ABSTRACT

We consider the global attractor of the viscous Cahn-Hilliard equation with a nonlinear term. Firstly, it proved the existence of bounded absorbing set, then obtained the existence of global attractor by a new method of obtaining the compactness.

Keywords:Viscous Cahn-Hilliard Equation, Global Attractor, Absorbing Set

粘性Cahn-Hilliard方程的整体吸引子

任永华

太原理工大学数学学院，山西 太原

收稿日期：2016年11月12日；录用日期：2016年11月26日；发布日期：2016年11月30日

摘 要

本文研究了带有非线性项的粘性Cahn-Hilliard方程的整体吸引子。首先验证了该方程有界吸收集的存在性，进而利用紧性方法得到整体吸引子的存在性。

关键词 :粘性Cahn-Hilliard方程，整体吸引子，吸收集

1. 引言

考虑下面的带非线性的粘性Cahn-Hilliard方程

(1)

(2)

(3)

的长时间行为，其中非线性，对于几乎处处，是局部有界可测函数。

1958年，Novick Cohen等人为了描述带粘性物质的相互扩散运动，首次提出了粘性Cahn-Hilliard方程。这类方程在非牛顿流体力学理论中有着广泛的应用。董超雨等在 [1] 中采用了一种新的验证紧性的方法讨论了粘性Cahn-Hilliard方程全局吸引子的存在性。带有可加白噪音的Cahn-Hilliard方程的吸引子在 [2] 中给出了严密的论证。近几年来，许多学者对于Cahn-Hilliard方程产生了浓厚的兴趣，详见 [1] [2] [3] [4] [5] 。但是，对于较高正则性的研究还没有任何结果。本文在较高的正则性空间中，采用 [6] [7] [8] 中提到的新的紧性方法，研究了具有非线性项的问题(1)~(3)整体吸引子的存在性。

我们假设非线性项满足下面的条件。

(H1)

(H2)，

(H3)，

其中满足：，当；，当。

此外，对于非线性项，我们假设下列条件成立。

(G1)，

(G2)，

(G3)，

(G4)

其中为正常数，，且。

本文的主要结果是。

定理1.1 假设满足(H1)~(H3)，满足(G1)~(G4)，则问题(1)~(3)对应的解半群在中存在吸引子。

全文结构如下：第二部分是文章的预备知识；在第三部分中，我们证明了相应于解半群的吸引子的存在性。

2. 预备知识

下面介绍本文将要用到的一些概念和结论。

让和分别表示和中的范数。对于空间，我们定义。

引理2.1 假设满足(H1)~(H3)，满足(G1)~(G4)。则对于任意的和问题(1)~(3)存在唯一解

该引理利用Faedo-Galerkin方法可证，参见 [5] ，进而由定理1.1定义了一个连续的算子半群，即：。

引理2.2 集合，

其中是中以0为中心以为半径的球，是在中的有界吸收集。即对于任意的均成立，且对于任意的有界集，存在，使得对于每一个，有。

证明：将与(1)式做内积，可得：

(4)

用(H1)~(H3)及Poincare不等式，可得：

再由(G1)~(G4)，

(5)

整理得：

(6)

根据Gronwall不等式，可得：

(7)

故而，存在，使得对于一切的，有。

本文运用参考文献 [9] 中新的验证紧性的方法，证明了半群的整体吸引子是一个紧的不变集。

定义2.1 [9] Banach空间中的连续半群满足条件C，是指对于任意及中任何的有界集，存在和一个有限维的子空间，使得是有界的，并且，，是一个规范投影。

定理2.1 [9] 设是Hilbert空间中的连续半群，如果下面条件成立，

1)在中存在有界吸收集；

2)满足条件C。

那么在中存在整体吸引子，且吸引中的一切有界集。

3. 整体吸引子的存在性

3.1.中有界吸收集的存在性

将和(1)式做内积，得：

(8)

由于

可得：

(9)

其中：

用(H1)~(H3)，可得：

再由(G1)~(G4)，

整理得：

(10)

取适当的，使得，根据Gronwall不等式，可得：

(11)

所以，对于任意的存在，使得对于一切的，有。

定理3.1 假设满足(H1)~(H3)，满足(G1)~(G4)。以为半径的球是问题(1)~(3)生成的解半群在中的有界吸收集，即对于任意的有界集，存在，使得当时，。

3.2. H²中整体吸引子的存在性

本节，记为的特征值，为对应于的特征向量，当时，，且构成了的正交基，令，，记为标准投影。

将和(1)式做内积，得：

(12)

易知是紧嵌入和中的，所以对于任意的，存在，使得：

因此，有

同理可得：

综上，

(13)

取适当的，使得，根据Gronwall不等式，可得：

(14)

所以存在，使得对于一切的，有

定理3.2 假设满足(H1)~(H3)，满足(G1)~(G4)。对于，问题(1)~(3)在中存在整体吸引子。这里在的范数下吸引了中的一切有界集。

基金项目

山西省自然科学基金资助项目(2014011005-4；2015011006)，太原理工大学教育教学改革研究项目。

文章引用

任永华. 粘性Cahn-Hilliard方程的整体吸引子
Global Attractor for the Viscous Cahn-Hilliard Equation[J]. 应用数学进展, 2016, 05(04): 818-822. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.54094

参考文献 (References)