有限非交换单群上的10度1-正则Cayley图 On 10-Valent 1-Regular Cayley Graphs on Finite Nonabelian Simple Groups

doi:10.12677/AAM.2021.1010365

Advances in Applied Mathematics
Vol. 10 No. 10 ( 2021 ), Article ID: 45975 , 5 pages
10.12677/AAM.2021.1010365

有限非交换单群上的10度1-正则Cayley图

李婉婷，凌波^*

●How to Cite this Article

云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明

收稿日期：2021年9月21日；录用日期：2021年10月14日；发布日期：2021年10月25日

摘要

称Cayley图 $Γ = C a y (G, S)$ 是1-正则的，如果 $Γ$ 的全自同构群 $A u t (Γ)$ 作用在其弧集上正则。称 $Γ$ 是正规的，如果 $G ⊲ A u t (Γ)$ 。在本文中, 我们证明了有限非交换单群上的连通10度1-正则Cayley图一定是正规的。

关键词

1-正则图，正规Cayley图，非交换单群

On 10-Valent 1-Regular Cayley Graphs on Finite Nonabelian Simple Groups

Wanting Li, Bo Ling^*

School of Mathematics and Computer Sciences, Yunnan Minzu University, Kunming Yunnan

Received: Sep. 21^st, 2021; accepted: Oct. 14^th, 2021; published: Oct. 25^th, 2021

ABSTRACT

A Cayley graph $Γ = C a y (G, S)$ is said to be 1-regular, if the full automorphism group $A u t (Γ)$ of $Γ$ acts regularly on the arc set of $Γ$ . And $Γ$ is called normal if $G ⊲ A u t (Γ)$ . In this paper, we prove 10-valent 1-regular Cayley graphs on finite nonabelian simple groups must be normal.

Keywords:1-Regular Graph, Normal Cayley Graph, Nonabelian Simple Group

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1. 引言

假定本文中的图均是有限，连通，简单的无向图。

设 $Γ$ 是一个图，将图 $Γ$ 的顶点集，边集，弧集，全自同构群分别记作 $V (Γ)$ ， $E (Γ)$ ， $A r c (Γ)$ ， $A u t (Γ)$ 。用 $v a l (Γ)$ 表示 $Γ$ 的度数。

设 $X \leq A u t (Γ)$ ，令s为一个正整数。我们称图 $Γ$ 为 $(X, s)$ -弧传递或者 $(X, s)$ -正则，若X传递或者正则地作用在图 $Γ$ 的s-弧的集合上，其中s-弧是 $s + 1$ 个顶点的序列 $(v_{0}, v_{1}, \dots, v_{s})$ ，使得 $(v_{i - 1}, v_{i}) \in E (Γ)$ 且 $v_{i - 1} \neq v_{i + 1}$ ，其中 $1 \leq i \leq s - 1$ 。特别地，若 $X = A u t (Γ)$ ，则称 $(X, s)$ -弧传递图或者 $(X, s)$ -正则图为s-弧传递图或s-正则图。另外，也称1-正则图为弧正则图。一般情况下，点传递图即为0-弧传递图，弧传递图或对称图即为1-弧传递图。

设G是有限群，将其单位元记为1。取G中集合S使得 $1 \notin S$ 且 $S = S^{- 1} : = {s^{- 1} | s \in S}$ ，定义有限群G关于子集S的Cayley无向图 $Γ : = C a y (G, S)$ ，其中：

$V (Γ) : = G, E (Γ) : = {{g, s g} | g \in G, s \in S} .$

显然， $Γ$ 的度数为 $| S |$ 。 $Γ$ 连通 $\Leftrightarrow$ $G = 〈 S 〉$ 。我们可以将群G看作为 $A u t (Γ)$ 的正则子群。反之，图 $Γ$ 同构于群G的Cayley图 $\Leftrightarrow$ $A u t (Γ)$ 中包含一个正则子群，且该子群同构于G (参见文献 [1]，性质16.3)。称Cayley图 $Γ = C a y (G, S)$ 是正规的，若 $G ⊲ A u t (Γ)$ ；否则称Cayley图 $Γ$ 是非正规的。

正规Cayley图的概念是由徐明曜教授在1998年第一次提出，可参见文献 [2]。对于决定Cayley图的全自同构群的问题，正规Cayley图的概念在其中占据着十分重要的地位。自然地，有限非交换单群上的Cayley图的正规性研究在学术界受到了广泛关注和重视，并且对于有限非交换单群上的小度数d度弧传递Cayley图的正规性分类研究，已经有较多突出性的结论，可参见文献 [3] - [9]。而在具有较高对称性的图中，1-正则图是一类特殊的对称图，它一直是一个有意义的研究对象。值得一提的是，小度数d度1-正则图的点稳定子群的阶就是d，那么其结构自然而然就被确定了。

本文主要目的是通过考虑有限非交换单群上的10度1-正则Cayley图的正规性，对该类图进行完全分类，得出了如下结论：

定理1.1. 设G为一个有限非交换单群， $Γ$ 为G上的10度1-正则Cayley图，则 $G ⊲ A u t (Γ)$ 。

2. 预备知识

设G是有限群， $Ω$ 是至少包含两个点的集合，G作用在 $Ω$ 上传递。下列引理是证明传递群G为本原置换群的一个充分必要条件，可参见文献 [10]。

引理2.1. $Ω$ 上传递群G是本原的 $\Leftrightarrow$ 点稳定子 $G_{i}$ 是G的极大子群，其中 $i \in Ω$ 。 ■

下面是关于传递置换群的一个经典结论，我们称之为Frattini论断，可参见文献 [10]。

引理2.2. 设G为 $Ω$ 上的传递置换群，H为G的子群。则H作用在 $Ω$ 上传递 $\Leftrightarrow$ $G = H G_{v}$ ，其中点 $v \in Ω$ ， $G_{v}$ 是点v在G中的点稳定子。 ■

设X是一个有限群，H为X的一个无核子群。定义G关于H的陪集图 $Γ : = Cos (X, H, g)$ 如下：

$V (Γ) : = [X : H],$

$E (Γ) : = {(H x, H d x) | d \in H g H} .$

其中 $g \in X - H$ 满足 $g^{2} \in H$ 。接下来的引理是关于陪集图的一些基本结论，其证明过程可由上述定义以及文献 [11] 得出。

引理2.3. 设 $Γ = Cos (X, H, g)$ ，易知 $Γ$ 是X-弧传递图，并且有如下结论：

1) $v a l (Γ) = | H : H \cap H^{g} |$ ；

2) $Γ$ 为无向图 $\Leftrightarrow$ 存在一个2-元素 $g \in X \ H$ 使得 $g^{2} \in H$ ；

3) $Γ$ 为连通图 $\Leftrightarrow$ $〈 H, g 〉 = X$ ；

4) 若X中包含一个作用在 $V (Cos (X, H, g))$ 上正则的子群G，于是有 $Cos (X, H, g) ≅ C a y (G, S)$ ，其中 $S = G \cap H g H$ 。

另一方面，每一个X-弧传递图 $Σ$ 均同构于一个陪集图 $Cos (X, X_{v}, g)$ ，其中 $g \in N_{X} (X_{v w})$ 是一个满足 $g^{2} \in X_{v}$ 的2-元素， $v \in V (Σ)$ ， $w \in Σ (v)$ 。 ■

设 $Γ$ 是X-点传递图，其中 $X \leq A u t (Γ)$ 。又设X中含有正规子群N，且N作用在 $V (Γ)$ 上是不传递的。记 $V_{N}$ 为N-轨道的集合(即 $V_{N} : = {α^{N} | α \in V (Γ)}$ )。由N诱导的 $Γ$ 的正规商图 $Γ_{N}$ 定义为： $V (Γ_{N}) = V_{N}$ ； $E (Γ_{N}) = {{B, C} | 存在 u \in B, v \in C 使得 {u, v} \in E (Γ)}$ 。由文献 [12] [13] 可得下列结论：

引理2.4. 设 $Γ$ 是G-点传递的局部本原图，其中 $G \leq A u t (Γ)$ 。若 $N ⊲ G$ 作用在 $V (Γ)$ 上至少有3个轨道，则以下结论成立：

1) N在 $V (Γ)$ 上是半正则的， $G / N \leq A u t Γ_{N}$ ，此时 $Γ$ 为商图 $Γ_{N}$ 的正则覆盖；

2) $G_{α} ≅ {(G / N)}_{γ}$ ，其中 $α \in V (Γ)$ ， $γ \in V (Γ_{N})$ ；

3) $Γ$ 是一个 $(G, s)$ -传递图 $\Leftrightarrow$ $Γ_{N}$ 是一个 $(G / N, s)$ -传递图，其中 $1 \leq s \leq 5$ 或 $s = 7$ 。 ■

对于级数不超过10的本原置换群，由文献 [14] 中本原置换群的分类结果，易得出下列结论：

引理2.5. 设T是 $Ω$ 上的本原置换群，K为某点 $w \in Ω$ 的点稳定子群。若T是非交换单群，K非可解并且 $| Ω | 10$ ，则 $(T, K, | Ω |) = (A_{10}, A_{9}, 10)$ 。 ■

3. 定理1.1.的证明

设G为有限非交换单群， $Γ : = C a y (G, S)$ 为G上的10度1-正则Cayley图。记 $A : = A u t (Γ)$ 为图 $Γ$ 的全自同构群， $A_{v}$ 为点 $v \in V (Γ)$ 在A中的点稳定子。因为 $Γ$ 是10度1-正则Cayley图，于是该图的点稳定子 $A_{v}$ 的阶必为10，即 $| A_{v} | = 10$ 。接下来，我们分别考虑A中存在非平凡的可解正规子群和不存在非平凡的可解正规子群，以此来完成定理1.1.的证明。

引理3.1. 若A中不存在非平凡的可解正规子群，则 $G ⊲ A$ 。

证明：假设结论不成立。

令N是A的极小正规子群，于是N非可解， $N = T^{d} (d \geq 1)$ ，T是非交换单群。由 $N \cap G ⊲ G$ 和群G的单性，可知 $N \cap G = 1$ 或G。若 $N \cap G = 1$ 。由引理2.2.可知 $A = G A_{v}$ ，又 $G \cap A_{v} = 1$ ，可知 $| N | | | A_{v} | = 10$ ，意味着正规子群N可解，矛盾于引理的条件“A中不存在非平凡的可解正规子群”。于是 $N \cap G = G$ ，即 $G \leq N$ 。若此时有 $G = N$ ， $G ⊲ A$ ，矛盾。因此 $G < N$ 。但若有 $d \geq 2$ ， $N = T_{1} \times T_{2} \times \dots \times T_{d}$ ， $T_{i} ≅ T$ 是非交换单群。则由 $T_{1} \cap G ⊲ G$ 和群G的单性，可知 $T_{1} \cap G = 1$ 或G。若 $T_{1} \cap G = 1$ ，可推出 $| T_{1} | | | N_{v} | | | A_{v} | = 10$ ， $T_{1}$ 可解，这与引理中的“A中不存在非平凡的可解正规子群”矛盾了。又若 $T_{1} \cap G = G$ ， $G \leq T_{1}$ ，意味着 $T_{2} \cap G = 1$ ，同样可以推出矛盾。因而 $d = 1$ ， $N = T$ 是非交换单群。设K为T的极大真子群，满足 $K \geq G$ 。又设 $Ω = [T : K]$ ，记 $n : = | Ω |$ 。由引理2.2.可知 $T = G T_{v}$ ， $T_{v} \neq 1$ 且 $T_{v} = A_{v} \cap T \leq A_{v}$ ，则 $| T_{v} | | 10$ 。又因为 $G \cap T_{v} = 1$ ，则 $n = | Ω | = | T : K | | | T : G | | 10$ 。现考虑T依右乘作用在 $Ω$ 上。由于T为非交换单群，可知该作用是忠实的且传递的。一方面，易知K为 $Ω$ 中某点的点稳定子，又K为T的极大子群，则由引理2.1.可知T为作用在 $Ω$ 上的本原置换群。另一方面，T为非交换单群，且 $K \geq G$ ，K必定非可解。那么T，K， $| Ω |$ 满足引理2.5.中的条件，即 $(T, K, | Ω |) = (A_{10}, A_{9}, 10)$ 。注意到交错群 $A_{n - 1}$ 中不存在指数小于 $n - 1$ 的真子群，也就是说， $| K : G | \geq n - 1$ ，则 $n (n - 1) \leq | T : K | \cdot | K : G | = | T : G | \leq 10$ ，从而有 $K = G$ 。由引理2.3.和MAGMA (见文献 [15] )可知此时并不存在图。于是假设不成立，此时有 $G ⊲ A$ 。 ■

接下来，考虑全自同构群A中存在非平凡的可解正规子群。

引理3.2. 若A中存在非平凡的可解正规子群，则 $G ⊲ A$ 。

假设结论不成立。令M是A中最大的可解正规子群，推出 $M c h a r A$ ，并且 $M \neq 1$ 。由 $M \cap G ⊲ G$ 和G的非交换单性可知 $M \cap G = 1$ ， $| M | | 10$ 。注意到 $| V (Γ) | = | G |$ 中至少包含3种素因子，则由轨道的相关定义和公式可知M作用在 $V (Γ)$ 上的轨道个数多于2个。再由引理2.4. (1)，此时M在 $V (Γ)$ 上是半正则的。

令自然同态 $ψ : A \to A / M$ ，设 $\bar{A} = A / M$ ， $\bar{Γ} = Γ_{M}$ 。由引理2.4. (3)可知，商图 $\bar{Γ}$ 是 $\bar{A}$ -弧传递的。又设 $\bar{N}$ 是 $\bar{A}$ 的一个极小正规子群，N是 $\bar{N}$ 在 $ψ : A \to A / M$ 下的原像。由M的定义可知 $\bar{N}$ 必定非可解， $\bar{N} = T_{1} \times T_{2} \times \dots \times T_{d} = T^{d} (d \geq 1)$ ，T是非交换单群。

设 $\bar{G} = G M / M$ ，由同构定理可知 $\bar{G} ≅ G$ ， $\bar{G}$ 也是非交换单群。由于 $\bar{N} \cap \bar{G} ⊲ \bar{G}$ ，可知 $\bar{N} \cap \bar{G} = 1$ 或 $\bar{G}$ 。若 $\bar{N} \cap \bar{G} = 1$ ，则 $| \bar{N} | | 10$ ， $\bar{N}$ 可解，矛盾。因此 $\bar{N} \cap \bar{G} = \bar{G}$ ， $\bar{G} \leq \bar{N}$ 。由于 $\bar{G}$ 是非交换单群， $| \bar{G} |$ 必定整除 $\bar{N}$ 中某合成因子的阶，即知 $| \bar{G} | | | T_{1} |$ 。但若有 $d \geq 2$ ，则 $| T_{2} | | | \bar{N} : \bar{G} | | | \bar{A_{\bar{v}}} |$ ，而 $\bar{A_{\bar{v}}}$ 是 ${2, 5}$ -群(其中 $\bar{v} \in V \bar{Γ}$ )，可知此时 $T_{2}$ 可解，矛盾。因而 $d = 1$ ， $\bar{N}$ 是非交换单群。另一方面，由于 $\bar{N}$ 的任意性，以上推理叙述也说明了 $\bar{N}$ 是 $\bar{A}$ 唯一的非可解的极小正规子群，进而有 $\bar{N} c h a r \bar{A}$ ， $N c h a r A$ 。

如果 $\bar{G} = \bar{N}$ 。显然有 $N = M : G$ 。若G中心化M，则 $N = M \times G$ ，所以 $G c h a r N c h a r A$ ，矛盾于G在A不正规。因此G不中心化M。推出 $A u t (M)$ 是非可解的。又 $| M | | 10$ ， $| M | = 1, 2, 5$ 或10，这意味着 $A u t (M)$ 可解，矛盾。因此， $\bar{G} < \bar{N}$ 。从而 $| \bar{N} : \bar{G} | | 5$ 。设 $\bar{K}$ 是 $\bar{N}$ 中包含 $\bar{G}$ 的极大真子群。令 $\bar{Ω} = [\bar{N} : \bar{K}]$ 。由引理2.5.可知， $(\bar{N}, \bar{K}, | \bar{Ω} |) = (A_{10}, A_{9}, 10)$ 。由于 $\bar{G} \leq \bar{K}$ ， $| \bar{Ω} | = | \bar{N} : \bar{K} | \leq | \bar{N} : \bar{G} | | 5$ ，则 $(\bar{N}, \bar{K}, | \bar{Ω} |) \neq (A_{10}, A_{9}, 10)$ ，矛盾。 ■

综合引理3.1.和引理3.2.的证明可知，无论A中是否存在非平凡的可解正规子群，都有 $G ⊲ A$ ，即定理1.1.得证。

基金项目

国家自然科学基金项目(12061089，11701503)；云南省科技厅面上项目(2018FB003)。

文章引用

李婉婷,凌波. 有限非交换单群上的10度1-正则Cayley图
On 10-Valent 1-Regular Cayley Graphs on Finite Nonabelian Simple Groups[J]. 应用数学进展, 2021, 10(10): 3464-3468. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.1010365

参考文献

1. Biggs, N. (1992) Algebraic Graph Theory. 2nd Edition, Cambridge University Press, Cambridge.

2. Xu, M.Y. (1998) Automorphism Groups and Isomorphisms of Cayley Digraphs. Discrete Mathematics, 182, 309-319. https://doi.org/10.1016/S0012-365X(97)00152-0

3. Du, J.L. and Feng, Y.Q. (2019) Tetravalent 2-Arc-Transitive Cayley Graphs on Non-Abelian Simplegroups. Communications in Algebra, 47, 4565-4574. https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1549661

4. Du, J.L., Feng, Y.Q. and Zhou, J.X. (2017) Pentavalent Symmetric Graphs Admitting Vertex-Transitivenon-Abelian Simple Groups. European Journal of Combinatorics, 63, 134-145. https://doi.org/10.1016/j.ejc.2017.03.007

5. Fang, X.G., Wang, J., Zhou, S.M. (2021) Classification of Tetravalent 2-Transitive Nonnormal Cayley Graphs of Finite Simple Groups. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 104, 263-271. https://doi.org/10.1017/S0004972720001446

6. Li, C.H. (1996) Isomorphisms of Finite Cayley Graphs. Ph.D. Thesis, The University of Western Australia, Crawley.

7. Li, J.J., Ling, B. and Ma, J.C. (2017) On Tetravalent S-Regular Cayley Graphs. Journal of Algebra and Its Applications, 16, Article ID: 1750195. https://doi.org/10.1142/S021949881750195X

8. Xu, S.J., Fang, X.G., Wang, J. and Xu, M.Y. (2005) On Cubic S-Arc-Transitive Cayley Graphs of Finite Simple Groups. European Journal of Combinatorics, 26, 133-143. https://doi.org/10.1016/j.ejc.2003.10.015

9. Xu, S.J., Fang, X.G., Wang, J. and Xu, M.Y. (2007) 5-Arc Transitive Cubic Cayley Graphs on Finite Simple Groups. European Journal of Combinatorics, 28, 1023-1036. https://doi.org/10.1016/j.ejc.2005.07.020

10. Dixon, J.D. and Mortimer, B. (1996) Permutation Groups. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0731-3

11. Li, J.J. and Lu, Z.P. (2009) Cubic S-Transitive Cayley Graphs. Discrete Mathematics, 309, 6014-6025. https://doi.org/10.1016/j.disc.2009.05.002

12. Praeger, C.E. (1992) An O’Nan-Scott Theorem for Finite Quasiprimitive Permutation Groups and an Application to 2-Arc-Transitive Graphs. Journal of the London Mathematical Society, s2-47, 227-239. https://doi.org/10.1112/jlms/s2-47.2.227

13. Li, C.H. and Pan, J.M. (2008) Finite 2-Arc-Transitive Abelian Cayley Graphs. European Journal of Combinatorics, 29, 148-158. https://doi.org/10.1016/j.ejc.2006.12.001

14. Roney-Dougal, C.M. (2005) The Primitive Permutation Groups of Degree Less than 2500. Journal of Algebra, 292, 154-183. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2005.04.017

15. Bosma, W., Cannon, C. and Playoust, C. (1997) The MAGMA Algebra System I: The User Language. Journal of Symbolic Computation, 24, 235-265. https://doi.org/10.1006/jsco.1996.0125

NOTES

^*通讯作者。

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