局部多项式建模在图像插值中的应用 Local Polynomial Modeling in the Application of Image Interpolation

doi:10.12677/csa.2011.12015

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Computer Science and Application 计算机科学与应用, 2011, 1, 73-76

http://dx.doi.org/10.12677/csa.2011.12015 Published Online September 2011 (http://www.hanspub.org/journal/csa/)

Local Polynomial Modeling in the Application of Image

Interpolation

Liyun Su1, Qian Yang1, Ruihua Liu1, Jiaojun Li2

1School of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology, Chongqing

2School of Electronic Information and Automation, Chongqing University of Technology, Chongqing

Email: cloudhopping@163.com

Received: May 30th, 2011; revised: Jul. 21st, 2011; accepted: Jul. 29th, 2011.

Abstract: In this paper, we use method of local polynomial to deal with image. Firstly, we obtain low

resolution images by down-sampling from the high-resolution images, and then interpolate the obtained low-

resolution images and calculate the peak signal to noise ratio. To illustrate the feasibility of this method we

compare it with the traditional interpolation method. Experiments show that the method applied in this paper

has higher PSNR than traditional interpolation, thus this method of image interpolation is feasible and

effective.

Keywords: Local Polynomial Modeling; Image Processing; Interpolation

局部多项式建模在图像插值中的应用

苏理云 1，杨迁1，刘瑞华 1，李姣军2

1重庆理工大学数学与统计学院，重庆

2重庆理工大学电子信息与自动化学院，重庆

Email: cloudhopping@163.com

收稿日期：2011年5月30日；修回日期：2011 年7月21 日；录用日期：2011 年7月29 日

摘要：本文运用局部多项式的方法对图像进行插值。文中我们从一幅高分辨率图像通过下采样得到

一张低分辨率图像，然后对其进行插值并求出插值图像的峰值信噪比(PSNR)。为说明本文方法的可行

性，我们把本文的方法与传统的插值方法进行了比较。实验表明本文所运用的方法比传统插值方法具

有更高的PSNR，故本文的方法对图像插值是有效可行的。

关键词：局部多项式建模；图像处理；插值

1. 引言

随着非线性、非参数建模理论和方法的迅猛发展，

人们所处理的时间序列或数据用参数模型和整体化模

型已经无法有效的进行拟合、估计和预测。同时，信

息技术和计算机工业的发展无疑给数据处理带来更多

的机遇和挑战。现代社会的数据呈现爆炸式、非线性

式、混沌式、分形式以及复杂式。尽管传统参数模型

和整体化模型仍然非常有用，但非参数局部多项式方

法提供了一种有效的方法，可以探索更加精细的结构。

局部多项回归作为非参数建模的重要方法之一，其基

本理论近二十年来得到了长足发展，并被广泛用于非

线性时间序列、通信、图像处理、金融等领域[1]。

Takeda和Farsiu 等人2007 年运用核回归的方法

对图像进行处理和重建[2]。之后 Takeda，Farsiu 和

Milanfar 在2008 年使用正则局部自适应核回归方法去

图像模糊[3]。2009 年Zhang 等人运用局部多项式完成

了在医学图像大脑磁共振图片的高分辨率重建[4]，且

得到较好的边缘和细节。之后在 2010 年Zhang 等人

对局部多项式核函数的选择和局部自适应带宽的选择

也做了研究[5,6]。Su 等人2010在文献[7]中应用局部多

苏理云等局部多项式建模在图像插值中的应用

74 |

项式对离焦模糊图像完成重建并得到较好的效果。

2. 基于局部多项式建模的图像插值

2.1. 局部多项式插值

局部多项式拟合是一个用途广泛的非参数技术，

它拥有多种好的统计特性。设大小为

N

,2,,

的灰度图

像可以用二维函数的观察模型表示。自变量

1, 212

, 1,2,,,1

iiii i

xx xMx





 

N。因变量

是

处的像素值，则

 

ii i

yfX Xi





 (1)

式中，



为未知函数；







是独立同分布

零均值方差为





的加性高斯白噪值，，

表示取样窗中像素点数目。

1, 2,,il

采用不同的基函数都可以将



展开。

1, 2





的邻域 i

处的像素值的p阶Taylor 展开

为：



 













vech,

Tii

fXfXfXX X

XX HfXXX

XXXX





 

 









(2)

式中，

和H分别为梯度算子和海赛算子；vech(·)

为把对称矩阵下三角部分按字典序排成列向量； 0



为

用回归函数得出的 X处的估计值



；







为回

归函数的 n阶梯度系数。

令



,12

:,0,



sss p



，在加权最小

二乘下用核函数回归方法求解，式(3)：

令， (4)





diag, ,

hhl

WKXXKXX





















12 ,

Yyy y (5)



11 1212212

121222 222

1122 22

ll l

xxxx xx



 





 







 





 



X (6)

 



Hii i

KX KHX



 



,WY

(7)

则最小化问题简化为：



;arg min;TT

hFXWXX







XXH (8)

式(7)中，







代表在中心点处取得最大值的二维

核函数，其限定条件是非负定对称单峰。

平滑矩阵 hI



H的求解方法被称为经典核回归

方法。I为二阶单位阵，h为全局平滑因子，可以约束

取样窗口的带宽，限定取样窗中像素点数目 l。

为了实现局部多项式估计，我们需要选择阶数 p，

核函数 K和带宽 h。当然这些参数相互关联。当

时，局部多项式拟合就变成全局多项式拟合，

阶数 p决定模型的复杂性。与参数模型不同，局部多

项式估计拟合的复杂性是由阶数p来控制的。因此，

通常 p的选择是较小的[8]。

h

对于核函数 K的选择，对所有 p的选择，由 Fan

等人在 1995 年证明了最优核函数是：







34 1



z

z









. (10)

它被称为Epanechnikov核，它是一个万能的加权

方式[9]。另外在用局部多项式拟合做图像处理时通常

选择形式简单的高斯核函数[6]。

故与阶数 p和核函数 K相比较，带宽 h的选择在

多项式拟合中起着更重要的作用。太大的带宽引起过

渡平滑，产生过大的建模偏倚，而太小的带宽会导致

不足平滑，获得受干扰的估计。理论上在最小均方误

差前提下存在最优带宽，即

opt

 

arg mind

opt

hfxf











 (11)

但是最优带宽通常不能够直接求出。只能通过一

些方法得到次最优带宽，常见的解次最优带宽的方法

有cross-validation(CV)和plug-in.

带宽的选择还可由使用者通过目测检查所得的估

计曲线来主观选择，或由数据通过极小化的估计理论

风险来自动选择。





issjijH

issss

Fy xxK









 





 

(3)

苏理云等局部多项式建模在图像插值中的应用75

2.2. 局部多项式用于图像插值流程图

图1中(a)为原始图像；(b)为下采样得到的一张低

分辨率图像；

(c)为插值重建的图像。其中 D为下采样

算子，a1，b2，是a，b，的拟合值，“*”为插

值后的像素值。

3. 实验和结果分析

本文实验所用的是测试图像Peppers(300 × 300)，

即图 2(a)中的原始图像。利用2.2 节下采样的方法得

到一张低分辨率图像 LRpeppers(100 × 100)，图 2(b)

中的低分辨率图像。在得到欠采样图像后，采用本文

中提出方法对其进行插值。给出了峰值信噪比(Peak

Signal to Noise Ratio, PSNR)。峰值信噪比越高说明重

建效果越好。实验所选择的核函数为高斯核函数。



1exp, .

2π2

Kxxxx 





 





峰值信噪比计算公式为：



10log10 255,PSNR mse 02,mseI I

mse 为残差平方和，I为原始图像，0

为插值重建

图像。实验结果表明当，时 PSNR 达到

最大值。

2p0.8h

对选择的参数p和h，对图像插值放大一定倍数

L(如)计算出PSNR。并对同一图像运用传统插值

方法如：最近领域法，双线性插值法[10]等插值放大同

样的倍数 L，比较各方法得到的插值放大图像和

PSNR。结果如图 2。

3L

图2中(a)为本文的方法插值的图像(2p



，

，)；(b)为最近邻域法插值的

图像() ；(c) 为双线性插值的图像

( )；(d)为原始图像；(e)为下采样后的

低分辨率图像。从图 2可以看出本文提出的方法其峰

值信噪比比传统方法都有提高，且图像边缘锯齿现象

也有所改善。

0.8

h

PSNR 

22.9032PSNR 

20.7446PSNR 

22.1900

4. 结论

本文运用局部多项式来对下采样图像进行了插

值。并且和传统插值方法进行了比较，实验表明运用

本文的方法对图像插值后具有更高的PSNR，边缘轮

Figure 1. Process of image interpolation

图1. 插值流程图

(a) (b) (c)

(d) (e)

Figure 2. Comparison of interpolated images

图2. 插值后图片的比较

廓也得到改善。表明了本文提出的方法比传统的插值

方法具有更好的插值效果，也说明了采用局部多项式

对图像插值是有效可行的。

5. 致谢

本文得到了重庆市科委自然科学基金(CSTC

2010BB2310，CSTC2011JJA40033) 和重庆市教委项目

(KJ100818，KJ100810)的资助。

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