法进行进一步探索，最终期望彻底解决分布格J(mn)上链多项式的实根性问题。

文章引用

杨荣涛. 分布格J(mn)上链多项式的实根性研究
The Real-Rootedness of Chain Polynomials on Distributive Lattice J(mn)[J]. 应用数学进展, 2022, 11(10): 7060-7066. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.1110749

参考文献