Pure Mathematics
Vol.05 No.06(2015), Article ID:16351,6 pages
10.12677/PM.2015.56038

Stability in Predator-Prey Model with Age-Structure

Huantao Zhu

Hunan College of Information, Changsha Hunan

Received: Oct. 26th, 2015; accepted: Nov. 10th, 2015; published: Nov. 17th, 2015

Copyright © 2015 by author and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

The stability in predator-prey model with age-structure is investigated. Sufficient conditions for global asymptotic stability of boundary equilibrium and positive invariance and the boundedness are derived.

Keywords:Age-Structure, Predator Model, Stability

一类具年龄结构的捕食–食饵模型的稳定性

朱焕桃

湖南信息职业技术学院,湖南 长沙

收稿日期:2015年10月26日;录用日期:2015年11月10日;发布日期:2015年11月17日

摘 要

研究了一类具有年龄结构的捕食–食饵模型系统,得到了该系统解的正不变性、有界性及其边界平衡点全局渐近稳定的充分条件。

关键词 :年龄结构,捕食模型,稳定性

1. 引言与引理

在现实生活中,各种种群的发展都与其年龄因素有着重要的关系,这表现在不同年龄的种群在生育和死亡方面存在很多差异。1911年,Sharpe和Lotka [1] 首次将种群的年龄因素考虑到模型中。随后,具有年龄结构的种群模型的研究有了丰富的结果[2] -[6] 。本文将考虑在经典的Lotka-Volterra捕食–食饵模型的基础上将年龄结构引入到捕食种群中且适合Mckendrick-Foerster方程的一类捕食–食饵模型:

(1)

满足初始条件

(2)

其中是正常数。

由文献[7] 知,系统(1)在存在唯一解。

引理1.1 (Liapunov-LaSalle不变原理):若上的李雅普诺夫泛函,且是方程停留在中的有界解,则当时,。其中是集合关于的最大不变集。

2. 主要结论

我们首先讨论系统(1)在满足初始条件(2)时的解是正的和有界的。

定理2.1:对一切,系统(1)满足初始条件(2)的解是正的。

证明:由系统(1)的第二个方程可以得到

根据初始条件(2)可知,

假设不恒为正,则一定存在一个,使得

由(2)的第一个方程可得,

这说明对于充分小的,当时,,于是产生矛盾。因此,总是恒为正。

定理2.2:对一切,系统(1)满足初始条件(2)的解是有界的。

证明:由(1)的第二个方程,我们可以得到

故对充分小的,存在使得对所有的

又根据系统(1)的第一个方程和,我们得到

故对所有的,有

定理2.3:对于系统(1)的所有解当且仅当

证明:先证

时,则存在充分小的,使得,根据定理2.1知,存在,使得当时,有成立,从而对

考虑比较方程

由文献[8] 中的引理1知,.又由定理2.1和比较定理得到

因此存在充分小的使得对所有的

又由系统(1)的第二个方程有

再由比较定理可得

.

由于任意小,结合上面的讨论,我们有

时,由系统(1)的第二个方程可知,当时它总递减。若存在,使得,则对所有的,有。事实上,若存在,使得,则有,矛盾,故有两种情形;

(1)

(2) 存在使得对所有的,有

对情形(1),仅需证明。对系统(1)的第二个方程两边从0到积分得

因此

的有界性可得

对情形(2),考虑Liapunov泛函

.

对所有的沿着系统(1)的轨线计算的导数可得

由引理1.1知,。对于的证明类似于第一种情形。

下证。否则,设成立,则我们知道系统(1)有唯一的正平衡点。这与系统(1)对所有解,都有矛盾。

将系统(1)关于平衡点线性化,其相应的特征方程为

其根为。这说明对所有的平衡点是不稳定的。

将系统(1)关于平衡点线性化,相应的特征方程为

显然,是上方程的一个特征根。因此,我们只需讨论下面方程的根

(3)

,我们有

(4)

(5)

由式(4)知,当时,。再由式(5)知,对所有的,方程(3)没有正根。

注意到若,则方程(3)的特征根是负的。进一步我们可以证明当时,对所有的,方程(3)的所有根必定具有负实部。假设存在使得方程(3)有一对纯虚根,则由方程(3),我们有

两边平方相加可得

这说明方程(3)没有正根,即不存在。因此,当时,方程(3)的所有根都具有负实部,即系统(1)的平衡点渐进稳定的。

时,是方程(3)的特征根。由式(5)知,是一个简单的特征根。

时,由式(4)知,而,因此至少有一个正实根,从而平衡点是不稳定的。

由上述讨论和定理2.3,我们得到以下结论

定理2.4:当时,系统(1)的平衡点是全局渐进稳定的。

3. 举例

我们考虑如下系统

(6)

通过计算,当时,我们得到,其中。根据定理2.4,系统(6)的平衡点是全局渐进稳定的。

基金项目

湖南省教育厅资助科研项目(13C660)。

文章引用

朱焕桃. 一类具年龄结构的捕食–食饵模型的稳定性
Stability in Predator-Prey Model with Age-Structure[J]. 理论数学, 2015, 05(06): 266-271. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.56038

参考文献 (References)

  1. 1. Sharpe, F.R. and Lotka, A.J. (1911) A Problem in Age Distribution. Philosophical Magazine, 21, 435-438. http://dx.doi.org/10.1080/14786440408637050

  2. 2. Cushing, J.M. (1976) Periodic Lotka-Volterra Competition Equations. Journal of Mathematical Biology, 30, 665-673.

  3. 3. Webb, G.F. (1985) Theory of Nonlinear Age-Dependent Population Dynamics. Marcel Dekker, New York.

  4. 4. Cushing, J.M. and Saleem, M. (1982) A Predator-Prey Model with Age Structure. Journal of Mathematical Biology, 14, 231-250. http://dx.doi.org/10.1007/BF01832847

  5. 5. Anderson, R.M. and May, R.M. (1991) Infectious Diseases of Hu-mans: Dynamics and Control. Oxford University Press, Oxford.

  6. 6. 马知恩. 种群动态学数学建模与研究[M]. 合肥: 安徽教育出版社, 1984.

  7. 7. Hale, J.K. and Lunel, S.M.V. (1993) Introduction to Functional Differential Equa-tions. Springer-Verlag, Berlin. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-4342-7

  8. 8. Gourley, S.A. and Kuang, Y. (2004) A Stage Structured Pre-dator-Prey Model and Its Dependence on Maturation Delay and Death Rate. Journal of Mathematical Biology, 49, 188-200. http://dx.doi.org/10.1007/s00285-004-0278-2

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