南京航空航天大学理学院，江苏 南京

收稿日期：2020年12月28日；录用日期：2021年1月28日；发布日期：2021年2月4日

摘要

在有界环形区域上，研究一类无穷Laplace方程的超定边值问题，证明方程解的对称性及环形区域的对称性。首先构造与点到边界距离有关的web函数作为方程特解，此特解的存在性等价于Ω为Stadium-like区域，通过对Stadium-like区域的性质分析，证明Ω为一个同心球环。该结论可以推广到Laplace方程与p-Laplace方程。

关键词

无穷Laplace方程，超定边值问题，Stadium-Like区域，Web函数，对称性

Overdetermined Boundary Value Problems for the Infinity Laplace Equation

Yanhui Li, Xiaotao Huang

College of Science, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing Jiangsu

Received: Dec. 28^th, 2020; accepted: Jan. 28^th, 2021; published: Feb. 4^th, 2021

ABSTRACT

The aim of this paper is to study a class of overdetermined boundary value problems of ∞-Laplace equations in bounded annular domains, and prove the symmetry of both the solutions and the annular domains. Firstly, we construct a web function which is related with the distance to the boundary as a special solution of ∞-Laplace equations. Then by analyzing the properties of stadium-like domains, we prove that Ω is a spherical ring with same center via the fact that the existence of special solutions is equivalent to that Ω is a stadium-like domain. Finally, we show that the conclusion can be extended to Laplace equations and p-Laplace equations.

Keywords:Infinity Laplace Equations, Overdetermined Boundary Value Problems, Stadium-Like Domains, Web Function, Symmetry

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

超定边值问题是偏微分方程研究的重要内容之一。从上世纪70年代开始，众多学者对微分方程的超定边值问题进行研究。1971年，Serrin [1] 利用移动平面法，研究方程

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=1x\in \Omega ,\\ u=0x\in \partial \Omega ,\\ -\frac{\partial u}{\partial v}=cx\in \partial \Omega ,\end{array}$

在有界区域上解的对称性，得到方程解的特定形式，并证明了 $\Omega$ 是一个球。1987年，Garofalo和Lewis [2] 研究了p-Laplace方程

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{p}u=1x\in \Omega ,\\ u=0x\in \partial \Omega ,\\ -\frac{\partial u}{\partial v}=cx\in \partial \Omega ,\end{array}$

的超定边值问题，得到了解和区域的对称性。2014年，Fall和Jarohs [3] 研究了分数阶Laplace方程

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{s}u=1x\in \Omega ,\\ u=0x\in R^n\backslash \Omega ,\\ -\frac{\partial u}{\partial v}=cx\in \partial \Omega ,\end{array}$

得到方程解的形式并证明了 $\Omega$ 是一个球。

关于超定边值问题，不仅各类方程被充分研究，比如Laplace方程、高阶Laplace方程、k-Hessian方程、分数阶Laplace方程等，方程所在的各种区域也被充分研究，比如有界区域、外部区域、环形区域等。研究方法主要包括移动平面法、移动球面法 [4]、不动点定理、重排、变分法 [5] 等。

二阶非退化椭圆方程的超定边值问题已经取得了一系列丰富的成果，但关于退化椭圆方程超定边值问题的研究相对较少。本文拟研究一类退化椭圆方程即无穷Laplace方程在环形区域上的超定边值问题。关于无穷Laplace方程的研究最早起源于上世纪六十年代。Arosson [6] 在研究 $L^{\infty }$ 泛函的绝对极小时，证明了绝对极小的Euler方程必是无穷Laplace方程的解。无穷Laplace方程不仅可以完善泛函分析的理论，而且在实际中有着更广泛的应用，其在tug-of-war博弈、最优传输问题、图像处理及弹性力学等方面有着广泛的应用。

无穷Laplace方程的一般形式为

${\text{Δ}}_{\infty }u=\langle D^{2}uDu,Du\rangle ={\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum }}{D}_{i}u{D}_{j}u{D}_{ij}u}=f,$

其中Du表示u的梯度， $D^{2}u$ 表示u的Hessian矩阵。

关于∞-Laplace方程解的存在唯一性，1993年Jensen [7] 首次用连续梯度约束的粘性解理论给出了无穷调和函数即 $-{\Delta }_{\infty }u=0$ 方程解的唯一性。2008年，陆国振和王培勇在文献 [8] 中利用偏微分方程的方法讨论了解的存在性和唯一性。另一方面，2009年，Peres、Schramm、Sheffield和Wilson在文献 [9] 中利用概率论的方法证明了当f连续且u在边界上也连续时，tug-of-war博弈问题的连续解就是 $-{\Delta }_{\infty }u=f$ 的解。

关于∞-Laplace方程解的正则性，2008年Evans与Savin在文献 [10] 中证明了二维无穷调和函数是 $C^{1,\alpha }$ 的，但是H lder指数 $\alpha$ 的取值并未确定。2011年Evans和Smart在文献 [11] [12] 中用正则逼近的方法证

明了n维欧式空间中无穷调和函数是处处可微的。由反例可猜想无穷调和函数最好的正则性是 $C^{1,\frac{1}{3}}$，但

是目前还没有文献证明得到这一正则性指标。

关于无穷Laplace方程解的对称性，Buttzaao和Kawohl [13] 研究了无穷Laplace方程在边值条件

$u=0-\frac{\partial u}{\partial n}=a,x\in \partial \Omega$ ( $a>0$ 为常数)

下的超定边值问题，利用边界距离函数的性质得到了方程的一个对称粘性解。Crasta和Fragala [14] 证明了方程web粘性解在有界凸区域上的存在唯一性及 $\Omega$ 的对称性。

本文尝试研究下列环形区域上的超定边值问题：假设 ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2\subset R^n$ 为边界 $C^2$ 光滑的有界区域， $\Omega :={\Omega }_2\backslash \overline{{\Omega }_1}$，$u\in C^1\left(\bar{\Omega }\right)$ 为方程

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{{}^{{}_{\infty }}}u=1x\in \Omega ,\left(1.1\right)\\ u=c,-\frac{\partial u}{\partial {\eta }_1}=a_{1}x\in \partial {\Omega }_1,\left(1.2\right)\\ u=0,-\frac{\partial u}{\partial {\eta }_2}=a_{2}x\in \partial {\Omega }_2,(\; 1.3\; )\end{array}$

的粘性解，其中 $c,a_1,a_2$ 为某些固定的常数。

由于无穷Laplace算子的高度退化性，方程的研究存在一定的困难。且由于方程不存在极值原理，所以无法用移动平面法来证明解和区域的对称性。本文综合 [13] [14] 的思想，引入距离函数研究无穷Laplace方程在环形区域上的超定边值问题。

本文将证明下述结论：

定理1：假设 ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2\subset R^n$ 为边界为 $C^2$ 的有界区域， $\Omega :={\Omega }_2\backslash \overline{{\Omega }_1}$，$B_{R_2}$ 为 ${\Omega }_2$ 的半径为 $R_2$ 的外接球， $d\left(x\right)=d\left(x,\partial {\Omega }_2\right)$。则函数

$u\left(x\right)=\frac{3^{\frac{4}{3}}}{4}\left(R_2^{\frac{4}{3}}-{\left(R_2-d\left(x\right)\right)}^{\frac{4}{3}}\right)$

是(1.1)~(1.3)的唯一web粘性对称解当且仅当 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$，并且 $\Omega$ 为一同心球环。

上述证明方法可应用到p-Laplace方程，得到下面推论：

推论2：假设 ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2\subset R^n$ 为边界为 $C^2$ 的有界区域， $\Omega :={\Omega }_2\backslash \overline{{\Omega }_1}$，$B_{R_2}$ 为 ${\Omega }_2$ 的外接球，半径为 $R_2$。则

$u=\frac{p-1}{p}{n}^{\frac{-p}{p-1}}\left(R_2^{\frac{p}{p-1}}-{\left(R_2-d\left(x\right)\right)}^{\frac{p}{p-1}}\right)\in C^2(\; \Omega \; ¯\; )$

为下面超定边值问题

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{p}u=1x\in \Omega ,\left(1.4\right)\\ u=c,-\frac{\partial u}{\partial {\eta }_1}=a_{1}x\in \partial {\Omega }_1,\left(1.5\right)\\ u=0,-\frac{\partial u}{\partial {\eta }_2}=a_{2}x\in \partial {\Omega }_2,(\; 1.6\; )\end{array}$

的唯一粘性对称解，其中 $c,a_1,a_2$ 为某些固定的常数， $d\left(x\right)=d\left(x,\partial {\Omega }_2\right)$，当且仅当 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$，并且 $\Omega$ 为一同心球环。

本文第二部分主要介绍所需要的一些预备知识，第三部分将给出定理以及推论的证明。

2. 预备知识

首先给出无穷Laplace方程和p-Laplace方程的一些基础知识和结论。

正如绪论说明，目前无穷Laplace方程和p-Laplace方程解的正则性最高只到 $C^{1,\alpha }$，无法给出古典解的定义，所以在此给出方程粘性解的定义。

定义1 [15]：设 $u\in C^1\left(\bar{\Omega }\right)$，如果对任意的 $x_0\in \Omega$ 和任意的检验函数 $\phi \in C^2\left(\Omega \right)$，若 $u-\phi$ 在 $x_0$ 取得局部极大值，都有

$F\left(D\phi ,D^2\phi \right)\left(x_0\right)=-\langle D^2\phi D\phi ,D\phi \rangle \left(x_0\right)-1=-{\text{Δ}}_{\infty }\phi \left(x_0\right)-1\le 0$

成立，则称u在 $\Omega$ 中是方程 $-{\Delta }_{\infty }u=1$ 的粘性下解。

类似地，如果对任意的 $x_0\in \Omega$ 和任意的检验函数 $\phi \in C^2\left(\Omega \right)$，若 $u-\phi$ 在 $x_0$ 取得局部极小值，都有

$F\left(D\phi ,D^2\phi \right)\left(x_0\right)=-\langle D^2\phi D\phi ,D\phi \rangle \left(x_0\right)-1=-{\Delta }_{\infty }\phi \left(x_0\right)-1\ge 0$

成立，则称u在 $\Omega$ 中是方程 $-{\Delta }_{\infty }u=1$ 的粘性上解。若u在 $\Omega$ 中既是方程 $-{\Delta }_{\infty }u=1$ 的粘性下解又是粘性上解，则称u在 $\Omega$ 中是方程 $-{\Delta }_{\infty }u=1$ 的粘性解。

同样地p-Laplace方程粘性解定义如下。

定义2：设 $u\in C^1\left(\bar{\Omega }\right)$，如果对任意的 $x_0\in \Omega$ 和任意的检验函数 $\phi \in C^2\left(\Omega \right)$，若 $u-\phi$ 在 $x_0$ 取得局部极大(小)值，都有

$\begin{array}{l}F\left(D\phi ,D^2\phi \right)\left(x_0\right)=-{\Delta }_P\phi \left(x_0\right)-1\\ =\left(-{\left|D\phi \right|}^{P-2}trace\left(D^2\phi \right)-\left(p-2\right){\left|D\phi \right|}^{P-4}\langle D^2\phi D\phi ,D\phi \rangle \right)\left(x_0\right)-1\le (\ge )0\end{array}$

成立，则称u在 $\Omega$ 中是方程 $-{\Delta }_{p}u=1$ 的粘性下(上)解。

若u在 $\Omega$ 中既是方程 $-{\Delta }_{p}u=1$ 的粘性下解又是粘性上解，则称u在 $\Omega$ 中是方程 $-{\Delta }_{p}u=1$ 的粘性解。

接下来给出两个方程解的唯一性结论。

引理1 [6]：假设 $\Omega \subset R^n$ 为一有界开区域， $u,v\in C\left(\bar{\Omega }\right)$ 是无穷Laplace方程

$-{\Delta }_{\infty }w=f(\; x\; )$

的解， $f\in C\left(\Omega \right)$ 且满足 ${\inf }_{\Omega }\left(f\right)>0$ 或 ${\sup }_{\Omega }\left(f\right)<0$。如果

$u=v,x\in \partial \Omega ,$

那么 $u=v,x\in \partial \Omega$。

引理2 [2]：假设 $\Omega \subset R^n$ 为一有界开区域， $u,v\in C\left(\bar{\Omega }\right)$ 是p-Laplace方程

$-{\Delta }_p\omega =f(\; x\; )$

的解， $f>0$ 为 $\Omega$ 上二阶连续可微的凸函数。如果

$u=v,x\in \partial \Omega ,$

那么 $u=v,x\in \partial \Omega$。

下面给出距离函数的相关概念。

定义3：u为web函数当且仅当u只依赖于点x到 $\partial \Omega$ 的距离

$M\left(\Omega \right):=\left\{y\in \Omega |d\left(y,\partial \Omega \right):=\underset{x\in \Omega }{\max }d\left(x,\partial \Omega \right)\right\}$

也就是 $u\left(x\right)=w\left(d\left(x\right)\right)$。

定义4 [16]：

$G\left(\Omega \right)=\left\{x\in \Omega |若y,z\in \partial \Omega 满足d\left(x,\partial \Omega \right)=d\left(x,y\right)=d\left(x,z\right),则y=z\right\},$

令 $R\left(\Omega \right):=\Omega \backslash G\left(\Omega \right)$。

当 $\Omega$ 为一个矩形时， $R\left(\Omega \right)$ 和 $M\left(\Omega \right)$ 如下图1所示。

图1. $R\left(\Omega \right)$ (左图)和 $M\left(\Omega \right)$ (右图)

定义5 [16]：如果 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$，那么称 $\Omega \subset R^n$ 为stadium-like区域。

例：图2为两类常见的stadium-like区域

图2. Stadium-like区域

后文将用到关于距离函数的如下结论。

引理3 [17]： $\Omega$ 为一有界 $C^2$ 开集，则 $d\left(x,\partial \Omega \right)\in C^2\left(\bar{\Omega }\backslash \bar{R}\left(\Omega \right)\right)$。

引理4 [16]：令 $\Omega \subset R^n$ 是一个有界非空stadium-like区域，即 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$。则

(1) $\Omega$ 为一球、同心球环或者一维 $C^{1,1}$ 流形的平行邻域；

(2) 如果 $\Omega$ 为一凸区域，则 $\Omega$ 必为球。

3. 定理的证明

在证明定理1之前，先陈述一个事实。

对于 [1] 中的超定边值问题

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=1x\in \Omega \\ u=0x\in \partial \Omega \\ -\frac{\partial u}{\partial v}=cx\in \partial \Omega \end{array}$

Serrin证明了 $\Omega$ 为一半径为R的球，方程解为

$u\left(\left|x\right|\right)=\frac{1}{2n}\left(R^2-r^2\right),$

r为点到球心的距离，此时 $c=-\frac{1}{n}R$。由此可知球半径R与法方向c可相互确定。

本文我们将证明 $\Omega :={\Omega }_2\backslash \overline{{\Omega }_1}$ 为边界为 $C^2$ 的同心球环，其中 ${\Omega }_1:=B_{R_1}\left(O\right)$，${\Omega }_2:=B_{R_2}\left(O\right)$。超定边值问题(1.1)~(1.3)的解为

$u\left(x\right)=\frac{3^{\frac{4}{3}}}{4}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{4}{3}}-r^{\frac{4}{3}}\right),$

r为点到球心的距离。相应的超定边值条件(1.2)，(1.3)将分别为

$\begin{array}{l}u=c=\frac{3^{\frac{4}{3}}}{4}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{4}{3}}-{\left(R_1\right)}^{\frac{4}{3}}\right),-\frac{\partial u}{\partial {\eta }_1}=a_1=3^{\frac{1}{3}}{\left(R_1\right)}^{\frac{1}{3}},\\ u=0,-\frac{\partial u}{\partial {\eta }_2}=a_2=3^{\frac{1}{3}}{\left(R_2\right)}^{\frac{1}{3}},\end{array}$

由此可知， $c,a_1,a_2$ 可由半径 $R_2,R_1$ 确定。事实上，只要知道这五个参数中的任意两个，其他三个则可由此确定。

下面从充分性和必要性两方面来证明定理。为了更好理解证明，对无穷Laplace方程作一变形。已知函数u在方向 $\nu$ 的二阶导为 $\langle D^{2}u\nu ,\nu \rangle$，如果 $\nu$ 表示u的最速下降方向 $-Du/\left|Du\right|$，那么方程 $-{\Delta }_{\infty }u=1$ 可以转化为

$-u_{\nu \nu }{\left|u_{\nu }\right|}^2=1$

1) 充分性：构造函数

$u\left(x\right)=\frac{3^{\frac{4}{3}}}{4}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{4}{3}}-{\left(R_2-d\left(x\right)\right)}^{\frac{4}{3}}\right),$

其在 $\Omega$ 内几乎处处可微。由引理3， $u\left(x\right)\in C^2\left(\Omega \backslash \overline{R\left(\Omega \right)}\right)$。如果 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$，那么由引理4可知 为一同心球环， ${\Omega }_2$ 为半径为 $R_2$ 的球， ${\Omega }_1$ 的半径为 $R_1$。可以验证在 $\Omega \backslash \overline{R\left(\Omega \right)}$ 区域内，函数

$u\left(x\right)=\frac{3^{\frac{4}{3}}}{4}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{4}{3}}-{\left(R_2-d\left(x\right)\right)}^{\frac{4}{3}}\right)=\frac{3^{\frac{4}{3}}}{4}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{4}{3}}-{\left|x\right|}^{\frac{4}{3}}\right)$

为超定边值问题(1.1)~(1.3)的古典解；在 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$ 区域内，函数 $u\left(x\right)$ 为超定边值问题(1.1)-(1.3)的粘性解。计算可知，此时

$c=\frac{3^{\frac{4}{3}}}{4}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{4}{3}}-{\left(R_1\right)}^{\frac{4}{3}}\right),a_1=3^{\frac{1}{3}}{\left(R_1\right)}^{\frac{1}{3}},a_2=3^{\frac{1}{3}}{\left(R_2\right)}^{\frac{1}{3}}.$

最后粘性解的唯一性由引理1可以得到。充分性得证。

2) 必要性：由定义可知 $M\left(\Omega \right)\subseteq R\left(\Omega \right)$。假设 $M\left(\Omega \right)⊊R\left(\Omega \right)$，则存在点 $z\in R\left(\Omega \right)\backslash M\left(\Omega \right)$，下面证明在z点函数u不满足粘性解的定义，即可以找到一个检验函数 $\phi \in C^2\left(\Omega \right)$ 不满足粘性解定义。

假设 $M\left(\Omega \right)⊊R\left(\Omega \right)$，z位于 $R\left(\Omega \right)\backslash M\left(\Omega \right)$ 的一直线上， $d\left(x,\partial {\Omega }_2\right)$ 在点z垂直于 $R\left(\Omega \right)$ 的 $\eta$ 方向上的方向导数与在 $-\eta$ 上的方向导数相反。我们可以构造函数

$\phi =-{\left(\left|x\right|-u\left(z\right)\right)}^K+\epsilon \left(\left|x\right|-u\left(z\right)\right)\in C^2\left(\Omega \right),$

在点z从上方接近u使得 ${\nabla }_{\eta }\phi \left(z\right)\ne 0$ 且 ${\phi }_{\eta \eta }\left(z\right)<-K$，K为一个任意大的数。因此 $-{\Delta }_{\infty }\phi \left(z\right)>1$，这与粘性下解定义相矛盾，类似可证粘性上解的情况。因此证得 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$。由引理3知， $\Omega$ 为一个同心球环。必要性得证。

下面类似证明推论2。

1) 充分性：如果 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$，那么 $\Omega$ 为一同心球环， ${\Omega }_2$ 为半径为 $R_2$ 的球， ${\Omega }_1$ 的半径为 $R_1$。

构造函数

$u\left(x\right)=n^{-\frac{p}{p-1}}\frac{p-1}{p}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{p}{p-1}}-{\left(R_2-d\left(x\right)\right)}^{\frac{p}{p-1}}\right)\in C^2\left(\bar{\Omega }\right),$

该函数在 $\Omega$ 内几乎处处可微。由引理3， $u\left(x\right)\in C^2\left(\bar{\Omega }\backslash \overline{R\left(\Omega \right)}\right)$ 并且在此区域内为超定边值问题(2.1) ~ (2.3)的古典解。在 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$ 内， $u\left(x\right)$ 为超定边值问题(1.4)~(1.6)的粘性解。此时可得到

$c=u=n^{-\frac{p}{p-1}}\frac{p-1}{p}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{p}{p-1}}-{\left(R_1\right)}^{\frac{p}{p-1}}\right),$

$a_1=n^{-\frac{p}{p-1}}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{1}{p-1}}-{\left(R_1\right)}^{\frac{p}{p-1}}\right),a_1=n^{-\frac{p}{p-1}}\left({\left(R_2\right)}^{\frac{1}{p-1}}\right).$

由引理4，粘性解唯一。充分性得证。

2) 必要性： $M\left(\Omega \right)\subseteq R\left(\Omega \right)$ 可由定义得到。假设 $M\left(\Omega \right)⊊R\left(\Omega \right)$，存在点 $z\in R\left(\Omega \right)\backslash M\left(\Omega \right)$，下面证明在这一点u不满足粘性解的定义，即可以找到一个检验函数 $\phi \in C^2\left(\Omega \right)$ 不满足粘性解定义。

假设 $M\left(\Omega \right)⊊R\left(\Omega \right)$，z位于 $R\left(\Omega \right)\backslash M\left(\Omega \right)$ 的一直线上， $d\left(x,\partial \Omega \right)$ 在点z垂直于 $R\left(\Omega \right)$ 的 $\eta$ 方向的方向导数与 $-\eta$ 上相反，我们可以找到一个函数

$\phi =-{\left(\left|x\right|-u\left(z\right)\right)}^K+\epsilon \left(\left|x\right|-u\left(z\right)\right)\in C^2(\; \Omega \; )$

在点z从上接近u使得 ${\nabla }_{\eta }\phi \left(z\right)\ne 0$ 且 ${\phi }_{\eta \eta }\left(z\right)<-K$，K为一个任意大的数。因此

$\begin{array}{l}F\left(D\phi ,D^2\phi \right)\left(z\right)\\ =\left(-{\left|D\phi \right|}^{P-2}trace\left(D^2\phi \right)-\left(p-2\right){\left|D\phi \right|}^{P-4}\langle D^2\phi D\phi ,D\phi \rangle \right)\left(x_0\right)-1\\ =\left(-{\left|D\phi \right|}^{P-2}trace\left(D^2\phi \right)-\left(p-2\right){\left|D\phi \right|}^{P-4}{\phi }_{\eta \eta }{\left|{\phi }_{\eta }\right|}^2\right)\left(x_0\right)-1>0,\end{array}$

这与粘性下解相矛盾，类似可证粘性上解，从而 $M\left(\Omega \right)=R\left(\Omega \right)$。由引理4知， $\Omega$ 为一个同心球环。必要性得证。

当 $p=2$ 且 ${\Omega }_1$ 为一个点时即为著名的Laplace方程在有界区域上的超定边值问题，可验证Serrin的结论：

假设 $\Omega$ 是一个边界为 $C^2$ 的有界凸区域。那么

$u=\left(R^2-{\left(R-d\left(x\right)\right)}^2\right)/2n\in C^2(\; \Omega \; ¯\; )$

满足下面超定边值问题

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=1x\in \Omega \\ u=0x\in \partial \Omega \\ -\frac{\partial u}{\partial v}=cx\in \partial \Omega \end{array}$

其中 $c=-\frac{R}{n}$，R为点到边界的最大距离，那么 $\Omega$ 为一半径为R的球，此时

$u=\left(R^2-{\left(R-d\left(x\right)\right)}^2\right)/2n=\left(R^2-{\left|x\right|}^2\right)/2n.$

4. 结语

文献 [13] 研究了了无穷Laplace方程在有界区域上的超定边值问题，本文则进一步研究了环形区域，得到了特殊形式的解和区域的对称性。本文的难点在于此退化椭圆方程无极值原理，所以无法利用移动平面来解决这一问题。因而利用构造与距离函数有关的特解证明区域的对称性，这是一种切实可行的方法。而且此方法可运用到解决Laplace方程、p-Laplace方程以及其他特殊方程的超定边值问题。

基金项目

南京航空航天大学青年科技创新基金(NS2019044)。

文章引用

李艳辉,黄小涛. 无穷Laplace方程的超定边值问题
Overdetermined Boundary Value Problems for the Infinity Laplace Equation[J]. 理论数学, 2021, 11(02): 164-172. https://doi.org/10.12677/PM.2021.112023

参考文献